Estatica_diagramas de esforcos

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DECivil 
Secção 
de Mecânica Estrutural e Estruturas 
 
 
 
 
 
 
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS EM 
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
 
 
 
 
I. Cabrita Neves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Abril, 2002 
 2 
ÍNDICE 
 
 
 
 
 Pág. 
 
1. Esforços internos em peças lineares 3 
 
2. Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores 5 
 
3. Relações entre diagramas de carga, de esforços transversos e de momentos 
flectores 11 
 
4. Diagramas de esforços normais 13 
 
5. Exemplo 14 
 3 
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS 
ISOSTÁTICAS 
 
1. Esforços internos em peças lineares 
 
Considere-se uma superfície plana cujo centro de gravidade se desloca ao longo de 
uma linha, cujo comprimento é muito superior às dimensões da superfície, por forma 
que a linha e a superfície se mantenham permanentemente perpendiculares entre si 
(Fig. 1). Ao sólido assim gerado dá-se o nome de peça linear, à linha chama-se eixo 
da peça linear e à superfície plana secção transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1 – Peça linear 
 
Uma peça linear diz-se de secção constante se as dimensões da superfície que a gera 
se mantiverem constantes durante o movimento ao longo do eixo. As peças lineares 
são de eixo rectilíneo ou curvilíneo consoante a forma do seu eixo. As peças lineares 
de eixo rectilíneo e secção constante chamam-se peças prismáticas. Numa 
representação esquemática é vulgar reduzir as peças lineares ao seu eixo. 
 
Considere-se agora uma estrutura isostática constituída por peças lineares, em 
equilíbrio sob a acção de um carregamento genérico. Se efectuarmos um corte numa 
destas peças lineares por uma secção transversal S o equilíbrio rompe-se em geral, 
sinal claro de que entre as duas partes que resultaram do corte se exerciam forças, 
ditas forças interiores relativamente à estrutura como um todo, necessárias ao 
equilíbrio. Estas forças interiores constituem dois sistemas de vectores que se 
distribuem nas duas secções transversais S1 e S2 que resultaram do corte e que 
obedecem ao princípio da acção e reacção. Cada um deles representa a acção de uma 
das partes da peça sobre a outra. 
 
Se efectuarmos a redução destes sistemas de vectores no centro de massa de cada uma 
das secções S1 e S2 obteremos vectores principais R
r
 e R
r
- , e momentos resultantes 
M
r
 e M
r
- , iguais e opostos (Fig. 2). Estes vectores podem ser decompostos segundo 
as três direcções de um qualquer referencial ortonormado. No entanto, para decompor 
R
r
 e M
r
 adopta-se por convenção o seguinte referencial: começa-se por orientar a 
peça da esquerda para a direita; isso pode ser feito designando por extremidade 1 a 
sua extremidade esquerda e por extremidade 2 a sua extremidade direita, ou 
Secção 
transversal S 
 4 
simplesmente orientando o seu eixo da esquerda para a direita através de uma seta 
(Fig. 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2 – Elementos de redução das forças de interacção entre duas partes de uma 
mesma peça linear 
 
A origem do referencial localiza-se no centro de massa da secção da extremidade 
direita da peça (extremidade 2, secção S2, também chamada secção positiva). O eixo z 
é tangente ao eixo da peça e aponta para fora. O eixo y é vertical e orientado de cima 
para baixo e obviamente o eixo x será perpendicular a ambos e formará com eles um 
referencial directo (orientado para fora do papel). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3 – Peça linear orientada e sentidos positivos dos esforços internos. 
 
Às componentes xM , yM , zM , xV , yV e N dos elementos de redução M
r
 e R
r
 
neste referencial dá-se o nome de esforços internos na secção S da peça linear e serão 
positivos se tiverem os sentidos indicados, concordantes com os sentidos positivos do 
referencial escolhido. Repare-se que os vectores M
r
 e R
r
, por um lado, e M
r
- e R
r
- , 
por outro (Fig. 2), representam dois aspectos de um mesmo efeito de interacção entre 
as partes esquerda e direita de uma peça linear numa secção S. Por isso, se se utilizar 
como referencial para efectuar a decomposição dos elementos de redução M
r
- e R
r
- , 
das forças que actuam na secção S1 (secção negativa), um referencial com origem em 
G1 e cujos eixos têm sentidos opostos aos eixos do referencial anterior, as 
componentes de M
r
 e R
r
, e de M
r
- e R
r
- nos referenciais próprios de cada secção 
R
r
 
R
r
- 
M
r
 
M
r
- 
G2 G1 parte 2 parte 1 
acção da parte 1 
sobre a parte 2 
acção da parte 2 
sobre a parte 1 
S2 
S1 
R
r
 
1 2 G2 
z 
x y 
S2 M
r
 
zM
r
 N
r
 
yM
r
 
xM
r
 
yV
r
 
xV
r
 
 5 
terão sempre os mesmos sinais. Quando as primeiras forem positivas as segundas 
também o serão, e vice versa. Ficam assim definidos de forma inequívoca os sinais 
dos esforços internos numa secção S de uma peça linear. Obviamente que basta 
considerar os esforços que actuam numa das duas secções, e na prática usa-se 
unicamente a secção positiva e o referencial correspondente. 
 
Às componentes xV e yV chamam-se esforços transversos segundo x e segundo y, 
respectivamente. Elas representam a tendência para o corte da peça na secção S. À 
componente N dá-se o nome de esforço normal, dado tratar-se de uma força 
perpendicular à secção transversal da peça. O seu efeito é o de comprimir ou 
traccionar a peça. De acordo com a convenção anterior um esforço normal positivo 
será de tracção e um negativo será de compressão. Às componentes xM e yM dá-se 
o nome de momentos flectores segundo x e segundo y, e o seu efeito é o de flectirem a 
peça nos planos yz e xz, respectivamente. A zM chama-se momento torsor e o seu 
efeito, como o nome indica, é o de produzir torção da peça em torno do seu eixo. 
 
Se uma peça linear se encontra em equilíbrio plano, isto é, se se encontra sujeita a 
forças existentes num único plano, que também contém o seu eixo, só existirão três 
esforços internos. Esforço normal N, momento flector segundo x, que se designará 
simplesmente por M, e esforço transverso segundo y, que se representará 
simplesmente por V. Os seus sentidos positivos nas extremidades esquerda e direita 
de um troço da peça linear encontram-se representados na Fig. 4. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4 – Sentidos positivos dos esforços internos nas extremidades direita e esquerda 
de um troço de uma peça linear 
 
2. Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores 
 
Considere-se, a título de exemplo, o caso da viga simplesmente apoiada AB sujeita a 
uma carga uniformemente distribuída de densidade de distribuição q (Fig. 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5 – Viga simplesmente apoiada 
M M 
V V 
N N + 
q 
A B 
S 
z 
L RA RB 
z 
y 
 6 
As reacções nos apoios A e B, arbitradas de baixo para cima, podem ser determinadas 
a partir das equações de equilíbrio seguintes, tomando para sentido positivo de 
momentos o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. 
 
0
2
L
qLLR0M BA =´-´Þ=å (1) 
 
0qLRR0F BAy =+--Þ=å (2) 
 
AB R2
L
qR == (3) 
 
Corte-se a viga pela secção S, à distância genérica z do apoio A, e trace-se o diagrama 
de corpo livre da parte AS (Fig. 6), explicitando os esforços internos em S, que 
representam a acção da parte SB da viga sobre a parte AS. Estes esforços internos 
foram arbitrados com o sentido positivo, de acordo com a convenção de sinais 
estabelecida anteriormente para os esforços internos numa secção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 6 – Diagrama de corpo livre do troço AS. 
 
A partir deste diagrama de corpo livre e recorrendo às respectivas equações de 
equilíbrio podem determinar-se os esforços internos na secção S.0N0Fz =Þ=å (4) 
÷
ø
ö
ç
è
æ -=Þ=++-Þ=å z
2
L
qV0VzqR0F SSAy (5) 
2
z
qz
2
L
qM0zR
2
z
zqM0M
2
SASS -=Þ=-+Þ=å (6) 
 
Os resultados obtidos nas Eqs. (5) e (6) mostram que tanto o esforço transverso VS 
quanto o momento flector MS variam com a posição da secção S considerada. Se 
representarmos graficamente as funções dadas pelas Eqs. (5) e (6) poderemos ter uma 
ideia da forma como estes esforços internos variam ao longo do eixo da viga. A esta 
representação gráfica dá-se o nome de diagramas de esforços internos, neste caso, 
diagrama de esforços transversos e diagrama de momentos flectores. 
 
Comecemos por fazer a representação do diagrama de esforços transversos V , dado 
pela Eq. (5) (Fig. 7). 
 
 
 
q 
A S 
z 
MS 
AR 
N 
VS 
z 
y 
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 7 – Diagrama de esforços transversos 
 
O diagrama de momentos flectores será obtido pela representação gráfica da Eq. 6. 
Nesta representação iremos inverter, por razões que serão justificadas a seguir, o 
sentido positivo do eixo das ordenadas M (Fig. 8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8 – Diagrama de momentos flectores 
 
A razão pela qual se inverte o sentido do eixo das ordenadas no caso dos diagramas de 
momentos flectores reside no facto de que ao procedermos deste modo o diagrama 
nos dá imediatamente uma ideia de como a peça se vai deformar por flexão, isto é, a 
flexão da peça é concordante com o andamento do diagrama de momentos flectores. 
Na verdade, se um troço de uma peça linear se encontrar submetido a momentos 
positivos nas suas extremidades, esse troço flectirá para baixo, isto é, apresentará 
convexidade para o lado onde são representados os momentos flectores, e vice versa 
(Fig. 9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9 – Concordância entre deformada e diagrama de momentos flectores 
M M deformada da peça 
diagrama de 
momentos flectores 
M M 
M 
M + 
z 
+ 
M 
M - 
z 
+ 
A B 
z 
V 
+ 
- 
2
qL
+ 
2
qL
- 
+ 
A B 
+ 
8
qL2
 
M 
z 
+ 
 8 
Repare-se que os diagramas das Figs. 7 e 8 foram obtidos com base no diagrama de 
corpo livre da Fig. 6 o qual, neste caso, é válido qualquer que seja z. Se existir uma 
carga concentrada aplicada num determinado ponto da peça o diagrama de esforços 
transversos apresentará uma discontinuidade nesse ponto. Analogamente, se num 
determinado ponto estiver aplicado um momento, o diagrama de momentos flectores 
apresentará uma discontinuidade nesse ponto. Vejamos porquê. Suponhamos que num 
determinado ponto C da viga anterior actua uma carga concentrada P (Fig. 10). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 10 . Viga simplesmente apoiada com carga concentrada 
 
Calculando momentos das forças que actuam na viga relativamente ao ponto B 
facilmente se conclui que a reacção em A vale 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ -=
L
a
1PR A (7) 
 
O diagrama de corpo livre do troço AS da viga será (Fig. 11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 11 – Diagrama de corpo livre do troço AS. 
 
Pelo equilíbrio de forças segundo a vertical conclui-se imediatamente que 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ -==
L
a
1PRV AS (8) 
 
Esta conclusão será válida enquanto for válido o diagrama de corpo livre da Fig. 11 
em que se baseou, isto é, enquanto for az £ . Para az > o diagrama de corpo livre do 
troço AS terá que incluir a força P (Fig. 12). 
 
 
C 
A B 
S 
z 
a 
L 
P 
z 
y 
RA RB 
A S 
z 
MS 
AR 
N 
VS 
z 
y 
 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 12 – Diagrama de corpo livre do troço AS. 
 
Por soma de forças verticais obtém-se neste caso 
 
L
Pa
PRV AS -=-= (9) 
 
expressão que será válida para Lza £< . 
 
O diagrama completo de esforços transversos será então (Fig. 13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 13 – Diagrama de esforços transversos. 
 
Repare-se que o valor do esforço transverso numa secção S de uma peça de eixo 
rectilíneo corresponde à soma das componentes segundo a normal ao eixo de todas 
forças à esquerda de S (ou à direita de S), afectadas do correspondente sinal, de 
acordo com a convenção de sinais acima adoptada para os esforços transversos. 
 
Vejamos agora o caso em que existe um momento aplicado num determinado ponto 
da peça (Fig. 14). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 14 – Viga com momento aplicado. 
+ 
A B 
z 
V 
+ 
- 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
L
a
P 1 
L
Pa
- 
C 
A 
S 
z 
MS 
AR 
N 
VS 
P 
a 
z 
y 
D 
A B 
S 
z 
b 
L 
MD 
RA RB 
z 
y 
 10 
Calculando momentos das forças aplicadas na viga AB relativamente ao ponto B 
conclui-se facilmente que a reacção em A, arbitrada com o sentido de baixo para 
cima, vale 
 
L
M
R DA = (10) 
 
O diagrama de corpo livre do troço AS da viga permite-nos obter a expressão para o 
momento flector à esquerda de D, (Fig. 15). 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 15 – Diagrama de corpo livre do troço AS. 
 
Calculando momentos em relação a S vem 
 
z
L
M
M0zRM DSAS =Þ=- (11) 
 
Para secções S à direita de D o diagrama de corpo livre de AS será (Fig. 16) 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 16 – Diagrama de corpo livre do troço AS. 
 
e o momento flector em S será obtido através de 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ -=Þ=-+Þ=å 1
L
z
MM0zRMM0M DSADSS (12) 
 
A partir das Eqs. 11 e 12 pode então obter-se o diagrama de momentos flectores 
completo (Fig. 17). Tal como acontecia no caso do diagrama de esforços transversos 
também aqui o valor do momento flector numa secção S pode ser obtido através da 
soma de todos os momentos aplicados à esquerda de S (ou à direita) com os 
momentos produzidos relativamente a S por todas as forças à esquerda de S (ou à 
direita), tendo em conta o correspondente sinal, de acordo com a convenção de sinais 
anteriormente estabelecida para os momentos flectores. 
 
 
 
 
A S 
z 
MS 
AR 
N 
VS 
z 
y 
D z 
MD A 
AR 
S 
MS 
N 
VS 
z 
y 
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 17 – Diagrama de momentos flectores. 
 
 
3. Relações entre diagramas de carga, de esforços transversos e de momentos 
flectores 
 
Destaque-se um troço elementar de uma peça linear em equilíbrio e trace-se o seu 
diagrama de corpo livre (Fig. 18). Note-se que, sendo elementar o comprimento deste 
troço, e na hipótese de as funções que representam os esforços internos serem 
contínuas no troço em causa, os esforços que actuam nas suas extremidades esquerda 
e direita distinguem-se entre si por variações elementares dessas funções. Os esforços 
foram arbitrados com sentidos positivos, de acordo com a convenção estabelecida, e 
representou-se por p a densidade de distribuição de carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 18 – Diagrama de corpo livre de um troço elementar de uma peça linear. 
 
 
Teremos para equações de equilíbrio 
 
( ) 0dVVdzpV0Fy =+++-Þ=å (13) 
0dzVM
2
dz
dzpdMM0MB =--++Þ=å (14) 
 
A partir da Eq. 13 obtém-se 
 
dz
dV
p -= (15) 
 
Desprezando a terceira parcela da Eq. 14, atendendo a que representa um infinitésimo 
de ordem superior relativamente às restantes, chega-se a 
D 
÷
ø
ö
ç
è
æ - 1
L
b
MD 
A B 
+ 
M 
z 
+ 
- 
÷
ø
ö
ç
è
æ -1
L
b
MD 
p(z) 
M+dM M 
V V+dV 
z 
dz 
A B 
y 
 12 
 
dz
dM
V = (16) 
 
As Eqs. 15 e 16 traduzem as relações que devem existir entre os diagramas de carga, 
de esforços transversos e de momentos flectores. Se o diagrama de carga for 
representado por um polinómio de um determinado grau, o diagrama de esforços 
transversos será representado por um polinómio de um grau acima, e o diagrama de 
momentos flectores por um polinómiode dois graus acima. Em cada ponto o valor do 
esforço transverso poderá ser obtido pela tangente ao diagrama de momentos 
flectores. Em cada ponto a densidade de carga poderá ser obtida através do valor da 
tangente ao diagrama de esforços transversos com o sinal trocado. Note-se que na Eq. 
14 p representa o módulo da densidade de carga de um carregamento que actue com o 
sentido considerado na Fig. 18, isto é, no sentido positivo do eixo y. Portanto, para 
efeitos de utilização da Eq. 15, um carregamento será positivo se actuar de cima para 
baixo. 
 
As Eqs. 15 e 16 podem ainda ser escritas na forma 
 
dzpdV -= (17) 
 
dzVdM = (18) 
 
Considerando um troço finito de uma peça linear compreendido entre dois pontos A e 
B escrever-se-á 
 
òò -=
B
A
B
A
x
x
V
V
dzpdV (19) 
 
òò =
B
A
B
A
x
x
M
M
dzVdM (20) 
 
ou ainda 
 
ò-=
B
A
x
xAB
dzpVV (21) 
 
ò+=
B
A
x
xAB
dzVMM (22) 
 
A Eq. 22 mostra que o momento flector num ponto B pode ser obtido adicionando ao 
momento flector num ponto A a área abaixo da curva que representa o diagrama de 
esforços transversos, compreendida entre os pontos A e B. Analogamente, a Eq. 21 
indica-nos que o esforço transverso na secção B pode ser obtido subtraindo ao esforço 
transverso em A a área abaixo do diagrama de carga, compreendida entre os pontos A 
e B. 
 
 
 
 13 
 
 
4. Diagramas de esforços normais 
 
Considere-se uma vez mais um troço elementar de uma peça linear, mas desta vez em 
equilíbrio sob a acção de uma carga distribuída actuando na direcção do eixo da peça, 
com densidade de distribuição q. Esta carga distribuída pode representar a 
componente segundo a direcção do eixo da peça de uma carga distribuída actuando 
com outra orientação qualquer. Trace-se o seu diagrama de corpo livre (Fig. 19). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 19 – Diagrama de corpo livre de um troço elementar de uma peça linear sujeita a 
uma carga distribuída actuando segundo o seu eixo. 
 
 
Teremos para equação de equilíbrio 
 
0NdzqdNN0Fz =-++Þ=å (23) 
 
ou 
 
dz
dN
q -= (24) 
 
Esta equação é semelhante à Eq. 15 e pressupõe um sentido positivo de q da esquerda 
para a direita (o sentido positivo do eixo z). Diz-nos que o valor da densidade de carga 
distribuída segundo o eixo da peça num determinado ponto pode ser obtido a partir do 
valor da tangente ao diagrama de esforços normais depois de multiplicado por menos 
um. Para um troço de dimensão finita AB pode ainda escrever-se, de forma análoga à 
Eq. 21, a expressão 
 
ò-=
B
A
x
xAB
dzqNN (25) 
 
que nos mostra que o esforço normal num ponto B se pode obter subtraindo ao 
esforço normal num ponto A a área abaixo do diagrama de carga axial compreendida 
entre A e B. 
 
Naturalmente, o esforço normal numa secção S de uma peça linear de eixo rectilíneo 
representa a soma das componentes segundo o eixo da peça de todas as forças à 
esquerda de S (ou à direita), tendo em conta a convenção de sinais estabelecida para 
os diagramas de esforços normais. 
N+dN N 
z 
q(z) 
dz 
A B 
y 
 14 
5. Exemplo 
 
Pretende-se traçar os diagramas de momentos flectores, de esforços transversos e de 
esforços normais em todas as barras da estrutura representada na Fig. 20, sujeita ao 
carregamento indicado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 20 – Estrutura com carregamento 
 
Resolução 
 
Trata-se de uma estrutura exteriormente hiperestática do 2º grau, globalmente 
isostática, relativamente à qual se sabe desde já que o diagrama de momentos 
flectores passará necessariamente pelos pontos B, D e G, já que as articulações 
existentes nestes pontos não impedem, por natureza, as rotações relativas entre as 
peças que se lhes ligam. O primeiro passo da resolução consiste na determinação das 
reacções exteriores. 
 
Cálculo das reacções exteriores 
 
O diagrama de corpo livre da barra DG (Fig. 21) irá permitir-nos determinar a reacção 
vertical em G com a escrita de uma única equação de equilíbrio. 
 
kN5,121R0482841516R80M GyGyD =Þ=´´-´--Þ=å (26) 
 
Com base no diagrama de corpo livre do troço BDG (Fig. 22) calcula-se a 
componente horizontal da reacção em G. 
 
kN7,462R
061228815165,1R125,1210M
Gx
GxB
-=
Þ=´´-´--´-´Þ=å
 (27) 
 
A 
B 
C D E F 
G 
1,5 m 
3,0 m 
2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 22 kN/m 
28 kN/m 
16 kN.m 
15 kN 
 15 
Finalmente, as três equações de equilíbrio da estrutura como um todo permitem-nos 
determinar as reacções no encastramento A (Fig. 23). 
 
kN7,429R07,462
2
322
R0F AxAxx =Þ=-
´
+Þ=å (28) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 21 – Diagrama de corpo livre do troço DG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 22 – Diagrama de corpo livre do troço BDG 
 
 
kN5,229R05,121151228R0F AyAyy =Þ=+-´-Þ=å (29) 
 
m.kN2,1355M05,47,462125,121
16815612281
2
322
M0M
A
AA
-=Þ=´+´
+-´-´´-´
´
-Þ=å
 (30) 
 
Estamos agora em condições de traçar os diagramas de esforços nas várias barras que 
constituem a estrutura. Começamos por orientar todas as barras da estrutura (Fig. 24). 
Tracemos seguidamente os diagramas de esforços, começando pela barra AB (Fig. 
25). 
 
 
D E F 
G 
2,0 m 2,0 m 4,0 m 
28 kN/m 
16 kN.m 
15 kN 
VD 
ND 
RG 
RGx 
x 
y 
B 
C D E F G 
1,5 m 
2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 
28 kN/m 
16 kN.m 
15 kN 
121,5 kN 
RBy 
RBx 
RGx 
x 
y 
 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 23 – Diagrama de corpo livre da estrutura como um todo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 24 – Orientação das barras da estrutura, da esquerda para a direita 
 
Tracemos agora os diagramas de esforços na barra BC (Fig. 26). Por a barra ser 
inclinada teremos o cuidado de decompor as forças que nela actuam em componentes 
segundo o eixo da barra e segundo a perpendicular antes de traçar os diagramas de 
esforços. A carga distribuída dá assim origem a duas outras, uma actuando na 
direcção do eixo da barra e a outra na direcção perpendicular. As reacções em C 
calculam-se a partir das três equações de equilíbrio das forças que actuam na barra 
BC. 
 
Para traçar os diagramas de esforços no troço CDEG (Fig. 27), começa-se por traçar o 
diagrama de corpo livre deste troço, colocando em C reacções iguais e de sentido 
oposto às que actuavam na extremidade C da barra BC. 
A 
B 
C D E F 
G 
A 
B 
C D E F G 
1,5 m 
3,0 m 
2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 22 kN/m 
28 kN/m 
16 kN.m 
15 kN 
121,5 kN 
MA 
RAy 
RAx 
462,7 kN 
x 
y 
 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 25 – Diagramas de esforços na barra AB. 
 
 
 
A B Diagrama de esforços 
transversos na barra AB - 429,7 kN 
462,7 kN 
Polinómio 
do 2º grau 
Tangente 
horizontal 
A B 
Diagrama de momentos 
flectores na barra AB 
+ 1355,2 kN.m 
Polinómio 
do 3º grau 
A B Diagrama de esforços 
normais na barra AB - 229,5 kN 
A B 
22 kN/m 
229,5 kN 
429,7 kN 
1355,2 kN.m 
Diagrama de corpo 
livre da barra AB 
Polinómio 
do 1º grau 
462,7 kN 
229,5 kN 
 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 26 – Diagramas de esforços na barra BC. 
 
 
 
 
 
1,5 m 
2,0 m 462,7 kN 
229,5 kN 
B 
C 
291,1 kN.m 
173,5 kN 
462,7 kN 
28 kN/m 
Diagrama de corpo 
livre da barra BC 
C 
B 
507,9 kN 
94 kN 
17,92 kN/m 
291,0 kN.m 
13,44 kN/m 
2,5 m 
138,8 kN 
474,3 kN 
Diagrama de corpolivre da barra BC 
94 kN 
138,8 kN 
B C 
- Diagrama de esforços 
transversos na barra BC 
Diagrama de momentos 
flectores na barra BC 
B C 
- 
291,0 kN.m 
B C 
- Diagrama de esforços 
normais na barra BC 507,9 kN 
474,3 kN 
Polinómio 
do 1º grau 
Polinómio 
do 2º grau 
 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 27 – Diagramas de esforços no troço CDEG. 
 
C D E F 
G 
2,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 
28 kN/m 
16 kN.m 
15 kN 
121,5 kN 
291,1 kN.m 
462,7 kN 
173,5 kN 
Diagrama de 
corpo livre do 
troço CDEG 
462,7 kN 
C D E 
F 
G 
173,5 kN 
121,5 kN 
+ 
- 
Diagrama de 
esforços 
transversos no 
troço CDEG 
5,5 kN 
9,5 kN 
C D E 
F 
G 
291,0 kN.m 
246,0 kN.m 
+ 
- 
Diagrama de 
momentos 
flectores no 
troço CDEG 
187,0 kN.m 
171,0 kN.m 
C D E 
F 
G 
- 
Diagrama de 
esforços 
normais no 
troço CDEG 
462,7 kN 
Polinómio 
do 1º grau 
Polinómio 
do 2º grau