Movimento Ondulatorio

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Capítulo 2- Movimento Ondulatório
Universidade Federal de Piauí- UFPI
Disciplina: FÍSICA GERAL II 
Prof. Hans A. García
2.1. Tipos de Ondas
2.2. Ondas Transversais e Longitudinais
2.3. Comprimento de Onda e Frequência
2.4 Velocidade de uma Onda Progressiva
2.5 Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma corda 
Dois tipos diferentes de ondas progressivas
Onda Transversal: Uma onda Transversal é aquela cujos deslocamentos produzidos no
meio são perperdiculares ao sentido de propagação da onda.
Exemplo: Onda transversal em uma corda
À medida que a onda passa, cada partícula
da corda se move para cima e para baixo,
transversalmente ao movimento da onda
em si.
Onda Longitudinal: Neste caso as partículas do meio oscilam para a frente e para tras ao
longo da mesma direção de propagação da onda.
o meio de propagação é um fio ou uma corda esticada sob tensão. Quando agitamos ou
balançamos a extremidade esquerda da corda, a agitação (pertubação) se propaga
através do comprimento da corda.
Da figura podemos dizer o seguinte:
Descrição da onda transversal em uma corda
Note que > as seções sucessivas da corda sofrem o mesmo tipo de movimento 
que aplicamos em sua extremidade, mas em tempos sucessivamente posteriores. 
Superposição de uma longitudinal com uma onda transversal
À medida que a onda passa, cada partícula da superfície do líquido se move em um círculo.
A placa empurra para a direita e depois retorna, produzindo a superposição.
Em resumo
Note que cada um dos sistemas descritos anteriormente possui um estado de equilibrio. 
Para a corda, o equilibrio corresponde ao estado em que o sistema está em repouso, isto é
quando a corda está esticada em linha reta.
Para o fluido no interior do tubo, o equilíbrio corresponde ao estado em que a pressão é
uniforme em todos os seus pontos.
Em resumo
1. O meio de propagação deve ser elástico, ou seja, algum tipo de força restauradora tende
a trazer o meio de volta ao equilíbrio após ele ter sido deslocado ou perturbado.
Os exemplos dados anteriormente, possuem 4 características em comum.
A tensão em uma corda esticada puxa de volta logo depois de você beliscá-la.
Por exemplo:
A gravidade restaura a superfície de um lago ao seu nível normal depois que a onda
gerada por um barco passa por ela. 
2. Em cada caso a perturbação se desloca ou se propaga com uma velocidade definida
através do meio. O módulo dessa velocidade denomina-se velocidade de propagação
da onda. Ela é determinada em cada caso pelas propriedades mecânicas do meio.

c
corda
T
V 
Velocidade de onda em uma corda esticada com tensão
Tc.
L
m

Densidade linear, onde m é a massa da corda e L é o 
Comprimento dela.
Note que > pode –se aumentar a velocidade da onda aumentando-se a tensão da corda
(tornando-a mais apertada) ou diminuindo a densidade linear da corda (tornando – a mais fina).
3. A perturbação (configuração global da onda) se propaga pelo meio, mas o meio, como
um todo, não se desloca no espaço; as partículas individuais do meio oscilam em torno
das respectivas posições de equilíbrio.
“Fazer a ola” em um estadio é um exemplo de onda mecânica: a perturbação se propaga pela multidão,
mas não há transporte de matéria (nenhum dos espectadores se move de um assento para outro).
4. Para produzir o movimento de qualquer um desses sistemas é necessário fornecer
energia mediante um trabajo realizado sobre o sistema. O movimento ondulatório
transfere esta energia de uma região para outra do meio.
As ondas transmitem energia, mas não
transportammatéria de uma região para
outra domeio.
Ondas Periódicas
O MHS da mola e da massa gera uma onda Senoidal na
corda. Cada partícula na corda Apresenta o mesmo
movimento harmônico da mola e da massa; a amplitude
da onda é a amplitude desse movimento.
Ondas Periódicas
O gráfico-Historia para um ponto do espaço (elemento da corda).
O gráfico-instantâneo para um instante de tempo.
O Deslocamento: representação matematica para descrever todos os tipos de onda
yD 
É o deslocamento perpendicular de um ponto na corda.
y
xD 
Para uma onda sonora
É o deslocamento longitudinal de um pequeño volume do fluido.
x
Como o deslocamento de uma partícula do meio depende de onde ela está (sua posição x) e de quando
você a observa (o instante t), D debe ser uma função das duas variáveis x e t, ou seja
),( txD
O deslocamento de uma partícula na posição x e no instante t.
Note que: os valores das duas variáveis – onde e quando – devem ser especificados para que você 
possa determinar o deslocamento D.
Uma característica importante de toda onda senoidal é que ela é periódica tanto no espaço como
no tempo. Note da figura, que conforme nos movemos da esquerda para a direita ao longo da
onda “congelada” no gráfico – instantaneo, a perturbação “Congelada” se repete
indefinidamente.
)(),(),(
0
  tkxsenytxytxD
m
O período T é o tempo durante o qual a perturbação se repete em cada ponto do espaço.
Onda senoidal propagando-se no sentido positivo do eixo x
)(),(),(
0
  tkxsenytxytxD
m
Equação que descreve a posição vertical, y, em termos de cada elemento da “corda” e do tempo. 
Comprimento de Onda e Número de onda (em um tempo qualquer) 
Amplitude de uma onda é definida pela grandeza física que multiplica a
função seno. Neste caso, consiste no máximo deslocamento dos elementos a
partir da posição de equilíbrio quando a onda passa por eles.

Distância (paralela direção de propagação) entre repetições da forma da onda.
m
y

2
k
Determina quantos radianos da onda estão contidos em 1 m.
Periodo, Frequência angular (considerando um elemento x da corda) 
Definimos o periodo T de oscilação de uma onda como o tempo que um elemento da corda
Leva para realizar uma oscilação completa.
Frequência Angular ω determina quantos radianos são percorridos em cada segundo.
T


2

O grafico – instantaneo da onda em t=0 seg, pode ser descrito pela forma de onda, 
)()0,( kxsenyxy
m

Sabendo que o deslocamento y é o mesmo nas duas extremidades (ponto preto) do
comprimento de onda
1
xx  
12
xx
)0,()0,(
11
 xyxy  )()(
11
 xksenykxseny
mm
 2k
Condição deve ser satisfeita, pois a função seno tem
Um periodo espacial de 2pi radianes.
Nota: O comprimento de onda é o análogo espacial do período.
Como determinar a velocidade de propagação de uma onda ?
)(),( txksenytxy
m

1. Considere a onda se propagando no sentido positivo do eixo x. 
x
2. Distância deslocada pela onda durante o intervalo de tempo
t
3.
?
0




 dt
dx
t
x
Limv
t
4. Como cada ponto da forma de onda (por exemplo A) , 
conserva seu deslocamento y(x,t), isto é:
),(),(
1111
ttxxytxy
AA

5. Assim, temos que a fase da onda debe permancer constante
constante tkx 
)()(
111111
ttxxktkx  
A onda se desloca com uma velocidade v ao longo da corda, dada por:
kdt
dx
v


f
Tk
v  
Usando 

2
k E 
T


2

Atenção: Diferença entre o Movimento da onda e Movimento de uma partícula do meio.
Tome cuidado para não confundir o movimento de uma onda transversal ao longo da corda
Como o movimento de uma partícula da corda. 
A onda se desloca com uma velocidade v ao longo da corda, dada por:
kdt
dx
v


Por outro lado, o movimento da partícula é um MHS transversal (perpendicular) à direção 
da propagação da onda. Assim, temos que a velocidade transversal de um elemento da corda 
é dado por:
)(),( txksenytxy
m

)(cos),( txkyutxv
my
 

ccorda
T
v 
L
m

Energia e Potência de uma onda progressiva em uma corda
Quando produzimos uma onda em uma corda esticada fornecemos energia para que a corda
Se mova. Quando a onda se propaga, transporta energia cinética e energia potencial elástica.
Energia Cinética
)(cos),( txky
t
y
txu
m
 



2
2
1
udmdE
c

A energia cinética de um elemento da corda de massa dm.
máximaelementob
uu 
Quando o elemento está passando pela 
Posição y=0 . 
Velocidade transversal do Elemento de
corda em um MHS.
c
dE
máximac
dE
0
c
dE
0



t
y
u
aelemento
Quando o elemento está na Posição
Extrema y=ym . 
Energia potencial elástica da corda
A energia potencial depende de quanto o elemento da corda é alongado quando a onda passa por ele.
2
2
1
xkE
p

A energia potencial de um elemento da corda de massa dm.
Quando o elemento está passando pela Posição y=0, a qual possui
alongamento máximo e portanto, energia potencial elástica máxima –
elemento b na figura.
p
dE
0
ap
dE
bpmáximap
dEdE 
Quando o elemento está na Posição
Extrema y=ym – elemento a
A taxa de transmissão de Energia cinética
2
2
1
udmdE
c

A energia cinética de um elemento da corda de massa dm.
)(cos),( txky
t
y
txu
m
 



Velocidade transversal do Elemento de
corda em um MHS.
dxdm 
)(cos))((
2
1
2
1 222 tkxydxudmdE
mc
 
)(cos
2
1 222 tkxyv
dt
dE
m
c  
Taxa com a qual a energia cinética é
transportada pela onda.
22
4
1
m
média
c yv
dt
dE 





Taxa média com a qual a energia cinética é
transportada pela onda.
A taxa de transmissão ou potência media
22
2
1
mméd
yvP 
Potência média: é a taxa média com a qual as duas formas de energia ( cinética e
potencial ) são transmitidas pela onda.
Potência média.
média
p
média
c
média
c
méd
dt
dE
dt
dE
dt
dE
P 

















 2
Exemplo: Potência transmitida por uma onda em uma corda.
O deslocamento transversal de uma corda tensionada em relação ao equilíbrio, em função da 
posição e do tempo, e dado por 
])0,72()00,9cos[(130,0),( 11 tsxmmtxy  
mkg
L
m
/00677,0
Qual é a potência média transmitida pela onda através da corda ?
sJP
méd
/37,2
Exemplo: Calculando a velocidade da onda
Uma das extremidades de uma corda de náilon está presa a um suporte fixo no topo de um poço
vertical de uma mina com profundidade igual a 80,0 m. A corda fica esticada pela ação do peso
de uma caixa de minérios com massa igual a 20,0 kg presa na extremidade inferior da corda. A
massa da corda é igual a 2,0 kg. Um geólogo no fundo da mina, balançando a corda
lateralmente, envia um sinal para seu colega que está no topo da mina. A) Qual é a velocidade
da onda transversal que se propaga na corda ? b) Sabendo que um ponto da corda executa um
MHS com frequencia igual a 2,0 Hz, qual é o comprimento de onda da onda ? c) calcule o
número de comprimentos de onda que cabem na extensão da corda.
Modelo 
Vamos supor que a tensão na corda seja dada pelo peso da caixa de mineiros
 gmF
minérios
Questão 15.11: Livro de Young 12 edição
Uma onda senoidal propaga-se ao longo de uma corda esticada sobre o eixo Ox. 
A Equação de Onda 
A seguinte equação diferencial, chamada de equação de onda, descreve a propagação de ondas de
qualquer tipo.
2
2
22
2 ),(1),(
t
txy
vx
txy





Sempre que um deslocamento y(x,t) satisfaz a equação de onda, sabemos que uma perturbação
Pode propagar-se como onda ao longo do eixo Ox com velocidade v. A pertubação não precisa ser
necessariamente uma onda senoidal.
O Princípio da Superposição
O que acontece quando duas ondas senoidais se propagam simultaneamente na mesma região ?
),(),(),(
21
txytxytxy
res

Ocorre um combinação de ondas, uma superposição
Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir 
uma onda resultante ou onda total.
Ondas superpostas não se afetam mutuamente. 
Superposição de dois pulsos ondulatórios se
deslocando em sentidos opostos.
Princípio de Superposição
O Princípio da Superposição de forma geral
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO Quando duas ou mais ondas estão presentes simultaneamente em um
mesmo ponto do espaço, o deslocamento do meio neste ponto é a soma dos deslocamentos que
seriam produzidos por cada onda separadamente.
Quando objetos diferentes são postos um sobre o outro, dizemos que eles estão sobrepostos. 
Quando uma onda é “posta” sobre outra, temos uma superposição de ondas. Matematicamente,
O deslocamento resultante de uma partícula do meio é expresso como 

i
ires
DDDD
21
i
D
Deslocamento que seria causado se apenas a onda i estivesse presente.
Note que, para usar o princípio da superposição, você deve conhecer o deslocamento causado
Por cada onda se estivesse se propagando sozinha no meio. Para determinar o deslocamento
resultante no meio de propagação, você deve, então, em cada ponto do meio, adicionar os
deslocamentos causados separadamente por cada onda naquele ponto. O resultado será
diferente em cada um dos pontos do meio de propagação, uma vez que os deslocamentos são
diferentes em cada ponto.
Interferencia de Ondas
O fenômeno de combinação de ondas recebe o nome de interferencia, e dizemos que as ondas
interferem entre si. ( o termo se refere apenas aos deslocamentos; a propagação das ondas não é
afetada.)
Suponha duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda e amplitude que se propagam no mesmo
sentido em uma corda. Elas interferem para produzir uma onda resultante senoidal que se propaga
nesse mesmo sentido.
)(),(
1
txksenytxy
m
 )(),(
2
  txksenytxy
m
0 180
120
Interferencia totalmente construtiva produz a maior amplitude possível. Da figura anterior vemos (figura
(d)), que o deslocamento total a cada instante é o dobro do deslocamento que seria produzido por apenas
uma das ondas.
0
Interferencia totalmente destrutiva neste caso a amplitude da onda resultante é nula para todos
Os valores de x e t. Isto é, as ondas que interferem estão totalmente desfasadas e deslocamento
É zero – a corda permanece parada.
Na figura (e) vemos este tipo de interferencia.
1800),( txyres
)(2),(),(),(
21
tkxsenytxytxytxy
mres

Em conclusão: a forma da onda resultante depende da fase relativa das duas ondas que
Interferem.
A interferência do ponto de vista matemático
)(),(
1
txksenytxy
m
 )(),(
2
  txksenytxy
m
),(),(),(
21
txytxytxy
res

)()(),(   tkxsenytkxsenytxy
mmres
    )(
2
1
cos)(
2
1
2 BABAsenBsenAsen 
 txkB 
)(   txkA
)(
2
1
cos)(
2
1
2),( tkxtkxtkxtkxsenytxy
mres
 



















22
1
cos2),(
 tkxsenytxy
mres
Termo de amplitude Termo Oscilatório
Deslocamento
Ondas Estacionárias
Ondas estacionárias são obtidas a partir da interferência de duas ondas senoidais
idênticas (de mesma amplitude, κ e ω) mas que se movem em sentidos opostos.
A analise dos 5 instantes que aparecem na figura acima nos mostram que a onda resultante
possui pontos que nunca se movem ditos de nós. Os pontos da onda resultante que oscilam com
amplitude máxima são chamados de anti-nós
Interferencia totalmente construtiva
T
T
t ,
2
,0
4
3
,
4
TT
t 
Interferencia totalmente destrutiva.
Ondas Estacionárias do ponto de vista matemático
)(),(
1
txksenytxy
m

)(),(2
txksenytxy
m

),(),(),(
21
txytxytxy
res

)()(),( tkxsenytkxsenytxy
mmres
 
Onda propagando-se para a esquerda.
Onda propagando-se para a direita.
    )(
2
1
cos)(
2
1
2 BABAsenBsenAsen 
 txkB 
)( txkA 
 tkxtkxtkxtkxsenytxy
mres
 
2
1
cos)(2),(
   tkxsenytxy
mres
cos)(2),( 
   tkxsenytxy
mres
cos)(2),( 
Ondas Estacionárias significado de cada termo
Amplitude da oscilação do elemento da corda localizado na posição x.
Termo Oscilatório
Deslocamento
)(2)( kxsenyxA
m

Vale ressaltar que uma onda estacionária não é uma onda progressiva porque não é da forma
)(),( tkxhtxy 
Amplitude varia com a posição.
Em uma onda senoidal progressiva a amplitude da onda é a mesma para todos os elementos
da corda. Diferente é o caso de uma onda estacionária, na qual a amplitude varia com a
posição.
,
2

nx 
Se 
0)( kxsen
Para n=0,1,2,…
Posições dos nós
,
22
1 






 nx
m
yxA 2)( 
Se 
1)( kxsen
Para n=0,1,2,…
Posições dos antinós
0)(2)(  kxsenyxA
m
A condição de ressonância é satisfeita quando o espaço de confinamento, o
comprimento útil da corda, equivale a um múltiplo inteiro de meios comprimentos de
onda.
Ressonância
Suponha uma onda senoidal de uma certa frequência que se
propaga, para a direita. A onda refletida na extremidade direita
começa a se propagar de volta para a esquerda. Essa onda
reflete na extremidade esquerda. Dessa forma, logo teremos
Muitas ondas superpostas que interferem entre si.
Para certas frequências a interferencia produz uma onda
Estacionária (ou modo de oscilação) com nós e grandes
Antinós.
Dizemos que as ondas estacionárias se formam
apenas para certas frequências de oscilação,
conhecidas como frequências de ressonância.
Ressonância
Assim, uma onda estacionária pode ser excitada em uma corda de comprimento L por uma
Onda cujo comprimento de onda satisfaz a condição
,
2
n
L
n

Para n=1,2,3,……
As frequências de ressonância que correspondem a esses comprimentos de onda podem
Ser calculadas usando:
L
v
n
v
f
n
n
2


Para n=1,2,3,……
Onde v é a velocidade das ondas progressivas na corda.
A condição de ressonância é satisfeita quando o espaço de confinamento, o
comprimento útil da corda, equivale a um múltiplo inteiro de meios comprimentos de
onda.
A figura representa as primeiras três ondas
Estacionarias possíveis em uma corda de
Comprimento fixo L. Tais ondas estacionárias
São chamadas de modos normais.
http://intervalociencia.blogspot.com.br/2012/08/se-o-faquir-ao-deitar-numa-cama-de.html
Referências Bibliográficas
http://pensargeo.wordpress.com/2011/05/12/pressao-atmosferica/
http://www.alunosonline.com.br/quimica/a-pressao-atmosferica.html
http://pt.net-diver.org/selftraining/manual/p59-1.htm
http://fontesdeenergia-2008.blogspot.com.br/2008/09/energia-hidreltrica-energia-das-guas.html
http://www.alunosonline.com.br/quimica/a-pressao-atmosferica.html
http://www.alunosonline.com.br/fisica/vasos-comunicantes.html