Lista 2 2014

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Probabilidade e Estat´ıstica - Lista 02
Prof. Everton Batista da Rocha (evertonbatista@ufg.br)
Monitor: Adler da Silva Barros (adlerdasilva@yahoo.com.br)
1. Construir os espac¸os amostrais associados aos seguintes experimentos aleato´rios:
a) Selecionar um casal e observar o sexo do primogeˆnito;
b) Lanc¸ar um dado e observar o nu´mero da face superior;
c) Lanc¸ar duas moedas e observar a sequeˆncia de resultados;
d) Observar o tempo, em dias, de validade de um produto;
e) Colher uma amostra de sangue e quantificar o teor de colesterol;
f) Semear 20 sementes e observar: (i) o nu´mero de sementes germinadas e (ii) a
porcentagem de sementes germinadas.
g) Observar o tempo de vida de um animal;
h) Quantificar o peso de uma pessoa;
i) Quantificar a altura de uma pessoa;
j) Dar uma nota para a apareˆncia de um produto;
k) Lanc¸am-se dois dados e anota-se a configurac¸a˜o obtida;
l) Conta-se o nu´mero de pec¸as defeituosas, no intervalo de uma hora, de uma linha
de produc¸a˜o;
m) Investigam-se as famı´lias com quatro crianc¸as e anota-se a configurac¸a˜o obtida,
segundo o sexo;
n) Numa entrevista telefoˆnica com dez assinantes, pergunta-se se o proprieta´rio tem
ou na˜o ma´quina de secar roupa;
o) De um ficha´rio com seis nomes, sendo treˆs mulheres e treˆs homens, seleciona-se
ficha apo´s ficha ate´ que o u´ltimo nome de mulher seja selecionado.
2. Uma moeda e´ lanc¸ada treˆs vezes. Descreva o espac¸o amostral. Considere os eventos
Ai: cara no i-e´simo lanc¸amento, para i = 1, 2, 3. Determine os seguintes eventos:
a) Ac1 ∩ A2;
2
b) Ac1 ∪ A2;
c) (Ac1 ∩ Ac2)c
d) A1 ∩ (A2 ∪ A3).
3. Suponha que o espac¸o amostral e´ o intervalo [0, 1] dos reais. Considere os eventos
A =
[
x :
1
4
≤ x ≤ 5
8
]
e B =
[
x :
1
2
≤ x ≤ 7
8
]
. Determine os eventos:
a) Ac;
b) A ∩Bc;
c) (A ∪B)c
d) Ac ∪B.
4. Nas faces de um tetraedro regular, feito de material homogeˆneo, sa˜o marcados um,
dois,quatro e seis pontos. Considerando-se que dois desses tetraedros sa˜o jogados:
a) Construa o espac¸o amostral;
b) Relacione os elementos pertencentes a cada um dos seguintes eventos:
A: sair soma dos pontos menor ou igual a 6
B: sair o mesmo resultado nos dois tetraedros
C: sair soma ı´mpar
c) Calcule as probabilidades: P (A), P (B), P (C), P (A ∩B), P (A ∪B) e P (A ∪B).
Resultados: c)
1
2
;
1
4
;
3
8
;
1
8
;
5
8
;
3
8
.
5. Sejam B e C dois eventos tais que P (B) = 0, 4 e P (C) = 0, 5. Calcule P (B ∩ C),
P (B ∪ C) e P (B|C) supondo:
a) B e C independetes;
b) B e C mutuamente exclusivos.
Respostas: a) 0, 2; 0, 7 e 0, 4; b) 0; 0, 9 e 0.
6. Um dado e´ lanc¸ado. Se sair 5 ou 6, retira-se uma bola de uma urna A1, caso contra´rio,
retira-se uma bola da urna A2. A urna A1 conte´m 9 bolas brancas e 1 verde, enquanto
que a urna A2 conte´m uma bola branca e 4 verdes. Considere os eventos:
A1: bola ser retirada da urna A1
A2: bola ser retirada da urna A2
B: bola retirada ser branca;
V : bola retirada ser verde.
Calcule as probabilidades: P (A1), P (A2),P (B|A1), P (V |A1), P (B|A2), P (V |A2), P (A1∩
B), P (A1 ∩ V ), P (A2 ∩ B), P (A2 ∩ V ), P (B), P (V ), P (A1|B), P (A2|B), P (A1|V ) e
P (A2|V ).
3
7. Uma urna conte´m treˆs bolas brancas e duas bolas pretas de onde e´ extra´ıda uma bola
ao acaso e e´ observada a sua cor. Sem retorna´-la a` urna, e´ retirada uma nova bola e
observada a sua cor. Obtenha o espac¸o amostral e calcule as probabilidades:
a) de sair bola branca na primeira extrac¸a˜o e preta na segunda;
b) de sair bola branca segunda extrac¸a˜o;
c) de sair bola branca na primeira extrac¸a˜o ou preta na segunda;
d) de ter sa´ıdo bola branca na primeira extrac¸a˜o dado que saiu bola branca na segunda
extrac¸a˜o.
Respostas:
3
10
;
3
5
;
7
10
e
1
2
.
8. Uma urna conte´m 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna conte´m 4 bolas
brancas e 2 amarelas. Escolhe-se ao acaso, uma urna e dela retira-se, tambe´m ao acaso,
uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? Resposta:
19
30
.
9. Em uma fa´brica de parafusos, as ma´quinas A, B e C produzem 25, 35 e 40% do total
produzido, respectivamente. Da produc¸a˜o de cada ma´quina, 5, 4 e 2%, respectiva-
mente, sa˜o parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que e´
defeituoso. Qual a probabilidade de que o parafuso tenha vindo:
a) da ma´quina A?
b) da ma´quina B?
c) da ma´quina C?
Respostas: 0,3623; 0,4058 e 0,2319.
10. Por meio de um levantamento pre´vio, observou-se que 10% dos animais de uma certa
espe´cie tem uma certa doenc¸a. O teste de diagno´stico dessa doenc¸a, no entanto, e´
muito caro e demorado. Visando resolver esse problema, um pesquisador criou um
teste mais ra´pido e barato. Aplicando esse novo teste a um grupo de animais observou
o resultado positivo em 90% dos animais doentes e o resultado negativo em 80% dos
animais sadios. Com base nessas informac¸o˜es, calcule a probabilidade de um animal
escolhido ao acaso:
a) apresentar resultado positivo para o novo teste;
b) apresentar resultado negativo para o novo teste;
c) estar doente uma vez que o resultado do novo teste deu positivo (Esta probabilidade
e´ chamada de valor de predic¸a˜o positiva, ou VPP).
d) estar sadio, uma vez que o resultado do novo teste deu negativo (Esta probabilidade
e´ chamada de valor de predic¸a˜o negativa, ou VPN).
4
Respostas: 0,27; 0,73; 0,333 e 0,986.
11. Anemia durante a gravidez e´ um problema comum em muitos pa´ıses em desenvolvi-
mento, que afeta tanto a sau´de da ma˜e quanto a do seu filho. O seu diagno´stico ge-
ralmente e´ feito por meio da quantidade de hemoglobina (Hb) no sangue. Em muitas
regio˜es, entretanto, na˜o ha´ recursos ou dispobilidade de laborato´rios para a realizac¸a˜o
desse exame. Assim, de modo a permitir o diagno´stico nessas regio˜es, testes alternati-
vos tem sido criados nos u´ltimos anos. Um desses testes, desenvolvido pela Organizac¸a˜o
Mundial de Sau´de em 2001, baseia-se numa escala de cores e e´ denominado abrevia-
damente, WHO HbCS. Em um estudo1 envolvendo 403 mulheres gra´vidas de Awassa,
Etio´pia, observou-se que: 15,14% delas eram aneˆmicas (Hb < 11 g/dl); 44,26% das
aneˆmicas apresentavam resultado positivo para o teste WHO HbCS e 87,13% das na˜o
aneˆmicas apresentavam resultado negativo para o teste WHO HbCS. Considerando-se
esses resultados, calcule a probabilidade de uma dessas 403 mulheres, escolhidas ao
acaso:
a) Ter resultado positivo para o teste WHO HbCS;
b) Estar aneˆmica sabendo-se que o teste WHO HbCS deu resultado positivo;
c) Na˜o estar aneˆmica sabendo-se que o teste WHO HbCS deu resultado negativo.
12. Um inseto de uma certa espe´cie e´ escolhido ao acaso e recebe uma dose de inseti-
cida recomendada pelo fabricante para o controle desse inseto. Considere os seguintes
eventos: M : ser macho; F : ser feˆmea; R: ser resistente e S: ser suscet´ıvel (na˜o resis-
tente). Considere, ainda, que: a probabilidade de o inseto escolhido ser feˆmea e´ 0,55;
P (R|F ) = 0, 8 e P (S|M) = 0, 6. Calcule a probabilidade de o inseto:
a) Ser resistente a` dose de inseticida recomendada pelo fabricante;
b) Ser macho sabendo-se que ele e´ suscet´ıvel a` dose de inseticida recomendada pelo
fabricante.
Respostas: a) P (R) = 0, 62; (b) P (M |S) = 27
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13. Uma mancha de sangue do criminoso foi encontrada na cena do crime. O sangue foi
analisado e observou-se a presenc¸a de uma caracter´ıstica rara B. Sabe-se, de estudos
anteriores, que 15% da populac¸a˜o da cidade pertence ao grupo e´tnico A1, 35% ao
grupo e´tnico A2 e 50% ao grupo e´tnico A3. Sabe-se ainda que 1% dos indiv´ıduos do
grupo e´tnico A1, 5% dos indiv´ıduos do grupo e´tnico A2 e 2% dos indiv´ıduos do grupo
1S. GIES; B.J. BRANDIN;M.A. YASSIN e L.E. CUEVAS (2003). Comparison of screening methods
for anemia in pregnant women in Awassa, Ethiopia. Tropical Medicine and International Health
8(4):301-309.
5
e´tnico A3, tem sangue com a caracter´ıstica B. Dadas essas informac¸o˜es, calcule a
probabilidade:
a) do sangue de um indiv´ıduo qualquer dessa populac¸a˜o possuir a caracter´ıstica B;
b) do criminoso (indiv´ıduo cuja mancha de sangue foi analisada) ser do grupo e´tnico:
i- A1;
ii- A2;
iii- A3.
Respostas: 0,029; 0,052; 0,603; 0,345.
14. Um geo´logo, com base em observac¸o˜es superficiais, estabelece que a probabilidade de
haver petro´leo (evento A1) em uma a´rea qualquer e´ 0,2. Em a´reas com petro´leo,
realizou um teste s´ısmico que pode resultar em treˆs resultados mutuamente exclusivos:
B, C ou D e obte´m as seguintes probabilidade: P (B|A1) = 0, 7; P (C|A1) = 0, 2 e
P (D|A1) = 0, 1. Nas a´reas sem petro´leo (evento A2), realiza o mesmo teste e determina
P (B|A2) = 0, 1; P (C|A2) = 0, 4 e P (D|A2) = 0, 5. Considere que o geo´logo realiza o
teste s´ısmico em uma a´rea qualquer. Calcule a probabilidade:
a) De sair o resultado B;
b) De haver petro´leo na a´rea, sabendo-se que o resultado do teste foi B.
Respostas: 0,22; 0,636.
15. Numa certa regia˜o, sabe-se que: 80% dos trabalhadores recebem 5 sala´rios mı´nimos ou
menos, 15% recebem entre 5 e 10, 5% recebem 10 ou mais sala´rios mı´nimos. Sabe-se,
ainda, que: 1% dos que recebem 5 sala´rios mı´nimos ou menos, 50% dos que recebem
entre 5 e 10 e 80% dos que recebem 10 ou mais sala´rios mı´nimos, possuem aparelho de
DVD.Calcule:
a) A porcentagem de trabalhadores que possuem aparelho de DVD;
b) A probabilidade de um indiv´ıduo escolhido ao acaso nessa regia˜o receber 5 sala´rios
mı´nimos ou menos, sabendo-se que ele possui aparelho de DVD.
Respostas: 12,3%; 0,065.
16. Numa populac¸a˜o, 18% dos indiv´ıduos sa˜o obesos. Verificou-se que 30% dos homens sa˜o
obesos e 10% das mulheres sa˜o obesas. Qual a porcentagem de homens na populac¸a˜o
estudada? Resposta: 40%
17. Em um lote de animais, 50% sa˜o machos e 20% sa˜o Gir. Dentre os que sa˜o machos,
30% e´ Gir. Calcule a porcentagem de animais que na˜o sa˜o machos e nem Gir. Resposta:
45%
6
18. Voceˆ encomenda um livro pela internet. Sabe-se que a probabilidade de ele: ter sido
enviado, e´ 0,99; chegar ao Brasil, dado que foi enviado, e´ 0,8; chegar a` sua casa dado que
foi enviado e chegou ao Brasil, e´ 0,9. Calcule a probabilidade de o livro encomendado:
a) Na˜o chegar a` sua casa;
b) Na˜o ter sido enviado dado que na˜o chegou a` sua casa.
Respostas: 0,2872; 0,0348.
19. O teste de diagno´stico de uma doenc¸a que ocorre em 10% da populac¸a˜o e´ bastante
preciso pore´m extremamente caro. Um pesquisador, sens´ıvel ao problema de custo, de-
senvolveu, enta˜o, um teste alternativo bem menos dispendioso que tem, como poss´ıveis
resultados: cor amarela, cor laranja ou cor vermelha. Com o objetivo de avaliar sua
qualidade, aplicou-o a dois grupos: um de pessoas doentes e outro de pessoas sadias e
observou os seguintes resultados do teste alternativo:
i - cor amarela, para 25% dos doentes e 8% dos sadios;
ii - cor laranja, para 50% dos doentes e 12% dos sadios;
iii - cor vermelha, para 25% dos doentes e 80% dos sadios.
Supondo que o teste alternativo seja aplicado a uma pessoa escolhida ao acaso dessa
populac¸a˜o, calcule a probabilidade de:
a) o resultado do teste ser cor vermelha;
b) a pessoa estar sadia dado que o resultado do teste foi cor vermelha.
Respostas: a) 0,745; b) 0,9664.
20. Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P (A) = 0, 3 e P (B) = 0, 5.
Calcule:
a) P (A ∩B);
b) P (A ∪B);
c) P (A|B);
d) P (Ac);
e) P ((A ∪B)c).
Respostas:0; 0,8; 0; 0,7
21. Se P (A ∪B) = 0, 8; P (A) = 0, 5 e P (B) = x determine o valor de x no caso de:
a) A e B serem mutuamente exclusivos.
7
b) A e B serem independentes.
Respostas:0,3; 0,6.
22. Uma escola do ensino me´dio do interior de Sa˜o Paulo tem 40% de estudantes do sexo
masculino. Entre estes, 20% nunca viram o mar, ao passo que,entre as meninas essa
porcentagem e´ de 50%. Qual a probabilidade de que um aluno selecionado ao acaso
seja:
a) Do sexo masculino e nunca tenha visto o mar?
b) Do sexo feminino ou nunca tenha visto o mar?
Respostas:0,08; 0,68.
23. Se P (B) = 0, 4; P (A) = 0, 7 e P (A ∩B) = 0, 3; calcule P (A|Bc). Resposta:0,67.
24. Comente a afirmac¸a˜o: se dois eventos sa˜o mutuamente exclusivos enta˜o eles na˜o sa˜o
independentes. Resposta: Correta.
25. O Sa˜o Paulo Futebol Clube ganha com probabilidade 0,7 se chove e com 0,8 se na˜o
chove. Em Setembro a probabilidade de chuva e´ de 0,3. O Sa˜o Paulo ganhou uma
partida em Setembro, qual a probabilidade de ter chovido nesse dia? Resposta:0,27.
26. Verifique se sa˜o va´lidas as afimac¸o˜es:
a) Se P (A) =
1
3
e P (B|A) = 3
5
enta˜o A e B na˜o podem ser disjuntos.
b) Se P (A) =
1
2
, P (B|A) = 1 e P (A|B) = 1
2
enta˜o A na˜o pode estar contido em B.
Resposta: Correta; Incorreta.
27. Para dois eventos A e B, num mesmo espac¸o amostral, verifique por meio de um
diagrama, que e´ sempre poss´ıvel escrever o evento A como sendo (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc),
e que, portanto, vale P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩Bc)