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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1
Aula 7 – Parte 1
Problemas do 1º grau........................................................................................................................................ 2
Relação das questões comentadas ................................................................................................................. 49
Gabarito........................................................................................................................................................... 58
 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
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Olá pessoal! 
Esta é, em minha opinião, a aula mais importante do curso. Aprenderemos a resolver os 
chamados “problemas do 1º grau”. São problemas contextualizados cuja solução decai em uma 
equação ou um sistema de equações do 1º grau. 
O maior problema encontrado pelos alunos não é o ato de resolver a equação propriamente dita. 
O maior problema é interpretar o problema e escrevê-lo na linguagem matemática. Assim, durante 
a resolução dos problemas, darei algumas dicas para que você tenha um pouco mais de facilidade 
neste processo de transformar um texto em uma equação. 
Algumas questões englobarão também assuntos gerais de matemática como proporcionalidade, 
porcentagens, regra de três, MMC, MDC e conjuntos numéricos. 
Problemas do 1º grau
01. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real ݔ e faça com ele as 
seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida some 1, multiplique por 3 e 
subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de ݔ está entre: 
a) 30 e 35 
b) 35 e 40 
c) 40 e 45 
d) 45 e 50 
e) 50 e 55 
Resolução 
Considere um número real ݔ. 
Multiplicando-o por 2, obtemos 2 · ݔ. 
Somando 1 ao resultado, obtemos 2 · ݔ ൅ 1. 
Em seguida, multiplicamos o resultado por 3. Assim, tem-se 3 · ሺ2 · ݔ ൅ 1ሻ. 
Finalmente subtrai-se 5 e obtemos: 3 · ሺ2 · ݔ ൅ 1ሻ െ 5. 
Este resultado é igual a 220. 
3 · ሺ2 · ݔ ൅ 1ሻ െ 5 ൌ 220
Vamos aplicar a propriedade distributiva. 
6 · ݔ ൅ 3 െ 5 ൌ 220
6ݔ െ 2 ൌ 220
6ݔ ൌ 220 ൅ 2
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6ݔ ൌ 222 ֞ ݔ ൌ
222
6
ൌ 37
Letra B 
02. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real ݔ e faça com ele as 
seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, em seguida divida por 3, 
multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, o valor de ݔ é: 
a) um número múltiplo de 7. 
b) um número entre 30 e 40. 
c) um número par. 
d) um número cuja soma dos dígitos é 10. 
e) um número primo. 
Resolução 
Multiplicando o número ݔ obtemos 4 · ݔ. 
Em seguida some 31 ՜ 4 · ݔ ൅ 31.
Depois divida por 3 ՜ ସ௫ାଷଵ
ଷ
Multiplique por 5 ՜ 5 · ቀସ௫ାଷଵ
ଷ
ቁ
Subtraia 23 ՜ 5 · ቀସ௫ାଷଵ
ଷ
ቁ െ 23
O resultado é igual a 222. 
5 · ൬
4ݔ ൅ 31
3
൰ െ 23 ൌ 222 ֞ 5 · ൬
4ݔ ൅ 31
3
൰ ൌ 222 ൅ 23
5 · ൬
4ݔ ൅ 31
3
൰ ൌ 245 ֞
4ݔ ൅ 31
3
ൌ
245
5
4ݔ ൅ 31
3
ൌ 49 ֞ 4ݔ ൅ 31 ൌ 3 · 49
4ݔ ൅ 31 ൌ 147 ֞ 4ݔ ൌ 147 െ 31
4ݔ ൌ 116 ֞ ݔ ൌ
116
Como o número 29 é primo (número primo é aquele que possui apenas dois divisores naturais). 
4
ൌ 29
Letra E 
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03. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema 
൜
0,3ݔ ൅ 1,2ݕ ൌ 2,4
0,5ݔ െ 0,8ݕ ൌ െ0,9
O valor de ݔ é: 
a) 1 
b) -1 
c) 0 
d) 2 
e) 2/3 
Resolução 
Para deixar o sistema um pouco mais “limpo”, podemos multiplicar as duas equações por 
10 com o intuito de eliminar as casas decimais. 
൜
0,3ݔ ൅ 1,2ݕ ൌ 2,4 · ሺ10ሻ
0,5ݔ െ 0,8ݕ ൌ െ0,9 · ሺ10ሻ
൜
3ݔ ൅ 12ݕ ൌ 24
Olhemos para a primeira equação: 
5ݔ െ 8ݕ ൌ െ9
3ݔ ൅ 12ݕ ൌ 24
Podemos, para simplificar, dividir ambos os membros da equação por 3. 
ݔ ൅ 4ݕ ൌ 8
ݔ ൌ 8 െ 4ݕ
Vamos substituir esta expressão na segunda equação. Ou seja, trocaremos ݔ por 8 െ 4ݕ.
5ݔ െ 8ݕ ൌ െ9
5 · ሺ8 െ 4ݕሻ െ 8ݕ ൌ െ9
40 െ 20ݕ െ 8ݕ ൌ െ9
െ28ݕ ൌ െ9 െ 40
Multiplicando os dois membros da equação por 
െ28ݕ ൌ െ49
ሺെ1ሻ:
28ݕ ൌ 49 ֞ ݕ ൌ
49
28
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Vamos simplificar esta fração por 7. Para simplificar, devemos dividir o numerador e o 
denominador por 7. 
ݕ ൌ
49/7
28/7
ൌ
7
4
Como ݔ ൌ 8 െ 4ݕ: 
ݔ ൌ 8 െ 4 ·
7
4
ൌ 8 െ 7 ൌ 1
Letra A 
04. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma praça e 
pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu 
tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 
6,00”. O número de mendigos era, portanto: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
Resolução 
Digamos que o homem caridoso possua ݔ reais e que existam ݉ mendigos. 
Vejamos a primeira situação. “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00.” 
O homem entrega 5 reais para cada um dos ݉ mendigos. Portanto, ele gastou 5݉ reais. Ele ainda 
ficou com 3 reais. Desta forma, a quantia que o homem possui é igual a 5݉ ൅ 3 ݎ݁ܽ݅ݏ.
ݔ ൌ 5݉ ൅ 3
“Se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 
6,00.” 
O homem possui ݔ reais. Se ele tivesse mais R$ 5,00, então ele teria ݔ ൅ 5 reais. Esta quantia 
daria para entregar exatamente 6 reais para cada um dos ݉ mendigos. 
ݔ ൅ 5 ൌ 6݉
ݔ ൌ 6݉ െ 5
Ora, se ݔ ൌ 5݉ ൅ 3 e ݔ ൌ 6݉ െ 5, então 5݉ ൅ 3 ൌ 6݉ െ 5
5݉ ൅ 3 ൌ 6݉ െ 5
5݉ െ 6݉ ൌ െ5 െ 3
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െ݉ ൌ െ8
׵ ݉ ൌ 8
São 8 mendigos. 
Letra D 
05. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a metade da idade 
de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Se a 
soma das idades dos três é 100 anos hoje, calcule quantos anos o pai de João é mais 
velho que sua mãe. 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 13 
e) 15 
Resolução 
Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas 
envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z... Pois ao terminar a questão você 
terá que procurar quem é x,y,z... 
Por exemplo: a idade de João é J, a idade da mãe é M e a idade do pai é P. 
Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Assim, ܬ ൌ ெ
ଶ
. Assim, ܯ ൌ 2 · ܬ. 
Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. 
Ora, há quatros anos, João tinha (J – 4) anos e o seu pai tinha (P – 4) anos. A idade João era a 
terça parte da idade de seu pai. 
ࡵࢊࢇࢊࢋ ࢊࢋ ࡶ࢕ã࢕ ൌ 
ࡵࢊࢇࢊࢋ ࢊ࢕ ࢖ࢇ࢏
૜
ࡶ െ ૝ ൌ
ࡼ െ ૝
૜
ࡼ െ ૝ ൌ ૜ · ሺࡶ െ ૝ሻ
ࡼ െ ૝ ൌ ૜ · ࡶ െ ૚૛
ࡼ ൌ ૜ · ࡶ െ ૚૛ ൅ ૝
ࡼ ൌ ૜ · ࡶ െ ૡ
A soma das idades dos três é 100 anos hoje. 
ࡶ ൅ ࡹ ൅ ࡼ ൌ ૚૙૙
ࡶ ൅ ૛ · ࡶ ൅ ૜ · ࡶ െ ૡ ൌ ૚૙૙
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૟ · ࡶ ൌ ૚૙ૡ
ࡶ ൌ ૚ૡ
Assim, a mãe de João tem ࡹ ൌ ૛ · ࡶ ൌ ૜૟. 
O pai de João tem ࡼ ൌ ૜ · ࡶ െ ૡ ൌ ૜ · ૚ૡ െ ૡ ൌ ૝૟.
O pai de João é 10 anos mais velho do que a sua mãe. 
Letra B 
06. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois irmãos é de 
três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o terceiro e assim foi 
acontecendo até seformar uma família com cinco irmãos. Sabendo-se que, hoje, a idade 
do último irmão que nasceu é a metade da idade do primeiro irmão nascido, é correto 
afirmar que, hoje, o irmão mais velho está com idade igual a 
a) 18 anos. 
b) 20 anos. 
c) 22 anos. 
d) 24 anos. 
e) 26 anos. 
Resolução 
Considere que o irmão mais novo tem ݔ anos. Portanto, as idades dos outros irmãos são iguais a 
ݔ ൅ 3, ݔ ൅ 6, ݔ ൅ 9 ݁ ݔ ൅ 12. 
A idade do irmão mais novo é a metade da idade do irmão mais velho. 
ܫ݀ܽ݀݁ ݀݋ ݅ݎ݉ã݋ ݉ܽ݅ݏ ݊݋ݒ݋ ൌ
ܫ݀ܽ݀݁ ݀݋ ݅ݎ݉ã݋ ݉ܽ݅ݏ ݒ݈݄݁݋
2
ݔ ൌ
ݔ ൅ 12
2
2ݔ ൌ ݔ ൅ 12
ݔ ൌ 12
Assim, as idades dos irmãos são 12, 15, 18, 21, 24. 
O irmão mais velho está com 24 anos. 
Letra D 
07. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 o triplo da 
idade que tinha em 1994. Essa pessoa tem hoje: 
a) 22 anos. 
b) 23 anos. 
c) 24 anos. 
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d) 25 anos. 
e) 26 anos. 
Resolução 
Prestemos atenção ao fato de que a prova foi realizada no ano de 2009. Digamos que a pessoa 
tenha ݔ anos em 2009. Dessa maneira, terá ݔ ൅ 3 anos em 2012 e ݔ െ 15 anos em 1994. Isso 
porque 2012 – 2009 = 3 e 2009 – 1994 = 15. 
Ano 1994 2009 2012 
Idade ݔ െ 15 ݔ ݔ ൅ 3
A idade da pessoa em 2012 é o triplo da idade da mesma pessoa em 1994. 
ܫ݀ܽ݀݁ ݀ܽ ݌݁ݏݏ݋ܽ ݁݉ 2012 ൌ 3 · ሺܫ݀ܽ݀݁ ݀ܽ ݌݁ݏݏ݋ܽ ݁݉ 1994ሻ
ݔ ൅ 3 ൌ 3 · ሺݔ െ 15ሻ
ݔ ൅ 3 ൌ 3ݔ െ 45
ݔ െ 3ݔ ൌ െ45 െ 3
െ2ݔ ൌ െ48
ݔ ൌ 24 ܽ݊݋ݏ
Letra C 
08. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, 
dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira 
correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que 
representa uma dessas quantidades é o: 
a) 8 
b) 12 
c) 18 
d) 22 
e) 24 
Resolução 
Se o primeiro número par for ݔ,então os próximos números pares sucessivos serão ݔ ൅ 2, ݔ ൅
4 ݁ ݔ ൅ 6. A soma destes 4 números deve ser igual a 68. 
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ݔ ൅ ݔ ൅ 2 ൅ ݔ ൅ 4 ൅ ݔ ൅ 6 ൌ 68
4ݔ ൅ 12 ൌ 68
4ݔ ൌ 56 ֞ ݔ ൌ 14
Desta maneira, se na primeira prateleira há 14 pacotes, nas outras prateleiras haverá 16, 18 e 20 
pacotes. 
Letra C 
09. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e consecutivos têm por 
soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um quociente igual a: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
Resolução 
Seja x o primeiro número par. Os próximos números pares serão x+2 e x+4. A soma dos 
três é igual a 90. Assim, 
࢞ ൅ ࢞ ൅ ૛ ൅ ࢞ ൅ ૝ ൌ ૢ૙ 
૜ · ࢞ ൅ ૟ ൌ ૢ૙ 
૜ · ࢞ ൌ ૡ૝ 
࢞ ൌ ૛ૡ
O quociente da divisão de 28 por 7 é igual a 4. 
Letra C 
010. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se 
apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. 
Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 
horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em 
quanto tempo o tanque encherá? 
a) 12 horas 
b) 30 horas 
c) 20 horas 
d) 24 horas 
e) 16 horas 
Resolução 
Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e tempo. A 
tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de tempo. 
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A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso dividir o 
tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. 
Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora. 
A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso dividir o 
tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Como o tanque foi 
dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do tanque. Ou seja, a segunda torneira 
enche 1/48 do tanque em 1 hora. 
Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda torneira em 1 
hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão: 
1
24
൅
1
48
ൌ
2 ൅ 1
48
ൌ
3
48
ൌ
1
16
Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em ݔ horas, em 1 
hora encherão 1/x. 
Assim: 
1
ݔ
ൌ
1
16
ݔ ൌ 16 ݄݋ݎܽݏ.
O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira
enche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas.
Cada parte representa
ଵ
ଶସ
do tanque.
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Letra E 
Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo? 
Considere que um objeto execute um serviço em ܽ horas, outro objeto execute um serviço 
o mesmo serviço em ܾ horas, outro objeto execute o mesmo serviço em ܿ horas e assim 
por diante. Considere ainda que juntos, os objetos executem o serviço em ݔ horas. Temos 
a seguinte relação: 
1
ܽ
൅
1
ܾ
൅ ڮ ൌ
1
ݔ
No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda torneira 
enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em ݔ ݄݋ݎܽݏ.
1
24
൅
1
48
ൌ
1
ݔ
2 ൅ 1
48
ൌ
1
ݔ
֞
3
48
ൌ
1
ݔ
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
3 · ݔ ൌ 1 · 48
ݔ ൌ
48
3
ൌ 16 ݄݋ݎܽݏ.
011. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram 
incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa 
tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de 
tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a 
tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o 
esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em 
a) 6 horas e 30 minutos. 
b) 7 horas e 30 minutos. 
c) 6 horas. 
d) 7 horas. 
e) 8 horas. 
Resolução 
Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha em ݃ horas. 
Juntos, executariam o serviço em 3 horas. 
1
5
൅
1
݃
ൌ
1
3
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1
݃
ൌ
1
3
െ
1
5
֞
1
݃
ൌ
5 െ 3
15
1
݃
ൌ
2
15
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
2 · ݃ ൌ 1 · 15
ݔ ൌ
15
2
ൌ 7,5 ݄݋ݎܽݏ ൌ 7 ݄݋ݎܽݏ ݁ 30 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ
Letra B 
012. (ANEEL 2004/ESAF) Para ݔ ് 5, a simplificação da expressão 
10ݔ െ 50
25 െ 5ݔ
é dada por: 
a) െ2
b) 2
c) െ5
d) 5 
e) 25
Resolução 
Vejamos o numerador: 
10ݔ െ 50 ൌ 10 · ሺݔ െ 5ሻ
Vejamos o denominador: 
25 െ 5ݔ ൌ 5 · ሺ5 െ ݔሻ ൌ െ5 · ሺݔ െ 5ሻ
Desta forma: 
10ݔ െ 50
25 െ 5ݔ
ൌ
10 · ሺݔ െ 5ሻ
െ5 · ሺݔ െ 5ሻ
Como ݔ ് 5, podemos cortar os fatores ሺݔ െ 5ሻ.
10ݔ െ 50
25 െ 5ݔ
ൌ
10 · ሺݔ െ 5ሻ
െ5 · ሺݔ െ 5ሻ
ൌ
10
െ5
ൌ െ2
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Dê uma olhada nas alternativas. A resposta não depende do valor de x. Portanto, 
podemos escolher um valor arbitrário para x. Vamos, por exemplo, substituir x por 1. 
10ݔ െ 50
25 െ 5ݔ
ൌ
10 · 1 െ 50
25 െ 5 · 1
ൌ
10 െ 50
25 െ 5
ൌ
െ40
20
ൌ െ2
Bem melhor, não? 
Letra A 
013. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio tantos 
reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos 
possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia que Carlos tinha inicialmente erade: 
a) 12 reais 
b) 15 reais 
c) 18 reais 
d) 20 reais 
e) 24 reais 
Resolução 
Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas 
envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z... 
No nosso caso, Carlos tem ࢉ reais e Márcio tem ࢓ reais. 
1ª informação: Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui. 
Já que Márcio possui ݉ reais, Carlos dará ݉ reais para Márcio. Vejamos o que acontece com as 
quantias de cada um: 
 Carlos Márcio 
Início ࢉ ࢓
Carlos dá ࢓ reais para 
Márcio 
ࢉ െ ࢓ ࢓ ൅ ࢓ ൌ ૛࢓
É óbvio notar que se Carlos dá ݉ reais para Márcio, então Carlos perde ݉ reais e Márcio ganha 
݉ ݎ݁ܽ݅ݏ.
1ª informação: Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. 
Atualmente, Carlos possui ሺܿ െ ݉ሻ ݎ݁ܽ݅ݏ. Portanto, Márcio dará a Carlos ሺܿ െ ݉ሻ ݎ݁ܽ݅ݏ.
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 Carlos Márcio 
Início ࢉ ࢓
Carlos dá 
reais para 
࢓
Márcio 
ࢉ െ ࢓ ࢓ ൅ ࢓ ൌ ૛࢓
Márcio dá 
(ࢉ െ ࢓ሻ reais a 
Carlos 
ࢉ െ ࢓ ൅ ሺࢉ െ ࢓ሻ ൌ ૛ࢉ െ ૛࢓ ૛࢓ െ ሺࢉ െ ࢓ሻ ൌ ૜࢓ െ ࢉ
As duas quantias são iguais a 16 reais. 
ቄ2ܿ െ 2݉ ൌ 16
Olhemos para a primeira equação: 
3݉ െ ܿ ൌ 16
2ܿ െ 2݉ ൌ 16
Podemos dividir os dois membros da equação por 2. 
ܿ െ ݉ ൌ 8
ܿ ൌ ݉ ൅ 8
Vamos substituir esta expressão na segunda equação. 
3݉ െ ܿ ൌ 16
3݉ െ ሺ݉ ൅ 8ሻ ൌ 16
3݉ െ ݉ െ 8 ൌ 16
2݉ ൌ 16 ൅ 8 ֞ 2݉ ൌ 24 ֞ ݉ ൌ 12
Como ܿ ൌ ݉ ൅ 8: 
ܿ ൌ 12 ൅ 8 ൌ 20 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Letra D 
014. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, 
redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro 
suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia 
o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o 
mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que 
possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia 
total que as três meninas possuem juntas é igual a: 
a) R$ 214,00 
b) R$ 252,00 
c) R$ 278,00 
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d) R$ 282,00 
e) R$ 296,00 
Resolução 
Vamos montar uma tabela com a evolução da quantia que cada pessoa possui. 
 Alice Bela Cátia 
Início ܽ ܾ 36
Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. 
Para que Bela duplique sua quantia, ela deve receber ܾ reais. Para que Cátia duplique sua 
quantia, ela deve receber 36 reais. 
Alice Bela Cátia 
ܽ ܾ 36
ܽ െ ܾ െ 36 ܾ ൅ ܾ ൌ 2ܾ 36 ൅ 36 ൌ 72
Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. 
Para que Alice duplique sua quantia, ela deve receber ܽ െ ܾ െ 36. Para que Cátia duplique a sua 
quantia, ela deve receber 72 reais. 
Alice Bela Cátia 
2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ 2ܾ െ ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ െ 72 2 · 72 ൌ 144
Manipulando a expressão da quantia de Bela: 
Alice Bela Cátia 
2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ 3ܾ െ ܽ െ 36 2 · 72 ൌ 144
Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia 
que possui. 
Para que Alice duplique a sua quantia, ela deve receber 2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ. Para que Bela duplique a 
sua quantia, ela deve receber 3ܾ െ ܽ െ 36.
Cátia possuía 144 reais. Como deu 2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ para Alice e 3ܾ െ ܽ െ 36 para Bela, então ficou 
com: 
144 െ 2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ– ሺ3ܾ െ ܽ െ 36ሻ
No final, Cátia ficou com 36 reais. Portanto, 
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144 െ 2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ– ሺ3ܾ െ ܽ െ 36ሻ ൌ 36
144 െ 2ܽ ൅ 2ܾ ൅ 72 െ 3ܾ ൅ ܽ ൅ 36 ൌ 36
െܽ െ ܾ ൌ െ216
Multiplicando os dois membros por ሺെ1ሻ: 
ܽ ൅ ܾ ൌ 216
A quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: 
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ 216 ൅ 36 ൌ 252
Letra B 
015. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro 
que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, 
se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Quanto de 
dinheiro possui Rui? 
a) R$ 42,00 
b) R$ 31,00 
c) R$ 25,00 
d) R$ 28,00 
e) R$ 47,00 
Resolução 
Vamos assumir que Rui possui ݎ reais e que Pedro possui ݌ reais. 
“Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao 
dobro do que lhe restará.” 
Se Pedro der 1/5 do seu dinheiro, ficará com 4/5 da sua quantia. 
Ou seja, se Pedro possuía ݌ ݎ݁ܽ݅ݏ, ficará com ସ
ହ
· ݌. 
Rui receberá 1/5 da quantia de Pedro. Como Rui possuía ݎ ݎ݁ܽ݅ݏ, ficará com ݎ ൅ ଵ
ହ
· ݌. 
Sabemos que a quantia que Rui fica é o dobro da quantia de Pedro. 
ݎ ൅
1
5
· ݌ ൌ 2 ·
4
5
· ݌
ݎ ൅
1
5
· ݌ ൌ
8
5
· ݌
ݎ ൌ
8
5
· ݌ െ
1
5
· ݌
ݎ ൌ
7
5
· ݌
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5ݎ ൌ 7݌
Rui diz a Pedro: 
“Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais.” 
Pedro ficará com ݌ ൅ 6 reais e Rui ficará com ݎ െ 6 reais. Estas duas quantias devem ser iguais. 
݌ ൅ 6 ൌ ݎ െ 6
݌ ൌ ݎ െ 12
Substituindo esta expressão na equação obtida acima: 
5ݎ ൌ 7݌
5ݎ ൌ 7 · ሺݎ െ 12ሻ
5ݎ ൌ 7ݎ െ 84
െ2ݎ ൌ െ84 ֞ 2ݎ ൌ 84 ֞ ݎ ൌ 42 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Letra A 
016. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram um 
barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. 
Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. Então Carlos pagou: 
a) R$150,00 
b) R$200,00 
c) R$250,00 
d) R$300,00 
e) R$350,00 
Resolução 
Vamos utilizar as letras ܽ, ܾ, ܿ para indicar as quantias pagas por Antônio, Bruno e Carlos, 
respectivamente. 
1ª informação ՜ Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. 
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ 600
2ª informação ՜ Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. 
ܽ ൌ
ܾ ൅ ܿ
2
֞ ࢈ ൅ ࢉ ൌ ૛ࢇ
3ª informação ՜ Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. 
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ܾ ൌ
ܽ ൅ ܿ
3
֞ ܽ ൅ ܿ ൌ 3ܾ
Voltemos à primeira equação: 
ܽ ൅ ࢈ ൅ ࢉ ൌ 600
Sabemos que ࢈ ൅ ࢉ ൌ ૛ࢇ. Portanto, 
ܽ ൅ ૛ࢇ ൌ 600
3ܽ ൌ 600
ܽ ൌ 200
Vamos utilizar o mesmo artifício com a terceira informação. 
Sabemos que ࢇ ൅ ࢉ ൌ ૜࢈ e que ࢇ ൅ ܾ ൅ ࢉ ൌ 600. 
ܾ ൅ ૜࢈ ൌ 600
4ܾ ൌ 600
ܾ ൌ 150
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ 600
200 ൅ 150 ൅ ܿ ൌ 600
350 ൅ ܿ ൌ 600
ܿ ൌ 250
Letra C 
017. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo há 
um número escondido. 
Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos quadradinhos 
sombreados. 
 16 21 11 
O número que está no primeiro quadradinho é: 
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a) 3 
b) 5 
c) 8 
d) 11 
e) 13 
Resolução 
Chamemos o número escondido no primeiro quadrado de ݔ, o segundo número de ݕ e o terceiro 
de ݖ. 
ݔ ݕ ݖ
Concluímos que: 
ݔ ൅ ݕ ൌ 16ݔ ൅ ݖ ൌ 21
ݕ ൅ ݖ ൌ 11
Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um sistema com 3 
incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas das três incógnitas. O processo 
mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: 
i) Escolha a incógnita que você quer calcular. 
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você. 
iii) Some as três equações. 
Como queremos calcular o número do primeiro quadradinho, então a incógnita escolhida é ݔ. 
A equação que não aparece o ݔ é a terceira. Portanto, vamos multiplicar os dois membros da 
terceira equação por -1. 
ݔ ൅ ݕ ൌ 16
ݔ ൅ ݖ ൌ 21
െݕ െ ݖ ൌ െ11
Ao somar as três equações, ݕ ݁ ݖ serão cancelados. 
Ficamos com: 
ݔ ൅ ݔ ൌ 16 ൅ 21 െ 11
2ݔ ൌ 26
ݔ ൌ 13
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Letra E 
018. (Assistente Administrativo – SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y e Z, 
trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural. Considere que, em certo 
período, a soma dos comprimentos dos dutos montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 
8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O comprimento dos dutos montados pela equipe 
(A) X foi 4 200 m. 
(B) X foi 4 500 m. 
(C) Y foi 3 500 m. 
(D) Y foi 3 900 m. 
(E) Z foi 5 000 m. 
Resolução 
De acordo com o enunciado temos: 
ݔ ൅ ݕ ൌ 8,2 
ݕ ൅ ݖ ൌ 8,9 
ݔ ൅ ݖ ൌ 9,7
O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: 
i) Escolha a incógnita que você quer calcular. 
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você. 
iii) Some as três equações. 
Vamos multiplicar a última equação por ሺെ1ሻ.
ݔ ൅ ݕ ൌ 8,2 
ݕ ൅ ݖ ൌ 8,9 
െݔ െ ݖ ൌ െ9,7
o somar as três equações, ݔ ݁ ݖ serão cancelados. 
Ficamos com: 
ݕ ൅ ݕ ൌ 8,2 ൅ 8,9 െ 9,7
2ݕ ൌ 7,4
ݕ ൌ 3,7
Substituindo este valor na primeira equação: 
ݔ ൅ 3,7 ൌ 8,2
ݔ ൌ 4,5
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Como ݕ ൅ ݖ ൌ 8,9: 
3,7 ൅ ݖ ൌ 8,9
ݖ ൌ 5,2
Desta maneira, comprimento dos dutos montados pela equipe: 
ܺ foi ݔ ൌ 4,5 ݇݉ ൌ 4.500 ݉
ܻ foi ݕ ൌ 3,7 ݇݉ ൌ 3.700 ݉
ܼ foi ݖ ൌ 5,2 ݇݉ ൌ 5.200 ݉
Letra B 
(TJBA 2003/CESPE) Em cada um dos itens seguintes, é apresentada uma situação 
hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada. 
19. Em um dia, um grupo de servidores digita 1.685 páginas. No período da manhã, eles 
digitam o dobro menos 70 páginas em relação ao período da tarde. Nessa situação, no 
período da tarde, são digitadas mais de 580 páginas. 
Resolução 
Considere que eles digitaram ݉ páginas pela manha e ݐ páginas pela tarde. 
O total de páginas digitadas é igual a 1.685. 
݉ ൅ ݐ ൌ 1.685
No período da manhã, eles digitam o dobro menos 70 páginas em relação ao período da 
tarde. 
݉ ൌ 2ݐ െ 70
Substituindo o valor de ݉ na primeira equação: 
݉ ൅ ݐ ൌ 1.685
2ݐ െ 70 ൅ ݐ ൌ 1.685
3ݐ ൌ 1.685 ൅ 70
ݐ ൌ 585
O item está certo. 
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20. Dois tanques, I e II, são tais que o tanque I contém uma mistura homogênea de 50 L 
de gasolina e 25 L de álcool, e o tanque II contém 60 L de gasolina e 15 L de álcool, 
homogeneamente misturados. Deseja-se obter 40 L de uma mistura de álcool e gasolina, 
contendo 22% de álcool, usando-se somente as misturas contidas nos tanques I e II. 
Nessa situação, deve-se usar menos de 10 L da mistura contida no tanque I. 
Resolução 
A mistura terá 40 litros com 22% de álcool. Portanto, a quantidade de álcool nesta mistura 
é igual a: 
22% ݀݁ 40 ݈݅ݐݎ݋ݏ ൌ
22
100
· 40 ݈݅ݐݎ݋ݏ ൌ 8,8 ݈݅ݐݎ݋ݏ ݀݁ á݈ܿ݋݋݈
Considere que tiraremos ݔ litros da primeira mistura e ݕ litros da segunda mistura. 
Assim, ݔ ൅ ݕ ൌ 40 ݈݅ݐݎ݋ݏ. 
Vamos analisar cada uma das misturas separadamente. 
i) A primeira mistura é composta por 50 litros de gasolina e 25 litros de álcool. Temos, 
portanto, 75 litros de uma mistura, dos quais 25 são de álcool. A fração de álcool na 
mistura é igual a: 
25
75
ൌ
1
3
Como a mistura é homogênea, isto significa que não importa a porção da mistura que 
estejamos analisando, 1/3 será de álcool. 
Como tiramos ݔ litros da primeira mistura, podemos concluir que ଵ
ଷ
· ݔ é composto por 
álcool. 
ii) O tanque II contém 60 L de gasolina e 15 L de álcool, homogeneamente misturados. 
Temos uma mistura de 75 litros dos quais 15 litros são de álcool. A fração de álcool na 
mistura é igual a: 
15
75
ൌ
1
5
Como a mistura é homogênea, isto significa que não importa a porção da mistura que 
estejamos analisando, 1/5 será de álcool. 
Como tiramos ݕ litros da segunda mistura, podemos concluir que ଵ
ହ
· ݕ é composto por 
álcool. 
Como a mistura que desejamos obter é composto por 8,8 litros de álcool, temos que: 
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ݔ
3
൅
ݕ
Vamos multiplicar os dois membros pelo mmc(3,5)=15. 
5
ൌ 8,8
15 ·
ݔ
3
൅ 15 ·
ݕ
5
ൌ 15 · 8,8
5ݔ ൅ 3ݕ ൌ 132
A primeira equação que tínhamos obtido era ݔ ൅ ݕ ൌ 40 ֞ ݕ ൌ 40 െ ݔ. 
5ݔ ൅ 3 · ሺ40 െ ݔሻ ൌ 132
5ݔ ൅ 120 െ 3ݔ ൌ 132
2ݔ ൌ 12
ݔ ൌ 6 ݈݅ݐݎ݋ݏ ݀݋ ݐܽ݊ݍݑ݁ ܫ
O item está certo. 
(BB 2009/CESPE-UnB) A Fundação Banco do Brasil apoia, financeiramente, projetos 
educacionais e culturais em muitas cidades do Brasil. Considere que, em determinada 
região, o total dos recursos destinados a um projeto de dança clássica e a um projeto de 
agroecologia tenham sido iguais ao quíntuplo dos recursos destinados a um projeto de 
alfabetização; que a soma dos recursos destinados aos projetos de alfabetização e de 
dança clássica tenham sido de R$ 40.000,00; e que a diferença entre os recursos 
destinados aos projetos de agroecologia e alfabetização tenham sido de R$ 20.000,00. 
Nessa situação, é correto afirmar que os recursos destinados 
21. ao projeto de dança clássica foram superiores a R$ 29.000,00. 
22. aos projetos de dança clássica e agroecologia foram inferiores a 
R$ 59.000,00. 
23. aos três projetos foram superiores a R$ 70.000,00. 
Resolução 
Vamos analisar a situação do enunciado e em seguida avaliar cada um dos itens. 
Vamos adotar algumas nomenclaturas: 
݀ ՜ ݎ݁ܿݑݎݏ݋ݏ ݀݁ݏݐ݅݊ܽ݀݋ݏ ܽ ݑ݉ ݌ݎ݋݆݁ݐ݋ ݀݁ ࢊܽ݊çܽ ݈ܿáݏݏ݅ܿܽ
ܽ ՜ ݎ݁ܿݑݎݏ݋ݏ ݀݁ݏݐ݅݊ܽ݀݋ݏ ܽ ݑ݉ ݌ݎ݋݆݁ݐ݋ ݀݁ ࢇ݃ݎ݋݁ܿ݋݈݋݃݅ܽ
݂ ՜ ݎ݁ܿݑݎݏ݋ݏ ݀݁ݏݐ݅݊ܽ݀݋ݏ ܽ ݑ݉ ݌ݎ݋݆݁ݐ݋ ݀݁ ݈ܽࢌܾܽ݁ݐ݅ݖܽçã݋
“O total dos recursos destinados a um projeto de dança clássica e a um projeto de 
agroecologia tenham sido iguais ao quíntuplo dos recursos destinados a um projeto de 
alfabetização.” 
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Matematicamente podemos escrever: 
݀ ൅ ܽ ൌ 5݂
“A soma dos recursos destinados aos projetos de alfabetização e de dança clássica 
tenham sido de R$ 40.000,00.” 
Algebricamente, 
݂ ൅ ݀ ൌ 40.000
Portanto, ݀ ൌ 40.000 െ ݂
“A diferença entre os recursos destinados aos projetos de agroecologia e alfabetização 
tenham sido de R$ 20.000,00.” 
Em símbolos, 
ܽ െ ݂ ൌ 20.000
ܽ ൌ 20.000 ൅ ݂
Vamos substituir as expressões nas “caixas” na equação 
݀ ൅ ܽ ൌ 5݂
40.000 െ ݂ ൅ 20.000 ൅ ݂ ൌ 5݂
5݂ ൌ 60.000
݂ ൌ 12.000
Sabemos que ݀ ൌ 40.000 െ ݂, ݁݊ݐã݋ ݀ ൌ 40.000 െ 12.000 ൌ 28.000
Sabemos que ܽ ൌ 20.000 ൅ ݂, ݁݊ݐã݋ ܽ ൌ 20.000 ൅ 12.000 ൌ 32.000
Resumindo: 
݂ ൌ 12.000
݀ ൌ 28.000
ܽ ൌ 32.000
Nessa situação, é correto afirmar que os recursosdestinados 
21. ao projeto de dança clássica foram superiores a R$ 29.000,00. 
O item está errado. 
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22. aos projetos de dança clássica e agroecologia foram inferiores a 
R$ 59.000,00. 
Como ݀ ൅ ܽ ൌ 60.000, o item está errado. 
23. aos três projetos foram superiores a R$ 70.000,00. 
݂ ൅ ݀ ൅ ܽ ൌ 72.000
O item está certo. 
(MPE-AM 2007/CESPE-UnB) Uma cidade tem 500.000 residências e em nenhuma 
residência mora mais que 5 pessoas. Nessa situação, é correto afirmar que 
 
24. necessariamente existem residências com números de moradores diferentes. 
Resolução 
O item está errado. Basta imaginar um situação em que nas 500.000 residências moram 
exatamente 2 pessoas. Não é obrigado a pensar em 2 pessoas em cada casa: 
poderíamos pensar que as 500.000 teriam 3 pessoas ou 4, por exemplo. 
 
25. necessariamente existem residências com apenas um morador. 
O item está errado. Basta impor uma situação em que as 500.000 residências possuem 
mais de um morador. Não necessariamente existem residências com apenas um 
morador. 
26. existem residências com o mesmo número de moradores. 
O item está certo. Imagine uma hipotética entrevista com as 500.000 residências. A 
primeira residência afirma que há apenas um morador. A segunda residência afirma que 
há 2 moradores. A terceira residência afirma que há 3 moradores. A quarta residência 
afirma que há 4 moradores. A quinta residência afirma que há 5 moradores. Ufa! 
Muito azar, não? Queremos encontrar residências com a mesma quantidade de 
moradores e até agora... NADA! 
A partir de agora não há como fugir. As residências não possuem mais de 5 moradores e 
as próximas residências a serem entrevistadas deverão responder que a quantidade de 
moradores é igual a 1,2,3,4 ou 5. Portanto, existem residências com o mesmo número de 
moradores. 
27. o número médio de moradores por residência é igual a 3. 
O item está errado. Não há como calcular o número médio de moradores por residência 
com as informações do enunciado. 
(MPE-AM 2007/CESPE-UnB) Com relação a números naturais, inteiros, racionais e reais, 
fatoração e números primos, razões e proporções e porcentagens, julgue os seguintes 
itens. 
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28. O número inteiro mais próximo de 179/7 é 25. 
Resolução 
179
7
ൌ 25,571 …
O inteiro mais próximo é 26 (pois 179/7 > 25,5). O item está errado. 
29. Considere que em um país a carteira de motorista provisória possa ser tirada aos 16 
anos de idade, mas a definitiva só é entregue quando a idade do indivíduo somada ao seu 
tempo de “motorista provisório” for igual a 45. Nessa situação, para que o indivíduo 
receba sua carteira definitiva quando tiver 12 anos de “motorista provisório” ele deve ter 
tirado sua carteira de motorista provisória aos 21 anos. 
Resolução 
Se o indivíduo tirou sua carteira de motorista provisória aos 21 anos, quando tiver 12 anos 
de “motorista provisório” ele terá 21+12= 33 anos. A idade dele 33, mais o tempo de 
motorista provisório 12, são iguais a 45 e ele já pode receber a carteira definitiva. O item 
está certo. 
30. Os CPFs dos cidadãos brasileiros são formados por onze algarismos, sendo dois 
para o controle, conforme representação na tabela a seguir. 
Para se determinar o algarismo de controle c1, usa-se o seguinte procedimento: 
I calcula-se S = a1 × 1 + a2 × 2 + a3 × 3 + ... + a9 × 9; 
II c1 = resto da divisão de S por 11. 
Para se determinar o algarismo de controle c2, usa-se 
um procedimento semelhante: 
I calcula-se T = a1 × 9 + a2 × 8 + a3 × 7 + ... + a9 × 1; 
II c2 = resto da divisão de T por 11. 
Nessa situação, se um indivíduo tiver seu CPF da forma 111111111 AB, em que A e B 
são os algarismos do controle, então A = B = 1. 
Resolução 
Vamos calcular S. 
ܵ ൌ 1 ൈ 1 ൅ 1 ൈ 2 ൅ 1 ൈ 3 ൅ 1 ൈ 4 ൅ ڮ ൅ 1 ൈ 9
ܵ ൌ 1 ൅ 2 ൅ 3 ൅ 4 ൅ 5 ൅ 6 ൅ 7 ൅ 8 ൅ 9 ൌ 45
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45 dividido por 11 é igual a 4 e resto 1. 
Desta forma, ܿଵ ൌ 1 ՜ ݎ݁ݏݐ݋ ݀ܽ ݀݅ݒ݅ݏã݋
Vamos calcular T. 
ܶ ൌ 1 ൈ 9 ൅ 1 ൈ 8 ൅ 1 ൈ 7 ൅ ڮ ൅ 1 ൈ 2 ൅ 1 ൈ 1
ܶ ൌ 9 ൅ 8 ൅ 7 ൅ 6 ൅ 5 ൅ 4 ൅ 3 ൅ 2 ൅ 1 ൌ 45
45 dividido por 11 é igual a 4 e resto 1. 
Desta forma, ܿଶ ൌ 1 ՜ ݎ݁ݏݐ݋ ݀ܽ ݀݅ݒ݅ݏã݋
Portanto, os dois algarismos de controle são iguais a 1. 
O item está certo. 
31. Considere que, em uma empresa, o departamento de compras tenha 6 empregados, o 
de fiscalização tenha 8 empregados e o de manutenção, 15 empregados, e que 
determinada verba deverá ser dividida entre esses departamentos de forma proporcional 
à quantidade de empregados em cada um deles. Nessa situação, é correto afirmar que o 
valor a ser repassado ao departamento de manutenção é superior ao que será repassado 
aos outros dois departamentos juntos. 
Resolução 
Se a verba será dividida entre os departamentos e o departamento de compras tenha 6 
empregados, o de fiscalização tenha 8 empregados e o de manutenção, 15 empregados, 
devemos dividir a verba em 6+8+15=29 quotas. Das 29 quotas, 6 ficarão para o 
departamento de compras, 8 quotas para o de fiscalização e 15 para o departamento de 
manutenção. Assim, o valor a ser repassado ao departamento de manutenção (15) é 
superior ao que será repassado aos outros dois departamentos juntos (6+8=14). O item 
está certo. 
Ainda com relação a números naturais, inteiros, racionais e reais, fatoração e números 
primos, razões e proporções e porcentagens, julgue os seguintes itens. 
32. Considere a seguinte situação. Para a manutenção das instalações hidráulicas do 
prédio do Ministério Público, um artífice hidráulico recebeu tubos de PVC de 3 
comprimentos diferentes: 5 peças de 240 cm cada uma, 2 peças de 420 cm cada uma e 4 
peças de 600 cm cada uma. Para economia de material, o engenheiro chefe recomendou 
ao artífice que cortasse cada um desses tubos em pedaços que tivessem o mesmo 
comprimento, que esse comprimento fosse o maior possível e que de cada tubo não 
sobrasse nenhum pedaço. Nessa situação, é correto afirmar que, depois de cortar todos 
os tubos seguindo a recomendação do engenheiro, o artífice obteve menos de 70 
pedaços de tubo. 
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Resolução 
Para que os tubos tenham o mesmo comprimento e não sobrem pedaços, o comprimento 
de cada pedaço deve ser um divisor de 240, 420 e 600. Além de o comprimento de cada 
pedaço ser um divisor de 240, 420 e 600 este comprimento deve ser o maior possível. 
Portanto, devemos calcular o máximo divisor comum de 240, 420 e 600. 
240, 420, 600 2 
120, 210, 300 2 
60, 105, 150 3 
20, 35, 50 5 
4, 7, 10
Portanto, ݉݀ܿሺ240,420,600ሻ ൌ 2 · 2 · 3 · 5 ൌ 60 ܿ݉. 
Cada peça de 240 cm será dividida em 4 pedaços de 60 cm. Como são 5 peças de 240 
cm, teremos um total de 5 x 4 = 20 pedaços. 
Cada peça de 420 cm será dividida em 7 pedaços de 60 cm. Como são 2 peças de 420 
cm, teremos um total de 2 x 7 = 14 pedaços. 
Cada peça de 600 cm será dividida em 10 pedaços de 60 cm. Como são 4 peças de 240 
cm, teremos um total de 4 x 10 = 40 pedaços. 
O total de pedaços de 60 cm é igual a 20 + 14 + 40 = 74. Assim, o artífice obteve mais de 
70 pedaços de tubo. O item está errado. 
33. Considere que em determinado país as eleições para deputados ocorrem de 4 em 4 
anos, para prefeitos, de 6 em 6 anos, e para senadores, de 8 em 8 anos. Se neste ano 
foramrealizadas eleições para esses três cargos, então a próxima vez que as eleições 
para esses três cargos ocorrerão novamente no mesmo ano será daqui a mais de 20 
anos. 
Resolução 
O período de coincidência é dado pelo mínimo múltiplo comum de 4, 6 e 8. 
4,6,8 2 
2,3,4 2 
1,3,2 2 
1,3,1 3 
1,1,1
݉݉ܿሺ4,6,8ሻ ൌ 2 · 2 · 2 · 3 ൌ 24 ܽ݊݋ݏ.
A próxima coincidência das eleições para esses três cargos ocorrerá daqui a 24 anos. O 
item está certo. 
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34. Em uma divisão de números naturais, a soma do divisor com o quociente é igual a 50, 
o divisor é igual a 9 vezes o quociente e o resto é o maior possível. Então o dividendo é 
um número natural maior que 270. 
Resolução 
A soma do divisor com o quociente é igual a 50 e o divisor é 9 vezes o quociente. 
݀ ൅ ݍ ൌ 50
݀ ൌ 9ݍ
Substituindo a segunda expressão na primeira: 
9ݍ ൅ ݍ ൌ 50
10ݍ ൌ 50
ݍ ൌ 5
Assim, o quociente é igual a 5. 
Como o divisor é igual a 9 vezes o quociente, concluímos que o divisor é 45. 
Ao efetuar uma divisão por 45, o maior resto possível é 44. 
 
O dividendo D é igual a ܦ ൌ 5 · 45 ൅ 44 ൌ 269.
O item está errado. 
(Agente Administrativo – Ministério do Esporte – 2008/CESPE-UnB) Um órgão público 
realizará concurso para provimento de 30 vagas em cargos de nível médio e superior. O 
salário mensal de cada profissional de nível médio será de R$ 1.900,00, e o de cada 
profissional de nível superior, de R$ 2.500,00. Os gastos mensais desse órgão com os 
salários desses 30 profissionais serão de R$ 67.800,00. Com relação a essa situação 
hipotética, julgue os itens que se seguem. 
35. O órgão público deverá gastar, mensalmente, menos de R$ 42.000,00 com os 
salários dos novos profissionais de nível superior, caso eles sejam contratados. 
36. O número de vagas para profissionais de nível médio no referido concurso será 
superior a 10. 
Resolução 
Vamos analisar a situação geral do enunciado e, em seguida, verificar a veracidade de 
cada um dos itens de per si. 
Há um total de 30 vagas em cargos de nível médio e superior. Digamos que são ࢓ vagas 
para nível médio e ࢙ vagas para nível superior. 
44 5
45D
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Portanto: 
݉ ൅ ݏ ൌ 30
Em média, cada profissional de nível médio recebe R$ 1.900,00. Como são ݉
funcionários de nível médio, o total recebido por eles é igual a 1.900 · ݉. 
Por que devemos multiplicar 1.900 por ݉ ?
Vejamos um exemplo numérico. Imagine que são 10 funcionários de nível médio. Como 
cada um recebe 1.900 reais, o total será 10 vezes 1.900 reais. 
O problema é que não sabemos o total de funcionários, por isso utilizamos a letra ݉. 
Então é isso: o total recebido pelos funcionários de nível médio é 1.900 · ݉. 
Cada profissional de nível superior recebe R$ 2.500,00. Como são ݏ funcionários de nível 
superior, o total recebido por eles é igual a 2.500 · ݏ. 
Os gastos mensais desse órgão com os salários desses 30 profissionais serão de R$ 
67.800,00. 
Devemos então somar o total recebido pelos funcionários de nível médio (1.900 · ݉) com 
o total recebido pelos funcionários de nível superior (2.500 · ݏሻ e igualar a R$ 67.800,00. 
1.900 · ݉ ൅ 2.500 · ݏ ൌ 67.800
Vamos dividir os dois membros da equação por 100 (notou que eu gosto de simplificar as 
contas?) 
19 · ݉ ൅ 25 · ݏ ൌ 678
Lembra da primeira equação? 
Temos um sistema de equações: 
݉ ൅ ݏ ൌ 30
ቄ ݉ ൅ ݏ ൌ 30
19 · ݉ ൅ 25 · ݏ ൌ 678
Vamos resolver este sistema de duas maneiras. 
i) Método da substituição 
Neste método, o objetivo é isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação. Veja a 
primeira equação: 
݉ ൅ ݏ ൌ 30
݉ ൌ 30 െ ݏ
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Devemos substituir esta expressão na segunda equação do sistema. 
19 · ݉ ൅ 25 · ݏ ൌ 678
19 · ሺ30 െ ݏሻ ൅ 25 · ݏ ൌ 678
570 െ 19 · ݏ ൅ 25 · ݏ ൌ 678
6 · ݏ ൌ 678 െ 570
6 · ݏ ൌ 108 ֞ ݏ ൌ
108
6
ൌ 18
Portanto, há 18 funcionários de nível superior. Como são 30 funcionários no total, 
concluímos que há 30 െ 18 ൌ 12 funcionários de nível médio. 
ii) Método da adição 
ቄ ݉ ൅ ݏ ൌ 30
19 · ݉ ൅ 25 · ݏ ൌ 678
Neste método, nosso objetivo é multiplicar as equações por determinados fatores de 
modo que, ao somar as equações, possamos cancelar alguma das incógnitas envolvidas. 
Perceba que a incógnita ݉ , na segunda equação, está sendo multiplicada por 19. Vamos 
multiplicar a primeira equação por ሺെ19ሻ. 
ቄെ19 · ݉ െ 19 · ݏ ൌ െ19 · 30
19 · ݉ ൅ 25 · ݏ ൌ 678
֜ ቄെ19 · ݉ െ 19 · ݏ ൌ െ570
19 · ݉ ൅ 25 · ݏ ൌ 678
Adicionando as duas equações membro a membro cancelamos െ19݉ com 19݉. 
െ19ݏ ൅ 25ݏ ൌ െ570 ൅ 678
6 · ݏ ൌ 108 ֞ ݏ ൌ
108
6
ൌ 18
Portanto, há 18 funcionários de nível superior. Como são 30 funcionários no total, 
concluímos que há 30 െ 18 ൌ 12 funcionários de nível médio. 
Vamos analisar cada um dos itens de per si. 
35. O órgão público deverá gastar, mensalmente, menos de R$ 42.000,00 com os salários 
dos novos profissionais de nível superior, caso eles sejam contratados. 
São 18 funcionários de nível superior e cada um recebe 2.500 reais. O órgão público 
deverá gastar 18 vezes 2.500 reais. 
૚ૡ ൈ ૛. ૞૙૙ ࢘ࢋࢇ࢏࢙ ൌ ૝૞. ૙૙૙ ࢘ࢋࢇ࢏࢙
O item está errado. 
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36. O número de vagas para profissionais de nível médio no referido concurso será 
superior a 10. 
São 12 funcionários de nível médio. O item está certo. 
 (Agente Administrativo – Ministério do Esporte – 2008/CESPE-UnB) Um casal tem 3 
filhos, cujas idades em anos são números inteiros distintos que, multiplicados, 
correspondem a 132. A soma das idades dos 3 filhos, em anos, é um número cujos 
únicos divisores positivos são a unidade e a própria soma. Com base nessas 
informações, julgue os itens subsequentes. 
37. A diferença entre as idades, em anos, do filho mais velho e do filho mais novo é 
superior a 10 anos. 
38. Um dos filhos tem 3 anos de idade. 
39. O filho mais velho tem idade inferior a 20 anos. 
Resolução 
Devemos fatorar o número 132 para descobrir números inteiros distintos que, 
multiplicados, correspondem a 132. 
132 dividido por 2 é igual a 66. 66 dividido por 2 é igual a 33. 33 dividido por 3 é igual a 11 
e, finalmente, 11 dividido por 11 é igual a 1. 
Portanto, 132 ൌ 2 ൈ 2 ൈ 3 ൈ 11.
Conseguimos transformar 132 em um produto de quatro números inteiros. Temos dois 
problemas: o enunciado pede que os números inteiros sejam distintos e, além disso, 
precisamos de três números e não quatro. 
Lembre-se ainda que a soma das idades dos 3 filhos, em anos, é um número cujos únicos 
divisores positivos são a unidade e a própria soma. Em outras palavras, a soma das 
idades dos 3 filhos é um número primo. Lembre-se que um número natural é primo 
quando possui apenas dois divisores, a saber: o número um (unidade) e o próprio 
número. 
132 ൌ 2 ൈ 2 ൈ 3 ൈ 11
Podemos agrupar um dos fatores 2 com o número 3. 
132 2
66 2
 33 3
11 11
1
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132 ൌ 2 ൈ 6 ൈ 11
A soma das idades é 2 + 6 +11 = 19 (número primo). Conseguimos! 
Então, primeira possibilidade para as idades: 2, 6 e 11. 
Vamos agora tentar agrupar um dos fatores2 com o número 11. 
132 ൌ 2 ൈ 3 ൈ 22
A soma das idades é igual a 2 + 3 + 22 = 27 (não é um número primo porque é divisível 
por 3 e por 9). Esta possibilidade está descartada. 
E se agruparmos um fator 2 com o 3 e o outro fator 2 com o 11? 
132 ൌ 6 ൈ 22
E quantos anos teria a terceira criança? 1 ano!! Lembre-se que o número 1 é o elemento 
neutro da multiplicação!! 
132 ൌ 1 ൈ 6 ൈ 22
A soma das idades é igual a 1 + 6 + 22 = 29 (número primo). Conseguimos novamente! 
Temos, portanto duas possibilidades para as idades dos filhos: 
2, 6 ݁ 11 ܽ݊݋ݏ
1, 6 ݁ 22 ܽ݊݋ݏ
Vamos analisar cada um dos itens de per si. 
37. A diferença entre as idades, em anos, do filho mais velho e do filho mais novo é 
superior a 10 anos. 
Analisando a primeira possibilidade, a diferença entre as idades é igual a ૚૚ െ ૛ ൌ
ૢ ࢇ࢔࢕࢙ ሺ࢕ ࢏࢚ࢋ࢓ ࢋ࢙࢚á ࢋ࢘࢘ࢇࢊ࢕ሻ.
Analisando a segunda possibilidade, a diferença entre as idades é igual a ૛૛ െ ૚ ൌ
૛૚ ࢇ࢔࢕࢙ ሺ࢕ ࢏࢚ࢋ࢓ ࢋ࢙࢚á ࢉࢋ࢚࢘࢕ሻ.
E agora???? 
A questão foi anulada! 
Gabarito oficial: Anulada 
38. Um dos filhos tem 3 anos de idade. 
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As duas possibilidades para as idades dos filhos: 
૛, ૟ ࢋ ૚૚ ࢇ࢔࢕࢙
૚, ૟ ࢋ ૛૛ ࢇ࢔࢕࢙
O item está errado. 
39. O filho mais velho tem idade inferior a 20 anos. 
As duas possibilidades para as idades dos filhos: 
૛, ૟ ࢋ ૚૚ ࢇ࢔࢕࢙
૚, ૟ ࢋ ૛૛ ࢇ࢔࢕࢙
De acordo com a primeira possibilidade, o item está certo. 
De acordo com a segunda possibilidade, o item está errado. 
E agora??? 
A questão foi anulada! 
Gabarito oficial: Anulada 
(MMA 2009/CESPE-UnB) Em determinada fábrica de parafusos, para a produção de 
parafusos ao custo de R$ 1,00 a unidade, a máquina X tem um custo fixo de R$ 300,00 
por dia, e a máquina Y fabrica os parafusos ao custo fixo diário 25% maior que o da 
máquina X, mas a um custo unitário de cada parafuso produzido 25% menor que o da 
máquina X. Considerando essa situação, julgue os itens a seguir. 
Resolução 
O custo fixo diário da máquina Y é 25% maior que o da máquina X. Devemos multiplicar o 
valor fixo da máquina X por 100% + 25% = 125%. 
ܥݑݏݐ݋ ݂݅ݔ݋ ݀ܽ ݉áݍݑ݅݊ܽ ܻ ൌ 300 ·
125
100
ൌ 375 ݎ݁ܽ݅ݏ
O custo unitário de cada parafuso produzido na máquina Y é 25% menor que o da 
máquina X. Devemos multiplicar o custo unitário da máquina X por 
100% - 25% = 75%. 
ܥݑݏݐ݋ ݑ݊݅ݐáݎ݅݋ ݀݋ ݌ܽݎ݂ܽݑݏ݋ ݊ܽ ݉áݍݑ݅݊ܽ ܻ ൌ
75
100
· 1 ݎ݈݁ܽ ൌ ܴ$ 0,75
40. Com a máquina X, para se produzir 100 parafusos em um dia, o custo é de R$ 
400,00. 
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Resolução 
Como o custo unitário é R$ 1,00, para produzir os 100 parafusos são gastos R$ 100,00 
mais o custo fixo de R$ 300,00. Portanto, com a máquina X, para se produzir 100 
parafusos em um dia, o custo é de R$ 400,00. 
O item está certo. 
41. Com a máquina Y, o custo total de produção diária de 100 parafusos é de R$ 
450,00. 
Resolução 
O custo fixo é de R$ 375,00. Cada parafuso custa R$ 0,75, então 100 parafusos custam 
R$ 75,00. O custo total é igual a 375 ൅ 75 ൌ 450 ݎ݁ܽ݅ݏ. O item está certo. 
42. Considerando que, em determinado dia, as duas máquinas produzam a mesma 
quantidade de parafusos e que essa quantidade seja superior a 200 parafusos, o 
custo total de fabricação desses parafusos na máquina Y será inferior ao da 
máquina X. 
Resolução 
Vamos considerar que foram produzidos ݊ parafusos. O enunciado mandou considerar 
݊ ൐ 200. 
Máquina X ՜ Custo fixo de 300 reais mais um custo de 1 real por parafuso. 
ܺ ൌ 300 ൅ 1 · ݊
Máquina Y ՜ Custo fixo de 375,00 mais um custo de R$ 0,75 por parafuso. 
ܻ ൌ 375 ൅ 0,75 · ݊
Vamos considerar que o custo de Y seja inferior ao de X e calcular quantos parafusos 
devem ser produzidos para que isso aconteça. 
ܻ ൏ ܺ
Se o custo de Y é inferior ao de X, então o custo de X é superior ao de Y. 
ܺ ൐ ܻ
300 ൅ 1 · ݊ ൐ 375 ൅ 0,75 · ݊
1 · ݊ െ 0,75 · ݊ ൐ 375 െ 300
0,25 · ݊ ൐ 75
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݊ ൐
75
0,25
݊ ൐ 300
Então só podemos garantir que o custo de Y será menor que o custo de X se a 
quantidade de parafusos produzidos for superior a 300. 
O item está errado. 
43. Independentemente da máquina utilizada, o custo de fabricação aumenta à 
medida que cresce o número de parafusos produzidos. 
Resolução 
O item está certo porque nas duas máquinas há um custo fixo e mais um custo por cada 
parafuso produzido. 
44. Se, em determinado dia, a máquina X produzir o dobro de parafusos produzidos 
pela máquina Y, de forma que os custos totais de produção sejam iguais, então, 
nesse caso, a máquina Y produzirá menos de 50 parafusos. 
Resolução 
Vamos considerar que a máquina Y produza ݊ parafusos. Como a máquina X produz o 
dobro, então ela produz 2݊ parafusos. 
Máquina X ՜ Custo fixo de 300 reais mais um custo de 1 real por parafuso. 
ܺ ൌ 300 ൅ 1 · 2݊
Máquina Y ՜ Custo fixo de 375,00 mais um custo de R$ 0,75 por parafuso. 
ܻ ൌ 375 ൅ 0,75 · ݊
Sabendo que os custos totais são iguais, então: 
300 ൅ 1 · 2݊ ൌ 375 ൅ 0,75 · ݊
2݊ െ 0,75݊ ൌ 375 െ 300
1,25݊ ൌ 75
݊ ൌ
75
1,25
ൌ 60
A máquina Y, portanto, produzirá 60 parafusos (mais de 50 parafusos). O item está 
errado. 
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(SEPLAG/GDF 2009/CESPE-UnB) Os clientes de um banco têm as duas seguintes 
opções para o pagamento mensal de suas tarifas de fornecimento de talão de cheques e 
de extrato bancário: 
I R$ 12,00 fixos, sem limites nas quantidades de talões de cheques e de extratos 
bancários; 
II R$ 8,00 fixos e mais R$ 0,50 por talão de cheques fornecido, com direito a dois extratos 
bancários por mês, além de R$ 1,00 de custo por extrato adicional. 
Com base nessa situação hipotética, julgue o item seguinte. 
45. Se, por mês, o número de talões de cheques utilizados por um cliente for igual à 
metade do número de extratos bancários que ele solicita, então, para que a opção 
II seja mais vantajosa que a I, o número máximo de extratos bancários que esse 
cliente pode solicitar por mês é igual a 4. 
Resolução 
Vamos considerar que o cliente emite ࢉ talões de cheque e emite ࢋ extratos bancários. 
O número de talões de cheque é igual à metade do número de extratos bancários, logo: 
ܿ ൌ
݁
2
Vamos equacionar o custo na opção II. 
R$ 8,00 fixos e mais R$ 0,50 por talão de cheques fornecido, com direito a dois extratos 
bancários por mês, além de R$ 1,00 de custo por extrato adicional. 
8 ൅ 0,50 · ܿ ൅ 1 · ሺ݁ െ 2ሻ
Observe que a quantidade de extratos que entram no cálculo do custo é igual a ݁ െ 2
porque o usuário tem direito a dois extratos bancários. Por exemplo, se ele tira 5 extratos 
no mês, ele pagará por 5 – 2 = 3 extratos. 
Queremos que a segunda opção seja mais vantajosa. 
8 ൅ 0,50 · ܿ ൅ 1 · ሺ݁ െ 2ሻ ൏ 12
Lembre-se que ܿ ൌ ௘
ଶ
 , portanto: 
8 ൅ 0,50 ·
݁
2
൅ 1 · ሺ݁ െ 2ሻ ൏ 12
8 ൅ 0,25 · ݁ ൅ ݁ െ 2 ൏ 12
1,25݁ ൅ 6 ൏ 12
1,25݁ ൏ 6
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݁ ൏
6
1,25
݁ ൏ 4,8
O usuário deve tirar menos que 4,8 extratos. Portanto, o número máximo de extratos é 
igual a 4. O item está certo. 
(SEBRAE/BA 2008/CESPE-UnB) Uma empresa contratou 10 empregados de nível 
superior e 15 de nível médio. Em cada nível, os salários mensais dos empregados são 
iguaise a soma do salário mensal de um empregado de nível superior com o salário 
mensal de um empregado de nível médio é igual a R$ 3.500,00. Considerando que a 
despesa mensal da empresa com os salários desses 25 empregados é de R$ 41.000,00, 
julgue os itens que se seguem. 
46. O salário mensal de cada empregado de nível superior é inferior a R$ 2.400,00. 
47. A diferença entre o salário mensal de um empregado de nível superior e o de um 
de nível médio é superior a R$ 1.200,00. 
Resolução 
Vamos considerar que cada funcionário de nível médio recebe ݉ reais e que cada 
funcionário de nível superior recebe ݏ reais. 
A soma do salário mensal de um empregado de nível superior com o salário mensal 
de um empregado de nível médio é igual a R$ 3.500,00. 
ݏ ൅ ݉ ൌ 3.500
A despesa mensal da empresa com os salários desses 25 empregados (10 de nível 
superior e 15 de nível médio) é de R$ 41.000,00. 
10 ڄ ݏ ൅ 15 ڄ ݉ ൌ 41.000
Temos novamente um sistema formado por duas equações. Vamos resolver pelo método 
da adição. O número ݏ, na segunda equação, é multiplicado por 10. Vamos, então, 
multiplicar os dois membros da primeira equação por െ10. 
ቄെ10 ڄ ݏ െ 10 ڄ ݉ ൌ െ35.000
Somamos as duas equações membro a membro. 
10 ڄ ݏ ൅ 15 ڄ ݉ ൌ 41.000
െ10݉ ൅ 15݉ ൌ െ35.000 ൅ 41.000
5݉ ൌ 6.000
݉ ൌ 1.200 ݎ݁ܽ݅ݏ
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Cada funcionário de nível médio recebe 1.200 reais. 
ݏ ൅ ݉ ൌ 3.500
ݏ ൅ 1.200 ൌ 3.500
ݏ ൌ 3.500 െ 1.200 ൌ 2.300 ݎ݁ܽ݅ݏ
Cada funcionário de nível superior recebe 2.300 reais. 
46. O salário mensal de cada empregado de nível superior é inferior a R$ 2.400,00. 
O item está certo. 
47. A diferença entre o salário mensal de um empregado de nível superior e o de um de 
nível médio é superior a R$ 1.200,00. 
Resolução 
ݏ െ ݉ ൌ 2.300 െ 1.200 ൌ 1.100
O item está errado. 
(SEBRAE/BA 2008/CESPE-UnB) Uma empresa deseja contratar profissionais de nível 
médio, com salário mensal de R$ 1.000,00, e de nível superior, com salário mensal de R$ 
2.500,00. Considerando que poderão ser gastos, por mês, até R$ 25.200,00 com os 
salários desses profissionais, julgue os itens subseqüentes. 
48. Se a empresa contratar 8 profissionais de nível médio, poderá contratar igual 
número de profissionais de nível superior. 
Resolução 
Cada profissional de nível médio recebe R$ 1.000,00. Portanto, a empresará gastará R$ 
8.000,00 com 8 funcionários de nível médio. 
O orçamento comporta R$ 25.200,00 com os salários dos profissionais. Sobram 25.200 െ
8.000 ൌ 17.200 para serem gastos com os profissionais de nível superior. Cada 
profissional de nível superior recebe R$ 2.500,00. Se a empresa contratar 8 profissionais 
de nível superior, gastará 8 ڄ 2.500 ൌ 20.000 reais, ultrapassando o limite do orçamento. 
O item está errado. 
49. Se a empresa contratar 6 profissionais de nível médio a mais que os de nível 
superior e a quantidade de profissionais de nível superior contratados for igual ao 
número máximo que o orçamento comporta, então a despesa mensal da empresa 
com os salários dos profissionais das duas categorias será de R$ 23.500,00. 
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Resolução 
Vamos considerar que são ݉ funcionários de nível médio e ݏ funcionários de nível 
superior. 
A empresa contrata 6 profissionais de nível médio a mais que os de nível superior. 
݉ ൌ ݏ ൅ 6
Cada profissional de nível médio recebe R$ 1.000,00 e cada profissional de nível superior 
recebe R$ 2.500,00. Somando os salários de todos os funcionários, devemos ter um valor 
menor ou igual a R$ 25.200,00. 
1.000 ڄ ݉ ൅ 2.500 ڄ ݏ ൑ 25.200
Como ݉ ൌ ݏ ൅ 6: 
1.000 ڄ ሺݏ ൅ 6ሻ ൅ 2.500 ڄ ݏ ൑ 25.200
1.000 ڄ ݏ ൅ 6.000 ൅ 2.500 ڄ ݏ ൑ 25.200
3.500 ڄ ݏ ൑ 19.200
ݏ ൑ 5,49
Portanto, o número máximo de funcionários de nível superior é igual a 5. Como a 
empresa vai contratar 6 funcionários a mais de nível médio, teremos 11 funcionários de 
nível médio. A despesa mensal com os salários destes funcionários é igual a: 
11 ڄ 1.000 ൅ 5 ڄ 2.500 ൌ 23.500
O item está certo. 
(SEBRAE/BA 2008/CESPE-UnB) Na compra de café, em pacotes de 500 g, de açúcar, 
em pacotes de 5 kg, e de biscoitos, em pacotes de 200 g, gastaram-se R$ 220,00. Cada 
pacote de café custou R$ 5,00, cada pacote de açúcar, R$ 6,00, e cada pacote de 
biscoito, R$ 1,50. O peso total dos produtos comprados foi de 68 kg e o número de 
pacotes de biscoitos era 4 vezes o número de pacotes de açúcar. Nesse caso, 
50. foram comprados 12 kg de café. 
51. a despesa com a compra do açúcar foi inferior a R$ 54,00. 
52. a despesa com a compra dos biscoitos foi superior a R$ 57,00. 
Resolução 
Vamos considerar que são ܿ pacotes de café, ܽ pacotes de açúcar e ܾ pacotes de 
biscoito. 
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O número de pacotes de biscoitos era 4 vezes o número de pacotes de açúcar. 
ܾ ൌ 4 ڄ ܽ
O peso total dos produtos comprados foi de 68 kg (68.000 g). 
Cada pacote de café tem 500 g, cada pacote de açúcar tem 5.000 g e cada pacote de 
biscoito tem 200 g. 
૞૙૙ࢉ ൅ ૞૙૙૙ࢇ ൅ ૛૙૙࢈ ൌ ૟ૡ. ૙૙૙
Dividindo os dois membros da equação por 100: 
5ܿ ൅ 50ܽ ൅ 2ܾ ൌ 680
Cada pacote de café custou R$ 5,00, cada pacote de açúcar, R$ 6,00, e cada pacote de 
biscoito, R$ 1,50. O total pago é igual a R$ 220,00. 
5ܿ ൅ 6ܽ ൅ 1,50ܾ ൌ 220
Temos um sistema de três equações. 
൝
ܾ ൌ 4 ڄ ܽ
5ܿ ൅ 50ܽ ൅ 2ܾ ൌ 680
5ܿ ൅ 6ܽ ൅ 1,50ܾ ൌ 220
Observe que a segunda equação tem uma parcela 5ܿ e a terceira equação também 
possui esta parcela. Vamos multiplicar a terceira equação por െ1 e somar a segunda 
equação com a terceira. 
൜ 5ܿ ൅ 50ܽ ൅ 2ܾ ൌ 680െ5ܿ െ 6ܽ െ 1,50ܾ ൌ െ220
44ܽ ൅ 0,50ܾ ൌ 460
Sabemos que ܾ ൌ 4ܽ, logo: 
44ܽ ൅ 0,50 ڄ 4ܽ ൌ 460
44ܽ ൅ 2ܽ ൌ 460
46ܽ ൌ 460
ܽ ൌ 10 ՜ ݏã݋ 10 ݌ܽܿ݋ݐ݁ݏ ݀݁ ܽçúܿܽݎ
ܾ ൌ 4ܽ
ܾ ൌ 4 ڄ 10 ൌ 40 ՜ ݏã݋ 40 ݌ܽܿ݋ݐ݁ݏ ݀݁ ܾ݅ݏܿ݋݅ݐ݋
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5ܿ ൅ 50ܽ ൅ 2ܾ ൌ 680
5ܿ ൅ 50 ڄ 10 ൅ 2 ڄ 40 ൌ 680
5ܿ ൅ 500 ൅ 80 ൌ 680
5ܿ ൅ 580 ൌ 680
5ܿ ൌ 100
ܿ ൌ 20 ՜ ݏã݋ 20 ݌ܽܿ݋ݐ݁ݏ ݀݁ ݂ܿܽé
50. foram comprados 12 kg de café. 
São 20 pacotes de café e cada pacote tem 500g, portanto foram comprados: 
૛૙ ൈ ૞૙૙ࢍ ൌ ૚૙. ૙૙૙ࢍ ൌ ૚૙࢑ࢍ
O item está errado. 
51. a despesa com a compra do açúcar foi inferior a R$ 54,00. 
São 10 pacotes de açúcar e cada pacote custa R$ 6,00. Desta maneira, a despesa 
com a compra do açúcar foi: 
૚૙ ൈ ࡾ$૟, ૙૙ ൌ ࡾ$૟૙, ૙૙
O item está errado. 
52. a despesa com a compra dos biscoitos foi superior a R$ 57,00. 
São 40 pacotes de biscoito e cada pacote custa R$ 1,50. Desta maneira, a despesa 
com a compra dos biscoitos foi: 
૝૙ ൈ ࡾ$૚, ૞૙ ൌ ࡾ$૟૙, ૙૙
O item está certo. 
(MEC 2009/CESPE-UnB) Considere que uma empresa tenha contratado N pessoas para 
preencher vagas em 2 cargos; que o salário mensal de um dos cargos seja de R$ 
2.000,00 e o do outro seja de R$ 2.800,00 e que o gasto mensal para pagar os salários 
dessas pessoas seja de R$ 34.000,00. A partir dessas considerações, julgue os itens 
subsequentes. 
53. Se o gasto mensal, em reais, com os contratados para o cargo com salário mensal 
de R$ 2.000,00 estiver para 3, assim como o gasto mensal, em reais, com os 
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contratados para o cargo com salário mensal deR$ 2.800,00 está para 14, então o 
número de contratados para estes 2 cargos será superior a 12. 
54. O número de pessoas que essa empresa contratará não poderá ser um número 
par. 
Resolução 
Vamos considerar que são ݔ pessoas que ganham R$ 2.000,00 e ݕ pessoas que ganham 
R$ 2.800,00. Como são N pessoas no total, temos que: 
ݔ ൅ ݕ ൌ ܰ
As ݔ pessoas que ganham R$ 2.000,00, juntas, ganham 2.000 · ݔ. 
As ݕ pessoas que ganham R$ 2.800,00, juntas, ganham 2.800 · ݕ. 
As N pessoas (ݔ ൅ ݕሻ juntas ganham R$ 34.000,00. 
2.000ݔ ൅ 2.800ݕ ൌ 34.000
Temos um sistema de equações: 
൜
ݔ ൅ ݕ ൌ ܰ
2.000ݔ ൅ 2.800ݕ ൌ 34.000
Vamos analisar cada um dos itens de per si. 
53. Se o gasto mensal, em reais, com os contratados para o cargo com salário 
mensal de R$ 2.000,00 estiver para 3, assim como o gasto mensal, em reais, com os 
contratados para o cargo com salário mensal de R$ 2.800,00 está para 14, então o 
número de contratados para estes 2 cargos será superior a 12. 
O gasto mensal com os contratados de R$ 2.000,00 é 2.000ݔ (como foi visto 
anteriormente). O gasto mensal com os contratados de R$ 2.800,00 é 2.800ݕ. 
Temos a seguinte proporção. 
2.000ݔ
3
ൌ
2.800ݕ
14
Vamos utilizar a propriedade das proporções. Vamos “prolongar” a proporção somando os 
numeradores e denominadores. 
2.000ݔ
3
ൌ
2.800ݕ
14
ൌ
2.000ݔ ൅ 2.800ݕ
3 ൅ 14
Observe agora a segunda equação do sistema obtido: 
2.000ݔ ൅ 2.800ݕ ൌ 34.000.
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2.000ݔ
3
ൌ
2.800ݕ
14
ൌ
2.000ݔ ൅ 2.800ݕ
3 ൅ 14
ൌ
34.000
17
ൌ 2.000
Temos as seguintes igualdades: 
2.000ݔ
3
ൌ 2.000 ݁ 
2.800ݕ
14
ൌ 2.000
2.000ݔ ൌ 6.000 ݁ 2.800ݕ ൌ 28.000
ݔ ൌ 3 ݁ ݕ ൌ 10
Como ݔ ൅ ݕ ൌ ܰ, temos: 
ܰ ൌ 3 ൅ 10 ൌ 13
Foram contratados 13 funcionários no total. O item está certo. 
54. O número de pessoas que essa empresa contratará não poderá ser um número 
par. 
Vamos voltar ao sistema obtido: 
൜
ݔ ൅ ݕ ൌ ܰ
2.000ݔ ൅ 2.800ݕ ൌ 34.000
Da primeira equação, podemos concluir que ݔ ൌ ܰ െ ݕ. 
A segunda equação é 2.000ݔ ൅ 2.800ݕ ൌ 34.000. 
Vamos dividir os dois membros da equação por 100. 
20ݔ ൅ 28ݕ ൌ 340
Podemos, agora, dividir os dois membros da equação por 4. 
5ݔ ൅ 7ݕ ൌ 85
Ora, como ݔ ൌ ܰ െ ݕ, temos: 
5 · ሺܰ െ ݕሻ ൅ 7ݕ ൌ 85
5ܰ െ 5ݕ ൅ 7ݕ ൌ 85
5ܰ ൅ 2ݕ ൌ 85
É de conhecimento da aritmética que: 
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݌ܽݎ ൅ ݌ܽݎ ൌ ݌ܽݎ
í݉݌ܽݎ ൅ í݉݌ܽݎ ൌ ݌ܽݎ
݌ܽݎ ൅ í݉݌ܽݎ ൌ í݉݌ܽݎ
í݉݌ܽݎ ൅ ݌ܽݎ ൌ í݉݌ܽݎ
Olhemos com atenção para a equação 5ܰ ൅ 2ݕ ൌ 85. 
ݔ, ݕ ݁ ܰ representam quantidades de pessoas, logo são números inteiros. 
Temos uma adição com resultado ímpar. Então uma das parcelas é um número par e 
uma parcela é um número ímpar. 
O número 2ݕ é um número par porque é um múltiplo de 2. 
Então o número 5ܰ obrigatoriamente deve ser um número ímpar. 
Se 5ܰ é par, então ܰ é par. 
Se 5ܰ é ímpar, então ܰ é ímpar. 
Como 5ܰ é ímpar, então concluímos que N obrigatoriamente é um número ímpar. 
O item está certo.
(FUNESA-SE 2008/CESPE-UnB) Um indivíduo gastou R$ 2.572,00 na compra de 
cartuchos de toner, 5 filtros de linha e uma caixa com 50 DVDs. Sabendo-se que o preço 
de 20 DVDs equivale ao de um filtro de linha mais R$ 1,60; que cada cartucho de toner 
custa R$ 200,00; e que gastou-se mais de R$ 2.375,00 e menos de R$ 2.450,00 com a 
compra dos cartuchos de toner, julgue os itens subsequentes. 
55. Com a quantia gasta na compra dos 5 filtros de linha seria possível comprar 93 
DVDs. 
56. Os 50 DVDs custaram mais de R$ 80,00. 
57. O custo de todos os cartuchos de toner comprados foi inferior a 20 vezes o preço 
dos 5 filtros de linha. 
Resolução 
O preço de cada filtro de linha é igual a ݂ e o preço de um DVD é igual a ݀. Vamos 
considerar ainda que foram comprados ݐ cartuchos de toner. 
O gasto total com ݐ cartuchos de toner (o preço de cada cartucho é ܴ$ 200, ,00), 5 filtros 
de linha (cada filtro de linha custa ݂) e 50 DVDs (cada DVD custa ݀) foi igual a R$ 
2.572,00. Portanto: 
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200ݐ ൅ 5݂ ൅ 50݀ ൌ 2.572
O preço de 20 DVDs equivale ao de um filtro de linha mais R$ 1,60. 
20݀ ൌ ݂ ൅ 1,60
Podemos escrever que ݂ ൌ 20݀ െ 1,60. 
Gastou-se mais de R$ 2.375,00 e menos de R$ 2.450,00 com a compra dos cartuchos de 
toner. Como cada cartucho de toner custa R$ 200,00 e foram comprados ݐ cartuchos, 
então: 
2.375 ൏ 200ݐ ൏ 2.450
Dividindo todos os membros da inequação por 200, temos: 
2.375
200
൏
200ݐ
200
൏
2.450
200
11,875 ൏ ݐ ൏ 12,25
Como ݐ é o número de cartuchos de toner, então obrigatoriamente ݐ é um número inteiro. 
O único número inteiro compreendido entre 11,875 e 12,25 é 12. Portanto, ݐ ൌ 12, ou 
seja, foram comprados 12 cartuchos de toner. 
Vamos reescrever a primeira equação. 
200ݐ ൅ 5݂ ൅ 50݀ ൌ 2.572
200 · 12 ൅ 5݂ ൅ 50݀ ൌ 2.572
2.400 ൅ 5݂ ൅ 50݀ ൌ 2.572
5݂ ൅ 50݀ ൌ 172
Sabemos que ݂ ൌ 20݀ െ 1,60. Portanto: 
5 · ሺ20݀ െ 1,60ሻ ൅ 50݀ ൌ 172
100݀ െ 8 ൅ 50݀ ൌ 172
150݀ ൌ 180
݀ ൌ 1,20
Assim, cada DVD custa R$ 1,20. 
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݂ ൌ 20݀ െ 1,60
݂ ൌ 20 · 1,20 െ 1,60
݂ ൌ 22,4
Cada filtro de linha custa R$ 22,40. 
Resumindo: 
Foram comprados 12 cartuchos de toner. 
Cada DVD custa R$ 1,20. 
Cada filtro de linha custa R$ 22,40. 
55. Com a quantia gasta na compra dos 5 filtros de linha seria possível comprar 93 
DVDs. 
Cada filtro de linha custa R$ 22,40. Cinco filtros de linha custam 
5 · 22,40 ൌ 112 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Para comprar 93 DVDs precisamos de (lembre-se que cada DVD custa R$ 1,20) 
93 · 1,20 ൌ 111,6
Desta maneira com a quantia gasta na compra dos 5 filtros de linha seria possível 
comprar 93 DVDs. 
O item está certo. 
56. Os 50 DVDs custaram mais de R$ 80,00. 
Cada DVD custa R$ 1,20. Os 50 DVDs custam: 
50 · 1,20 ൌ 60 ݎ݁ܽ݅ݏ.
O item está errado. 
57. O custo de todos os cartuchos de toner comprados foi inferior a 20 vezes o 
preço dos 5 filtros de linha. 
Custo de todos os cartuchos de toner: ܴ$ 200,00 · 12 ൌ ܴ$ 2.400,00. 
Os 5 filtros de linha custaram ܴ$ 22,4 · 5 ൌ 112 ݎ݁ܽ݅ݏ.
20 vezes o preço dos 5 filtros de linha é igual a: 
20 · 112 ݎ݁ܽ݅ݏ ൌ 2.240 ݎ݁ܽ݅ݏ
Portanto, o custo de todos os cartuchos de toner comprados foi superior a 20 vezes o 
preço dos 5 filtros de linha. 
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O item está errado.
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Relação das questões comentadas
01. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real ݔ e faça com ele as 
seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida some 1, multiplique por 3 e 
subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de ݔ está entre: 
a) 30 e 35 
b) 35 e 40 
c) 40 e 45 
d) 45 e 50 
e) 50 e 55 
02. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real ݔ e faça com ele as 
seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, em seguida divida por 3, 
multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, o valor de ݔ é: 
a) um número múltiplo de 7. 
b) um número entre 30 e 40. 
c) um número par.d) um número cuja soma dos dígitos é 10. 
e) um número primo. 
03. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema 
൜
0,3ݔ ൅ 1,2ݕ ൌ 2,4
0,5ݔ െ 0,8ݕ ൌ െ0,9
O valor de ݔ é: 
a) 1 
b) -1 
c) 0 
d) 2 
e) 2/3 
04. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma praça e 
pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu 
tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 
6,00”. O número de mendigos era, portanto: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
05. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a metade da idade 
de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Se a 
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soma das idades dos três é 100 anos hoje, calcule quantos anos o pai de João é mais 
velho que sua mãe. 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 13 
e) 15 
06. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois irmãos é de 
três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o terceiro e assim foi 
acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. Sabendo-se que, hoje, a idade 
do último irmão que nasceu é a metade da idade do primeiro irmão nascido, é correto 
afirmar que, hoje, o irmão mais velho está com idade igual a 
a) 18 anos. 
b) 20 anos. 
c) 22 anos. 
d) 24 anos. 
e) 26 anos. 
07. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 o triplo da 
idade que tinha em 1994. Essa pessoa tem hoje: 
a) 22 anos. 
b) 23 anos. 
c) 24 anos. 
d) 25 anos. 
e) 26 anos. 
08. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, 
dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira 
correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que 
representa uma dessas quantidades é o: 
f) 8 
g) 12 
h) 18 
i) 22 
j) 24 
09. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e consecutivos têm por 
soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um quociente igual a: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
010. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se 
apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. 
Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 
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horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em 
quanto tempo o tanque encherá? 
f) 12 horas 
g) 30 horas 
h) 20 horas 
i) 24 horas 
j) 16 horas 
011. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram 
incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa 
tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de 
tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a 
tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o 
esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em 
a) 6 horas e 30 minutos. 
b) 7 horas e 30 minutos. 
c) 6 horas. 
d) 7 horas. 
e) 8 horas. 
012. (ANEEL 2004/ESAF) Para ݔ ് 5, a simplificação da expressão 
10ݔ െ 50
25 െ 5ݔ
é dada por: 
a) െ2
b) 2
c) െ5
d) 5 
e) 25
013. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio tantos 
reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos 
possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia que Carlos tinha inicialmente era 
de: 
a) 12 reais 
b) 15 reais 
c) 18 reais 
d) 20 reais 
e) 24 reais 
014. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, 
redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro 
suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia 
o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o 
mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que 
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possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia 
total que as três meninas possuem juntas é igual a: 
a) R$ 214,00 
b) R$ 252,00 
c) R$ 278,00 
d) R$ 282,00 
e) R$ 296,00 
015. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro 
que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, 
se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Quanto de 
dinheiro possui Rui? 
a) R$ 42,00 
b) R$ 31,00 
c) R$ 25,00 
d) R$ 28,00 
e) R$ 47,00 
016. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram um 
barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. 
Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. Então Carlos pagou: 
a) R$150,00 
b) R$200,00 
c) R$250,00 
d) R$300,00 
e) R$350,00 
017. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo há 
um número escondido. 
Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos quadradinhos 
sombreados. 
 16 21 11 
O número que está no primeiro quadradinho é: 
a) 3 
b) 5 
c) 8 
d) 11 
e) 13 
018. (Assistente Administrativo – SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y e Z, 
trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural. Considere que, em certo 
período, a soma dos comprimentos dos dutos montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 
8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O comprimento dos dutos montados pela equipe 
(A) X foi 4 200 m. 
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(B) X foi 4 500 m. 
(C) Y foi 3 500 m. 
(D) Y foi 3 900 m. 
(E) Z foi 5 000 m. 
(TJBA 2003/CESPE) Em cada um dos itens seguintes, é apresentada uma situação 
hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada. 
19. Em um dia, um grupo de servidores digita 1.685 páginas. No período da manhã, eles 
digitam o dobro menos 70 páginas em relação ao período da tarde. Nessa situação, no 
período da tarde, são digitadas mais de 580 páginas. 
20. Dois tanques, I e II, são tais que o tanque I contém uma mistura homogênea de 50 L 
de gasolina e 25 L de álcool, e o tanque II contém 60 L de gasolina e 15 L de álcool, 
homogeneamente misturados. Deseja-se obter 40 L de uma mistura de álcool e gasolina, 
contendo 22% de álcool, usando-se somente as misturas contidas nos tanques I e II. 
Nessa situação, deve-se usar menos de 10 L da mistura contida no tanque I. 
(BB 2009/CESPE-UnB) A Fundação Banco do Brasil apoia, financeiramente, projetos 
educacionais e culturais em muitas cidades do Brasil. Considere que, em determinada 
região, o total dos recursos destinados a um projeto de dança clássica e a um projeto de 
agroecologia tenham sido iguais ao quíntuplo dos recursos destinados a um projeto de 
alfabetização; que a soma dos recursos destinados aos projetos de alfabetização e de 
dança clássica tenham sido de R$ 40.000,00; e que a diferença entre os recursos 
destinados aos projetos de agroecologia e alfabetização tenham sido