Cálculo III 12-2-3

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Aplicadas
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Engenharia Ele´trica
3a Prova - 13/03/2013
Professor E´den Amorim
Arte integral em campos vetoriais no plano
1. (Divergente)
(a) (3pts) Considere o campo
−→
F (x, y) = (x
3
3
, y
3
3
− y). Descreva os conjuntos dos pontos onde seu
divergente e´ nulo, positivo e negativo.
(b) (1pt) Deˆ exemplo de campo vetorial (na˜o constante) com divergente identicamente nulo.
2. (Colisa˜o de part´ıculas)
Considere duas part´ıculas p e q em movimento sobre superf´ıcie plana, cujas posic¸o˜es sa˜o descritas
en func¸a˜o do tempo pelas func¸o˜es vetoriais
−→p (t) = (3 sen t, 3 cos t) e −→q (t) = (−3 + cos t, 1 + sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi
respectivamente.
(a) (2pts) Esboce a trajeto´ria das part´ıculas, evidenciando o sentido do movimento.
(b) (2pts) Encontre a velocidade (vetorial) de cada part´ıcula, em func¸a˜o do tempo.
(c) (4pts) Encontre os pontos onde as trajeto´rias se encontram1. Em algum desses pontos de
encontro ha´ colisa˜o entre as part´ıculas, ou seja, elas se encontram no mesmo instante? Explicite
as contas que levam a` sua conclusa˜o.
3. (Integrais de linha no plano)
Ca´lcule as integrais abaixo, da forma que julgar mais conveniente.
(a) (4pts)
∮
C
−→
F · −→T ds, onde −→F (x, y) = (y, x) e C : x2 + (y − 17)2 = 145.
(b) (5pts)
∮
C
−→
F · −→T ds, onde −→F (x, y) = (xe−2x, x3 + 2x2y2) e C e´ o bordo da regia˜o limitada entre
os c´ırculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
(c) (5pts)
∮
C
−→
F · −→N ds, onde −→F (x, y) = (x
y
, y
x
) e C e´ a fronteira do quadrado [1, 2]× [1, 2].
(d) (4pts)
∫
C
−→
F · −→Tds, para −→F (x, y) = ∇(4x2−3y2
exy
) e C o arco de para´bola −→r (t) = (t, t2), 0 ≤ t ≤ 5.
1Dica: 272 = 729 ;)