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Análise Dimensional e Semelhança
Análise Dimensional e Semelhança 1
Análise Dimensional
Análise dimensional é um meio para simplificação 
d e u m p r o b l e m a f í s i c o e m p r e g a n d o a 
homogeneidade dimensional para reduzir o número 
das variáveis de análise.
A análise dimensional é particularmente útil para:
- Apresentar e interpretar dados experimentais;
- Resolver problemas difíceis de atacar com solução 
analítica;
- Estabelecer a importância relativa de um 
determinado fenômeno;
- Modelagem física.
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Dimensões primárias
massa M [kg]
comprimento L [m]
tempo T [s]
temperatura θ [K]
Dimensões de grandezas derivadas
Grandeza Símbolo Dimensão
Geometria
Área A L2
Geometria Volume V L3
Cinemática
Velocidade U LT-1
Cinemática
Velocidade Angular ω T-1
Cinemática Vazão Q L3T-1Cinemática
Fluxo de massa MT-1
Dinâmica
Força F MLT-2
Dinâmica
Torque T ML2T-2
Dinâmica Energia E ML2T-2Dinâmica
Potência P ML2T-3
Dinâmica
Pressão p ML-1T-2
Propriedades 
dos Fluidos
Densidade ρ ML-3
Propriedades 
dos Fluidos
Viscosidade µ ML-1T-1
Propriedades 
dos Fluidos
Viscosidade Cinemática L2T-1Propriedades 
dos Fluidos Tensão superficial σ MT-2
Propriedades 
dos Fluidos
Condutividade Térmica k MLT-3θ
Propriedades 
dos Fluidos
Calor Específico CP, CV L2T-2θ-1
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Semelhança
Problemas em Engenharia (principalmente na área 
de Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidos 
aplicando-se exclusivamente análise teórica. 
Portanto, utilizam-se com freqüência estudos 
experimentais.
Métodos analíticos nem sempre são satisfatórios:
- Limitações devido às simplificações necessárias 
para resolver as equações;
- Análise detalhada com grande complexidade/
custo; 
Muito do trabalho experimental é feito com o 
próprio equipamento ou com réplicas exatas. 
Porém, a maior parte das aplicações em Engenharia 
é realizada utilizando-se modelos em escala.
No entanto, sem planejamento e organização, os 
procedimentos experimentais podem:
- Consumir muito tempo;
- Não ter objetividade;
- Custarem muito.
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Utilização de modelos em escala
- Vantagens econômicas (tempo e dinheiro);
- Podem-se utilizar fluidos diferentes dos fluidos de 
trabalho;
- Os resultados podem ser extrapolados;
- Podem-se uti l izar modelos reduzidos ou 
expandidos (dependendo da conveniência);
As comparações são realizadas entre o PROTÓTIPO 
(avião, navio) em escala real e o MODELO em 
escala reduzida ou aumentada.
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Comparação entre Protótipo e Modelo
Para ser possível esta comparação e conseqüente a 
utilização dos resultados do modelo ao protótipo é 
indispensável que os conjuntos de condições sejam 
FISICAMENTE SEMELHANTES.
O termo SEMELHANÇA FÍSICA é um termo geral que 
envolve uma variedade de tipos de semelhança.
Semelhança Geométrica
Semelhança Cinemática
Semelhança Dinâmica
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Semelhança Geométrica
Semelhança de forma. A propriedade característica 
dos sistemas geometricamente semelhantes 
(modelo e protótipo) é que a razão entre qualquer 
comprimento no modelo e o seu comprimento 
correspondente no protótipo é uma constante. Esta 
razão é conhecida como FATOR DE ESCALA.
A semelhança geométrica é o requisito mais óbvio 
para que um modelo possa corresponder a um dado 
protótipo.
Nem sempre é fácil obter a semelhança geométrica 
perfeita. Deve-se lembrar que não só a forma global 
do modelo tem que ser semelhante à do protótipo, 
como também a rugosidade das superfícies deveria 
ser geometricamente semelhantes.
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Semelhança Geométrica
Muitas vezes, a rugosidade de um modelo em 
escala reduzida não pode ser obtida de acordo com 
o fator de escala – problema de construção/de 
material/de acabamento das superfícies do modelo.
Exemplo: Estudo do movimento dos sedimentos nos 
rios. Um modelo em escala pode exigir o uso de um 
pó excessivamente fino para representar o 
sedimento.
No caso de protótipos muito grandes, o recurso de 
modelos distorcidos (fator de escala diferentes entre 
os comprimentos na horizontal e na vertical) é 
inevitável.
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Semelhança Cinemática
Semelhança cinemática é a semelhança do 
movimento, o que implica necessariamente 
semelhança de comprimentos (semelhança 
geométrica) e semelhança de intervalos de tempo.
Comprimento no protótipo
Comprimento no 
modelo
Tempo no protótipo
Tempo no modelo
Velocidade (aceleração) no protótipo
Velocidade (aceleração) 
no modelo
Exemplo de semelhança cinemática: Planetário.
O firmamento é reproduzido de acordo com um 
certo fator de escala de comprimento e, ao copiar 
os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão 
fixa de intervalos de tempo e, portanto, de 
velocidades e acelerações.
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Semelhança Cinemática
Escoamentos que possuem semelhança cinemática, 
os padrões formados pelas linhas de corrente são 
geometricamente semelhantes.
Protótipo
Modelo
Uma vez que as fronteiras do escoamento 
correspondem a linhas de correntes, só é possível 
obter escoamentos semelhantes, do ponto de vista 
cinemático, em fronteiras geometricamente 
semelhantes.
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Semelhança Cinemática
No entanto, esta condição não é suficiente para 
assegurar a semelhança geométrica dos padrões 
das linhas de corrente a uma distância significativa 
das fronteiras.
Protótipo
Modelo
A semelhança geométrica nas fronteiras é uma 
condição necessária, mas não suficiente para haver 
semelhança cinemática dos escoamentos.
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Semelhança Dinâmica
Semelhança Dinâmica é a semelhança das forças. 
Dois sistemas são dinamicamente semelhantes 
quando os valores absolutos das forças, em pontos 
equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão 
fixa.
As forças que determinam o comportamento dos 
fluidos têm várias origens:
1. Forças devidas às diferenças de pressão;
2. Forças resultantes da ação da viscosidade;
3. Forças devido à tensão superficial;
4. Forças elásticas;
5. Forças de inércia.
6. Forças devido à atração gravitacional
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Grupos Adimensionais
Grupo 
Adimensional
Nome R a z ã o d a s f o r ç a s 
representadas
Símbolo 
habitual
Número de 
Reynolds Re
Número de 
Froude Fr
Número de 
Weber We
Número de 
Mach M
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Semelhança Geométrica
Semelhança 
Cinemática
Semelhança 
Dinâmica
Semelhança Geométrica
- das formas
- das linhas de corrente
- das linhas de força
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Determinação de Grupos Adimensionais 
em um Problema Físico
Teorema dos Pi de Buckingham
Dado um problema físico no qual um parâmetro de interesse é uma 
função de n-1 parâmetros independentes, é possível escrever a 
seguinte relação:
 (1)
Pode-se expressar esta mesma relação de uma forma alternativa:
 (2)
O Teorema dos Pi de Buckingham declara que dada uma relação entre 
n parâmetros da forma da Eq.(2), então, os n parâmetros podem ser 
agrupados em n-m razões independentes adimensionais, ou 
parâmetros Π, os quais podem ser expressos como segue:
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Determinação dos Grupos Pi
Geralmente, a determinação dos grupos adimensionais segue um 
roteiro descrito a seguir:
PASSO1: Liste todos os parâmetros envolvidos. Define-se n como o 
número de parâmetros envolvidos;
PASSO 2: Expresse estes parâmetros em termos das dimensões 
primárias. Define-se r como o número de dimensões primárias 
presentes no problema;
PASSO 3: Selecione da lista um número r de parâmetros que, em 
conjunto, incluam todas as dimensões primárias. Tome cuidado para 
que estes parâmetros não sejam linearmente dependentes. Existe a 
possibilidade de não ser possível selecionar r parâmetros 
independentes. Neste caso, o número de parâmetros independentes, 
m, deve ser considerado ao invés de r;
PASSO 4: Estabeleça equações dimensionais combinando os 
parâmetros selecionados no passo anterior com cada um dos outros 
parâmetros para formar grupos adimensionais. Geralmente, o 
número de equações dimensionais é igual ao número de parâmetros 
menos o número de dimensões primárias presentes no problema (n-
r), a não ser que r ≠ m. Neste caso, o número de equações 
dimensionais deverá ser (n-m);
PASSO 5: Resolva as equações para obter os grupos adimensionais;
PASSO 6: Verifique se cada grupo obtido é adimensional.
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Estudo de Modelos
Uma vez determinadas a importância dos números adimensionais e a 
metodologia para sua determinação em um problema físico, pode-se 
estudar como estes números (ou grupos) adimensionais podem ser 
utilizados para a prática de engenharia.
O teorema dos Pi de Buckingham torna possível determinar quais são 
os grupos adimensionais importantes para o problema e predizer a 
relação funcional entre eles.
Considere o caso onde foram determinados 2 parâmetros 
adimensionais, relacionados pela seguinte equação funcional:
A semelhança dinâmica entre modelo e protótipo (objeto em escala 
real), geometricamente semelhantes, ocorrerá se:
Neste caso, esta igualdade garante que:
As grandes dificuldades surgem quando o problema físico apresenta 3 
ou mais grupos adimensionais. Considerando um problema com 3 
números adimensionais:
Para se ter
É necessário garantir que as seguintes situações ocorrerão 
simultaneamente:
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Em muitas situações práticas não é possível atender as equações 
acima simultaneamente. Porém, a natureza intrépida de um(a) 
engenheiro(a) não impede que, ainda nestas situações, o problema 
físico seja analisado.
Nestas situações, conhecidas como Semelhança Incompleta, depara-
se com problemas intrínsecos da mudança de escala. No caso da 
análise de escoamentos, a redução da escala entre modelo e 
protótipo é responsável por duas situações muito comuns:
1. Em casos de escoamento de água com superfície livre, pode não 
ser possível compatibilizar a exigência da igualdade de número de 
Reynolds e de número de Froude. Como, geralmente, a água é o 
líquido mais conveniente para a realização destes testes, a garantia 
de semelhança geométrica pode levar a adoção de velocidades no 
modelo que faça com que o regime de escoamento torne-se laminar, 
enquanto o protótipo opera em regime turbulento;
2. A rugosidade relativa pode não ser possível de ser atendida no 
modelo. Uma vez que do modelo é reduzida, a rugosidade 
superficial requerida pode tornar-se impossível de ser atingida.
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Exemplos práticos
Determinação de Parâmetros Adimensionais
Caso 1 – Propagação de ondas profundas
A velocidade de propagação de ondas em águas profundas depende 
do comprimento de onda λ, da aceleração da gravidade g e (talvez) 
da densidade da água ρ.
v λ g ρ
[LT-1] [L] [LT-2] [M L-3]
Uma vez que somente ρ possui M, não é possível obter adimensional 
que envolva a densidade.
Portanto,
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Exemplos práticos
Determinação de Parâmetros Adimensionais
Caso 2 – Explosão Nuclear
O raio, r, da bola de fogo é uma função do tempo, t, da energia 
inicial, E, e da densidade inicial do ar, ρ0.
r t E ρ0
[L] [T] [ML2T-2] [M L-3]
Levando a
Para se verificar esta relação é necessário provocar uma explosão 
nuclear e analisar a taxa de crescimento da bola de fogo !!
Felizmente, Geoffrey Taylor fez este experimento para nós e o 
publicou: “The formation of a blast wave by a very intense explosion”, 
Proc. Royal Soc. (London) 201 A, pp 159-186, 1950.
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Determinação de Parâmetros Adimensionais
Caso 3 – Perda de carga em tubo liso
A perda de carga por unidade de comprimento dP/dx é função da 
densidade ρ, viscosidade µ, velocidade média do fluido U e diâmetro 
do tubo D.
dP/dx ρ µ U D
[M L-3] [T] [LT-1] [L]
 e 
Portanto, espera-se que Π seja função de Re:
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Semelhança Incompleta
Disponível no Livro Fox & MacDonald (5ª Ed.).
Semelhança Incompleta entre o Modelo e o Protótipo de uma fragata
Os testes em um modelo de navio, em escala 1:80, indicaram que o 
escoamento apresentou-se laminar (deveria ser turbulento). Isto 
ocorreu porque não foi possível atender a igualdade do número de 
Reynolds (situação do problema 1, discutido anteriormente). O fato 
da não coincidência dos regimes de escoamento faz com que haja 
uma grande discrepância das espessuras das camadas limite e, por 
conseqüência, do coeficiente de arrasto hidrodinâmico. Para que fosse 
possível a estimativa da resistência viscosa, a partir do Modelo, foi 
necessário o uso de um artifício.
Da teoria da Camada Limite, estimou-se a espessura da camada 
limite ao longo do casco do navio (Protótipo). Considerando-se a 
redução da escala, estimou-se a espessura da camada limite no 
Modelo. Como o escoamento no Modelo era laminar, perturbou-se a 
camada limite de forma a atingir a espessura que garantisse 
similaridade geométrica com o Protótipo. Esta perturbação foi 
realizada acrescentando-se protuberâncias ao longo do Modelo.
Ao assumir que existe semelhança dinâmica quando há semelhança 
geométrica entre a espessura da camada limite do Modelo e do 
Protótipo, foi possível estimar o coeficiente de arrasto hidrodinâmico 
do navio em estudo.
Para se avaliar o impacto do regime de escoamento no coeficiente de 
arrasto hidrodinâmico, observe os dados obtidos a partir do modelo 
com a camada limite não perturbada (à esquerda) e com a camada 
limite perturbada (à direita).
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Camada limite não perturbada Camada limite perturbada
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Resistência ao Escoamento em Navios
A partir da análise dimensional e considerando algumas 
simplificações, a resistência ao escoamento de um navio na água é 
dada por:
Onde é a massa específica da água [kg.m-3], é a velocidade de 
deslocamento do navio [m.s-1], é o comprimento do navio na linha 
de água [m], é o número de Reynolds e é o número de 
Froude.
A semelhança das forças viscosas (representadas pelo Re) e a 
semelhança das forças de gravidade (representadas por Fr) não 
podem ser observadas de forma simultânea. Portanto, faz-se a 
suposição de que a resistência ao escoamento de um navio é a soma 
de três parcelas distintas:
a) Resistência devido à geração de ondas;
b) Arrasto viscoso;
c) Arrasto devido à formação de turbilhões.
Admite-se que a parcela (a) não é influenciada pela viscosidade 
(independe de Re). A parcela (c) não é simples de se avaliar, mas 
sabe-se que possui pouca influência de Re. Portanto, aglutinam-se as 
parcelas (a) e (c).
Desta forma, é a soma de duas funções, uma dependente de 
Reynolds e outra dependente de Froude: 
Onde é a força de arrasto viscoso e é chamada de 
resistência residual.
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Exercício Proposto
Um navio com 125 m de comprimento (na linha de água) e com uma 
área molhada de 3500 m2, vai ser arrastadoem água salgada à 
velocidade de 10 m/s. Um modelo em escala de 1:25 vai ser 
ensaiado para determinar a resistência ao movimento. A resistência 
total do Modelo (em água doce) é 54,2 N. Determinar a resistência 
total no protótipo.
Dados:
1. Força de Arrasto Viscoso: 
Onde é o coeficiente de arrasto viscoso, definido por: 
2. Viscosidade cinemática da água doce: =1,235x10-6 m2s-1
 Massa Específica da água doce: =1000 kg.m-3
3. Viscosidade cinemática da água salgada: =1,188x10-6 m2s-1
 Massa Específica da água salgada: =1025 kg.m-3
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