Cordas Vibrantes

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Universidade Estadual de Maringá 
Centro de Ciências Exatas 
Departamento de Física 
Laboratório de Física I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CORDAS VIBRANTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acadêmicos: Bruna Caroline Tavares RA: 81925 
Nathália Wisniewski Siqueira 70113 
Thaís Eloá Venzel 85748 
Vinicius Domen 84829 
Turma: 003 – Engenharia Química (5263) Professora: Hatsumi Mukai 
Maringá, setembro de 2013. 
 
1. RESUMO 
 
O experimento proposto neste relatório tem como finalidade gerar ondas 
estacionárias e analisar as dependências envolvidas. Para isso foi necessário 
um gerador de funções Gold Star, leitor de frequência SCS de precisão 1, um 
amplificador SS, um fio tipo cordonê, alto-falante Novik (PCS) Woofer 6”, 5 
massas de valores diferentes, dentre outros materiais. Colocou-se, então, um 
peso na ponta do fio cordonê enquanto que a outra ponta estava ligada 
diretamente com o alto-falante; com a ligação deste, são geradas ondas 
estacionárias no fio. Alterando os valores da amplitude aumentava-se a 
quantidade de número de ventres. Através desse sistema, criaram-se situações 
as quais diferiam entre si devido ao número de ventres presentes na corda e a 
força tensora aplicada. Para interpretar os dados obtidos experimentalmente, 
realizaram-se análises via gráficos, tabelas, equações e analises dimensionais. 
 
 
2. OBJETIVOS 
 
 O objetivo do experimento consiste em gerar ondas estacionarias em um 
fio cordonê. A partir dos dados obtidos experimentalmente, será possível 
analisar a dependência da frequência de vibração do fio, com o número de 
ventres, comprimento do fio, tensão aplicada e velocidade de propagação de 
uma onda em estado estacionário, sendo esta obtida através de medidas 
diretas de comprimentos de onda em ondas estacionárias e também através da 
relação entre a tensão na corda e a densidade linear de massa da mesma. 
 
 
3. INTRODUÇÃO GERAL 
 
Na natureza, existe uma grande variedade de tipos de ondas, e o estudo 
de suas propriedades e seu comportamento constitui um importante campo da 
física. Podemos entender uma onda como uma perturbação que se propaga 
em um meio. Dentre as mais fundamentais propriedades associadas a uma 
onda está o transporte de energia sem envolver o arrasto do meio material 
onde ela se propaga. 
A teoria das cordas vibrantes pode ser relacionada com as cordas de um 
violão. Por exemplo, a espessura da corda é definida pela sua área de secção 
transversal A. Embora a espessura de cada corda varie, o comprimento L de 
todas as cordas soltas do violão é fixo, ou seja, tem um valor típico definido na 
construção do instrumento, pois a corda pode vibrar na sua porção livre que vai 
do rastilho até a pestana. Assim, apertando a tarracha correspondente a uma 
corda, teremos uma tensão T maior que provoca maior velocidade v de 
propagação do som na corda. Como a frequência f da nota emitida pela corda 
é dada por f= v/λ, aumentar a tensão T na corda significa produzir nota musical 
de frequência maior, que soa mais aguda. Ao contrário, desapertando a 
tarracha, a tensão T na corda diminui e o som passa a ser mais grave. 
Neste experimento, estudaremos as características de ondas 
transversais que se propagam numa corda vibrante, as quais são conhecidas 
como ondas harmônicas estacionárias. Este tipo de onda é caracterizado por 
uma grande amplitude de vibração, e é uma manifestação de ressonância da 
corda com relação à excitação por uma força externa. Nota-se nesse sistema, 
que quanto maior a frequência de ressonância, maior será a quantidade de 
nodos na corda, e neles, buscaremos sempre a maior amplitude possível. 
 
4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
1. ONDAS 
Uma onda é uma perturbação ou variação que transfere energia 
progressivamente de ponto para ponto num meio e que pode tomar a forma de 
uma deformação elástica ou uma variação de pressão, intensidade elétrica ou 
magnética, potencial elétrico, ou temperatura. As ondas podem se classificar de 
acordo com a direção de propagação de energia, quanto à natureza das ondas 
e quanto à direção de propagação. 
● Quanto à natureza: 
- Mecânicas: Ondas que obedecem as Leis de Newton e são as únicas 
que dependem de um meio para propagação. Exemplo: ondas sonoras, 
ondas sísmicas. 
- Eletromagnéticas: São ondas que se formam a partir da combinação 
dos campos magnético e elétrico, que se propagam no espaço 
transportando energia. Não necessitam de um meio material para 
existir. Exemplo: luz visível, luz ultravioleta. 
- de Matéria: Estão associadas a elétrons, prótons e outras partículas 
elementares, e mesmo a átomos e moléculas. 
● Quanto à direção de propagação: 
- Perpendicular ou transversal: Onda na qual a perturbação é 
perpendicular à direção de propagação. 
- Longitudinal: Onda na qual a perturbação é paralela à direção de 
propagação. 
● Quanto à direção de propagação de energia: 
- Unidimensionais: propagam-se em uma única dimensão; 
- Bidimensionais: propagam-se num plano; 
- Tridimensionais: propagam-se em todas as direções. 
 
1.1 – Características Gerais 
A função que descreve uma onda em uma corda (e o movimento de 
qualquer elemento da corda) é: 
y(x,t) = ymsen(kx - ωt) (1)
Sendo: 
y(x,t) → deslocamento 
ym → amplitude 
sen(kx - wt) → fator oscilador 
(kx - wt) → fase 
k → número de onda 
x → posição 
ω → frequência angular 
t → tempo 
Como tal equação está descrita em termos da posição x, pode ser usada 
para calcular os deslocamentos de todos os elementos da corda em função do 
tempo. Podendo, dessa forma, expressar qual é a forma da onda em qualquer 
instante de tempo e como esta forma varia quando a onda se move ao longo 
da corda. 
 
 
Figura 1 - Detalhes do movimento de uma corda 
 
A amplitude, ym da Figura 1, é o módulo do deslocamento máximo dos 
elementos a partir da posição de equilíbrio. 
A fase da onda é o argumento (kx - ωt) do seno da equação 1. 
O comprimento de uma onda, λ, é a distância (paralela à direção de 
propagação da onda) entre repetições da forma de onda. E o deslocamento, 
por definição, é o mesmo y nas duas extremidades do comprimento de onda. 
A variável k é chamada número de onda, dada por: 
 
 
 
 (2) 
O parâmetro ω é chamado frequência angular da onda, dado por: 
 
 
 
 (3) 
Período de oscilação de uma onda, T, é definido como o tempo que um 
elemento da corda leva para realizar uma oscilação completa. Encontrado por 
meio da equação (3). 
A frequência, f, de uma onda é definida como 1/T e está relacionada a 
frequência angular ω, por meio da equação: 
f = 
 
 
 = 
 
 
 (4) 
 
1.2 – Ondas Estacionárias 
Quando ondas estão confinadas num espaço ocorrem reflexões em suas 
extremidades e se formam ondas que estão em movimento nas duas direções. 
Estas ondas se combinam de acordo com o principio da superposição. Numa 
dada corda, existem certas frequências nas quais a superposição leva a uma 
configuração de vibração estacionária chamada onda estacionária. Assim, a 
equação final de duas ondas superpostas, tal que: 
y1=ymsen(kx+ωt) e y2=ymsen(kx-ωt), (5) 
considerando o principio de superposição de onda: 
y=y1+y2 (6) 
Dessa forma, substituindo (5) em (6) 
y= [ymsen(kx+ωt)]+[ ymsen(kx-ωt)] 
y=ym [sen(kx+ωt)+sen(kx-ωt)] (7) 
Pela identidade trigonométrica, tem-se que: 
 sen sen sen
1
 
 cos
1
 
 (8) 
Supondo: 
kx+ωt e kx-ωt (9) 
Então, substituindo (8) em (7) 
y=ym[ sen
1
 
 + cos
1
 
 - ] (10) 
 
Colocando (9) em(10): 
y=ym[ sen
1
 
 ω + kx - ωt cos
1
 
 ω – kx+ωt ] 
y=ym[ sen
1
 
 cos
1
 
 ω ] 
 y=2ymsen .cosω (11) 
O fator 2ymsenkx, da equação (11), pode ser visto como a amplitude de 
oscilação do elemento da corda localizada no ponto x. 
Em uma onda senoidal progressiva a amplitude da onda é a mesma 
para todos os elementos da corda, mas em ondas estacionárias isso não 
ocorre, já que a amplitude varia com a posição. Assim, pela equação (11), a 
amplitude só será máxima, e igual a 2ym, quando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (12) 
Tais pontos são nomeados de antinodos ou ventres e distanciam entre 
meio comprimento de onda, λ/ . 
Para encontrar os nós ou nodos, que são pontos fixos na corda e que 
tem amplitude igual a zero, faz-se: 
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (13) 
A distância entre eles, também, é de meio comprimento de onda, λ/ . 
Uma onda estacionária não transfere energia de uma extremidade para 
outra da corda. As duas ondas que formam a onda estacionária transferem a 
mesma potência nos dois sentidos. Existe um fluxo de energia total de cada nó 
para o ventre adjacente e vice-versa, mas a taxa média de transferência de 
energia é igual à zero em todos os pontos. 
 
1.2.1 - Modos normais de uma corda 
Considerando uma corda com um comprimento fixo L, presa rigidamente 
em ambas as extremidades. Tal corda pode ser encontrada em muitos 
instrumentos musicais, como pianos, violinos e guitarras. Quando a corda de 
uma guitarra é puxada, uma onda se 
propaga na corda; essa onda se reflete 
sucessivamente nas duas 
extremidades, produzindo-se uma onda 
estacionária. 
Fixando as duas extremidades de uma 
corda comprida, e excitando a corda, 
num certo ponto, com um movimento 
harmônico simples de pequena 
amplitude, transversal à corda, verifica-
se que em certas frequências, formam-
se configurações de ondas 
estacionárias. 
 
Figura 2 - Ondas estacionárias numa corda 
fixa pelas duas extremidades. Os pontos V 
são os ventres e os N os nós. 
 
As frequências que provocam essas ondas estacionárias são as 
frequências de ressonância do sistema oscilante. A frequência de ressonância 
mais baixa é a frequência fundamental, f1. Ela provoca a onda estacionária 
chamada o modo da vibração ou o primeiro harmônico. A frequência seguinte f2 
tem frequência igual ao dobro da frequência fundamental e é o segundo 
harmônico. Observa-se que o primeiro harmônico tem um ventre, o segundo 
harmônico tem dois ventres, e assim sucessivamente. 
A onda estacionária deve possuir nós em ambas as extremidades da 
corda. Sabendo que a distância entre dois nós adjacentes é igual a meio 
comprimento de onda (λ / ), de modo que o comprimento da corda deve ser 
igual a λ/ ou (λ/ ), ou 3(λ/ ), ou de modo geral igual a um número inteiro 
múltiplo de meio comprimento de onda: 
 
 
 
 (14) 
 Ou seja, se uma corda de comprimento L possui as duas extremidades 
fixas, uma onda estacionária só pode existir quando seu comprimento de onda 
satisfizer a equação (14). 
 Determinando o comprimento de onda, λ, na equação (14), tem-se que: 
 
 
 
 (n = 1, 2, 3, 4, ...) (15) 
O comprimento de onda (λ) que pode ser definido como a distância 
mínima em que um padrão temporal da onda (ou seja, um ciclo) se repete. É, 
também, escrito por uma relação que envolve a velocidade v e a frequência f 
de uma onda harmônica: 
 
 
 
 (16) 
 A velocidade para o caso de um fio longo e flexível é dada por: 
 
 
 
 (17) 
Tal que F é a tensão na corda ( ) e ρ a densidade, a qual é 
definida como a massa por unidade de comprimento: 
 
 
 
 (18) 
 Colocando a equação (15) na (16): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (19) 
 Por fim, substituindo (17) em (19): 
 
 
 
 
 
 
 (20) 
 A equação (20) é denominada como fórmula de Lagrange. Quando n=1 
tem-se o primeiro harmônico ou frequência fundamental. As outras frequências 
são múltiplos da frequência fundamental, o que quer dizer que eles se 
relacionam por: 
 (21) 
 Sabendo que: 
 
 
 
 
 
 
 (22) 
 
2. MEDIDAS E ERROS 
Em se tratando de medidas podemos considerar seu grau de 
imprecisão como incerteza para uma única medida e desvio para várias 
medidas. As medidas também podem ser classificadas como Medidas Diretas 
e Medidas Indiretas. As Diretas são medidas obtidas diretamente do 
instrumento, tal com: tempo (aferido pelo cronômetro) e entre outros. Ainda na 
classificação de medidas diretas ocorre uma subdivisão desta forma, Medida 
Direta de uma única medida na qual somente uma leitura ou aferição é 
necessária, e também Medida Direta de várias medidas quando se faz 
necessário a aferição inúmeras vezes, com objetivo de diminuir a imprecisão 
da medida. Por outro lado as Medidas Indiretas são obtidas com o auxílio de 
equações, como por exemplo, a determinação da velocidade da onda. 
Mesmo assim a Teoria de Erros busca explicar porque medidas de 
mesmas grandezas e características gerais, como método utilizado, 
instrumentos e condições experimentais nos levam a resultados diferentes, 
gerando um erro. Contudo esses erros podem ser classificados de três 
maneiras: Erros Grosseiros, ocasionado pela falta de prática do 
experimentador, erros na leitura do instrumento; Erros Sistemáticos, ocorrem 
sempre pelo mesmo motivo, seja falha do experimentador ou instrumento 
utilizado e por fima Erros de Flutuação, que são os erros imprevisíveis, ou seja, 
erros por fatores incalculáveis. 
Trabalhando com dados experimentais nota-se que necessita a 
utilização de desvios ou incertezas para melhores resultados. Em prol disso 
quando se trata de uma única medida e o instrumento não oferecer a incerteza, 
o valor será a metade da menor divisão. Com várias medidas a média 
aritmética será necessária, para por seguinte se calcular o desvio faz se 
preciso a Equação (23) do desvio padrão dado a seguir: 
 2
1
( )
( 1)
n i
i
x x
n






 (23) 
E para desvios de medidas indiretas utiliza-se o logaritmo neperiano 
(ln), ou seja, logaritmo na base e (número de Euler e 

2.71828). Aplicando ln 
nos dois lados da equação a ser representada, quando se tem multiplicação ou 
divisão, sendo que de acordo coma teoria de propagação de erros, as 
subtrações passar a ser adições, levando em conta que os erros nunca 
diminuem, assim considera-se a equação (24): 
 
ln
x
x
x


 (24) 
Desta maneira se da o desvio das grandezas abaixo demonstrada: 
 Desvio da densidade, de acordo com a equação (18) 
fio
fio
m
l
 
 
ln ln lnfio fio
fio fio
fio fio
m l
m l
m l

 

 
 
 
fio fio
fio fio
m l
m l
 
 
 
   
 
 (25) 
 
 Desvio da velocidade, de acordo com a equação (17), elevando ao 
quadrado dos dois lados da equação com o objetivo de tirar a raiz tem-se: 
2
2ln ln ln
F
v
v F



 
 
 
2
v F
v
F
 


 
  
 
 (26) 
 Desvio do comprimento Ln (novo comprimento), de acordo com a equação 
(27): 
n
L
L
n

 
ln ln lnnL L n  
 
n n
L n
L L
L n
     
 
 (28) 
 Desvio do inverso de Ln (novo comprimento),de acordo com a equação 
(29) 
1
n
x
L

 ln ln1 ln
1
n
n
n
n
n n
x L
L
x x
L
L
x
L L




 
 
  
 
 
  
 
 
2
n
n
L
x
L

 
 (30) 
 Desvio da Força, de acordo com a equação (31) 
F = m.a 
ln ln lnF m a  
m
F F
m

    
 
 (32) 
 Desvio da frequência, de acordo com a equação (20), elevando ao 
quadrado dos dois lados da equação com o objetivo de tirar a raiz tem: 
22ln ln ln ln lnnf n L F     
2
2
n
f L F
f
L F
  

 
   
 
 (33) 
 Desvio da frequência elevada ao quadrado 
2x f
 (34) 
2
ln 2 ln
2
2
x f
f
x x
f
f
x f
f





 
  
 
 
  
  
2 .( )x f f 
 (35) 
 
Para uma melhor interpretação dos dados, confeccionaram-se gráficos, 
seus comportamentos foram lineares e utilizou-se o ajuste de retas para 
encontrar a constante K, tendo ela dimensão de b da equação da reta abaixo: 
 
y a bx 
 (36) 
 O desvio da constante foi obtido através método dos mínimos 
quadrados. 
Por fim, calcula-se o desvio percentual com objetivo de comparação 
entre valores teóricos e práticos utilizando a equação a seguir: 
 
% .100
T EXP
T
V V
D
V


 (37) 
Trabalhando com dados experimentais, nem todos os pontos de um 
gráfico ficam alinhados completamente, para isso, utiliza-se do método dos 
mínimos quadrados para ajustar uma reta. Considerando-se a equação 
y a bx 
, a é dado por 
 2
2 2( )
y x x xy
a
n x x
   

  
 (38) 
 
e b por 
 
2 2( )
n xy x y
b
n x x
  

  
 (39) 
em que n é o número de medidas. 
 
 
5. DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL 
5.1. Materiais utilizados 
 Fio tipo cordonê; 
 5 massas de valores diferentes; 
 Suporte lateral; 
 1 trena da marca Vonder de precisão 0,05 cm; 
 Balança semi-analítica Bel Engineering de precisão 0,05 g; 
 Alto-falante Novik (PCS) Woofer 6”; 
 Gerador de funções Gold Star; 
 Amplificador SS; 
 Leitor de frequência SCS de precisão 1; 
 Papel de fundo escuro para contraste. 
 
5.2. Montagem experimental 
Para a realização deste experimento foi utilizado os seguintes materiais: 
 
 
Figura 3- FOTO DA MONTAGEM EXPERIMENTAL. (a)Massa Suspensa, (b)Demais massas 
a serem utilizadas, (c)Suporte lateral, (d)Auto falante, (e)Gerador de funções, (f) Papel de 
fundo escuro, (g)Leitor de frequências, (h)Amplificador, (i)Trena. 
 
5.3. Descrição do experimento 
1. Primeiramente, aferiram-se os valores das massas, em ordem 
crescente de tamanho, e anotados os seus valores na Tabela 1; 
(e) 
(e) 
(g) 
(g) 
(h) 
(h) 
2. Montou-se, então, o sistema, como mostrado na Figura 1, utilizando 
a menor massa por primeiro; 
3. O sistema foi alinhado de forma que o fio ficasse paralelo à mesa; 
4. Selecionou-se a escala de 50Hz no gerador, mantendo o 
amplificador na metade da escala. E, a partir do zero, aumentou-se levemente 
a frequência, até que o fio entrasse em ressonância, no modo de vibração 
fundamental, na amplitude do onda máxima de n=1. Anotou-se esse valor na 
Tabela1. 
Quando o botão do gerador ficou no limite, a escala foi aumentada para 
500Hz (sempre diminuindo o u zerando o botão seletor da frequência), de 
modo que o correr da vibração sempre ficasse silencioso. Para isso, na 
ocorrência de zunidos a escala do gerador ou do amplificador deveria ser 
diminuída. 
5. Após, obteve-se, da mesma forma, as frequências de ressonância 
para os harmônicos n=2,3,4 e 5, procurando, sempre, a amplitude máxima; e 
estes valores foram anotados, também, na Tabela1. 
6. Logo após, foi medido o comprimento (L) do fio entre o alto falante e 
o suporte em L invertido, medida esta tomada do primeiro ao último nodos, e 
anotado na Tabela1. 
7. O mesmo procedimento foi repetido para os outros quatro valores de 
massa (m), em ordem crescente, tendo sido estes dados registrados na Tabela 
1. 
8. Por fim, foram zerados a fonte, o amplificador e desligado o sistema. 
9. Para fins de cálculo e devido a precisão da balança, mediu-se o 
comprimento (
fiol
) e a massa (
fiom
) de um fio de mesmo material do usado no 
experimento, sendo esses dados também anotados na Tabela 1. 
 
5.4. Dados obtidos experimentalmente: 
 Os dados obtidos experimentalmente foram coletados pelas alunas 
Bruna Caroline Tavares e Nathália Siqueira. 
 
Tabela 1- Medidas das frequências (f) e, função do número de ventres (n) e da 
tração aplicada ao fio de comprimento L sob a atuação de uma força peso de 
massa m. 
 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 
m x 10-3 
(Kg) 
f(Hz) f(Hz) f(Hz) f(Hz) f(Hz) 
51,00±0,05 18±1 44±1 52±1 64±1 73±1 
74,70±0,05 21±1 40±1 56±1 74±1 83±1 
93,00±0,05 20±1 40±1 59±1 75±1 93±1 
112,40±0,05 25±1 42±1 61±1 81±1 99±1 
132,50±0,05 25±1 45±1 64±1 88±1 113±1 
Lexperimento = (1,569±0,005)m 
Para o cálculo da densidade 
mfio = (1,20 ± 0,05) 10
-3 Kg 
lfio = (5,0200 ± 0,0005) m 
 
5.5. Interpretação dos Resultados 
 Através dos dados experimentais da Tabela 1, e das Equações (18) e 
(25), é possível determinar a densidade linear do fio e seu respectivo desvio: 
3
41,20.10 2,39.10 /
5,020
kg m

 
 
5 4
4 4
2
5.10 5.10
2,39.10 . 0,10.10 /
1,2.10 5,020
kg m   

 
   
 
 
 ρ=(2,4±0,1).10-4kg/m 
1) Dependência da frequência de ressonância com número de ventres 
(modo de vibração). 
 a. Para verificar a dependência da frequência de ressonância com o 
número de ventres (modo de vibração), utilize os dados da Tabela 1 e 
confeccione um gráfico f xn. 
Para verificar tal dependência, confeccionou-se o Gráfico1 (fxn), abaixo, 
com os valores de frequência e os números de ventres. 
 
 
Figura 4- Gráfico1 (fxn), confeccionado com os dados da Tabela 1 
 
 Para que fosse possível traçar as retas no Gráfico da Figura 4, utilizou-
se o método dos mínimos quadrados, equações (38) e (39), tal que y=f e x=n. 
 
b. Interprete seu gráfico, obtendo a relação entre as variáveis envolvidas. 
 Observando o Gráfico da Figura 4, vemos que este é representada por 
funções lineares, uma vez que o comportamento dos dados ajustados são 
retas. Assim: 
af n
, logo, 
 
1.
af k n
; onde a é igual a 1. 
 
 
[Hz]=[Hz] 
 
c. Qual o significado físico da constante de proporcionalidade. 
 Em se tratando de retas, constata-se que o expoente é igual a um e o n 
é um fator multiplicativo adimensional da constante k, sendo assim, conclui-se 
que 
1k
tem igual dimensão de f, Hertz. O significado da constante de 
proporcionalidade é, portanto, a frequência fundamental do primeiro harmônico 
e seus valores subsequentes são múltiplos deste. Desta forma tem-se: 
f1: k1= (13,0 ± 1,8) Hz 
f2: k1= (15,8 ± 1,0) Hz 
f3: k1= (18,1 ± 0,4) Hz 
f4: k1= (18,7 ± 0,3) Hz 
f5: k1= (21,9 ± 0,8) Hz 
 
2) Dependência da frequência de ressonância com comprimento do fio: 
 Utilizando os dados da Tabela 1, obtenha a dependência da frequência 
com o comprimento do fio, para isso considere como fio, a parte da mesma 
compreendida entre dois nós consecutivos. O novo comprimento (Ln) será 
então 
n
L
L
n

 
a. Com base nesta mesma linha de raciocínio, utilizando dados da Tabela 1, 
confeccionou-se a Tabela 2. 
 Para a elaboração daTabela 2, utilizou-se os dados da Tabela 1 
referentes à massa de (112,4±0,05).10-3 kg, uma vez que seus pontos foram os 
que melhor se ajustaram. 
 
Tabela 2 – Dados obtidos via dados experimentais da Tabela 1 – Frequência 
em função do comprimento. 
 
Lexp = (1,5690 ± 0,0005) m 
n f (s-1) Ln=L/n (m) 1/Ln (m
-1) 
1 25 ± 1 1,569 ± 0,0005 0,6373 ± 0,0002 
2 45 ± 1 0,7845 ± 0,0003 1,2747 ± 0,0004 
3 64 ± 1 0,5230 ± 0,0002 1,9120 ± 0,0006 
4 88 ± 1 0,3923 ± 0,0001 2,5494 ± 0,0008 
5 113 ± 1 0,3138 ± 0,0001 3,1867 ± 0,0010 
 
b. Confeccione o gráfico 
1
n
fx
L
. 
 A partir dos dados da Tabela 2, confeccionou-se o gráfico 
1
n
fx
L
, abaixo. 
 
Figura 5- Gráfico fx1/Ln, confeccionado com os dados da Tabela 2 
 
 Assim como no Gráfico anterior, no Gráfico da Figura 5 utilizou-se o 
método dos mínimos quadrados, equações (38) e (39), para o ajuste da reta, 
desta forma, y=f enquanto x = 
1
nL
. 
 
c. Obtenha a relação matemática entre as variáveis envolvidas 
 Analisando o Gráfico acima, temos que: 
1
a
n
f
L

 
 
 
, assim, 
2
1
;
a
n
n
L
f k L
L n
 
  
 
, logo, 
2
a
n
f k
L
 
  
 
 
 
[s-1]=
2k
[m-1] 
Portanto, 
2
[ ]
[ ]
[ ]
m
k v
s
 
 
 
d. Qual o significado físico da constante de proporcionalidade. 
 A constante de proporcionalidade, 
2k
, tem dimensão de velocidade; 
significando, assim, que 
2k
 representa a velocidade da onda. 
 Logo, pela equação dada pelo gráfico da Figura 5, temos 
k2=(34,3611±1,2120)m/s. 
 
3) Dependência da frequência de ressonância com a força tensora: 
a. Por fim, obtenha ainda com os dados da Tabela 1 a dependência da 
frequência de ressonância com a força tensora (F = T = P = ms.g), para isso 
escolha um modo de vibração e complete a Tabela 3. Considere g = 9,80665 
m/s2. 
 
Tabela 3 – Frequência em função da força tensora. 
n = 3 
f (s-1) f² (s-²) F(N) 
52 ± 1 (27 ± 1).10² 0,5001 ± 0,0005 
56 ± 1 (31 ± 1).10² 0,7326 ± 0,0005 
59 ± 1 (35 ± 1).10² 0,9120 ± 0,0005 
61 ± 1 (37 ± 1).10² 1,1023 ± 0,0005 
64 ± 1 (41 ± 1).10² 1,2994 ± 0,0005 
 
b. Confeccione o gráfico f ²xF. 
 
Figura 6- Gráfico f ²xF, confeccionado com os dados da Tabela 3 
 
c. Escreva a relação matemática entre os parâmetros envolvidos. 
 Fazendo a análise dimensional do gráfico f ²xF: 
f ² F 
f ² = k3.F
a 
Sendo o gráfico uma reta, então a=1. Assim, 
f ² = k3.F 
[s-2] [N] 
[s-2] = k3. 
kg.m
s²
 
 Assim, a dimensão de k3 é 
k3 = 
1
kg.m
 = 
2
1 1
.
kg kg
mm m
m m
   
   
   
   
   
 
logo, o valor de k3 é (173 ±9).10 
1
kg.m
 
Questões: 
a) Utilizando a equação de Lagrange (20), obtenha as frequências dos 
harmônicos (fi, i=1-5) e compare com os resultados experimentais (Tabela 
1), obtendo o desvio percentual. Coloque seus resultados em uma tabela 
(ft, fexp, D%). 
 Para obter-se as frequências experimentais e seus respectivos, além de 
usar a equação (20), utilizou-se a equação (33), já que esta refere-se ao desvio 
da mesma. Os dados que foram empregados na fórmula referem-se àqueles 
apresentados nas Tabelas 1 e 3. E para encontrar o desvio, relacionando as 
frequências teóricas com as experimentais, adotou-se a equação (37). 
 
 
Tabela 4 – Dados das frequências encontradas a partir da equação de 
Lagrange (20) e seus respectivos desvios, comparando com os valores obtidos 
experimentalmente. 
 
n = 1 n = 2 
 
fT (Hz) fexp (Hz) D% fT (Hz) fexp (Hz) D% 
f1 18 ± 1 14,6 ± 0,3 23,49 44 ± 1 29,2 ± 0,6 50,93 
f2 21 ± 1 17,6 ± 0,4 19,04 40 ± 1 35,3 ± 0,8 13,37 
f3 20 ± 1 19,7 ± 0,4 1,61 40 ± 1 39,4 ± 0,8 1,61 
f4 25 ± 1 21,6 ± 0,5 2,96 42 ± 1 43,3 ± 0,9 2,96 
f5 25 ± 1 23,5 ± 0,5 4,24 45 ± 1 47,0 ± 1,0 4,24 
 
n = 3 n = 4 
 
fT (Hz) fexp (Hz) D% fT (Hz) fexp (Hz) D% 
f1 52 ± 1 43,7 ± 0,9 18,91 64 ± 1 58,3 ± 1,2 9,77 
f2 56 ± 1 52,9 ± 1,1 5,81 74 ± 1 70,6 ± 1,5 4,87 
f3 59 ± 1 59,1 ± 1,3 0,09 75 ± 1 78,7 ± 1,7 4,74 
f4 61 ± 1 64,9 ± 1,4 6,04 81 ± 1 86,6 ± 1,8 6,42 
f5 64 ± 1 70,5 ± 1,5 9,20 88 ± 1 94,0 ± 2,0 6,36 
 
n = 5 
 
 
fT (Hz) fexp (Hz) D% 
 f1 73 ± 1 72,9 ± 1,6 0,16 
 f2 83 ± 1 88,2 ± 1,9 5,90 
 f3 93 ± 1 98,4 ± 2,1 5,51 
 f4 99 ± 1 109,0±2,3 8,50 
 f5 113 ± 1 117,5±3,8 3,81 
 
b) Desconsiderando os erros experimentais, você acha que a equação de 
Lagrange prevê as conclusões tiradas da experiência? 
Ao observar a fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se: 
n = nº de ventres. 
L = comprimento do fio. 
F = tensão aplicada no fio. 
ρ = massa por unidade de comprimento. 
Analisando a equação 20, podemos observar que temos grandezas 
constantes (ρ e L), uma grandeza variável (F), além do número de ventres que 
é adimensional. 
Sendo assim, quanto maior a tensão aplicada no fio, maior será a 
velocidade e consequentemente mais ventres serão gerados. 
Comparando a fórmula de Lagrange com os dados obtidos 
experimentalmente, vemos que ao aumentar a frequência no amplificador, 
estamos aumentando a tensão que o aparelho realiza no fio. Logo, é possível 
de certa forma prever as conclusões apresentadas, apenas com os dados 
iniciais do experimento. Além disso, os valores obtidos experimentalmente 
foram suficientemente próximos daqueles que a equação de Lagrange (20) 
previa. 
 
c) Usando a Equação de Lagrange e os valores das constantes de 
proporcionalidade (k1, k2, k3) obtidas nos itens 1, 2 e 3, obtenham os 
valores para a densidade linear (ρ) do fio utilizado. Ache o desvio 
percentual em relação ao valor calculado com os valores medidos 
diretamente em m e L. 
De acordo com a Equação de Lagrange (20), utilizando número de 
ventres igual a um, temos: 
1
2
F
f
L 

, logo, isolando a densidade linear, 
4
2 2 2 2
1
3,20.10 /
4 4
F F
kg m
L f L k
   
 
Sendo assim, como k1 tem dimensão de frequência, em Hertz, 
substituiremos k1 na equação a cima. Como resultado, a densidade linear 
equivale a 
43,20.10
kg/m. Lembrando que a força utilizada foi a de 1,102N e 
que o número de ventres é igual a quatro. Além disso, a densidade 
experimental obtida através da equação (18) foi igual a 2,39.10-4 kg/m. 
Também, o desvio percentual, calculado através da equação (25) foi de 
25,31%. 
 Desta vez, utilizando a mesma equação, temos k2 com dimensão de 
velocidade, em metros por segundo. Assim relacionando tal dimensão com a 
Equação a cima, nota-se que o comprimento e a frequência multiplicados são 
equivalentes a metros por segundo. 
4
2 2 2
2
2,33.10 /
4 4
F F
Kg m
L f k
   
 
 
 m.s-1=m/s=[ k2] 
Novamente, pela equação (25), do desvio percentual, calcula-se este 
sendo igual a aproximadamente 2,58%. 
 Por ultimo, utilizando k3, percebe-se que este tem dimensão inversa de 
kg.m. Assim, mais uma vez utilizando a equação (20), 
2
n F
f
L 

 
isolando a densidade, 
2
2 24
Fn
L f
 
. 
Sendo a força dada em Newtons, isto é, em Kg.m/s2, enquanto a frequência ao 
quadrado é dada em s-2, vê-se que força dividido pela frequência ao quadrado 
tem dimensão 1/(kg.m). Assim, a equação para k3 é: 
2
4
2
3
5,29.10 /
4
n
Kg m
L k
  
 
O desvio percentual, calculado pela equação tal, para k3 é, então, de 54,82%. 
 
d) Utilizando a Equação (17), calcule a velocidade v do item do trem de 
ondas para a melhor força selecionada. 
Desta forma, utilizando a força que melhor se aplicou tem: 
4
1,102
67,90 /2,39.10
F
v m s   
 
O desvio, calculado pela equação (26), é 
1,57 /v m s 
 
v = (68±2)m/s 
 
e)Teste o resultado obtido no item anterior (d), através da Equação(16) 
Utilizando número de ventre sendo este igual a três e a frequência igual a 
(52±1)Hz, a velocidade é dada da seguinte maneira: 
2L
n
 
 ; v
f
 
 
assim substituindo tem: 
2L v
n f

 
 2
54,39 /
Lf
v m s
n
 
 
O desvio da velocidade é dado por: 
. 1,22 /
L f
v v m s
L f
      
 
 

 v = (54±1)m/s 
O desvio percentual, em relação a velocidade obtida no item d se faz pela 
equação (37): 
54,39 67,90
% .100 25%
54,39
D

 
 
 
 
6. ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 A partir do experimento realizado e feita a interpretação dos resultados, 
observa-se que no gráfico da Figura 4, o comportamento entre as grandezas foi 
proporcional, permitindo assim, uma relação linear entre a frequência e o 
número de ventres. Entretanto, nos pontos dos dados obtidos 
experimentalmente houve discrepância ao traçar a reta; por isso, utilizou-se o 
método dos mínimos quadrados para fazer o ajuste da reta. Tais erros podem 
ser justificados pela falta de experiência do experimentador ao coletar os 
dados, bem como erros instrumentais – como, por exemplo, a interferência do 
volume do alto-falante na aferição dos valores. Então, com o ajuste de reta, foi 
possível obter os coeficientes lineares, k1, que também sofreram desvios; estes 
são resultados de erros propagados da frequência, já citados. 
 No gráfico da Figura 5 analisou-se a relação linear entre a frequência, 
oriunda da quarta massa, (112,40±0,05).10-3kg, a qual foi escolhida devido ao 
melhor ajuste no primeiro gráfico, e do inverso do novo comprimento (Ln), que 
é o comprimento entre dois nós consecutivos. Da mesma forma que no gráfico 
anterior, o ajuste de reta se fez necessário, gerando uma constante (k2), que 
também teve desvio, resultante de aproximações, como a utilização da regra 
do primeiro não nulo, de desvios relacionados à frequência e da medida do 
comprimento do fio (desvio instrumental). 
 No gráfico da Figura 6, foi feita a análise de dependência da frequência 
de ressonância com a força tensora. Assim como nos outros gráficos, 
encontrou-se uma relação linear entre as variáveis analisadas. Levando-se em 
conta que foi escolhido o número de ventres igual a quatro, e atingido uma 
constante, k3, e seu desvio. Justifica-se o desvio da constante pela teoria de 
propagação de erros, pois F=m.g e, sabendo que a gravidade é um número 
exato, já que seu desvio é nulo, o erro advém da aferição massa, podendo ser 
um erro de flutuação ou por fatores do ambiente, como uma corrente de ar, que 
possivelmente alteraram os resultados. 
 Baseado na Fórmula de Lagrange (20) pôde-se estimar os valores das 
frequências em cada situação (número de ventres de 1 a 5). Com isso, 
relacionou-se a frequência estimada com a frequência experimental obtendo 
desvios percentuais, os quais foram consideravelmente pequenos. Assim, foi 
possível considerar a Fórmula de Lagrange uma boa estimativa para o valor 
experimental da frequência. 
 Foi possível, também, obter a densidade linear do fio e seu desvio, 
(2,4±0,1).10-4 kg/m. Com base nisto, utilizando, k1, k2 e k3 explicados 
anteriormente, encontrou-se três valores para a densidade linear teórica e 
desvios percentuais: 25,31%, 2,58% e 54,82%, respectivamente. As 
divergências entre as densidades são consequências das diferentes dimensões 
das constantes utilizadas e seus valores, uma vez que k1 tem dimensão de 
frequência, k2 de velocidade e k3 de inverso da densidade. 
 Outro tipo de erro a ser considerado em todos os casos é devido uso do 
método de arredondamento do primeiro zero não nulo. 
 Selecionando uma força, conseguiu-se determinar a velocidade do trem 
de ondas para esta, sendo equivalente a (68±1)m/s. Este desvio pode ser 
esclarecido pela sua dependência da Força e da densidade do fio, sendo estas 
relacionadas à massa e ao comprimento do fio, já mencionados. 
 Por fim, calculou-se o desvio percentual entre a velocidade teórica e a 
obtida experimentalmente – D%=25%, uma vez que a velocidade teórica 
depende das grandezas de comprimento do fio, número de ventres e 
frequência, enquanto que a velocidade obtida experimentalmente depende da 
Força – que depende da massa – e da densidade – que depende da massa e 
do volume. Por isso, justifica-se tamanho desvio pelo fato de que as maneiras 
na qual os valores foram alcançados foram distintas e, pela teoria de 
propagação de erros, a segunda tem maior discrepância em relação à primeira. 
 
 
7. CONCLUSÃO 
 Após a realização do experimento e da interpretação dos resultados, 
conclui-se que os objetivos foram alcançados, uma vez que foi possível obter 
ondas estacionárias e, a partir de tabelas, gráficos e analises dimensionais, 
averiguar a dependência da frequência de vibração do fio com o número de 
ventres, comprimento do fio, tensão aplicada e velocidade de propagação da 
onda. 
 Com o primeiro gráfico, encontrou-se a primeira relação de frequência 
por número de ventres, gerando a primeira constante, k1, com dimensão de 
frequência fundamental do primeiro harmônico simples, equivalente a 
(13±2)Hz, e os demais resultados como múltiplos do primeiro. Já no segundo 
gráfico, por meio da dependência da frequência de vibração com o 
comprimento do fio, obteve-se outra constante de proporcionalidade, k2, a qual 
tem dimensão de velocidade, seu valor é igual a (34 ±1)m/s2. Por último, no 
terceiro gráfico, relacionando a frequência de vibração do fio com a tensão 
aplicada, conseguiu-se uma terceira constante, k3, com dimensão inversa da 
densidade, sendo este (173 ±9)10 
 
 
 . 
 Também, em relação à velocidade de propagação da onda, alcançou-se 
dois resultados distintos, por meio de duas equações. Os valores foram 
(68±1)m/s e (54±1)m/s, com desvio percentual entre elas de 25%. 
 
 
 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] H. Mukai e P. R. G. Fernandes, Manual de Laboratório de Física I, 
DFI/UEM, 2013; 
[2] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker – Fundamentos da Física – Vol. 2, 8ª 
edição. Editora LTC Editora, 2008; 
[3]http://atomoemeio.blogspot.com.br/2009/03/o-que-e-uma-onda.html, 
consultado em 10/09/2013; 
[4]http://www.mundoeducacao.com/fisica/o-que-sao-ondas-
eletromagneticas.htm, consultado em 10/09/2013; 
[5] Tipler, Paul – Física Volume 2: Gravitação, Ondas e Termodinêmica – 3ª 
edição. Editora LTC, 1995; 
[6] ] H. D. Yong e R. A. Freedman; Física II Termodinâmica; 12ª edição; Editora 
Pearson; 2008.