Limite de uma Função

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LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
 
Definição: Se f(x) se aproxima de um número “L”, sempre que “x” se aproxima de um 
número “c” (pela esquerda ou pela direita de c), dizemos que “L” é o limite da função 
quando “x” se aproxima de “c”. Matematicamente, usamos da seguinte expressão 
para expressar esse comportamento: 
 
L f(x) l im
cx


 
 
 
ABORDAGEM INTUITIVA DO CONCEITO DE LIMITE 
 
Considere uma fábrica que tem por objetivo sempre trabalhar com pelo menos x% da 
sua capacidade máxima. Suponha ainda que, o custo total decorrente de qualquer 
atividade (em centenas de milhares) é dado por: 
960 - 68x - x
320 - 636x - 8x
 C(x)
2
2
 
 
Fixada como meta nunca trabalhar abaixo de 80% da capacidade máxima da fábrica, o 
gerente de operações quer determinar o custo sob tal meta. Assim sendo, com base na 
expressão do custo total, resolve determinar C(80). Após os algebrismos decorrentes 
da substituição de x=80, na equação do custo total, o gerente de operações chega ao 
seguinte resultado: 
0
0
 C(80) 
(Indeterminação) 
A fim de contornar o resultado anterior, o gerente de operações recorre a uma 
planilha de cálculo (Microsoft Excel) para criar uma tabela contendo valores que se 
aproximam de 80, tanto pela esquerda quanto pela direita, resultando na seguinte 
tabela: 
X C(x) 
60 6,72 
70 6,88 
79,800 6,99782 
79,99 6,999891293 
79,999 6,99998913 
80 0/0 
80,0001 7,000001 
80,001 7,00001 
80,04 7,00043 
 
Com isso, podemos prever que a função se comporta da seguinte forma: À medida que 
o nível de produção se aproxima de 80, o custo total se aproxima de 7. Dito de outra 
forma 
7 C(x) l im
80x


 
ou C(80)=R$700.000,00. 
 
OBS: Os limites descrevem o comportamento de uma função próximo a um ponto 
(vizinhança), porém, não no ponto em si. Portanto, o valor de “c” pode pertencer ou 
não, ao domínio. 
 
 
PROPRIEDADES ALGÉBRICAS DOS LIMITES 
 
Supondo que 
f(x) l im
cx
 
e
g(x) l im
cx
 
existam, então são válidas as seguintes relações: 
 
1. Se K é uma constante, então 
f(x) l im . k f(x) . k l im
cxcx 
 
 
2. Se r for uma constante positiva, então r
cx
r
cx
f(x) l im [f(x)] l im 






 
3. 
  g(x) l im f(x) l im g(x) f(x) l im
cxcxcx 
 
 
4. 
  









 g(x) l im f(x) l im g(x) f(x) l im
cxcx
cx
** 
 
5. Se 
g(x) l im
cx
 
0, então 
g(x) l im
f(x) l im
g(x)
f(x)
 l im
cx
cx
cx



 
 
 
 
OBS 1: Numa função polinomial P(x), para qualquer que seja o número “a” temos 
P(a) P(x) l im
ax


 
 
 
OBS 2: Numa função racional 
Q(x)
P(x)
 R(x)
 em que P(x) e Q(x) são polinômios, ter-se-á 
R(a), R(x) l im
ax


 
sempre que, Q(a)0. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Para as funções dadas a seguir calcule os limites solicitados: 
 
a) 








 1-x
4+3x+x
 lim 
2
3
1x
 
b) 








 2-x
10-3x+x
 lim 
2
2x
 
c) 








 3-x
3x
 lim 
2
3x
 
d) 








 1-x
1 - x
 lim 
2
1x
 
e) 







 
 2-x
20 4x -5x-x
 lim 
23
2x
 
f) 








 3-2x x
4 -4x +7x+2x
 lim 
2
23
1x
 
2. Sendo 
27 -63x 6x - 7x - xP(x) 234 
e 
9) - (x
P(x)
 f(x)
2

uma função real de 
variável real, determine 
3x
. f(x) lim

 
3. Sendo 
80 20x - 8x 2x - P(x) 23 
e 
 x)- (4
P(x)
 f(x) 
uma função real de variável 
real, determine 
4x
. f(x) lim

 
 
4. Sendo 
16 8x - 2x - xP(x) 235 
e 
8) - (x
P(x)
 f(x)
3

uma função real de variável 
real, determine 
2x
. f(x) lim

 
 
5. Sendo 
30 -31x 5x - 7x - xP(x) 234 
e 
5) -(x 
P(x)
 f(x) 
uma função real de 
variável real, determine 
5x
. f(x) lim

 
 
6. Seja f(x; n; P)







n....., 0,1,2, X para ; 0 
n....., 0,1,2, X para ; x-n P) - (1 .xP . 
 x)!-(n x!
n!
 
Prove que 
x!
λ . e
 L
xλ-

 é o limite de f(x; n; P) quando n+ e P0. 
 
 
 
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