Ciclo Trigonométrico (Redução ao Primeiro Quadrante)

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Instituto Promath
Prof. Eliakim
Matema´tica
20 de Agosto de 2018
Ciclo Trigonome´trico
Conhecendo os valores de sin (x) e cos (x), para x ∈ [0, pi2 ], podemos determinar seus valores para todo
x ∈ R, utilizando a figura a seguir, e a u´nica mudanc¸a que ocorrera´ sera´ no sinal.
Figura 1: arcos nota´veis
Exemplos. Vejamos alguns casos.
01. Se quisermos determinar o valor das func¸o˜es trigonome´tricas seno e cosseno de 5pi6 , devemos encontrar o
arco correspondente no primeiro quadrante. Note que 5pi6 corresponde a
pi
6 , e agora so´ precisamos descobrir
o sinal das func¸o˜es no segundo quadrante. Para x ∈ [pi2 , pi], temos sin (x) ≥ 0 e cos (x) ≤ 0, logo
sin
(
5pi
6
)
= sin
(pi
6
)
=
1
2
e
cos
(
5pi
6
)
= − cos
(pi
6
)
= −
√
3
2
.
02. Considere agora x = 5pi4 no terceiro quadrante, e observe que seu correspondente no primeiro quadrante e´
pi
4 . Enta˜o
sin
(
5pi
4
)
= − sin
(pi
4
)
= −
√
2
2
e
cos
(
5pi
4
)
= − cos
(pi
4
)
= −
√
2
2
.
1
Exerc´ıcios
01. Determine sin (x) e cos (x) para cada item.
(a) x = 7pi6 .
(b) x = 5pi3 .
(c) x = 4pi3 .
(d) x = 11pi6 .
02. Sabendo que a tangente de um nu´mero real x, tal que cos (x) 6= 0, e´ definida por
tan (x) =
sin (x)
cos (x)
,
determine a tangente de cada valor do exerc´ıcio 01.
03. Sabendo que a secante de um nu´mero real x, tal que cos (x) 6= 0, e´ definida por
sec (x) =
1
cos (x)
,
determine a secante de cada valor do exerc´ıcio 01.
04. Sabendo que a cossecante de um nu´mero real x, tal que sin (x) 6= 0, e´ definida por
csc (x) =
1
sin (x)
,
determine a cossecante de cada valor do exerc´ıcio 01.
05. Sabendo que a cotangente de um nu´mero real x, tal que sin (x) 6= 0, e´ definida por
cot(x) =
cos (x)
sin (x)
,
determine a cotangente de cada valor do exerc´ıcio 01.
2