turmaE1_sem08

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Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3
Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3
Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes
julio.lombaldo@ufrgs.br
Semana 8: 26 - 30 de Novembro de 2012
Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3
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Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 3
Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Aproximac¸a˜o usando o Scilab:
Considere o Problema de valor inicial,{
y ′(t) = f (x , y(t))
y(x0) = y0
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Aproximac¸a˜o usando o Scilab:
Considere o Problema de valor inicial,{
y ′(x) = f (x , y(x))
y(x0) = y0
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Para o Me´todo de Euler, podemos usar os seguintes comandos no
Scilab...
x=(x0:h:xn)’;y=zeros(length(x),1);
y(1)=y0;
for k=1:(length(x)-1),y(k+1)=y(k)+h*(f(y(k),x(k)));
end;
plot(x,y,’b.-’)
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Me´todo de Taylor de ordem superior n:
Definimos que o me´todo de Euler e Euler modificado baseia-se no
truncamento da se´rie de Taylor de ordem n no primeiro termo em
que aparece a derivada. Aqui, consideraremos mais termos, de
maneira que a aproximac¸a˜o sera´ mais precisa.
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Suponha que a soluc¸a˜o y(x) do problema de valor inicial{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
tenha (n + 1) derivadas cont´ınuas.
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Se expandirmos a soluc¸a˜o y(x) em termos de seu n-e´simo
polinoˆmio de Taylor em torno de x , teremos que
y(x+h) = y(x)+hy ′(x)+
h2
2
y ′′(x)+...+
hn
n!
y (n)(x)+
hn+1
(n + 1)!
y (n+1)(ξ)
para algum ξ ∈ (x , x + h).
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Se expandirmos a soluc¸a˜o y(x) em termos de seu n-e´simo
polinoˆmio de Taylor em torno de xi , teremos que
y(xi+1) = y(xi )+hy
′(xi )+
h2
2
y ′′(xi )+...+
hn
n!
y (n)(xi )+
hn+1
(n + 1)!
y (n+1)(ξi )
para algum ξi ∈ (xi , xi+1).
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Podemos definir como derivac¸a˜o sucessiva da soluc¸a˜o y(x), os
termos
y ′(x) = f (x , y), y ′′(x) = f ′(x , y), y ′′′(x) = f ′′(x , y), ...
y (k)(x) = f (k−1)(x , y)
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
De maneira que, se substituirmos na expansa˜o em Taylor, teremos
que
y(xi+1) = y(xi ) + hf (xi , y(xi )) +
h2
2
f ′(xi , y(xi )) + ...+
hn
n!
f (n−1)(xi , y(xi ))
+
hn+1
(n + 1)!
f (n)(ξi , y(ξi ))
para algum ξi ∈ (xi , xi+1).
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Agora, podemos definir o me´todo de Taylor de ordem n. Onde
vamos truncar a soma anterior em
hn
n!
f (n−1)(xi , y(xi ))
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
e considerando por momento, o erro descrito pelo u´ltimo termo
hn+1
(n + 1)!
f (n)(ξi , y(ξi ))
para algum ξi ∈ (xi , xi+1).
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Agora, podemos definir de maneira mais geral o me´todo de Taylor
de ordem n como sendo
yi+1 = yi + hT
(n)(xi , yi )
y(x0) = y0
onde
T (n)(xi , yi ) = f (xi , yi ) +
h
2
f ′(xi , yi ) + ...+
hn−1
n!
f (n−1)(xi , yi )
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Exemplo 1:
Suponha que queiramos aplicar o me´todo de Taylor de segunda
ordem ao problema de valor inicial
y ′ = y − x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 2
y(0) = 0.5
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Neste caso, temos que
yi+1 = yi + hT
(2)(xi , yi )
y(x0) = y0
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Como
T (2)(x , y) = f (x , y) +
h
2
f ′(x , y)
precisamos encontrar a derivada da func¸a˜o f (x , y).
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Como
f (x , y) = y − x2 + 1
temos que
f ′(x , y) = y ′ − 2x
= y − x2 + 1− 2x
pois y ′ = y − x2 + 1.
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Agora podemos reescrever
T (2)(x , y) = f (x , y) +
h
2
f ′(x , y)
como
T (2)(x , y) = f (x , y) +
h
2
f ′(x , y)
= [y − x2 + 1] + h
2
[y − x2 + 1− 2x ]
=
(
1 +
h
2
)
(y − x2 + 1)− hx
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
E portanto neste exemplo a equac¸a˜o de diferenc¸as, obedece a lei
yi+1 = yi + hT
(2)(xi , yi )
y(x0) = y0
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
E portanto neste exemplo a equac¸a˜o de diferenc¸as, obedece a lei
yi+1 = yi + h
[(
1 +
h
2
)
(yi − x2i + 1)− hxi
]
y(0) = 0.5
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Podemos tambe´m, definir de maneira explicita cada ponto do
dom´ınio, isto e´,
xi = x0 + ih
neste caso, por exemplo, teriamos
xi = 0.2i
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Usando os valores explicitos para o dom´ınio, e tambe´m para
h = 0.2, temos que
yi+1 = yi + h
[(
1 +
h
2
)
(yi − x2i + 1)− hxi
]
y(0) = 0.5
sera´
yi+1 = yi + 0.2
[(
1 +
0.2
2
)
(yi − (0.2i)2 + 1)− (0.2)(0.2)i
]
= 1.22yi − 0.0088i2 − 0.008i + 0.22
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Exemplo 2:
Suponha que queiramos aplicar o me´todo de Taylor de quarta
ordem ao problema de valor inicial
y ′ = y − x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 2
y(0) = 0.5
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Neste caso, temos que
yi+1 = yi + hT
(4)(xi , yi )
y(x0) = y0
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Como
T (4)(x , y) = f (x , y) +
h
2
f ′(x , y) +
h2
3!
f ′′(x , y) +
h3
4!
f ′′′(x , y)
precisamos encontrar as derivadas ate´ ordem 3 da func¸a˜o f (x , y).
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Como
f (x , y) = y − x2 + 1
temos que
f ′(x , y) = y ′ − 2x
= y − x2 + 1− 2x
lembrando sempre que y ′ = y − x2 + 1.
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Me´todos de Taylor de ordem superior n
Como
f ′(x , y) = y − x2 + 1− 2x
temos que
f ′′(x , y) = y ′ − 2x − 2
= y − x2 − 2x − 1
lembrando sempre que y ′ = y − x2 + 1.
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Como
f ′′(x , y) = y − x2 − 2x − 1
temos que
f ′′′(x , y) = y ′ − 2x − 2
= y − x2 − 2x − 1
lembrando sempre que y ′ = y − x2 + 1.
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Agora podemos reescrever
T (4)(x , y) = f (x , y) +
h
2
f ′(x , y) +
h2
3!
f ′′(x , y) +
h3
4!
f ′′′(x , y)
como...
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
T (4)(x , y) = f (x , y) +
h
2
f ′(x , y) +
h2
3!
f ′′(x , y) +
h3
4!
f (3)(x , y)
= [y − x2 + 1] + h
2
[y − x2 + 1− 2x ]
+
h2
3!
[y − x2 − 2x − 1] + h
3
4!
[y − x2 − 2x − 1]
=
(
1 +
h
2
+
h2
6
+
h3
24
)
(y − x2)−
(
1 +
h
3
+
h2
12
)
hx
+ 1 +
h
2
+
h2
6
+
h3
24
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
E portanto neste exemplo a equac¸a˜o de diferenc¸as, obedece a lei
yi+1 = yi + hT
(4)(xi , yi )
y(x0) = y0
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
E portanto neste exemplo a equac¸a˜o de diferenc¸as, obedece a lei
yi+1 = yi + h
[(
1 +
h
2
+
h2
6
+
h3
24
)
(yi − x2i )−
(
1 +
h
3
+
h2
12
)
hxi
+ 1 +
h
2
+
h2
6
+
h3
24
]
y(0) = 0.5
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Podemos tambe´m, definir de maneira explicita cada ponto do
dom´ınio, isto e´,
xi = x0 + ih
neste caso, por exemplo, teriamos
xi = 0.2i
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Usando os valores explicitos para o dom´ınio, e tambe´m para
h = 0.2, temos que
yi+1 = yi + h
[(
1 +
h
2
+
h2
6
+
h3
24
)
(yi − x2i )−
(
1 +
h
3
+
h2
12
)
hxi
+ 1 +
h
2
+
h2
6
+
h3
24
]
sera´...
yi+1 = yi + 0.2
[(
1 +
0.2
2
+
(0.2)2
6
+
(0.2)3
24
)
(yi − (0.2i)2)−
(
1 +
0.2
3
+
(0.2)2
12
)
(0.2)(0.2i)
+ 1 +
0.2
2
+
(0.2)2
6
+
(0.2)3
24
]
= 1.2214yi − 0.008865i2 − 0.00856i + 0.2186
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos de Taylor de ordem superior n
Exata Taylor (2) Erro Taylor (4) Erro
xi y(xi ) yi |y(xi )− yi | yi |y(xi )− yi |
0.0 0.50000 0.500000 0.000000 0.500000 0.000000
0.2 0.82929 0.830000 0.000701 0.829300 0.000001
0.4 1.21498 1.215800 0.001712 1.214091 0.000003
0.6 1.64894 1.652076 0.003135 1.648946 0.000006
...
...
...
...
...
...
2.0 5.30547 5.347684 0.042212 5.305555 0.000083
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Me´todo de Heum:
Este me´todo introduz uma ide´ia diferente dos me´todos anteriores,
baseado em solucionar uma integral a cada iterac¸a˜o.
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Consideraremos o problema de valor inicial dado por
y ′(x) = f (x , y(x)), a ≤ x ≤ b
y(x0) = y0
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
A ide´ia para este (e para os demais) me´todos e´ conhecer o pro´ximo
ponto (x1, y1), para tanto, consideramos o teorema fundamental
do ca´lculo ∫ x1
x0
y ′(x)dx = y(x1)− y(x0)
como sabemos x1 que e´ x0 + h, enta˜o, isolando o termo y(x1)
teremos
y(x1) = y(x0) +
∫ x1
x0
y ′(x)dx
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Voltando ao PVI, temos que y ′ = f (x , y), logo
y(x1) = y(x0) +
∫ x1
x0
f (x , y(x))dx
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
A ide´ia principal, reside em aproximarmos esta integral usando
integrac¸a˜o nume´rica. Considerando o me´todo dos trape´zios, o que
implica que
y(x1) = y(x0) +
∫ x1
x0
f (x , y(x))dx
= y(x0) +
∫ x0+h
x0
f (x , y(x))dx
= y(x0) +
h
2
[f (x0, y(x0)) + f (x0 + h, y(x0 + h))]
= y(x0) +
h
2
[f (x0, y(x0)) + f (x1, y(x1))]
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
A ide´ia principal, reside em aproximarmos esta integral usando
integrac¸a˜o nume´rica. Considerando o me´todo dos trape´zios, o que
implica que
y(x1) = y(x0) +
∫ x1
x0
f (x , y(x))dx
= y(x0) +
∫ x0+h
x0
f (x , y(x))dx
= y(x0) +
h
2
[f (x0, y(x0)) + f (x1, y(x0 + h))]
= y(x0) +
h
2
[f (x0, y(x0)) + f (x1, y(x1))]
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Esta fo´rmula, ainda tem a inco´gnita y(x1) = y1, pore´m se
aproximarmos a mesma usando Euler, teremos que
y1 = y0 + hf (x0, y0)
Logo,
y1 = y0 +
h
2
[f (x0, y0) + f (x1, y1)]
fica reescrita como
y1 = y0 +
h
2
[f (x , y0) + f (x , y0 + hf (x0, y0))]
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Esta fo´rmula, ainda tem a inco´gnita y(x1) = y1, pore´m se
aproximarmos a mesma usando euler, teremos que
y1 = y0 + hf (x0, y0)
Logo,
y1 = y0 +
h
2
[f (x0, y0) + f (x1, y1)]
fica reescrita como
y1 = y0 +
h
2
[f (x0, y0) + f (x , y0 + hf (x0, y0))]
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Logo, para cada iterac¸a˜o, podemos definir uma etapa
intermedia´ria, chamada qn+1, enta˜o as iterac¸o˜es por Me´todo de
Heum, se resumem em
qi+1 = yi + hf (xi , yi )
yi+1 = yi +
h
2
[f (xi , yi ) + f (xi+1, qi+1)]
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Exemplo 1:
Suponha que queiramos aplicar o me´todo Heum ao problema de
valor inicial
y ′ = y − x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 2
y(0) = 0.5
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Logo, aplicando o me´todo de Heum, temos que
qi+1 = yi + hf (xi , yi )
yi+1 = yi +
h
2
[f (xi , yi ) + f (xi+1, qi+1)]
ou ainda que
qi+1 = yi + h[yi − x2i + 1]
yi+1 = yi +
h
2
[(yi − x2i + 1) + (qi+1 − x2i+1 + 1)]
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Portanto, para a Iterac¸a˜o 1:
q1 = y0 + h[y0 − x20 + 1]
y1 = y0 +
h
2
[(y0 − x20 + 1) + (q1 − x21 + 1)]
resultando em
q1 = 0.8
y1 = 0.826
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Iterac¸a˜o 2:
q2 = y1 + h[y1 − x21 + 1]
y2 = y1 +
h
2
[(y1 − x21 + 1) + (q2 − x22 + 1)]
resultando em
q2 = 1.1832
y2 = 1.2069
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Seguindo adiante, teremos na Iterac¸a˜o 10:
q10 = y9 + h[y9 − x29 + 1]
y10 = y9 +
h
2
[(y9 − x29 + 1) + (q10 − x210 + 1)]
resultando em
q10 = 5.1135
y10 = 5.2330
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Erro de truncamento para o Me´todo de Heum:
O erro de truncamento local para o me´todo e´ dado
|ei | ≤ h
3
12
max
ξ∈(xi ,xi+1)
y ′′(ξ)
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Observac¸a˜o:
Caso y ′ dependa exclusivamente de x , teremos um problema de
integrac¸a˜o, e neste caso o Me´todo de Heum, se reduz a
yi+1 = yi +
h
2
[f (xi ) + f (xi+1)]
que e´ idem a regra de integrac¸a˜o nume´rica por trape´zios.
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Exemplo 2:
Suponha que queiramos aplicar o me´todo Heum ao problema de
valor inicial
y ′ = −xy2, 0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 2
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Logo, aplicando o me´todo de Heum, temos que
qi+1 = yi + hf (xi , yi )
yi+1 = yi +
h
2
[f (xi , yi ) + f (xi+1, qi+1)]
ou ainda que
qi+1 = yi + h[−yix2i ]
yi+1 = yi +
h
2
[(−yix2i ) + (−qi+1x2i+1)]
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Portanto, para a Iterac¸a˜o 1:
q1 = y0 + h[−y0x20 ]
y1 = y0 +
h
2
[(−y0x20 ) + (−q1x21 )]
resultandoem
q1 = 2.00000
y1 = 1.99600
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Iterac¸a˜o 2:
q2 = y1 + h[−y1x21 ]
y2 = y1 +
h
2
[(−y1x21 ) + (−q2x22 )]
resultando em
q2 = 1.98000
y2 = 1.97616
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todo de Heum
Seguindo adiante, teremos na Iterac¸a˜o 10:
q10 = y9 + h[−y9x29 ]
y10 = y9 +
h
2
[(−y9x29 ) + (−q10x210)]
resultando em
q10 = 1.59930
y10 = 1.68541
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Me´todos Runge-Kutta
Runge-Kutta ordem 2.
Runge-Kutta ordem 4
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Me´todos Runge-Kutta
Runge-Kutta ordem 2.
Runge-Kutta ordem 4
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
A ide´ia destes me´todos, consiste em calcular yi+1 atrave´s de yi
mais uma me´dia ponderada de incrementos/declividades.
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Teoria geral:
Digamos que gostariamos de chegar em uma fo´rmula para me´todo
Runge-Kutta de ordem s qualquer.
Fariamos enta˜o ...
yi+1 = yi + a1k1 + a2k2 + ...+ asks
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
onde cada k, seria
k1 = hf (xi , yi )
k2 = hf (xi + α2h, yi + β21k1)
k3 = hf (xi + α3h, yi + β31k1 + β32k2)
...
ks = hf (xi + αsh, yi + βs1k1 + βs2k2 + ...+ βs,s−1ks−1)
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Como vamos determinar a’s, α’s e β’s???
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Runge-Kutta de ordem 2: (RK2)
Aqui, teremos enta˜o ...
yi+1 = yi + a1k1 + a2k2
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
onde cada k, seria
k1 = hf (xi , yi )
k2 = hf (xi + α2h, yi + β21k1)
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
e nosso problema consiste em determinar as constantes
a1, a2, α2, β21
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Para determinar estas constantes, comparamos a expansa˜o em
taylor em torno de xi com a aproximac¸a˜o yi+1. Descobrindo assim,
que esta constantes sa˜o
a1 =
1
2
a2 =
1
2
α2 = 1
β21 = 1
�
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Tornando assim, as aproximac¸o˜es em
yi+1 = yi + a1k1 + a2k2
= yi +
1
2
k1 +
1
2
k2
onde
k1 = hf (xi , yi )
k2 = hf (xi + h, yi + k1)
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Os valores de k1 e k2 dependem de xi e yi que variam a cada
iterac¸a˜o. Enta˜o, devemos calcular k1 e k2 sempre antes de cada yi
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Me´todos Runge-Kutta
Enta˜o, de maneira geral, tendo o PVI dado por
y ′(x) = f (x , y(x))
y(x0) = y0
Supondo que queremos aproximara soluc¸a˜o por ’RK2’, teremos que
...
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Iterac¸a˜o 1:
Etapa 1→ k1 = hf (x0, y0)
Etapa 2→ k2 = hf (x0 + h, y0 + k1)
Etapa 3→ y1 = y0 + 1
2
k1 +
1
2
k2
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Me´todos Runge-Kutta
Iterac¸a˜o 2:
Etapa 1→ k1 = hf (x1, y1)
Etapa 2→ k2 = hf (x1 + h, y1 + k1)
Etapa 3→ y2 = y1 + 1
2
k1 +
1
2
k2
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Me´todos Runge-Kutta
Iterac¸a˜o i + 1:
Etapa 1→ k1 = hf (xi , yi )
Etapa 2→ k2 = hf (xi + h, yi + k1)
Etapa 3→ yi+1 = yi + 1
2
k1 +
1
2
k2
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Exemplo 1:
Aproxime a soluc¸a˜o do PVI abaixo em y(1) pelo me´todo de RK2,
com h = 0.1.
y ′(x) = y − 2x
y
y(0) = 1
aproximando a soluc¸a˜o por ’RK2’, teremos que ...
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Iterac¸a˜o 1:
Etapa 1→ k1 = hf (x0, y0)
= h(y0 − 2x0
y0
)
Etapa 2→ k2 = hf (x0 + h, y0 + k1)
= h(y0 + k1 − 2(x0 + h)
y0 + k1
)
Etapa 3→ y1 = y0 + 1
2
k1 +
1
2
k2
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Iterac¸a˜o 1:
Etapa 1→ k1 = hf (x0, y0)
= 0.1(1− 2× 0
1
) = 0.1
Etapa 2→ k2 = hf (x0 + h, y0 + k1)
= 0.1(1 + 0.1− 2(0 + 0.1)
1 + 0.1
) = 0.12818Etapa 3→ y1 = 1 + 1
2
0.1 +
1
2
0.12818 = 1.1141
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Me´todos Runge-Kutta
Iterac¸a˜o 2:
Etapa 1→ k1 = hf (x1, y1)
= h(y1 − 2x1
y1
)
Etapa 2→ k2 = hf (x1 + h, y1 + k1)
= h(y1 + k1 − 2(x1 + h)
y1 + k1
)
Etapa 3→ y2 = y1 + 1
2
k1 +
1
2
k2
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Me´todos Runge-Kutta
Iterac¸a˜o 2:
Etapa 1→ k1 = hf (x1, y1)
= 0.1(1.1141− 2× 0.1
1.1141
) = 0.0934
Etapa 2→ k2 = hf (x1 + h, y1 + k1)
= 0.1(1.1141 + 0.0934− 2(0.1 + 0.1)
1.1141 + 0.0934
) = 0.0876
Etapa 3→ y2 = 1.1141 + 1
2
0.0934 +
1
2
0.0876 = 1.2046
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Me´todos Runge-Kutta
de modo que na iterac¸a˜o 10, teremos y10 = 1.7935 ≈ y(1).
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Me´todos Runge-Kutta
Runge-Kutta de ordem 4: (RK4)
Aqui, teremos enta˜o ...
yi+1 = yi + a1k1 + a2k2 + a3k3 + a4k4
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Me´todos Runge-Kutta
onde cada k, seria
k1 = hf (xi , yi )
k2 = hf (xi + α2h, yi + β21k1)
k3 = hf (xi + α3h, yi + β31k1 + β32k2)
k4 = hf (xi + α4h, yi + β41k1 + β42k2 + β43k3)
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
e nosso problema consiste em determinar as constantes
a1, a2, a3, a4, α2, α3, α4, β21, β31, β32, β41, β42, β43
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Para determinar estas constantes, comparamos a expansa˜o em
taylor em torno de xi com a aproximac¸a˜o yi+1. Descobrindo assim,
que esta constantes sa˜o
a1 =
1
6
, a2 =
1
3
, a3 =
1
3
, a4 =
1
6
α2 =
1
2
, α2 =
1
2
, α4 = 1
β21 =
1
2
, β31 = 0, β32 =
1
2
, β41 = 0, β42 = 0, β43 = 1
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Tornando assim, as aproximac¸o˜es em
yi+1 = yi + a1k1 + a2k2 + a3k3 + a4k4
= yi +
1
6
k1 +
1
3
k2 +
1
3
k3 +
1
6
k4
onde
k1 = hf (xi , yi )
k2 = hf (xi +
1
2
h, yi +
1
2
k1)
k3 = hf (xi +
1
2
h, yi +
1
2
k2)
k4 = hf (xi + h, yi + k3)
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Os valores de k1, k2, k3 e k4 dependem de xi e yi que variam a
cada iterac¸a˜o. Enta˜o, devemos calcular k1, k2, k3 e k4 sempre
antes de cada yi
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Enta˜o, de maneira geral, tendo o PVI dado por
y ′(x) = f (x , y(x))
y(x0) = y0
Supondo que queremos aproximara soluc¸a˜o por ’RK4’, teremos que
...
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Iterac¸a˜o 1:
Etapa 1→ k1 = hf (x0, y0)
Etapa 2→ k2 = hf (x0 + 1
2
h, y0 +
1
2
k1)
Etapa 3→ k3 = hf (x0 + 1
2
h, y0 +
1
2
k2)
Etapa 4→ k4 = hf (x0 + h, y0 + k3)
Etapa 5→ y1 = y0 + 1
6
k1 +
1
3
k2 +
1
3
k3 +
1
6
k4
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Iterac¸a˜o 2:
Etapa 1→ k1 = hf (x1, y1)
Etapa 2→ k2 = hf (x1 + 1
2
h, y1 +
1
2
k1)
Etapa 3→ k3 = hf (x1 + 1
2
h, y1 +
1
2
k2)
Etapa 4→ k4 = hf (x1 + h, y1 + k3)
Etapa 5→ y2 = y1 + 1
6
k1 +
1
3
k2 +
1
3
k3 +
1
6
k4
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Voltando ao...
Exemplo 1:
Aproxime a soluc¸a˜o do PVI abaixo em y(0.1) pelo me´todo de RK4,
com h = 0.1.
y ′(x) = y − 2x
y
y(0) = 1
aproximando a soluc¸a˜o por ’RK4’, teremos que ...
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Iterac¸a˜o 1:
Etapa 1→ k1 = hf (x0, y0)
Etapa 2→ k2 = hf (x0 + 1
2
h, y0 +
1
2
k1)
Etapa 3→ k3 = hf (x0 + 1
2
h, y0 +
1
2
k2)
Etapa 4→ k4 = hf (x0 + h, y0 + k3)
Etapa 5→ y1 = y0 + 1
6
k1 +
1
3
k2 +
1
3
k3 +
1
6
k4
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Iterac¸a˜o 1:
Etapa 1→ k1 = h(y0 − 2x0
y0
)
Etapa 2→ k2 = h(y0 + 1
2
k1 −
2(x0 +
1
2h)
y0 +
1
2k1
)
Etapa 3→ k3 = h(y0 + 1
2
k2 −
2(x0 +
1
2h)
y0 +
1
2k2
)
Etapa 4→ k4 = h(y0 + k3 − 2(x0 + h)
y0 + k3
)
Etapa 5→ y1 = y0 + 1
6
k1 +
1
3
k2 +
1
3
k3 +
1
6
k4
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Me´todos Runge-Kutta
Iterac¸a˜o 1:
Etapa 1→ k1 = 0.1(1− 2× 0
1
) = 0.1
Etapa 2→ k2 = 0.1(1 + 1
2
0.1− 2(0 +
1
20.1)
1 + 120.1
) = 0.0954
Etapa 3→ k3 = 0.1(1 + 1
2
0.0954− 2(0 +
1
20.1)
1 + 120.0954
) = 0.0952
Etapa 4→ k4 = 0.1(1 + 0.0952− 2(0 + 0.1)
1 + 0.0952
) = 0.0912
Etapa 5→ y1 = y0 + 1
6
0.1 +
1
3
0.0954 +
1
3
0.0952 +
1
6
0.0912 = 1.0954
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Me´todos Runge-Kutta
Exemplo 2:
Considere o PVI dado por
y ′ = −xy2
y(0) = 2
Calcule o valor de y(1) utilizando RK4 com h = 0.2.
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Me´todos Runge-Kutta
temos como soluc¸a˜o...
Exata RK4
xi y(xi ) yi
0.0 2.00000 2.00000
0.2 1.92308 1.92307
0.4 1.72414 1.72411
0.6 1.47059 1.47056
0.8 1.21951 1.21950
1.0 1.00000 1.00001
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Exerc´ıcio Extra: Compare as resoluc¸o˜es/aproximac¸o˜es por Euler,
Heum, RK2, RK4, para:
(PVI 1) y ′ = y − x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 2, h = 0.2.
(PVI 2) y ′ = y − 2xy , 0 ≤ x ≤ 1, h = 0.1.
(PVI 3) y ′ = −yx2, 0 ≤ x ≤ 1, h = 0.2.
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Erros no Me´todo de Runge-Kutta:
Analisaremos primeiro os erros de truncamento local (ETL). No
caso do erro para o me´todo de ordem 2, teremos um erro da ordem
de O(h3). Ao utilizarmos o me´todo de ordem 4, teremos um erro
da ordem de O(h5). Isto e´, inicialmente, podemos estimar
ETLRK2 → Ch3
ETLRK4 → Ch5
de maneira que ao tomarmos h� 1, o erro tende a ser cada vez
menor.
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Me´todo de Euler e Euler Melhorado
Me´todos Runge-Kutta
Porque na˜o utilizarmos uma ordem de aproximac¸a˜o ainda maior?
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	Introdução, área 3
	Solução Numérica de Equações Diferenciais
	Método de Euler e Euler Melhorado
	Métodos de Taylor de ordem superior n
	Método de Heum
	Métodos Runge-Kutta