CAT169 - Parte 09 - Motores CA - Controle vetorial

Prévia do material em texto

ESCOLA DE MINAS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
DECAT – DEP. DE ENG. DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Prof. Rúben C. Barbosa
(rubencbarbosa@gmail.com)
Parte 09:
CONTROLE DE MÁQUINAS CA
controle vetorial
CAT169 – Acionamentos Elétricos
MODELO DINÂMICO DA 
MÁQUINA DE INDUÇÃO
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 MODELO TRIFÁSICO
 As equações do estator podem ser escritas como:
 
𝑣𝑎𝑠 = 𝑅𝑠𝑖𝑎𝑠 + 𝜆𝑎𝑠
𝑣𝑏𝑠 = 𝑅𝑠𝑖𝑏𝑠 + 𝜆𝑏𝑠
𝑣𝑐𝑠 = 𝑅𝑠𝑖𝑐𝑠 + 𝜆𝑐𝑠
 𝑣𝑠 = 𝑅𝑠 𝑖𝑠 +
 𝜆𝑠
 Para o rotor, as componentes do fluxo do rotor 
 𝜆𝑟 e da tensão 
no rotor 𝑣𝑟 são definidas da mesma forma:
 𝑣𝑟 = 𝑅𝑟 𝑖𝑟 +
 𝜆𝑟
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 TRANSFORMAÇÃO 𝜶𝜷 (CLARK)
- Objetivo: Transformar um sistema trifásico real em um 
sistema bifásico equivalente.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... TRANSFORMAÇÃO 𝜶𝜷 (CLARK)
Considerando que não há variação das amplitudes na 
transformação tem-se que:
Resolvendo as equações chega-se 
na expressão para o sistema 
bifásico equivalente:
 Invariância em amplitude*
* Quando se considera invariância em potência, 𝑘 = 3/2
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... TRANSFORMAÇÃO 𝜶𝜷 (CLARK)
Obs:
Sistemas equilibrados a 3 fios 
implicam em ausência da com-
ponente homopolar (caso anterior).
Para sistemas com a presença da
componente homopolar a transfor-
mada será
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... TRANSFORMAÇÃO 𝜶𝜷 (CLARK)
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 TRANSFORMAÇÃO 𝒅𝒒 (PARK)
Objetivo: transformar um sistema de coordenadas 𝛼𝛽 fixo em um 
sistema 𝑑𝑞 que gira a uma velocidade 
arbitrária 𝜔.
 Como visto, no sistema 𝛼𝛽 as 
coordenadas são fixas a uma 
referência. Com isso seus 
módulos mudam 
continuamente. 
 Seria interessante que estes 
módulos se mantivessem 
constantes em relação a 
certos referenciais (velocidade 
do rotor por exemplo).
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... TRANSFORMAÇÃO 𝒅𝒒 (PARK)
Isto é feito através da transfor-
mação 𝑑𝑞 a seguir.
𝑖𝛼 = 𝑖𝑞 sen 𝜃 + 𝑖𝑑 cos 𝜃
𝑖𝛽 = 𝑖𝑞 cos 𝜃 − 𝑖𝑑 sen 𝜃
𝑖𝛼
𝑖𝛽
=
sen 𝜃 cos 𝜃
cos 𝜃 − sen 𝜃
𝑖𝑞
𝑖𝑑
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... TRANSFORMAÇÃO 𝒅𝒒 (PARK)
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 MODELO DE 2 EIXOS DA MÁQUINA DE INDUÇÃO PARA UM SISTEMA DE
REFERÊNCIA ARBITRÁRIO.
.
onde:
 𝜆𝑞𝑠 = −𝑅𝑠𝑖𝑞𝑠 + 𝜃𝑠𝜆𝑑𝑠 + 𝑣𝑞𝑠
 𝜆𝑑𝑠 = −𝑅𝑠𝑖𝑑𝑠 − 𝜃𝑠𝜆𝑞𝑠 + 𝑣𝑑𝑠
 𝜆𝑞𝑟 = −𝑅𝑟𝑖𝑞𝑟 + 𝜃𝑟𝜆𝑑𝑟 + 𝑣𝑞𝑟
 𝜆𝑑𝑟 = −𝑅𝑟𝑖𝑑𝑟 + 𝜃𝑟𝜆𝑞𝑟 + 𝑣𝑑𝑟
 𝜆𝑠 = −𝑅𝑠𝑖𝑠 − 𝜃𝑠𝐽𝜆𝑠 + 𝑣𝑠
 𝜆𝑟 = −𝑅𝑟𝑖𝑟 + 𝜃𝑟𝐽𝜆𝑟 + 𝑣𝑟
𝜆𝑠 =
𝜆𝑞𝑠
𝜆𝑑𝑠
; 𝑖𝑠 =
𝑖𝑞𝑠
𝑖𝑑𝑠
; 𝑣𝑠 =
𝑣𝑞𝑠
𝑣𝑑𝑠
;
𝜆𝑟 =
𝜆𝑞𝑟
𝜆𝑑𝑟
; 𝑖𝑟 =
𝑖𝑞𝑟
𝑖𝑑𝑟
; 𝑣𝑠 =
𝑣𝑞𝑟
𝑣𝑑𝑟
;
𝐽 =
0 −1
1 0
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... MODELO DE 2 EIXOS DA MÁQUINA DE INDUÇÃO PARA UM SISTEMA
DE REFERÊNCIA ARBITRÁRIO.
Obs:
Para a máquina com rotor em curto circuito (indução, 
principalmente em gaiola):
𝑣𝑟 ≈ 0
Note que há uma f.e.m estática 𝜆𝑠 e 𝜆𝑟 resultante da variação
do fluxo magnético no tempo nas “bobinas fictícias” no
referencial 𝑑𝑞, para o estator e rotor, respectivamente.
Além disso, surgem f.e.m. dinâmicas 𝜃𝑠𝐽𝜆𝑠 (ou 𝜃𝑟𝐽𝜆𝑟) resultantes
do movimento relativo 𝜃𝑠 (ou 𝜃𝑟 ) entre os condutores das
bobinas fictícias no referencial 𝑑𝑞 e o fluxo magnético
estatórico (ou rotórico) total 𝜆𝑠 (ou 𝜆𝑟) neste referencial.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 SISTEMAS DE REFERÊNCIAS:
Pode-se fixar o sistema 𝑑𝑞 em relação a diferentes referências, 
sendo elas:
Imóvel em relação ao estator:
Imóvel em relação ao rotor:
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 SISTEMAS DE REFERÊNCIAS:
Imóvel em relação ao campo girante:
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 RELAÇÃO ENTRE FLUXOS E CORRENTES
Os fluxos podem ser relacionado com as correntes como se segue:
Conjugado e velocidade:
O conjugado eletromagnético do motor (𝐶𝑒𝑚), escrito em coordenadas 𝑑𝑞
é dado por:
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 MODELO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO:
As equações de fluxo e corrente podem ser manipuladas
livremente de forma a obter um determinado modelo de estado
da máquina:
 Exemplos de equações de estado:
 Referência síncrona em termos dos fluxos de estator e de 
rotor:
onde 𝑎 =
1
𝜎𝐿𝑠
, 𝑏 =
1
𝜎𝐿𝑟
, 𝑐 =
1−𝜎
𝜎𝐿𝑚
, sendo 𝜎 o coeficiente de dispersão: 𝜎 = 1 −
𝐿𝑚
2
𝐿𝑟𝐿𝑠
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... Exemplos de equações de estado:
 Referência síncrona em termos das grandezas de estator
onde 𝑎 =
1
𝜎𝐿𝑠
, 𝑏 =
1
𝜎𝐿𝑟
, 𝑐 =
1−𝜎
𝜎𝐿𝑚
, sendo 𝜎 o coeficiente de dispersão: 𝜎 = 1 −
𝐿𝑚
2
𝐿𝑟𝐿𝑠
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 PRINCÍPIOS DA ORIENTAÇÃO DE CAMPO
 Considerando o modelo da máquina de indução com
referência síncrona:
 Orientação de campo: orientação dos componentes das
correntes da máquina com o vetor fluxo de maneira que a
componente 𝜆𝑞𝑟 seja nula (𝜆𝑞𝑟 = 0)
𝐶𝑒𝑚 =
3
2
𝑝
2
𝐿𝑚
𝐿𝑟
(𝜆𝑑𝑟𝑖𝑞𝑠 − 𝜆𝑞𝑟𝑖𝑑𝑟)
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... PRINCÍPIOS DA ORIENTAÇÃO DE CAMPO
 Assumindo a máquina alimentada em corrente e campo
orientado:
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... PRINCÍPIOS DA ORIENTAÇÃO DE CAMPO
 Condição de campo orientado:
 onde 𝜏𝑟 = 𝐿𝑟/𝑅𝑟 é a constante de tempo do fluxo rotórico
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... PRINCÍPIOS DA ORIENTAÇÃO DE CAMPO
 Dinâmica de fluxo:
 Em regime permanente, 𝜆𝑑𝑟 = 𝑐
𝑠𝑡𝑒 e 𝜆𝑑𝑟 = 0, logo
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 CONSEQUÊNCIAS DA ORIENTAÇÃO DE CAMPO
 Como na máquina C.C., a dinâmica do fluxo é desacoplada (só
depende de 𝑖𝑑𝑠).
 A equação do conjugado eletromagnético é similar à da
máquina C.C. (𝐶𝑒𝑚 = 𝑘𝜆𝑑𝑟𝑖𝑞𝑠)
 Neste contexto, o controle de uma máquina C.A. (indução ou
síncrona) utilizando técnicas de orientação de campo permite
que ela seja controlada de modo análogo à uma máquina C.C.
onde:
 Componente produtora de fluxo: 𝑖𝑑𝑠 (análoga a 𝐼𝑓);
 Componente produtora de conjugado: 𝑖𝑞𝑠 (análoga a 𝐼𝑎);
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... CONSEQUÊNCIAS DA ORIENTAÇÃO DE CAMPO
 Na prática, os termos controle por orientação de campo e
controle vetorial estão intimamente associados entre si.
 Embora seja possível a orientação de fluxo de estator e/ou
entreferro, somente a orientação de fluxo do rotor permite o
desacoplamento completo da dinâmica do fluxo.
 Entreas vantagens da orientação de campo, pode-se citar:
 Precisão e rapidez de resposta;
 Operação nos 4 quadrantes;
 Bom desempenho em baixas velocidades;
 Alta eficiência no acionamento da máquina;
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 TÉCNICAS DE ORIENTAÇÃO DE CAMPO
Orientação direta de Campo
A posição do vetor de fluxo é diretamente obtida a partir de
medição (utilizando sensores específicos) ou estimando-o a partir
das medidas de tensão e corrente no estator da máquina.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... TÉCNICAS DE ORIENTAÇÃO DE CAMPO
... Orientação direta de Campo
Vantagens:
 Se a informação sobre o fluxo de rotor é avaliada, um
regulador de fluxo pode ser empregado para melhorar a
resposta de fluxo.
Desvantagens:
 Problemas inerentes a velocidades muito baixas, onde a
queda de tensão no estator é dominante, que tornam a
integração do sinal problemática.
 Sensibilidade aos parâmetros 𝑅𝑠 e 𝐿𝑚.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... TÉCNICAS DE ORIENTAÇÃO DE CAMPO
Orientação indireta de Campo
Como alternativa à medida do vetor fluxo, a equação da
velocidade de escorregamento para o fluxo orientado é
empregada para estimar a posição do fluxo em relação ao rotor.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELO DINÂMICO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 ... TÉCNICAS DE ORIENTAÇÃO DE CAMPO
... Orientação indireta de Campo
Vantagens:
 A orientação indireta de campo não apresenta problemas
em velocidades baixas, sendo o esquema preferido quando
é necessário operar próximo à velocidade nula.
Desvantagens:
 Alta sensibilidade à variação dos parâmetros 𝜏𝑟 (cst. de
tempo rotórica) e 𝐿𝑚 , as quais são dependentes da
temperatura e do nível do fluxo.
Observadores de Fluxo em 
Máquinas de Indução
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
INTRODUÇÃO
 Em diversas técnicas de controle e acionamento de máquinas
de indução, são necessárias informações a respeito de
variáveis que não se encontram disponíveis para medição
direta na máquina;
 Embora a medição direta do fluxo magnético seja possível, ela
é muito pouco viável, de forma que o fluxo magnético pode ser
incluído no grupo das variáveis da máquina de indução não
disponíveis para medição direta;
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
INTRODUÇÃO
 Considerando que o fluxo magnético é uma variável de
extrema importância para a implementação de diversas
técnicas de controle e acionamento de alto desempenho,
especialmente o método de controle vetorial direto, a sua
determinação consiste em um dos principais problemas de
implementação de sistemas de controle para máquina de
indução;
 O principal método para obter o valor do fluxo magnético de
uma máquina de indução é a aplicação de técnicas de
estimação e observação de estados.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTIMAÇÃO VS. OBSERVAÇÃO
 No projeto de estimadores e observadores para o fluxo de
rotor, é necessário considerar as equações dinâmicas variantes
no tempo da máquina de indução;
 Estimação do fluxo magnético:
 Consiste em calcular em tempo real o vetor fluxo utilizando
as equações do modelo da máquina de indução e as
medidas disponíveis.
 Problemas:
• Sensibilidade a variações paramétricas;
• Convergência do erro de predição;
• Robustez à variação de velocidade.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTIMAÇÃO VS. OBSERVAÇÃO
 Observação do fluxo magnético:
 Consiste em um procedimento similar à estimação, sendo
incluído no esquema uma realimentação corretiva visando
acelerar a convergência e reduzir a sensibilidade a
variações paramétricas.
 Problemas:
• Robustez e Precisão.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELOS DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 Modelo dinâmico com equações em uma estrutura arbitrária
 λ𝑠 = −𝑅𝑠𝑖𝑠 +ω 𝐽 λ𝑠 + 𝑉𝑠
 λ𝑟 = −𝑅𝑟𝑖𝑟 +ω𝑠 𝐽 λ𝑟
 Considerando que:
λ𝑠 = −𝐿𝑠𝑖𝑠 +𝑀𝑖𝑟
λ𝑟 = −𝐿𝑟𝑖𝑟 +𝑀𝑖𝑠
 As equações do modelo podem ser manipuladas para a
obtenção de novas topologias
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
MODELOS DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
 As equações do modelo podem ser manipuladas para a
obtenção de novas topologias
 Modelo de Correntes:
• λ𝑟 = −
1
τ𝑟
𝐼 + ω𝑠𝐽 λ𝑟 +
𝑀
τ𝑟
𝑖𝑠
 Modelo de Tensões:
• 𝑣𝑠 = 𝑅𝑠𝐼𝑠 +
𝐿𝑠𝐿𝑟−𝑀
2
𝐿𝑟
 𝑖𝑠 +
𝑀
𝐿𝑟
 λ𝑟
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTRUTURA DE UM ESTIMADOR/OBSERVADOR DE ESTADOS
(VERSÃO CONTÍNUA)
 Para um determinado sistema dado por:
 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥
é considerado que somente uma parte do vetor de estado é
acessível a medição, ou seja, C≠I.
 A estrutura de um estimador para promover a estimativa de
todos elementos do vetor de estados é dada por:
 𝑥 = A 𝑥 + 𝐵𝑢
 Embora a estrutura do estimador opere satisfatoriamente em
regime permanente, ele é muito susceptível a variação de
parâmetros, distúrbios, etc. Visando para acelerar a
convergência e reduzir a sensibilidade paramétrica, um termo
de correção é adicionado a estrutura do estimador, formando
a estrutura do observador:
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTRUTURA DE UM ESTIMADOR/OBSERVADOR DE ESTADOS
(VERSÃO CONTÍNUA)
 𝑥 = A 𝑥 + 𝐵𝑢 + 𝐿(𝐶 𝑥 − 𝑦)
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTRUTURA DE UM ESTIMADOR/OBSERVADOR DE ESTADOS
(VERSÃO CONTÍNUA)
 Erro de estimação:
𝑒 = 𝑥 − 𝑥
 Dinâmica do erro:
 𝑒 = 𝐴 − 𝐿𝐶 𝑒
 Uma vez que a dinâmica do erro é governada através dos
autovalores da matriz [A-LC]. Desde que o sistema seja
completamente observável, o ganho L pode ser projetado para
alocar estes autovalores arbitrariamente.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTRUTURA DE UM ESTIMADOR/OBSERVADOR DE ESTADOS
(VERSÃO CONTÍNUA)
 O projeto de L:
 Minimizar a sensibilidade do observador de fluxo a
variações da resistência de rotor;
 Alocar os pólos do observador em posições onde seja
garantida a convergência dos estados observados;
 Observa-se também a posição dos zeros de malha aberta
do sistema, evitando-se uma possível instabilidade em
malha fechada.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTRUTURA DE OBSERVADORES DETERMINÍSTICOS
 Observador de Luenberger I
 Um termo de correção de tensão é adicionado ao modelo
em corrente da máquina:
 λ𝑟 = −
1
τ𝑟
𝐼 + ω𝑠𝐽 λ𝑟 +
𝑀
τ𝑟
𝑖𝑠 + L( 𝑣𝑠 − 𝑣𝑠)
 A estimativa de 𝑣𝑠 é obtida do modelo de tensão:
𝑣𝑠 = 𝑅𝑠𝐼𝑠 +
𝐿𝑠𝐿𝑟 −𝑀
2
𝐿𝑟
 𝑖𝑠 +
𝑀
𝐿𝑟
 λ𝑟
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTRUTURA DE OBSERVADORES DETERMINÍSTICOS
 Observador de Luenberger II
 Um termo de correção de tensão é adicionado ao modelo
em corrente da máquina:
 λ𝑟 =
𝐿𝑟
𝑀
(𝑣𝑠 − 𝑅𝑠𝑖𝑠) +
𝐿𝑠𝐿𝑟 −𝑀
2
𝑀
 𝑖𝑠 + L( 𝑖𝑠 − 𝑖𝑠)
 A estimativa de 𝑖𝑠 é obtida do modelo de corrente:
 𝑖𝑠 =
τ𝑟
𝑀
[ λ𝑟 +ω𝑟 λ𝑟]
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTRUTURA DE OBSERVADORES DETERMINÍSTICOS
 Observador de Gopinath
 Um termo de correção de corrente é adicionado ao modelo
em corrente da máquina:
 λ𝑟 = −
1
τ𝑟
𝐼 + ω𝑠𝐽 λ𝑟 +
𝑀
τ𝑟
𝑖𝑠 + L( 𝑖𝑠 − 𝑖𝑠)
 A estimativa de 𝑖𝑠 é obtida do modelo de cancelamento:
 𝑖𝑠 =
𝐿𝑟
𝐿𝑠𝐿𝑟 −𝑀2
[𝑣𝑠 − 𝑅𝑠 𝑖𝑠 +
𝑀
𝐿𝑟
ω𝑟 λ𝑟
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTRUTURAS DE OBSERVADORES ESTOCÁSTICOS
 O filtro de Kalman é um observador de estados recursivo ótimo
considerando um sistema dinâmico ruidoso;
A estimação ótima é obtida projetando o ganho L de forma a
minimizar a integral do erro quadrático do vetor de estados,
considerando o efeito do ruído de estados e das medições;
 O Filtro de Kalman pode ser estendido de forma a estimar
simultaneamente os estados e alguns parâmetros do sistema,
utilizando um método recursivo.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTRUTURA DE UM OBSERVADOR DE ESTADO (VERSÃO
DISCRETA)
 A versão discreta do observador pode ser formulada da
seguinte maneira:
𝑥 𝑘 + 1 = Φ𝑥 𝑘 + Γ𝑢 𝑘
𝑦 𝑘 = 𝐻𝑥 𝑘
 A estrutura do observador discreto será:
 𝑥 𝑘 + 1 = Φ 𝑥 𝑘 + Γ𝑢 𝑘 + 𝐿 𝑦 − 𝐻 𝑠 𝑘
 Erro de estimação
𝑒 𝑘 = 𝑥 𝑘 − 𝑥(𝑘)
 Dinâmica do erro será:
𝑒 𝑘 + 1 = Φ + 𝐿𝐻 𝑒 𝑘
 Uma vez que a dinâmica do erro é governada pelos
autovalores da matriz Φ+ 𝐿𝐻 , eles podem ser alocados
arbitrariamente através do projeto da matriz de ganhos L,
desde que o sistema seja completamente observável.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTRUTURA DE UM OBSERVADOR DE ESTADO DE ORDEM
REDUZIDA (VERSÃO DISCRETA)
 Considerando que é necessário estimar somente a parte do
vetor de estados não acessível para medição, a estrutura do
observador pode ser simplificada;
 Particionando o sistema:
 𝑥𝑎= parte do vetor de estado acessível para medição;
 𝑥𝑏=parte do vetor de estado que não precisa ser estimada.
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ESTRUTURA DE UM OBSERVADOR DE ESTADO DE ORDEM
REDUZIDA (VERSÃO DISCRETA)
 Estrutura do observador de ordem reduzida:
 𝑥𝑏 𝑘 + 1
= Φ𝑏𝑏 𝑥𝑏 𝑘 + Φ𝑏𝑎 𝑥𝑎 𝑘 + Γ𝑎𝑢 𝑘
+ 𝐿 𝑥𝑎 𝑘 + 1 − Φ𝑎𝑎 𝑥𝑎 𝑘 − Γ𝑎𝑢 𝑘 − Φ𝑎𝑏 𝑥𝑏 𝑘
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
OBSERVADOR DE FLUXO DE ORDEM REDUZIDA
 Aplicando o modelo discretizado da máquina de indução a
estrutura do observador de ordem reduzida.
 A estrutura do observador de fluxo de ordem reduzida para a
máquina de indução:
 λ𝑟 𝑘 + 1
= Φ𝑏𝑏 λ𝑟 𝑘 + Φ𝑏𝑎𝑖𝑠 𝑘
+ 𝐿 𝑖𝑠 𝑘 + 1 −Φ𝑎𝑎𝑖𝑠 𝑘 − Γ𝑎𝑣𝑠 𝑘 − Φ𝑎𝑏 λ𝑟 𝑘
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
OBSERVADOR DE FLUXO DE ORDEM REDUZIDA
 Erro de estimação:
𝑒 𝑘 = λ𝑟 𝑘 − λ𝑟 𝑘
𝑒 𝑘 + 1 = Φ𝑏𝑏 − 𝐿Φ𝑎𝑏 𝑒 𝑘
 Como a máquina de indução é um sistema completamente
observável, os autovalores da matriz Φ𝑏𝑏 − 𝐿Φ𝑎𝑏 podem ser
arbitrariamente alocados pela escolha apropriada da matriz
de ganhos L;
 Para obter a convergência do erro para zero, os autovalores
de Φ𝑏𝑏 − 𝐿Φ𝑎𝑏 precisam ser locados dentro do circulo
unitário;
 Projeto de L: Estabelecido a dinâmica do erro como 𝑒(𝑘 +
1) = 𝑋𝑒(𝑘), onde X é uma matriz previamente determinada
para uma alocação arbitrária dos autovalores, a matriz de
ganhos L pode ser calcula como: 𝐿 = [Φ𝑏𝑏−𝐿]Φ𝑎𝑏
−1
CAT169 – ACIONAMENTOS ELÉTRICOS - DECAT/EM/UFOP
ERROS DO OBSERVADOR
 Erros de discretização;
 Erros devido a discrepância entre os parâmetros reais e os
utilizados no modelo, principalmente a constante de tempo
rotórica τ𝑟 e a indutância mútua de magnetização M;