Roteiro de Aula 01 gabarito

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UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UAB - Universidade Aberta do Brasil
Professora: E´rica Maceˆdo Semestre: 2018.2 Data: 16.08.2018
Aluno:
Roteiro de Estudos 01 - Geometria Anal´ıtica II
Orientac¸o˜es
• Assistir Vı´deo de Conteu´do: Translac¸a˜o de Eixos - 01 e 02.
• Cap´ıtulos de refereˆncia: Mo´dulo 01 - Aula 08.
• Material Complementar (Coˆnicas e Qua´dricas): Pgs 23 a` 25.
1 Translac¸a˜o de Eixos Coordenados
Definic¸a˜o 1. Dados um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas xOy do plano e um ponto O′,
a translac¸a˜o de xOy para o ponto O′ e´ a construc¸a˜o de um novo sistema cartesiano ortogonal de
coordenadas x′O′y′ trac¸ando paralelas aos eixos do sistema xOy, passando pelo ponto O′, preservando
a orientac¸a˜o e a unidade de medida. O ponto O′, onde se intersectam os novos eixos O′x′ e O′y′, e´ a
origem do novo sistema de coordenadas.
x
x′
y y′
O′(h, k)
O(0, 0)
�
�
�
�
�
�
�
P
Se um ponto P do plano possui coordenadas P (x, y) em relac¸a˜o ao sistema xOy e coordenadas P (x′, y′)
em relac¸a˜o ao sistema x′O′y′, e considerando O′(h, k), estas coordenadas se relacionam segundo as
seguintes equac¸o˜es, chamadas de equac¸o˜es da translac¸a˜o:


x = x′ + h
y = y′ + k
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bom Trabalho!
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Enta˜o, podemos avaliar as coordenadas de qualquer ponto em relac¸a˜o aos sistemas transladados apre-
sentados. Ale´m disso, podemos simplificar equac¸o˜es de 2◦ grau, eliminando termos de primeiro grau
usando as translac¸o˜es de eixos adequadamente.
2 Questo˜es
Questa˜o 1. Considere um sistema de coordenadas cartesianas com origem em O′(2, 3). Determine as
coordenadas dos pontos abaixo em relac¸a˜o a esse novo sistema:
a. P (2, 4)
b. Q(−1, 3)
c. R(0, 0)
Temos aqui que h = 2 e k = 3; as equac¸o˜es da translac¸a˜o sa˜o


x = x′ + 2
y = y′ + 3
a. x = x′ + 2→ 2 = x′ + 2→ x′ = 0 e y = y′ + 3→ 4 = y′ + 3→ y′ = 1; Px′y′(0, 1).
b. x = x′ + 2→ −1 = x′ + 2→ x′ = −3 e y = y′ + 3→ 3 = y′ + 3→ y′ = 0; Px′y′(−3, 0).
c. x = x′ + 2→ 0 = x′ + 2→ x′ = −2 e y = y′ + 3→ 0 = y′ + 3→ y′ = −3; Px′y′(−2,−3).
Questa˜o 2. Por meio de uma translac¸a˜o dos eixos coordenados, transforme as equac¸o˜es dadas para a
nova origem indicada. Use as equac¸o˜es da translac¸a˜o.
a. x2 + y2 + 2x− 6y + 6 = 0, na origem O′(−1; 3);
b. xy − 3x+ 4y − 13 = 0, na origem O′(−4; 3);
c. 4x2 − y2 − 24x+ 4y + 28 = 0, na origem O′(3; 2);
d. x3 − 3x2 − y2 + 3x+ 4y = 5, na origem O′(1; 2).
a. As equac¸o˜es da translac¸a˜o sa˜o:


x = x′ − 1
y = y′ + 3
.
Enta˜o: x2 + y2 + 2x − 6y + 6 = 0 → (x′ − 1)2 + (y′ + 3)2 + 2(x′ − 1) − 6(y′ + 3) + 6 = 0 →
x′2 − 2x′ + 1 + y′2 + 6y′ + 9 + 2x′ − 2− 6y′ − 18 + 6 = 0→ x′2 + y′2 − 4 = 0.
b. As equac¸o˜es da translac¸a˜o sa˜o:


x = x′ − 4
y = y′ + 3
.
Enta˜o: xy − 3x+ 4y − 13 = 0→ (x′ − 4)(y′ + 3)− 3(x′ − 4) + 4(y′ + 3)− 13 = 0→ x′y′ − 1 = 0.
c. As equac¸o˜es da translac¸a˜o sa˜o:


x = x′ + 3
y = y′ + 2
.
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bom Trabalho!
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Enta˜o: 4x2 − y2 − 24x + 4y + 28 = 0 → 4(x′ + 3)2 − (y′ + 2)2 − 24(x′ + 3) + 4(y′ + 2) + 28 = 0 →
4x′2 − y′2 − 4 = 0.
d. As equac¸o˜es da translac¸a˜o sa˜o:


x = x′ + 1
y = y′ + 2
.
Enta˜o: x3 − 3x2 − y2 + 3x+ 4y = 5→ (x′ + 1)3 − 3(x′ + 1)2 − (y′ + 2)2 + 3(x′ + 1) + 4(y′ + 2) = 5→
x′3 − y′2 = 0.
Questa˜o 3. O que voceˆ percebeu nas equac¸o˜es, da questa˜o anterior, apo´s terem sido transladadas para
os pontos pedidos?
Voceˆ deveria ter percebido que os termos de 1◦ grau foram simplificados.
Questa˜o 4. Simplifique as equac¸o˜es a seguir:
a. x2 − y2 − 10x+ 2y + 16 = 0
b. 4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0
c. xy + x− 2y − 7 = 0.
Aqui sera´ necessa´rio encontrar qual ponto usaremos para fazer a translac¸a˜o, com o objetivo de sim-
plificar os termos de 1◦ grau; usaremos de maneira geral as equac¸o˜es da translac¸a˜o


x = x′ + h
y = y′ + k
a. x2 − y2 − 10x + 2y + 16 = 0 → (x′ + h)2 − (y′ + k)2 − 10(x′ + h) + 2(y′ + k) + 16 = 0 →
x′2+2x′h+h2−y′2−2y′k−k2−10x′−10h+2y′+2k+16 = 0→ x′2+(2h−10)x′+h2−y′2+(−2k+
2)y′ − k2 − 10h+ 2k+ 16 = 0; teremos enta˜o que 2h− 10 = 0→ h = 5 e −2k+ 2 = 0→ k = 1. Logo,
x′2+(2h−10)x′+h2−y′2+(−2k+2)y′−k2−10h+2k+16 = 0→ x′2+52−y′2−12−10 ·5+2 ·1+16 =
0→ x′2 − y′2 − 8 = 0.
b. 4(x′ + h)2 + 9(y′ + k)2 − 8(x′ + h) − 36(y′ + k) + 4 = 0 → 4x′2 + (8h − 8)x′ + 4h2 + 9y′2 +
(18k− 36)y′ +9k2− 8h− 36k+4 = 0; teremos enta˜o que 8h− 8 = 0→ h = 1 e 18k− 36 = 0→ k = 2.
Logo, 4x′2 + 4 · 12 + 9y′2 + 9 · 22 − 8 · 1− 36 · 2 + 4 = 0→ 4x′2 + 9y′2 − 36 = 0.
c. (x′ + h)(y′ + k) + (x′ + h)− 2(y′ + k)− 7 = 0→ x′y′ + (k + 1)x′ + (h− 2)y′ + hk + h− 2k − 7 = 0;
teremos enta˜o que h− 2 = 0→ h = 2 e k+1 = 0→ k = −1. Logo, x′y′ +2 · (−1) + 2− 2 · (−1)− 7 =
0→ x′y′ − 5 = 0.
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bom Trabalho!