MHS (Movimento Harmonico Simples)

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Curso de Física II 
NB-208 
Sistema 
Físico 
Modelo 
Físico 
Modelo 
Matemático Previsões 
Leis e 
Aproximações Matemática 
Técnicas 
Matemáticas 
Comparação 
Uma discussão inicial: 
Conteúdo Programático 
1-Oscilações 
 
2-Ondas 
 
3-Óptica 
 
4-Termodinâmica 
 
5-Fenômenos de Transporte 
 
6-Física Quântica 
 
Livro texto: 
 
•  YOUNG, Hugh D., FREEDMAN, Roger A., Sears e Zemansky Física II: 
 Termodinâmica e Ondas. 
 
•  YOUNG, Hugh D., FREEDMAN, Roger A., Sears e Zemansky Física VI: 
 Óptica e Física Moderna. 
•  D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física vol.2 e vol.4. 
 
 
Leitura Sugerida: 
 
•  Richard Feynmam, “Física em Seis Lições". 
 
AULA 1 
1-Oscilações (movimentos periódicos) 
 
Dizemos que um movimento é um movimento periódico ou uma oscilação se este 
movimento se repete indefinidamente . 
 
Exemplos: 
 
- Corpo suspenso por uma mola; 
- Pêndulo oscilando com pequena amplitude; 
- Vibrações dos átomos nas moléculas e nos sólidos; 
- Vibrações sonoras; 
- Ondas eletromagnéticas 
 
 
O entendimento das oscilações será essencial para os estudos sobre as ondas, o 
som, as correntes elétricas e a luz. 
1.0- As Causas da Oscilação 
A figura a seguir mostra que quando o corpo é deslocada da posição de equilíbrio 
da mola, a força da mola tende a fazer o corpo voltar para a posição de equilíbrio. 
Chamamos esta força de força restauradora. 
•  Definições para os movimentos periódicos 
AMPLITUDE (A) –Módulo máximo do vetor deslocamento 
do corpo a partir da posição de equilíbrio. Se a mola da figura anterior for ideal, a 
amplitude total do movimento será 2A (Percurso Total). 
 
VIBRAÇÃO OU OSCILAÇÃO COMPLETA – Percurso de ida e volta, isto é, 
um ciclo completo, digamos de A até -A e retornando ao ponto A. 
 
PERÍODO (T) – Tempo necessário para que ocorra um ciclo. 
 
 T = 1/f (s) 
 
FREQÜÊNCIA (f) – Número de ciclos na unidade de tempo. 
 
 f = 1/T (s-1 ou ciclo/s ou Hz (hertz)) 
 
FREQÜENCIA ANGULAR (ω) – Velocidade angular do corpo. 
 
 ω = 2πf (rad/s) 
1.1- Movimento Harmônico Simples 
2
2
dt
xdmmakxF ==−=
Quando a força restauradora é da forma: F = - kx, a oscilação 
denomina-se movimento harmônico simples (MHS). 
As equações do movimento uniformemente variado não mais se 
aplicam, pois a aceleração varia continuamente. 
Então, da 2ª lei de newton, tem-se: 
 
 
Logo, a equação diferencial do movimento harmônico simples é: 
0
2
2
=+ kx
dt
xdm
(eq.1) 
(eq. 2) 
•  Equações do movimento harmônico simples 
Consideremos o círculo de referência contido em um plano xy, 
com origem no centro do círculo, conforme figura. Observe 
que o movimento de um corpo e o movimento de sua sombra são 
Idênticos, ou seja, o movimento harmônico simples é a projeção 
de um movimento circular uniforme sobre um dos diâmetros do 
Círculo. 
No instante t o vetor OQ que liga a origem ao ponto Q faz um 
ângulo θ com o sentido positivo do eixo ox e gira com velocidade angular ω 
constante. este vetor girante denomina-se fasor. 
 
O componente x do fasor no instante t, na figura 13.4(a) é: 
x = Acos! (eq.3) 
Da figura 13.4 (b), tem-se que o componente x da velocidade é: 
θsentanvv −=
Onde: 
Av ω=tan
Então: 
θω senAv −=
(eq. 4) 
(eq. 5) 
(eq. 6) 
A figura 13.4 (c) mostra que o componente x da aceleração é: 
θcosradaa −=
Onde: Aarad
2ω=
Então: 
θω cos2Aa −=
ou, ainda: 
xa 2ω−=
A aceleração do ponto P é diretamente proporcional ao deslo_ 
mento x e possui sempre sentido contrário ao do deslocamento. 
estas são as características básicas do MHS. 
(eq. 7) 
(eq. 8) 
(eq. 9) 
(eq. 10) 
Da eq. 1 temos que: que é exatamente igual à eq. 10, x
m
ka −=
, então: xa 2ω−=
m
kou
m
k
== ωω 2 (eq. 11) 
Podemos interpretar a eq. 11 como uma relação para a freqüência 
angular de um corpo de massa m que executa um MHS sobre o qual 
atua uma força restauradora com uma constante da mola k. 
Quando um corpo inicia um MHS, o valor de ω já é predeterminado 
pelos valores de k e m. 
As unidades de k são: N/m ou kg/s², logo ω tem unidade rad/s. 
Resultando, ainda para o MHS: 
k
m
f
T
m
kf
π
ω
π
ππ
ω
221
2
1
2
===
==
e, também, 
Conclue-se que: 
 
(1) Quanto maior a massa, maior o período de oscilação e menor 
a freqüência com que o corpo oscila; 
 
(2) Quanto maior a constante da mola, k, menor o período de osci_ 
lação e maior a freqüência com que o corpo oscila; 
 
(3) O período e a freqüência não dependem da amplitude A. 
(eq. 12) 
(eq. 13) 
•  Deslocamento, Velocidade e Aceleração no MHS 
Da eq. 3 vemos que x = A cos θ, portanto, se para t = 0 o fasor OQ faz 
um ângulo φ (“fi”) com o sentido positivo do eixo ox, então para 
qualquer outro instante posterior t este ângulo é dado por 
 
φωθ += t
Substituindo nas equações do deslocamento, da velocidade e da 
aceleração, tem-se: 
)cos(
)sen(
)cos(
2
2
2
φωω
φωω
φω
+−===
+−==
+=
tA
dt
xd
dt
dva
tA
dt
dxv
tAx
(eq. 14) 
(eq. 15) 
(eq. 16) 
(eq. 17) 
Conhecendo-se a posição inicial xo e a velocidade inicial vo 
para um corpo oscilante, podemos determinar a amplitude A 
e a fase φ. então, vejamos: 
Dividindo a equação (eq.18 ) pela (eq. 19), tem-se a fase: 
Da equação (eq. 16), para v = v0 t = 0, tem-se: 
φω senAvo −= (eq. 18) 
e da equação (eq. 15), para x = x0 e t = 0, tem-se: 
φcosAxo = (eq. 19) 
)arctan(
o
o
x
v
ω
φ −= (eq. 20) 
E, ainda, das equações (eq. 18) e (eq. 19), tem-se a amplitude: 
2
2
2
ω
o
o
vxA += (eq. 21) 
Da eq. 21 e eq. 20, conclui-se: 
 
- Quando o corpo possui uma posição inicial xo e uma velocidade inicial nula (vo = 
0), então a amplitude é A = xo e o ângulo de fase φ = 0. 
 
- Quando o corpo possui uma posição inicial nula (xo = 0) e uma velocidade inicial 
vo positiva, então a amplitude é dada por A= vo /ω e o ângulo de fase é φ = -π/2. 
Obs: Vejam simuladores de sistema massa-mola em: 
 
http://www.professorcarlosalberto.com.br/Módulo100_0.html 
 
file:///var/folders/qI/qICSypzoEwGfKFjELGsDCk+++TI/-Tmp-/phet- 
mass-spring-lab/mass-spring-lab_pt_BR.html 
AULA 2 
Aula 1: Cap 1-Oscilações 
1.0- Causas da Oscilação 
•  Ponto de equilíbrio estável 
•  Força restauradora 
•  Deslocamento 
 
1.1-MHS (Movimento Harmônico Simples) 
 
 m d
2x
dt2 + kx = 0; Eq. diferencial do MHS. 
! =
k
m ; Frequência angular ! = 2" f ;
T = 1f ; f frequência, T período. 
Recordação: 
x=Acos(!t +" )
v= dxdt = !!Asen(!t +" )
a= dvdt =
d 2x
dt2 = !!
2Acos(!t +" )
Posição 
Velocidade 
Aceleração 
)arctan(
o
o
x
v
ω
φ −=
2
2
2
ω
o
o
vxA +=
Fase 
Amplitude 
Exemplo 1.1.2: (resolvido em sala) 
Um oscilador harmônico possui massa de 0,500 Kg e uma mola ideal 
cuja constante é igual a 140 N/m. Ache 
 
a)  o período, b) a frequência, c) a frequência angular 
Exemplo 1.1.1 (resolvido em sala) 
Um oscilador harmônico é feito usando-se um bloco sem atrito de 0,600 kg e 
uma mola ideal cuja constante é desconhecida. Verifica-se que ele oscila com 
um período igual 0,150 s. Ache o valor da contante de mola. 
Exemplo 1.1.3: (resolvido em sala) 
Um bloco de 2,00 Kg sem atrito está preso a uma mola ideal cuja constante é 
igual a 300 N/m. Para t=0 a mola não está comprimida nem esticada e o bloco 
se move no sentido negativo com 12,0 m/s. Ache 
 
a)  A amplitude, b) o ângulo de fase, c) escreva equações para a posição, velo- 
cidade e aceleração do bloco em função do tempo. 
R: 1,052×103 N/m 
R: a) 0,375 s b) 2,66 Hertz c)16,70 rad/s 
R: a) 0,98 m b) π/2 rad c) x(t)=(0,98 m) cos[(12,2 rad/s)t+π/2 rad] 
v(t)= -(11,9 m) sen[(12,2 rad/s)t+π/2 rad] a(t)= -(147,0 m) cos[(12,2 rad/s)t+π/2 rad] 
1.2 Energia No Movimento Harmônico Simples 
Resolvendo a eq. 2, equação do MHS: 
Substituindo d²x/dt² por vdv/dx , vem: 0=+ kx
dx
dvmv
Multiplicando por dx e integrando, vem: 
1
22
2
1
2
1
,0
Ckxmv
kxdxmvdv
=+
=+∫ ∫
O 1º membro da equação representa a energia cinética K do corpo, mais a 
energia potencial U, tem-se que a energia total E do sistema é invariável e 
igual à constante de integração: 
 
 E = K + U (constante - sistema conservativo) 
(eq. 22) 
(eq. 23) 
Graficamente a (eq. 23) mostra a relação entre a amplitude A e a correspondente 
energia mecância total E = 1/2 kA². 
Observe que se tentássemos fazer x maior do que A (ou menor do que -A), U 
seria maior do que E, e K seria negativa, porém K não pode ser nunca negativa, 
logo x não pode ser maior do que A nem menor do que -A. 
À medida que o corpo oscila entre -A e A ocorre continuamente 
a transformação da energia potencial U em energia cinética K e 
vice-versa, conforme ilustrado na figura a seguir. 
Vemos, portanto, que um sistema oscilante deve conter sempre um elemento 
associado à restituição, o qual armazena energia potencial, e um elemento 
associado à inércia, o qual armazena energia cinética. Sem a presença 
simultânea destes dois elementos não seria possível ocorrer a transformação de 
energia de uma forma em outra. 
A velocidade no ponto médio da trajetória atinge valor máximo, portanto, da 
eq. 24, tem-se: 
222
2
1
2
1
2
1 kAkxmvE =+=
Reescrevendo a eq. 22, para x = A (ou x = -A) e v = 0, tem-se: 
(eq. 24) 
22 xA
m
kv −±=
----------------------------------------------------- 
O sinal ± significa que para um dado ponto x o corpo pode estar 
se deslocando em qualquer um dos dois sentidos. 
PESQUISA 
Explicar a razão dos instrumentos de medidas de grandezas 
alternadas (senoidal) estarem calibrados para medirem 
valor eficaz. 
DEMONSTRAR 
Provar, utilizando as equações de posição e velocidade, que a energia total de 
um sistema massa-mola é: 
1
2 kA
2
-------------------------------------------------------- 
-------------------------------------------------------------- 
Exemplo 1.2.1: Corpo executando MHS. 
 
Admitamos que a massa do corpo, como o representado na figura 13.1 (aula 1), seja 
25 kg, a constante de força k = 400 N/m; o movimento tem início, ao se deslocar o 
corpo 10 m para a direita da posição de equilíbrio, imprimindo-lhe velocidade de 40 
m/s. 
Calcular: 
(a) O período T; 
(b) Freqüência f ; 
(c) A freqüência angular ω; 
(d) A energia total E; 
(e) A amplitude A; 
(f) O ângulo de fase φ; 
(g) A velocidade máxima vmáx; 
(h) A aceleração máxima amáx; 
(i) A elongação, velocidade e aceleração no tempo (π/8) s, depois de iniciado o 
movimento.