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university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Semana 8: 26 - 30 de Novembro de 2012 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Aproximac¸a˜o usando o Scilab: Considere o Problema de valor inicial,{ y ′(t) = f (x , y(t)) y(x0) = y0 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Aproximac¸a˜o usando o Scilab: Considere o Problema de valor inicial,{ y ′(x) = f (x , y(x)) y(x0) = y0 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Para o Me´todo de Euler, podemos usar os seguintes comandos no Scilab... x=(x0:h:xn)’;y=zeros(length(x),1); y(1)=y0; for k=1:(length(x)-1),y(k+1)=y(k)+h*(f(y(k),x(k))); end; plot(x,y,’b.-’) Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Me´todo de Taylor de ordem superior n: Definimos que o me´todo de Euler e Euler modificado baseia-se no truncamento da se´rie de Taylor de ordem n no primeiro termo em que aparece a derivada. Aqui, consideraremos mais termos, de maneira que a aproximac¸a˜o sera´ mais precisa. Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Suponha que a soluc¸a˜o y(x) do problema de valor inicial{ y ′ = f (x , y) y(x0) = y0 tenha (n + 1) derivadas cont´ınuas. Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Se expandirmos a soluc¸a˜o y(x) em termos de seu n-e´simo polinoˆmio de Taylor em torno de x , teremos que y(x+h) = y(x)+hy ′(x)+ h2 2 y ′′(x)+...+ hn n! y (n)(x)+ hn+1 (n + 1)! y (n+1)(ξ) para algum ξ ∈ (x , x + h). Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Se expandirmos a soluc¸a˜o y(x) em termos de seu n-e´simo polinoˆmio de Taylor em torno de xi , teremos que y(xi+1) = y(xi )+hy ′(xi )+ h2 2 y ′′(xi )+...+ hn n! y (n)(xi )+ hn+1 (n + 1)! y (n+1)(ξi ) para algum ξi ∈ (xi , xi+1). Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Podemos definir como derivac¸a˜o sucessiva da soluc¸a˜o y(x), os termos y ′(x) = f (x , y), y ′′(x) = f ′(x , y), y ′′′(x) = f ′′(x , y), ... y (k)(x) = f (k−1)(x , y) Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n De maneira que, se substituirmos na expansa˜o em Taylor, teremos que y(xi+1) = y(xi ) + hf (xi , y(xi )) + h2 2 f ′(xi , y(xi )) + ...+ hn n! f (n−1)(xi , y(xi )) + hn+1 (n + 1)! f (n)(ξi , y(ξi )) para algum ξi ∈ (xi , xi+1). Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Agora, podemos definir o me´todo de Taylor de ordem n. Onde vamos truncar a soma anterior em hn n! f (n−1)(xi , y(xi )) Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n e considerando por momento, o erro descrito pelo u´ltimo termo hn+1 (n + 1)! f (n)(ξi , y(ξi )) para algum ξi ∈ (xi , xi+1). Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Agora, podemos definir de maneira mais geral o me´todo de Taylor de ordem n como sendo yi+1 = yi + hT (n)(xi , yi ) y(x0) = y0 onde T (n)(xi , yi ) = f (xi , yi ) + h 2 f ′(xi , yi ) + ...+ hn−1 n! f (n−1)(xi , yi ) Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Exemplo 1: Suponha que queiramos aplicar o me´todo de Taylor de segunda ordem ao problema de valor inicial y ′ = y − x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 2 y(0) = 0.5 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Neste caso, temos que yi+1 = yi + hT (2)(xi , yi ) y(x0) = y0 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Como T (2)(x , y) = f (x , y) + h 2 f ′(x , y) precisamos encontrar a derivada da func¸a˜o f (x , y). Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Como f (x , y) = y − x2 + 1 temos que f ′(x , y) = y ′ − 2x = y − x2 + 1− 2x pois y ′ = y − x2 + 1. Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Agora podemos reescrever T (2)(x , y) = f (x , y) + h 2 f ′(x , y) como T (2)(x , y) = f (x , y) + h 2 f ′(x , y) = [y − x2 + 1] + h 2 [y − x2 + 1− 2x ] = ( 1 + h 2 ) (y − x2 + 1)− hx Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n E portanto neste exemplo a equac¸a˜o de diferenc¸as, obedece a lei yi+1 = yi + hT (2)(xi , yi ) y(x0) = y0 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.brCa´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n E portanto neste exemplo a equac¸a˜o de diferenc¸as, obedece a lei yi+1 = yi + h [( 1 + h 2 ) (yi − x2i + 1)− hxi ] y(0) = 0.5 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Podemos tambe´m, definir de maneira explicita cada ponto do dom´ınio, isto e´, xi = x0 + ih neste caso, por exemplo, teriamos xi = 0.2i Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Usando os valores explicitos para o dom´ınio, e tambe´m para h = 0.2, temos que yi+1 = yi + h [( 1 + h 2 ) (yi − x2i + 1)− hxi ] y(0) = 0.5 sera´ yi+1 = yi + 0.2 [( 1 + 0.2 2 ) (yi − (0.2i)2 + 1)− (0.2)(0.2)i ] = 1.22yi − 0.0088i2 − 0.008i + 0.22 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Exemplo 2: Suponha que queiramos aplicar o me´todo de Taylor de quarta ordem ao problema de valor inicial y ′ = y − x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 2 y(0) = 0.5 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Neste caso, temos que yi+1 = yi + hT (4)(xi , yi ) y(x0) = y0 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Como T (4)(x , y) = f (x , y) + h 2 f ′(x , y) + h2 3! f ′′(x , y) + h3 4! f ′′′(x , y) precisamos encontrar as derivadas ate´ ordem 3 da func¸a˜o f (x , y). Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Como f (x , y) = y − x2 + 1 temos que f ′(x , y) = y ′ − 2x = y − x2 + 1− 2x lembrando sempre que y ′ = y − x2 + 1. Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Como f ′(x , y) = y − x2 + 1− 2x temos que f ′′(x , y) = y ′ − 2x − 2 = y − x2 − 2x − 1 lembrando sempre que y ′ = y − x2 + 1. Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Como f ′′(x , y) = y − x2 − 2x − 1 temos que f ′′′(x , y) = y ′ − 2x − 2 = y − x2 − 2x − 1 lembrando sempre que y ′ = y − x2 + 1. Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Agora podemos reescrever T (4)(x , y) = f (x , y) + h 2 f ′(x , y) + h2 3! f ′′(x , y) + h3 4! f ′′′(x , y) como... Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n T (4)(x , y) = f (x , y) + h 2 f ′(x , y) + h2 3! f ′′(x , y) + h3 4! f (3)(x , y) = [y − x2 + 1] + h 2 [y − x2 + 1− 2x ] + h2 3! [y − x2 − 2x − 1] + h 3 4! [y − x2 − 2x − 1] = ( 1 + h 2 + h2 6 + h3 24 ) (y − x2)− ( 1 + h 3 + h2 12 ) hx + 1 + h 2 + h2 6 + h3 24 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n E portanto neste exemplo a equac¸a˜o de diferenc¸as, obedece a lei yi+1 = yi + hT (4)(xi , yi ) y(x0) = y0 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n E portanto neste exemplo a equac¸a˜o de diferenc¸as, obedece a lei yi+1 = yi + h [( 1 + h 2 + h2 6 + h3 24 ) (yi − x2i )− ( 1 + h 3 + h2 12 ) hxi + 1 + h 2 + h2 6 + h3 24 ] y(0) = 0.5 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Podemos tambe´m, definir de maneira explicita cada ponto do dom´ınio, isto e´, xi = x0 + ih neste caso, por exemplo, teriamos xi = 0.2i Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Usando os valores explicitos para o dom´ınio, e tambe´m para h = 0.2, temos que yi+1 = yi + h [( 1 + h 2 + h2 6 + h3 24 ) (yi − x2i )− ( 1 + h 3 + h2 12 ) hxi + 1 + h 2 + h2 6 + h3 24 ] sera´... yi+1 = yi + 0.2 [( 1 + 0.2 2 + (0.2)2 6 + (0.2)3 24 ) (yi − (0.2i)2)− ( 1 + 0.2 3 + (0.2)2 12 ) (0.2)(0.2i) + 1 + 0.2 2 + (0.2)2 6 + (0.2)3 24 ] = 1.2214yi − 0.008865i2 − 0.00856i + 0.2186 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos de Taylor de ordem superior n Exata Taylor (2) Erro Taylor (4) Erro xi y(xi ) yi |y(xi )− yi | yi |y(xi )− yi | 0.0 0.50000 0.500000 0.000000 0.500000 0.000000 0.2 0.82929 0.830000 0.000701 0.829300 0.000001 0.4 1.21498 1.215800 0.001712 1.214091 0.000003 0.6 1.64894 1.652076 0.003135 1.648946 0.000006 ... ... ... ... ... ... 2.0 5.30547 5.347684 0.042212 5.305555 0.000083 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Me´todo de Heum: Este me´todo introduz uma ide´ia diferente dos me´todos anteriores, baseado em solucionar uma integral a cada iterac¸a˜o. Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculoNume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Consideraremos o problema de valor inicial dado por y ′(x) = f (x , y(x)), a ≤ x ≤ b y(x0) = y0 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum A ide´ia para este (e para os demais) me´todos e´ conhecer o pro´ximo ponto (x1, y1), para tanto, consideramos o teorema fundamental do ca´lculo ∫ x1 x0 y ′(x)dx = y(x1)− y(x0) como sabemos x1 que e´ x0 + h, enta˜o, isolando o termo y(x1) teremos y(x1) = y(x0) + ∫ x1 x0 y ′(x)dx Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Voltando ao PVI, temos que y ′ = f (x , y), logo y(x1) = y(x0) + ∫ x1 x0 f (x , y(x))dx Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum A ide´ia principal, reside em aproximarmos esta integral usando integrac¸a˜o nume´rica. Considerando o me´todo dos trape´zios, o que implica que y(x1) = y(x0) + ∫ x1 x0 f (x , y(x))dx = y(x0) + ∫ x0+h x0 f (x , y(x))dx = y(x0) + h 2 [f (x0, y(x0)) + f (x0 + h, y(x0 + h))] = y(x0) + h 2 [f (x0, y(x0)) + f (x1, y(x1))] Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum A ide´ia principal, reside em aproximarmos esta integral usando integrac¸a˜o nume´rica. Considerando o me´todo dos trape´zios, o que implica que y(x1) = y(x0) + ∫ x1 x0 f (x , y(x))dx = y(x0) + ∫ x0+h x0 f (x , y(x))dx = y(x0) + h 2 [f (x0, y(x0)) + f (x1, y(x0 + h))] = y(x0) + h 2 [f (x0, y(x0)) + f (x1, y(x1))] Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Esta fo´rmula, ainda tem a inco´gnita y(x1) = y1, pore´m se aproximarmos a mesma usando Euler, teremos que y1 = y0 + hf (x0, y0) Logo, y1 = y0 + h 2 [f (x0, y0) + f (x1, y1)] fica reescrita como y1 = y0 + h 2 [f (x , y0) + f (x , y0 + hf (x0, y0))] Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Esta fo´rmula, ainda tem a inco´gnita y(x1) = y1, pore´m se aproximarmos a mesma usando euler, teremos que y1 = y0 + hf (x0, y0) Logo, y1 = y0 + h 2 [f (x0, y0) + f (x1, y1)] fica reescrita como y1 = y0 + h 2 [f (x0, y0) + f (x , y0 + hf (x0, y0))] Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Logo, para cada iterac¸a˜o, podemos definir uma etapa intermedia´ria, chamada qn+1, enta˜o as iterac¸o˜es por Me´todo de Heum, se resumem em qi+1 = yi + hf (xi , yi ) yi+1 = yi + h 2 [f (xi , yi ) + f (xi+1, qi+1)] Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Exemplo 1: Suponha que queiramos aplicar o me´todo Heum ao problema de valor inicial y ′ = y − x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 2 y(0) = 0.5 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Logo, aplicando o me´todo de Heum, temos que qi+1 = yi + hf (xi , yi ) yi+1 = yi + h 2 [f (xi , yi ) + f (xi+1, qi+1)] ou ainda que qi+1 = yi + h[yi − x2i + 1] yi+1 = yi + h 2 [(yi − x2i + 1) + (qi+1 − x2i+1 + 1)] Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Portanto, para a Iterac¸a˜o 1: q1 = y0 + h[y0 − x20 + 1] y1 = y0 + h 2 [(y0 − x20 + 1) + (q1 − x21 + 1)] resultando em q1 = 0.8 y1 = 0.826 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Iterac¸a˜o 2: q2 = y1 + h[y1 − x21 + 1] y2 = y1 + h 2 [(y1 − x21 + 1) + (q2 − x22 + 1)] resultando em q2 = 1.1832 y2 = 1.2069 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Seguindo adiante, teremos na Iterac¸a˜o 10: q10 = y9 + h[y9 − x29 + 1] y10 = y9 + h 2 [(y9 − x29 + 1) + (q10 − x210 + 1)] resultando em q10 = 5.1135 y10 = 5.2330 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Erro de truncamento para o Me´todo de Heum: O erro de truncamento local para o me´todo e´ dado |ei | ≤ h 3 12 max ξ∈(xi ,xi+1) y ′′(ξ) Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Observac¸a˜o: Caso y ′ dependa exclusivamente de x , teremos um problema de integrac¸a˜o, e neste caso o Me´todo de Heum, se reduz a yi+1 = yi + h 2 [f (xi ) + f (xi+1)] que e´ idem a regra de integrac¸a˜o nume´rica por trape´zios. Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Exemplo 2: Suponha que queiramos aplicar o me´todo Heum ao problema de valor inicial y ′ = −xy2, 0 ≤ x ≤ 1 y(0) = 2 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Logo, aplicando o me´todo de Heum, temos que qi+1 = yi + hf (xi , yi ) yi+1 = yi + h 2 [f (xi , yi ) + f (xi+1, qi+1)] ou ainda que qi+1 = yi + h[−yix2i ] yi+1 = yi + h 2 [(−yix2i ) + (−qi+1x2i+1)] Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Portanto, para a Iterac¸a˜o 1: q1 = y0 + h[−y0x20 ] y1 = y0 + h 2 [(−y0x20 ) + (−q1x21 )] resultandoem q1 = 2.00000 y1 = 1.99600 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Iterac¸a˜o 2: q2 = y1 + h[−y1x21 ] y2 = y1 + h 2 [(−y1x21 ) + (−q2x22 )] resultando em q2 = 1.98000 y2 = 1.97616 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todo de Heum Seguindo adiante, teremos na Iterac¸a˜o 10: q10 = y9 + h[−y9x29 ] y10 = y9 + h 2 [(−y9x29 ) + (−q10x210)] resultando em q10 = 1.59930 y10 = 1.68541 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Me´todos Runge-Kutta Runge-Kutta ordem 2. Runge-Kutta ordem 4 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Me´todos Runge-Kutta Runge-Kutta ordem 2. Runge-Kutta ordem 4 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta A ide´ia destes me´todos, consiste em calcular yi+1 atrave´s de yi mais uma me´dia ponderada de incrementos/declividades. Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Teoria geral: Digamos que gostariamos de chegar em uma fo´rmula para me´todo Runge-Kutta de ordem s qualquer. Fariamos enta˜o ... yi+1 = yi + a1k1 + a2k2 + ...+ asks Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta onde cada k, seria k1 = hf (xi , yi ) k2 = hf (xi + α2h, yi + β21k1) k3 = hf (xi + α3h, yi + β31k1 + β32k2) ... ks = hf (xi + αsh, yi + βs1k1 + βs2k2 + ...+ βs,s−1ks−1) Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Como vamos determinar a’s, α’s e β’s??? Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Runge-Kutta de ordem 2: (RK2) Aqui, teremos enta˜o ... yi+1 = yi + a1k1 + a2k2 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta onde cada k, seria k1 = hf (xi , yi ) k2 = hf (xi + α2h, yi + β21k1) Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta e nosso problema consiste em determinar as constantes a1, a2, α2, β21 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Para determinar estas constantes, comparamos a expansa˜o em taylor em torno de xi com a aproximac¸a˜o yi+1. Descobrindo assim, que esta constantes sa˜o a1 = 1 2 a2 = 1 2 α2 = 1 β21 = 1 � Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Tornando assim, as aproximac¸o˜es em yi+1 = yi + a1k1 + a2k2 = yi + 1 2 k1 + 1 2 k2 onde k1 = hf (xi , yi ) k2 = hf (xi + h, yi + k1) Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Os valores de k1 e k2 dependem de xi e yi que variam a cada iterac¸a˜o. Enta˜o, devemos calcular k1 e k2 sempre antes de cada yi Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Enta˜o, de maneira geral, tendo o PVI dado por y ′(x) = f (x , y(x)) y(x0) = y0 Supondo que queremos aproximara soluc¸a˜o por ’RK2’, teremos que ... Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Iterac¸a˜o 1: Etapa 1→ k1 = hf (x0, y0) Etapa 2→ k2 = hf (x0 + h, y0 + k1) Etapa 3→ y1 = y0 + 1 2 k1 + 1 2 k2 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Iterac¸a˜o 2: Etapa 1→ k1 = hf (x1, y1) Etapa 2→ k2 = hf (x1 + h, y1 + k1) Etapa 3→ y2 = y1 + 1 2 k1 + 1 2 k2 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Iterac¸a˜o i + 1: Etapa 1→ k1 = hf (xi , yi ) Etapa 2→ k2 = hf (xi + h, yi + k1) Etapa 3→ yi+1 = yi + 1 2 k1 + 1 2 k2 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Exemplo 1: Aproxime a soluc¸a˜o do PVI abaixo em y(1) pelo me´todo de RK2, com h = 0.1. y ′(x) = y − 2x y y(0) = 1 aproximando a soluc¸a˜o por ’RK2’, teremos que ... Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Iterac¸a˜o 1: Etapa 1→ k1 = hf (x0, y0) = h(y0 − 2x0 y0 ) Etapa 2→ k2 = hf (x0 + h, y0 + k1) = h(y0 + k1 − 2(x0 + h) y0 + k1 ) Etapa 3→ y1 = y0 + 1 2 k1 + 1 2 k2 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Iterac¸a˜o 1: Etapa 1→ k1 = hf (x0, y0) = 0.1(1− 2× 0 1 ) = 0.1 Etapa 2→ k2 = hf (x0 + h, y0 + k1) = 0.1(1 + 0.1− 2(0 + 0.1) 1 + 0.1 ) = 0.12818Etapa 3→ y1 = 1 + 1 2 0.1 + 1 2 0.12818 = 1.1141 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Iterac¸a˜o 2: Etapa 1→ k1 = hf (x1, y1) = h(y1 − 2x1 y1 ) Etapa 2→ k2 = hf (x1 + h, y1 + k1) = h(y1 + k1 − 2(x1 + h) y1 + k1 ) Etapa 3→ y2 = y1 + 1 2 k1 + 1 2 k2 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Iterac¸a˜o 2: Etapa 1→ k1 = hf (x1, y1) = 0.1(1.1141− 2× 0.1 1.1141 ) = 0.0934 Etapa 2→ k2 = hf (x1 + h, y1 + k1) = 0.1(1.1141 + 0.0934− 2(0.1 + 0.1) 1.1141 + 0.0934 ) = 0.0876 Etapa 3→ y2 = 1.1141 + 1 2 0.0934 + 1 2 0.0876 = 1.2046 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta de modo que na iterac¸a˜o 10, teremos y10 = 1.7935 ≈ y(1). Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Runge-Kutta de ordem 4: (RK4) Aqui, teremos enta˜o ... yi+1 = yi + a1k1 + a2k2 + a3k3 + a4k4 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta onde cada k, seria k1 = hf (xi , yi ) k2 = hf (xi + α2h, yi + β21k1) k3 = hf (xi + α3h, yi + β31k1 + β32k2) k4 = hf (xi + α4h, yi + β41k1 + β42k2 + β43k3) Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta e nosso problema consiste em determinar as constantes a1, a2, a3, a4, α2, α3, α4, β21, β31, β32, β41, β42, β43 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Para determinar estas constantes, comparamos a expansa˜o em taylor em torno de xi com a aproximac¸a˜o yi+1. Descobrindo assim, que esta constantes sa˜o a1 = 1 6 , a2 = 1 3 , a3 = 1 3 , a4 = 1 6 α2 = 1 2 , α2 = 1 2 , α4 = 1 β21 = 1 2 , β31 = 0, β32 = 1 2 , β41 = 0, β42 = 0, β43 = 1 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Tornando assim, as aproximac¸o˜es em yi+1 = yi + a1k1 + a2k2 + a3k3 + a4k4 = yi + 1 6 k1 + 1 3 k2 + 1 3 k3 + 1 6 k4 onde k1 = hf (xi , yi ) k2 = hf (xi + 1 2 h, yi + 1 2 k1) k3 = hf (xi + 1 2 h, yi + 1 2 k2) k4 = hf (xi + h, yi + k3) Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Os valores de k1, k2, k3 e k4 dependem de xi e yi que variam a cada iterac¸a˜o. Enta˜o, devemos calcular k1, k2, k3 e k4 sempre antes de cada yi Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Enta˜o, de maneira geral, tendo o PVI dado por y ′(x) = f (x , y(x)) y(x0) = y0 Supondo que queremos aproximara soluc¸a˜o por ’RK4’, teremos que ... Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Iterac¸a˜o 1: Etapa 1→ k1 = hf (x0, y0) Etapa 2→ k2 = hf (x0 + 1 2 h, y0 + 1 2 k1) Etapa 3→ k3 = hf (x0 + 1 2 h, y0 + 1 2 k2) Etapa 4→ k4 = hf (x0 + h, y0 + k3) Etapa 5→ y1 = y0 + 1 6 k1 + 1 3 k2 + 1 3 k3 + 1 6 k4 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Iterac¸a˜o 2: Etapa 1→ k1 = hf (x1, y1) Etapa 2→ k2 = hf (x1 + 1 2 h, y1 + 1 2 k1) Etapa 3→ k3 = hf (x1 + 1 2 h, y1 + 1 2 k2) Etapa 4→ k4 = hf (x1 + h, y1 + k3) Etapa 5→ y2 = y1 + 1 6 k1 + 1 3 k2 + 1 3 k3 + 1 6 k4 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Voltando ao... Exemplo 1: Aproxime a soluc¸a˜o do PVI abaixo em y(0.1) pelo me´todo de RK4, com h = 0.1. y ′(x) = y − 2x y y(0) = 1 aproximando a soluc¸a˜o por ’RK4’, teremos que ... Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Iterac¸a˜o 1: Etapa 1→ k1 = hf (x0, y0) Etapa 2→ k2 = hf (x0 + 1 2 h, y0 + 1 2 k1) Etapa 3→ k3 = hf (x0 + 1 2 h, y0 + 1 2 k2) Etapa 4→ k4 = hf (x0 + h, y0 + k3) Etapa 5→ y1 = y0 + 1 6 k1 + 1 3 k2 + 1 3 k3 + 1 6 k4 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Iterac¸a˜o 1: Etapa 1→ k1 = h(y0 − 2x0 y0 ) Etapa 2→ k2 = h(y0 + 1 2 k1 − 2(x0 + 1 2h) y0 + 1 2k1 ) Etapa 3→ k3 = h(y0 + 1 2 k2 − 2(x0 + 1 2h) y0 + 1 2k2 ) Etapa 4→ k4 = h(y0 + k3 − 2(x0 + h) y0 + k3 ) Etapa 5→ y1 = y0 + 1 6 k1 + 1 3 k2 + 1 3 k3 + 1 6 k4 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Iterac¸a˜o 1: Etapa 1→ k1 = 0.1(1− 2× 0 1 ) = 0.1 Etapa 2→ k2 = 0.1(1 + 1 2 0.1− 2(0 + 1 20.1) 1 + 120.1 ) = 0.0954 Etapa 3→ k3 = 0.1(1 + 1 2 0.0954− 2(0 + 1 20.1) 1 + 120.0954 ) = 0.0952 Etapa 4→ k4 = 0.1(1 + 0.0952− 2(0 + 0.1) 1 + 0.0952 ) = 0.0912 Etapa 5→ y1 = y0 + 1 6 0.1 + 1 3 0.0954 + 1 3 0.0952 + 1 6 0.0912 = 1.0954 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Exemplo 2: Considere o PVI dado por y ′ = −xy2 y(0) = 2 Calcule o valor de y(1) utilizando RK4 com h = 0.2. Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandesjulio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta temos como soluc¸a˜o... Exata RK4 xi y(xi ) yi 0.0 2.00000 2.00000 0.2 1.92308 1.92307 0.4 1.72414 1.72411 0.6 1.47059 1.47056 0.8 1.21951 1.21950 1.0 1.00000 1.00001 Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Exerc´ıcio Extra: Compare as resoluc¸o˜es/aproximac¸o˜es por Euler, Heum, RK2, RK4, para: (PVI 1) y ′ = y − x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 2, h = 0.2. (PVI 2) y ′ = y − 2xy , 0 ≤ x ≤ 1, h = 0.1. (PVI 3) y ′ = −yx2, 0 ≤ x ≤ 1, h = 0.2. Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Erros no Me´todo de Runge-Kutta: Analisaremos primeiro os erros de truncamento local (ETL). No caso do erro para o me´todo de ordem 2, teremos um erro da ordem de O(h3). Ao utilizarmos o me´todo de ordem 4, teremos um erro da ordem de O(h5). Isto e´, inicialmente, podemos estimar ETLRK2 → Ch3 ETLRK4 → Ch5 de maneira que ao tomarmos h� 1, o erro tende a ser cada vez menor. Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 university-logo Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Me´todo de Euler e Euler Melhorado Me´todos Runge-Kutta Porque na˜o utilizarmos uma ordem de aproximac¸a˜o ainda maior? Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3 Introdução, área 3 Solução Numérica de Equações Diferenciais Método de Euler e Euler Melhorado Métodos de Taylor de ordem superior n Método de Heum Métodos Runge-Kutta
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