Aula_Erros_Propagação_de_Erros

Prévia do material em texto

Teoria de Erros em 
Medidas Experimentais 
• Todas as grandezas físicas, resultados de 
medições, estão afetadas por alguma incerteza 
(de várias naturezas), que se convencionou 
chamar de erro, desvio ou imprecisão da medida. 
 
• No contexto da teoria de erros, a palavra “erro” 
não significa um resultado incorreto. 
Natureza e Tipos de Erros 
1) Erros grosseiros: Não é o tipo de erro considerado na teoria de 
erros! Erros grosseiros são os associados à inabilidade ou distração: 
enganos que ocorrem eventualmente na medida ou equívocos na 
realização dos cálculos. Devem ser evitados ao máximo, repetindo-
se as medidas e conferindo-se cuidadosamente os cálculos e 
procedimentos... 
 
Exemplos de erros grosseiros: 
 
• Barra tem comprimento 47,4cm: observador faz a leitura e 
erroneamente anota 37,4 cm; 
• No cálculo da área do retângulo, considerar erroneamente que 
 Área = 2 a b 
 
a 
b 
2) Erros sistemáticos: erros que desviam o resultado sempre no mesmo 
sentido: sistematicamente para mais ou para menos do valor real. 
 
Exemplos: 
1 – Má calibração do instrumento utilizado (Ex: medida de tempo feita com um relógio que atrasa) 
2 – Simplificações do modelo teórico utilizado (Ex: não incluir o efeito da resistência do ar numa 
medida da aceleração da gravidade baseada na medida do tempo de queda livre de um objeto) 
3 – Paralaxe: As leituras podem ser sempre sistematicamente maiores se o instrumento de medida 
(ponteiro e escala) não estiver perpendicularmente a frente do observador. 
4 – Erros sistemáticos ambientais: fatores como temperatura, pressão ou campo magnético 
terrestre podem induzir erros sistemáticos nos resultados de uma medida. 
 
Erros sistemáticos não podem ser reduzidos pela repetição de medidas. 
Identificar e eliminar o maior número possível de fontes de erro sistemático 
é uma das principais tarefas do idealizador ou realizador de medidas! 
Para reduzir e evitar os diversos erros sistemáticos: 
• Sempre que a calibração de um aparelho for suspeita, deve-se aferí-lo com um padrão ou 
substituí-lo por outro; 
• Utilizar modelos físicos, fórmulas e valores para as constantes suficientemente exatos para o 
fenômeno em questão; 
• Ter bom conhecimento e controle das condições ambientais; 
• Seguir os procedimentos corretos para uso dos instrumentos. 
Natureza e Tipos de Erros 
3) Erros Aleatórios: São flutuações, para cima ou para baixo, 
aleatoriamente, da medida de uma grandeza física. São inerentes 
ao processo de medida. 
 Podem ser tratados quantitativamente através de métodos 
estatísticos (é destes erros que vamos tratar a seguir!) e podem ser 
reduzidos pela repetição das medidas. 
 Os erros aleatórios se distribuem em torno do valor médio da 
grandeza, obedecendo em geral a uma distribuição Gaussiana. 
 
 
Natureza e Tipos de Erros 
Tratamento Estatístico de Medidas 
com Erros Aleatórios 
Valor Médio: 
Tratamento Estatístico de Medidas 
com Erros Aleatórios 
Desvio Padrão: 
xi 
Tratamento Estatístico de Medidas 
com Erros Aleatórios 
Erro Padrão (ou Desvio Padrão da Média): 
Observem que o erro padrão diminui com a raiz quadrada do número N 
de medidas realizadas. Portanto, realizar mais medidas melhora a 
determinação do valor médio como estimador da grandeza que se deseja 
conhecer. Entretanto, para reduzir o erro padrão da média por um fator 3 
é necessário aumentar o número de medidas por um fator 9. 
Distribuição Gaussiana 
Algarismos Significativos 
 É convenção escrever as grandezas físicas apenas até o algarismo 
duvidoso (sobre o qual incide o erro). Os algarismos corretos e o 
algarismo duvidoso são chamados algarismos significativos). 
 As regras para expressar corretamente uma grandeza são: 
 
1) Os erros devem ser dados sempre com apenas um algarismo 
significativo! 
 
2) Depois de determinar o erro, o número de algarismos significativos 
de uma medida deve ser limitado de tal forma que o erro afete o 
último algarismo significativo. 
 
 Exemplo: Se o valor médio de uma medida de tempo é 7,3215 s, e 
o erro associado é de 0,0231 s, a forma correta de indicar esse 
tempo (de acordo com as duas regras acima) é: t = 7,32 ± 0,02 s 
 
obs: com calculadoras eletrônicas o correto é fazer as contas com todos os 
significativos e eliminar apenas no resultado final os algarismos não-
significativos 
 
Exercício 1 
 Num experimento foi utilizado um paquímetro para medir o 
diâmetro de um cilindro metálico. A medida foi feita em seis 
diferentes posições ao longo do cilindro e encontraram-se os 
valores indicados na tabela ao lado, em milímetros. Obtenha 
o diâmetro médio com o respectivo erro padrão. 
 
Calculando Desvio Padrão na Calculadora 
Científica 
 
1) Shift – Clear : Limpar Memória 
 
2) Mode 2 (coloca no modo estatístico: SD) 
 
3) Entrar Dados (clicar M+ após cada um) 
 
4) Para calcular Média: Shift S-var 1 = 
 Para calcular Desvio Padrão: Shift S-var 3 = 
 
Exercício 1 
 Num experimento foi utilizado um paquímetro para medir o 
diâmetro de um cilindro metálico. A medida foi feita em seis 
diferentes posições ao longo do cilindro e encontraram-se os 
valores indicados na tabela ao lado, em milímetros. Obtenha 
o diâmetro médio com o respectivo erro padrão. 
 
Propagação de erros 
• Em muitos experimentos, a medição de uma grandeza de 
interesse é feita de maneira indireta, a partir de medidas de 
grandezas primárias. Um exemplo é o cálculo da densidade 
de um objeto, no qual se mede a massa e o volume do corpo 
(grandezas primárias), cada uma com seu erro padrão, para 
então a partir destas se determinar a densidade. 
 
 
 
Propagação de erros 
• Considere que se realizaram medidas experimentais de 3 
grandezas primárias: x, y e z, cada uma com seu respectivo 
erro padrão: 
 
 
• Se queremos determinar uma outra grandeza f a partir destas 
três: f = f (x,y,z) , qual será o erro f associado a f ?? 
 
• Fazendo um desenvolvimento matemático apropriado, temos 
uma expressão para o cálculo do erro padrão da grandeza f: 
 
 
Propagação de erros – Casos Particulares 
 
 
Caso Geral: 
 f = f (x,y) 
 
Casos Particulares: 
 
• Soma: 
 
 
• Subtração: 
Propagação de erros – Casos Particulares 
 
 
Caso Geral: 
 f = f (x,y) 
 
Casos Particulares: 
 
• Multiplicação: 
 
 
 
• Divisão: 
Propagação de erros – Casos Particulares 
 
 
Caso Geral: 
 f = f (x,y) 
 
Casos Particulares: 
 
• Função de uma única variável : 
 
 
Exercício 2 
 Se você sabe que uma circunferência tem 
raio r = 10,05 ± 0,05 cm , determine a área 
desta circunferência com o respectivo erro. 
Exercício 2 
 Se você sabe que uma circunferência tem 
raio r = 10,05 ± 0,05 cm , determine a área 
desta circunferência com o respectivo erro. 
Área: A = 317 ± 3 cm²