Atividade Estruturada 05

Prévia do material em texto

Probabilidade 
e
Estatística
Aplicadas 
à 
Engenharia
Atividade Estruturada 05
Renato Batista Da Silva
Matrícula – 201307044565
Curso – Engenharia Elétrica
Turma - 3007
Professor – Adalberto Nunes
Distribuição Binomial, de Poisson e Normal
Distribuição Binomial
Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que as tentativas são independentes; cada tentativa resulta apenas em duas possibilidades, sucesso ou fracasso (a que se chama de tentativa de Bernoulli); a probabilidade de cada tentativa, p, permanece constante.
Função de Probabilidade
Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade:
para  e onde  é uma combinação sem repetição.
Valor Esperado e Variância
Se a X ~ B(n, p) (isto é, X é uma variável aleatória binomialmente distribuida), então o valor esperado de X é
e a variância é
Exemplo
Seja X uma variável aleatória que contém o número de caras saídas em 12 lançamentos de uma moeda. A probabilidade de sair 5 caras em 12 lançamentos, P(X=5), é dada por:
Problema de Distribuição Binomial
Exemplo
Suponha que a probabilidade dos pais terem um filho (a) com cabelos loiros seja 1/4. Se houverem 6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas tenham cabelos loiros?
Solução
Aqui n = 6, x = 3, p = 1/4, e q = 3/4. Substituindo estes valores na fórmula binomial, obtemos
P(x) = n.Cx.px.(1 – p)n-x = (n! / x!.(n – x)!).px.(1 – p)n-x
P(3) = (6! / 3!.(6 – 3)!).(1/4)3.(3/4)6-3
P(3) = 540/4096 ≈ 0,13
Distribuição de Poisson
Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade de variável aleatória discreta que expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrer num certo período de tempo se estes eventos ocorrem independentemente de quando ocorreu o último evento.
A distribuição foi descoberta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Inquérito sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências contínuas que tinham lugar durante um intervalo de tempo de determinado comprimento. A probabilidade de que existam exatamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2,...) é:
Onde
e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...),
k! é o fatorial de k,
λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de Poisson com λ = 10/4 = 2.5.
Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial.
Problema de Distribuição de Poisson
Exemplo
Um departamento de polícia recebe em média 5 solicitações por hora. Qual a probabilidade  de  receber  2 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente?
Solução
P(x) = λx.e-λ / x! Onde - X: número designado de sucessos; λ: o número médio de sucessos num intervalo específico (Note que λ é a média e a variância da distribuição de Poisson); e: A base do logaritmo natural, ou 2,71828.
X = número designado de sucessos = 2
λ = o número médio de sucessos num intervalo específico (uma hora) = 5
P(2) = 5². e-5 /2! = 0,08422434 ou 8,42% 
Distribuição Normal
A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. 1 2 3 4 5 Foi primeiramente introduzida pelo matemático Abraham de Moivre.
Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes valores consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal.
Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema do Limite Central que diz que “toda soma de” variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande.
Função de Densidade e Probabilidade
A função densidade de probabilidade da distribuição normal com média  e variância  (de forma equivalente, desvio padrão ) é assim definida,
Se a variável aleatória  segue esta distribuição escreve-se:  ~ . Se  e , a distribuição é chamada de distribuição normal padrão e a função de densidade de probabilidade reduz-se a,
Problema de Distribuição Normal
Exemplo:
Os salários mensais dos executivos de uma determinada indústria são distribuídos  normalmente, em torno da média de R$ 10.000, com desvio padrão de R$ 800. Calcule a probabilidade de um executivo ter um salário semanal situado entre R$ 9.800 e R$ 10.400.
Solução
Pr(x1 ≤ x ≤ x2) = ∫(1/√2πσ²).e-1/2((x - µ)/σ)²dx
X é uma variável aleatória com distribuição normal de média μ e desvio padrão σ, então a variável: z = (x - µ)/σ
Pr(z1 ≤ z ≤ z2) = ∫(1/√2πσ²).e-z²/2dz
Devemos, inicialmente, determinar os valores da variável de distribuição normal reduzida. Assim:
z1 = (9.800 – 10.000) / 800 = -0,25		z2 = (10.400 – 10.000) / 800 = 0,5
Logo, a probabilidade procurada é dada por:
P(9.800 < z < 10.400) = P(-0,25 < z < 0,5) = P(-0,25 < z < 08) + P(0 < z < 0,5)
P(-0,25 < z < 08) + P(0 < z < 0,5) = 0,0987 + 0,1915 = 0,2902
É, pois, de se esperar que, em média, 29,02% dos executivos tenham salários entre R$ 9.800 e R$ 10.400.