Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Derivadas Direcionais Inclinação na direção u: taxa de variação de z em relação a s w=f(x,y) x=x0 + s u1 e y= y0 + s u2 w=f( x(s), y(s) ) sd yd y f sd xd x f sd wd ∂ ∂ + ∂ ∂ = 21 uy f u x f wD sd wd U ∂ ∂ + ∂ ∂ == Se f(x,y) for uma função de x e y e se U=u1 i +u2 j for um vetor unitário, então a derivada direcional de f na direção e sentido de U é denotada por DU f (x,y) e definida por: 21),( uy f u x fyxfDU ∂ ∂ + ∂ ∂ = 321),,( u z f u y f u x f zyxfDU ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Analogamente: Geometricamente DU f (x,y) pode ser interpretada como a inclinação da superfície z=f(x,y) na direção de U Exemplo Obtenha a derivada direcional de Em (-2,0) na direção e sentido do vetor unitário que faz um ângulo de com o eixo x positivo. Ex. Obtenha a derivada direcional de no ponto (1,-2,0) na direção e sentido do vetor Ex. Como a não é um vetor unitário, normalizamos a e encontramos: 21),( uy f u x fyxfDU ∂ ∂ + ∂ ∂ = A derivada direcional pode ser escrita em termos de um produto escalar )(),( 21 jiji uuy f x fyxfDU +• ∂ ∂ + ∂ ∂ = U•∇= ),(),( yxfyxfDU ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ji y yxf x yxfyxf ),(),(),( Gradiente de f(x,y) O Gradiente Se f é uma função de x e y Se f é uma função de x, y e z Propriedades algébricas do vetor gradiente ´ O valor máximo de é Esse valor máximo ocorre quando O valor mínimo de é Esse valor máximo ocorre quando Seja f(x,y)=x2ey. Determine o valor máximo de uma derivada direcional em (-2,0), e determine o vetor unitário na direção e sentido do qual o valor máximo ocorre Máximo quando: O vetor unitário nessa direção é: Equação do Plano Dados o Vetor N o ponto e P0(x0 , y0 , z0). O conjunto de todos os pontos P(x,y,z) para os quais o vetor V(P0P) e N são ortogonais, será definido como um plano.V Equação do Plano
Compartilhar