PFM Aula 018 e 19 JHF 2014.2

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MOMENTO ANGULAR
(QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR)
Aula 18 e 19
PFM – Prof. José Henrique Fernandez
Telescópio Espacial Hubble: Como apontá-lo para uma estrela ou galáxia?
A Natureza Vetorial da Rotação
 Anteriormente apresentamos os conceitos de 
velocidade angular (ω), aceleração angular (α) e 
torque (τ) sem nos preocuparmos com seu caráter 
vetorial e, ainda, sempre havíamos considerado 
situações nas quais o eixo de rotação era constante no 
tempo (fixo).
 Para especificarmos o sentido da velocidade angular 
havíamos convencionado um sentido de giro como 
positivo (+) e outro como negativo (-), no entanto, 
quando os eixos não são fixos apenas os sinais de mais 
e menos não bastam para especificar a orientação da 
velocidade angular.
O VETOR velocidade angular 


A velocidade angular é um vetor cuja direção é ao longo do eixo de rotação e 
cujo sentido é dada pela regra da mão direita
(a) Faça seus dedos (da mão direita) girarem no sentido da 
rotação; o polegar irá apontar ao longo do eixo de rotação no 
sentido de (b) Em parafusos de rosca direita o sentido de 
também pode ser visto como o do avanço do parafuso 




O VETOR torque: 
Fr


Módulo:
 sin..Fr


Direção:
Perpendicular tanto a 
quanto a 
r

F

Sentido:
Regra da Mão Direita:
Dedos juntos ao primeiro vetor
e fecham indo em direção ao
segundo (polegar aponta o
sentido).
r

Torque em relação a O da força F sobre a partícula
O VETOR torque: 
Fr


Exemplo:
Módulo: F.r.sen()=F.r
Direção e Sentido: indicados na figura
r

O Produto Vetorial
BAC


Seja o vetor o produto vetorial entre o vetores e 
C

A

B

Define-se o vetor como:
C

nˆ sin ABBAC  
nˆ
(sentido dado pela regra da mão direita)
O módulo é área do
paralelogramo formado
pelos vetores A e B
 Segue da definição que:
O Produto Vetorial
      0ˆˆˆˆˆˆ0  kkjjiiAA

e
ABBA


NÃO é comutativo.
A ordem do vetores
é importante!!!
.ˆˆˆ
,ˆˆˆ
,ˆˆˆ
jik
ikj
kji



.ˆˆˆ
,ˆˆˆ
,ˆˆˆ
jki
ijk
kij



 O produto vetorial é distributivo:
O Produto Vetorial
CABACBA

 )(
 Derivada (respeita a regra do produto):
  














 B
dt
Ad
dt
Bd
ABA
dt
d 


Produtos Escalares e Produtos Vetoriais
 Se , e 
 Determine 
jA ˆ3
 iBA ˆ9

12BA

B

(expresse B em termos de suas componentes Bx, By e Bz)
A solução está no livro. Divirtam-se!
Torque ( ) e Momento Angular ( )
Uma partícula de massa m se 
movendo com velocidade v na 
posição r em relação à origem 
O. O momento linear da 
partícula é p=mv. O momento 
angular L da partícula em 
relação à origem O é definido 
como o produto vetorial de r por 
p: 
L



prL


Assim como o torque, o momento angular é definido em relação a um ponto do espaço, 
neste caso em relação à origem O.
kmvrL ˆsin 

Momento Angular ( )
 A figura mostra uma partícula de massa m, presa a um disco circular de 
massa desprezível, movendo-se em um círculo no plano xy que tem o centro 
na origem. O círculo gira em torno do eixo z, com velocidade angular ω. A 
velocidade v da partícula e sua velocidade angular ω relacionam-se em 
módulo por v=rω. O momento angular da partícula em relação ao centro 
do disco é:
L

ω




2
2 ˆˆ
ˆ90sin
mrL
kmrkrmvL
krmvL
vmrprL





ω

IL 
Momento Angular
O momento angular da partícula não é 
sempre paralelo a para qualquer ponto. 
Na figura ao lado temos o exemplo do 
momento angular tomado em relação a um 
outro ponto do eixo z mas que não está no 
centro do círculo. Perceba que agora não 
é mais paralelo a 
L





Momento Angular e Eixo de Simetria
Prendemos agora uma outra partícula, de 
mesma massa, ao disco em rotação, em um 
ponto diametralmente oposto à primeira. Os 
vetores momento angular e das partículas 
em relação ao mesmo ponto anterior O´ são 
mostrados.
O momento angular total 
de duas partículas é novamente paralelo ao 
vetor velocidade angular . Neste caso o 
eixo de rotação passa pelo centro de massa 
do sistema de duas partículas, e a distribuição 
de massa é simétrica em relação a esse eixo. 


21 LLL 

1L

2L

Um eixo como esse é chamado de eixo de simetria. Para qualquer sistema 
de partículas que gira em torno de um eixo de simetria 
ω

IL 
ω

IL 
A segunda Lei de Newton Rotacional:
 Tínhamos que:
dt
pd
rFr resres



 E agora vimos que:
prL


 Se derivarmos essa equação m.a.m. obtemos:
  












dt
pd
rp
dt
rd
pr
dt
d
dt
Ld





  0 mas 





 vmvp
dt
rd 

 E, portanto:
A segunda Lei de Newton Rotacional:
dt
pd
r
dt
Ld




 Substituindo
dt
pd
rres



 Obtemos finalmente:
dt
Ld
dt
Ld sis
resextres




 ,
2ª. Lei de Newton
Para a ROTAÇÃO
A segunda Lei de Newton Rotacional:
dt
Ld sis
resext


,
O Torque externo resultante sobre um sistema em relação a um ponto fixo é igual
à taxa de variação do momento angular do sistema em relação ao mesmo ponto.
Teorema do Impulso Angular-Momento 
Angular
 Integrando os dois lados da equação anterior em 
relação ao tempo, obtemos:
dtL
t
t
resextsis 
2
1
,

 Essa equação é a análoga rotacional para o Teorema 
do Impulso-Quantidade de Movimento Linear:
dtFP
t
t
resextsis 
2
1
,

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO 
ANGULAR
 Quando o torque externo resultante sobre um 
sistema é zero em relação a determinado ponto, 
temos:
0, 
dt
Ld sis
resext



constante sisL

Lei da Conservação do Momento Angular:
Se o torque externo resultante sobre um sistema em relação a um 
ponto é zero, então o momento angular total do sistema em relação 
ao mesmo ponto PERMANECE CONSTANTE
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO 
ANGULAR ( )
Você já viu uma 
apresentação de 
patinação no gelo?
Quando é que a 
patinadora gira mais 
rápido?
Se você reparou bem, é 
quando ela recolhe os 
braços e “encolhe” o 
corpo.
Como praticamente não 
há atrito com o gelo 
(torque externo nulo) o 
MOMENTO ANGULAR 
se conserva, assim se R 
diminui (e, portanto, I 
diminui),  aumenta 
para L se manter 
constante
E aqui?


IL 
Dois Discos Girando
 O disco 1 gira livremente com uma velocidade angular i, em torno de um 
eixo vertical que coincide com seu eixo de simetria, como mostrado na 
figura. Seu momento de inércia em relação a este eixo é I1. Ele cai sobre o 
disco 2, de momento de inércia I2, que está inicialmente em repouso. O disco 
2 está centrado no mesmo eixo que o disco 1 e é livre para girar em torno 
desse eixo. Devido ao atrito cinético, os dois discos acabam por ter a mesma 
velocidade angular f. Determine f.
Dois Discos Girando: Conservação do 
Momento Angular
 Determina-se a velocidade angular final a partir da 
conservação do Momento Angular total do sistema pois 
não há torques externos agindo sobre nosso sistema(o 
atrito entre os discos proporciona apenas pares de 
forças internas). A velocidade angular do disco de cima 
é reduzida, enquanto que a do disco de baixo é 
aumentada pelas forças de atrito cinético. Como a 
direção do eixo de rotação é fixa, o sentido do 
movimento de rotação pode ser especificado por um 
sinal de + ou -. O atrito cinético dissipa energia 
mecânica, logo devemos esperar que a energia 
mecânica total do sistema diminua.
Dois Discos Girando: Solução
fi
fi
III
LL
 )( 211 

i
I
I
f
if
II
I











1
2
21
1
1
1
Checagem: Se I2<<I1, a colisão deve ter efeito pequeno sobre o movimento do disco 1. Nossa
resposta está de acordo, pois quando (I2/ I1) 0, f  i . No caso oposto, quando I2>>I1, então o
disco 1 deve frear até quase o repouso, sem causar um movimento de rotação apreciável no disco 2.
Nossa resposta também prevê isso pois quando (I2/ I1) ∞ , f  0.
Dois Discos Girando
As engrenagens girando, na transmissão de um caminhão,
colidem inelasticamente quando engatam
Dois Discos Girando
 Nessa colisão entre os 2 discos a energia mecânica foi dissipada. Podemos 
ver facilmente isso escrevendo a energia em termos da quantidade de 
movimento angular (como fizemos também com a quantidade de 
movimento linear, lembram?):
I
L
I
I
IK
22
)(
2
1 222 

Expressão análoga a:
m
p
K
2
2

1
2
2I
L
K ii 
e
)(2 21
2
II
L
K
f
f


mas
fi LL 
1
21
1 


II
I
K
K
i
f
Essa colisão é análoga a uma colisão 1D
PERFEITAMENTE INELÁSTICA
Uma partícula girando na horizontal
 Uma partícula de massa m, sobre uma mesa horizontal sem atrito, está ligada a um 
fio que passa através de um pequeno furo na mesa. A partícula é colocada em 
movimento circular de raio R, e, nesse instante, sua velocidade escalar linear (em 
módulo) é vi. (a) Se o fio for puxado para baixo de forma que o raio da trajetória 
circular seja diminuído para r, qual será a velocidade escalar final vf da partícula? 
isso???enxergar consegue Você
nulo é resutante torqueo assim ainda mas
partícula a sobre agem forças 3
r
Rv
v
rmvRmvL
L
i
f
fi


 constante é 
NÃO! conseva? se cinética, energia a E
1
1
22
22
2
1
2
2
1













r
R
r
Rv
vmv
mv
K
K
i
ii
f
i
f
K aumenta, como ???
De veio essa energia?
Para o Lar: Fazer o problema 10-5: 
Lama nos olhos, do Tipler
 Pense e Responda: Por que o Helicóptero possui 
dois rotores? O que acontece se o rotor traseiro 
parar de funcionar em pleno voo?
Para Casa: Vamos pensar um pouquinho?
 Responda as perguntas:
 Por que nas armas de fogo os projéteis saem do cano 
com rotação?
 Por que um lançador do futebol americano lança a 
bola (em formato de olho) com rotação em relação ao 
eixo maior da bola?
 Por que você sente mais equilíbrio na moto quando está 
a velocidades maiores?