LAJES EM CONCRETO MACICO

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LAJES EM CONCRETO MACIÇO
(I) CONCEITO: São placas em concreto, onde estão sujeitas principalmente a 
 ações normais a seu plano.
 O pavimento de uma edificação (elemento estrutural de superfície, 
 pode ser projetado com elementos pré-moldados ou moldados no local.
 O Pavimento moldado in loco pode ser composto por: 
	 ● uma única laje (maciça ou nervurada), sem vigas;
		 ● conjunto de lajes (maciças ou nervuradas) apoiadas em vigas. 
 
 Vantagens das lajes maciças:
	 ● distribuem suas reações em todas as vigas no contorno.Logo,
 há um melhor aproveitamento das vigas do pavimento, pois 
	 podem ter cargas da mesma ordem de grandeza dependendo 
 dos vãos;
	 	 ● Facilidade em colocar antes da concretagem, tubulações 
 elétricas ou de outros tipos.
 Desvantagens:
		 ● as fôrmas representam grande parcela do custo final.
A relação entre espessura e menor vão de laje de pavimentos de edifícios variam entre: 
				 a 
 Sejam L e l as dimensões maior e menor de uma laje.
 	Se: 
 para efeito de cálculo, a laje trabalha em duas 
 direções ou é armada em duas direções.
 	
Se: 
		 A laje trabalha em apenas uma direção (a do menor vão), logo armada apenas nessa direção.
(II) Métodos de Cálculo:
 Há dois métodos de cálculo:
● Método elástico: fundamenta-se na análise do comportamento 
 do elemento sob cargas de serviço e concreto íntegro (não-fis-
 surado).
● Método de Ruptura: fundamenta-se nos mecanismos de ruptu-
 ra da laje.
 Os dois métodos tem deficiências:
●No Método Elástico, subestimam-se os deslocamentos, pois não 
 é considerada a fissuração do concreto;
 ● Os esforços na situação de ruptura usados no cálculo da arma- 
 dura, não são proporcionais aos obtidos em serviço;
● No método de ruptura, estuda-se a laje com base no mecanis-
 mo de ruptura da laje, ou seja, procura-se a forma onde a laje
 chega ao colapso, baseados no cálculos dos esforços por meio
 da teoria das charneiras plásticas. . 
 
 	● Hipóteses de cálculo no MÉTODO ELÁSTICO:
	 ●● Material homogêneo e elástico
	 ●● Isótropo
	 ●● Linear fisicamente: relação entre tensões e deforma-
		mações se mantém linear, ou seja, não é considerada a fissuração
	 ●● Domínio dos pequenos deslocamentos
	 ●● Linearidade geométrica: os esforços (tensões) não são 
	 afetados pelo estado de deformação da estrutura.
	 ●● Manutenção da seção plana após a deformação e a repre-
 sentação da laje por seu plano médio.
	 ●● Na resolução do problema de determinação dos esforços,
	 para facilitar o emprego das condições de contorno, têm- 	 se outras considerações:
	 ●●● a ação das placas nas vigas de contorno é realizada 
 		 somente por forças verticais não havendo transmis- 
 	 	 são de momentos de torção para as vigas;
	 ●●● as placas atuam nas vigas de contorno com ações 
		 uniformemente distribuídas.
		 Não há transmissão de carga direta da laje para o 
		 pilar (a não ser nas lajes cogumelo);
	 ●●● a rotação das placas no contorno é considerada livre
		 (apoio simples) ou totalmente impedida (engaste).
● EQUAÇÃO FUNDAMENTAL:
 Considerando um elemento infinitesimal da placa, submetida a 
 uma carga p (x,y), e analisando o equilíbrio e compatibilidade de deslocamentos desse elemento, têm-se quando relaciona-se momentos fletores com curvatura, a expressão da equação diferencial fundamental das placa delgadas: 
		 
onde:
	w = deslocamento vertical;
	x,y= coordenadas de um ponto genérico da placa;
 p = intensidade da carga atuante;
 = rigidez à flexão da placa;
E = módulo da deformação longitudinal do concreto (módulo 
 de Young);
ᵞ = coeficiente de Poisson.
A solução da equação acime,será:
mx = momento por unidade de comprimento na direção x.
my = momento por unidade de comprimento na direção y.
Atuando na placa um momento total Mx na direção X, tem-se: 
Idem na direção Y:
A rigidez à flexão da placa (D) converte curvaturas em momentos.
Nota: Também nas vigas, têm-se a rigidez à flexão, dada por E.I.
	 E = módulo de Young da viga
	 I = momento de inércia da viga
Considerando trecho da laje com dimensões hxb, 
Onde: h = altura (espessura) da placa
 B = largura unitária = 1 metro
Têm-se: 
Que é equivalente à rigidez D da placa, de largura 1 metro e altura h, a menos do fator (1-V²). Assim, verifica-se que a rigidez à flexão da placa é maior que a rigidez à flexão das viga pelo fator para uma mesma largura e altura. 					 	
Como υ varia entre 0,1 à 0,4 dependendo do material, nota-se que a diferença de rigidez da placa e da viga não é tão significativa (quadro abaixo):
	Υ
	0,0
	0,1
	0,2
	0,3
	0,4
	(1-
	1,00
	0,99
	0,96
	0,91
	0,84
	VIGA: E – I
	0,0083
	0,0083
	0,083
	0,083
	0,083
	PLACA: D
	0,083
	0,084
	0,087
	0,092
	0,099
 
ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS
Para a determinação dos esforços e deslocamentos de placas com as cargas em serviço, a partir da equação fundamental, têm-se:
1) Solução analítica do sistema :
 
Essa solução só é possível para pouco casos.
2) Diferenças Finitas (Método Numérico):
 Faz-se a integração numérica da equação diferencial:
 A placa é dividida em uma malha, adaptada ao seu contorno. As derivadas são substituídas por expressões aproximadas, obtidas com emprego de convenientes polinômios de interpolação.
Exemplo: 
Aplica-se para diversos pontos essas expressões, obtendo-se assim, um sistema de equações lineares.
3) Processo dos ELEMENTOS FINITOS ( Método Numérico)
 Divide-se a placa em elementos de dimensões finita conectados por pontos modais, impondo-se nesses nós a compatibilidade de esforços e de deslocamentos.
 Da equação fundamental, exprime-se os deslocamentos W com poli –
nômios cujos coeficientes devem ser determinados.
 Aplicada aos diversos pontos nodais dos elementos, obtem-se um sistema de equação lineares.
4) Processo de GRELHA EQUIVALENTE (ou Analogia de GRELHA): 
 Substitui-se a placa (laje por uma malha equivalente de vigas (grelha
 Equivalente). Usado muito em programa computacionais.
5) UTILIZAÇÃO DE SÉRIES PARA A REPRESENTAÇÃO DO VALOR DE p(x,y) (TABELAS): 
Substitui-se o valor por uma série, geralmente composta por funções trigonométricas. Facilmente, determina-se os momentos fletores máximos e deslocamentos máximos (flechas) a partir da geometria e das condições de contorno (vinculação da borda) da placa.
Assim:
• Discretiza-se o pavimento: cada laje deve ser tratada individualmente, segundo sua vinculação com as demais;
• Considera-se as lajes menores e menos rígidas engastadas nas maiores e mais rígidas.
Alguns estudiosos e pesquisadores no passado, quando não havia os softwares existentes hoje para o cálculo estrutural, formularam tabelas práticas para o cálculo dos momentos fletores, torçores, flechas e reações de apoio para os principais tipos de lajes usados na prática quanto à forma, tipo de carregamento e condições de contorno. Dentre estes se destacam: MARCUS, CZERNY, BARES, ETC.
EXEMPLO:
Dado o pavimento-tipo abaixo:
Discretize o pavimento em placas (lajes) numerando-as, mostrando suas condições de contorno;
calcule a espessura de cada laje;
calcule as cargas por metro quadrado em cada laje;
ache os momentos fletoresem cada laje;
 ache as reações dos apoios de cada laje;
Ache suas flechas;
Dimensione cada laje (ache suas ferragens por metro linear).
Dados: Fck = 25 MPa
	 Sobrecarga: 150 Kgf / m2 (edifício residencial)
	 (pêso específico do concreto estrutural)