Potência e Energia em Circuitos Elétricos

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Circuitos Elétricos B 
Potência e energia em regime permanente senoidal – SHaffner/LAPereira Versão 11/9/2007 Página 1 de 20 
 
II – Potência e energia em regime permanente senoidal 
 
 
II.1 – Potência e energia 
 
Seja o seguinte sistema elétrico alimentado por tensões e correntes quaisquer, conforme ilustra a Figura 
II.1. 
 
+ 
- 
)(tv
)(ti
SISTEMA 
 
Figura II.1 – Sistema elétrico a dois fios. 
 
A potência instantânea fornecida ao sistema é: 
( ) ( ) ( )titvtp ⋅∆ [W] 
A energia líquida fornecida para o sistema até o instante t1 é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 
0 
 
0 
WdivWdptW
tt
+=+= ∫∫ τττττ [J] 
Quando o sistema é constituído por uma resistência, a tensão é dada por ( ) ( )tRitv = e a energia fornecida 
para o sistema até o instante t é uma função da integral da corrente ou da tensão ao quadrado ao longo do 
intervalo considerado: 
( ) ( )
( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )000 
0 
2 
0 
2 
0 R
t
R
t
R
t
v
R WdiRWdRiWdiRitW +=+=+= ∫∫∫ τττττττ
τ
 [J] 
( ) ( ) ( )
( )}
( ) ( ) ( ) ( ) ( )01010 
0 
2 
0 
2 
0 R
t
R
t
R
t
i
R WdvR
Wdv
R
Wd
R
v
vtW +=+=+= ∫∫∫ τττττ
τ
τ
τ
 [J] 
Quando o sistema é constituído por uma indutância, a tensão é dada por ( ) ( )
dt
tdiLtv = e a energia fornecida 
para o sistema até o instante t é função da corrente instantânea2, no instante t: 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )0
2
0
2
0
2
00
0
22
0
2
 
0 
 
0 L
W
L
t
L
t
L
t
v
L W
iLtiLWiLWdiiLWdi
d
diLtW
L
+





−





=+





=+=+= ∫∫
48476876
τ
ττττ
τ
τ
τ
 
( ) ( )





=
2
2 tiLtWL [J] 
Quando o sistema é constituído por uma capacitância, a corrente é dada por ( ) ( )
dt
tdvCti = e a energia 
fornecida para o sistema até o instante t é função da tensão instantânea3, no instante t: 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )0
2
0
2
0
2
00
0
22
0
2
 
0 
 
0 C
W
C
t
C
t
C
t
i
C W
vCtvCWvCWdvvCWd
d
dvCvtW
C
+





−





=+





=+=+= ∫∫
4847648476
τ
τττ
τ
τ
τ
τ
 
 
1
 Supondo que ( )0W é a energia inicial do sistema em 0=t . 
2
 Neste caso, não depende do que ocorre ao longo do intervalo de 0 a t; apenas do valor instantâneo de ( )ti . 
3
 Neste caso, não depende do que ocorre ao longo do intervalo de 0 a t; apenas do valor instantâneo de ( )tv . 
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( ) ( )





=
2
2 tvCtWC [J] 
Observar que a energia fornecida para a resistência é transformada em calor, sendo dissipada pelo circuito. 
A energia fornecida para um indutor ou capacitor fica armazenada nos campos magnético e elétrico, não 
sendo dissipada por estes componentes. 
A potência média suprida entre os instantes t1 e t2 é: 
∫
−
=
2
112
média
 
 
)(1 t
t
dttp
tt
p [W] 
 
 
Exemplo II.1: Sabendo que o gráfico a seguir apresenta a forma de onda de uma tensão aplicada a uma 
resistência de 10 Ω, determinar as expressões e os gráficos da potência e da energia fornecida. 
 
6 
3 
100 
( )[ ]Vtv
[ ]st
( ) 100
3
100
+
−
= ttv
–100 
 
 
Solução: Para 60 ≤≤ t s, 
( ) 100
3
100
+
−
= ttv ( ) ( ) 10
3
10
10
100
3
100
+
−
=
+
−
== t
t
R
tv
ti 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10
10000
3
20000
9
10000
10
100
3
100 22
2 +−
=






+
−
====
t
tt
R
tv
R
tv
tvtitvtp 
( ) 1000
3
2000
9
1000 2
+−= t
t
tp 
( ) ( )
t
tt
R ddptW
0
2
3
0
2
0
1000
3
1000
27
10001000
3
2000
9
1000






+−=







+−== ∫∫ ττ
τ
ττ
τ
ττ 
( ) ttttWR 10003
1000
27
1000 23 +−= 
Os gráficos da potência e da energia fornecidas para a resistência neste intervalo de tempo podem ser 
produzidos em simulação no MATLAB/SIMULINK4 utilizando-se o arquivo II_7.mdl. 
 
Potência fornecida [W] Energia fornecida [J] 
 
4
 Disponível em http://slhaffner.phpnet.us/circuitos_b/matlab/ 
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Solução (continuação): Para 6>t s, tem-se ( ) ( ) ( ) 0=== tptitv , mas a energia fornecida para a 
resistência a partir de 0=t s permanece constante e igual a ( ) 2000610006
3
1000
27
610006 2
3
=×+−
×
=RW J 
(que corresponde ao valor total fornecido no período entre 0 e 6 segundos). 
 
 
Exemplo II.2: Sabendo que o gráfico a seguir apresenta a forma de onda da corrente que percorre uma 
resistência de 2 Ω, determinar o solicitado: 
 
 
( )[ ]Ati
[ ]st
 
 
a) A potência instantânea dissipada nesta resistência; 
b) A potência média fornecida para esta resistência a partir de t=0; 
c) A energia fornecida para esta resistência a partir de t=0. 
 
Solução: 
a) Observa-se que a forma de onda da corrente é periódica, com período T=1 s. Desta forma, a expressão da 
potência instantânea será determinada apenas para o primeiro período, sendo a expressão dos demais 
períodos idêntica. De acordo com o gráfico, para o primeiro período a expressão da corrente é dada por: 
( ) tti 1= 
Desta forma, as expressões da tensão e da potência são dadas por: 
( ) ( ) tttRitv 212 =×== 
( ) ( ) ( ) 222 ttttitvtp =×== , válido para 10 ≤≤ t s 
Para os demais intervalos, basta realizar o deslocamento adequado no tempo. Por exemplo, para o segundo 
intervalo, tem-se: 
( ) ( )212 −= ttp , válido para 21 ≤≤ t s 
 
b) A potência média no intervalo de 0 a 1 segundo é dada por: 
( ) 6667,0
3
2
3
22
1
11
1
0
31
0
2
0
==





=== ∫∫
tdttdttp
T
P
T
W 
Para os demais intervalos o valor é idêntico. 
 
c) A expressão que descreve a potência fornecida em cada período apresenta uma forma periódica e a energia 
fornecida é cumulativa, apresentando mesmo formato, mas partindo de um ponto inicial diferente. Para o 
primeiro período, tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∫∫ =+×=+=+=
tttt
ddWdivWdptW
 
0 
2 
0 
 
0 
 
0 
20200 ττττττττττ
 
( ) 3
0
3
3
2
3
2 ttW
t
=





=
τ
, válido para 10 ≤≤ t s 
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Solução (continuação): Para os demais intervalos, devem ser realizados os deslocamentos adequados e 
acrescentadas as energias iniciais que foram acumuladas nos intervalos anteriores. Por exemplo, para o 
segundo intervalo, tem-se: 
 
( )
3
21
3
21 3 ==W
 J 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
3
12
3
2121
1
3
 
1
2 
1
+








−
=+−=+= ∫∫
t
tt
dWdptW τττττ 
( ) ( )
3
2
3
12 3
+
−
=
t
tW , válido para 21 ≤≤ t s 
 
Solução alternativa: A determinação dos valores instantâneos da potência dissipada e da energia 
fornecida para a resistência pode ser realizada por intermédio de simulação no MATLAB/SIMULINK 
utilizando-se o arquivo II_1.mdl obtendo-se o seguinte gráfico: 
 
 
p(t) [W] 
 
W(t) [J] 
t [s] 
 
 
Exercício II.1: Refazer o Exemplo II.1 considerando que a corrente estápercorrendo uma indutância de 
2 H. 
 
Exercício II.2: Determinar a potência média, a instantânea e a energia fornecida para cada um dos 
elementos do circuito abaixo, sabendo que a resistência é de 25 Ω e o indutor de 120 mH. 
 
Solução alternativa: A determinação dos valores instantâneos da potência e da energia fornecida para os 
elementos do circuito pode ser realizada por intermédio de simulação no MATLAB/SIMULINK utilizando-se o 
arquivo II_2.mdl obtendo-se os seguintes gráficos: 
 
 
Na resistência No indutor 
 
p(t) [W] 
 
W(t) [J] 
t
 [s] t [s] 
 
Nos gráficos anteriores, é possível observar que na resistência a potência fornecida é sempre positiva, 
fazendo com que a energia fornecida sempre aumente com o passar do tempo. No indutor, a potência assume 
valores positivos e negativos, fazendo com que a energia média fornecida seja nula. 
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Exemplo II.3: Para o circuito abaixo, determinar o gráfico da potência instantânea e da energia fornecida ao 
indutor e também a potência instantânea e a energia fornecida pela fonte. 
 
Solução: O gráfico dos valores instantâneos da potência e da energia fornecida para a resistência e pela 
fonte foram obtidos através de simulação no MATLAB/SIMULINK utilizando-se o arquivo II_3.mdl. 
 
 
Fornecido ao indutor Fornecida pela fonte 
 
p(t) [W] 
 
W(t) [J] 
t [s] t [s] 
 
 
 
II.2 – Valores eficazes 
 
O valor eficaz de qualquer corrente (ou tensão) periódica, denotado por RMSI ( )RMSVou 5, é uma constante 
igual à corrente (ou tensão) contínua que produziria a mesma potência média em uma resistência pura. 
Para a resistência da Figura II.2, tem-se a seguinte expressão para a potência instantânea dissipada: 
 
( )tv
+ 
– 
( )ti
R 
( ) ( )
( ) ( )
R
tv
ti
tRitv
=
=
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )} ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]





=
=
==
R
tv
R
tv
tv
tiRtitRi
titvtp
tv
R 2
2
 
Figura II.2 – Resistência para definição do valor eficaz. 
 
 
Para correntes e tensões contínuas a potência instantânea é constante, portanto, igual à potência média, 
ou seja, 
 ( )






==
R
V
RI
ptp
RMS
RMS
R 2
2
média (1) 
Por outro lado, a potência média produzida por correntes e tensões periódicas, com período T, em uma 
resistência é: 
 
5
 RMS é a sigla de Root Mean Square (valor quadrático médio). 
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( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]










=




=
=
∫∫
∫∫
TT
TT
dttv
TR
dt
R
tv
T
dtti
T
RdttiR
Tp
 
0 
2 
0 
2
 
0 
2 
0 
2
média 111
11
 (2) 
Comparando-se as expressões (1) e (2), chega-se a: 
( )[ ] ( )[ ] ⇒=⇒



= ∫∫
T
RMS
T
RMS dttiT
Idtti
T
RRI
 
0 
22 
0 
22 11
 ( )[ ]∫=
T
RMS dttiT
I
 
0 
21
 
 
( )[ ] ( )[ ] ⇒=⇒





= ∫∫
T
RMS
TRMS dttv
T
Vdttv
TRR
V 
0 
22 
0 
2
2 111
 ( )[ ]∫=
T
RMS dttvT
V
 
0 
21
 
Define-se, assim, o valor eficaz de um sinal periódico ( )tx , com período T, como sendo: 
[ ]∫==
T
RMS dttxT
XX
 
0 
2
eficaz )(
1
 (3) 
 
 
Exemplo II.4: Determinar o valor eficaz da corrente dada por ( ) ( )φω += tIti cosmax . 
Solução: De acordo com a expressão (3), tem-se: 
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )[ ]
[ ]
2
2
2
1
22
1
2
22cos1
2
1
2
22cos1
2
1
2
cos
2
cos2
1
2
max2
max
2
0
2
max
2
 
0 
2
max
2
 
0 
2
max
2 
0 
22
max
2 
0 
2
max
IItI
dttIdttI
dttIdttII RMS
=





==
=++=++=
=+=+=
∫∫
∫∫
ω
pi
pi
ω
pi
ω
φω
pi
ωφω
pi
ω
φω
pi
ωφω
ω
pi
ω
pi
ω
pi
ω
pi
ω
pi
ω
pi
 
2
maxII RMS = 
 
Solução alternativa: A determinação do valor eficaz da forma de onda senoidal pode ser feita por 
intermédio de simulação no MATLAB/SIMULINK utilizando-se o arquivo II_5.mdl. Neste caso, a 
amplitude considerada foi de uma unidade, resultando em um valor RMS equivalente a 7071,021 = . 
 
 
Exercício II.3: Determinar o valor eficaz das seguintes formas de onda: 
a) Onda quadrada. 
b) Onda quadrada alternada. 
c) Senóide com retificação de meia onda. 
d) Senóide com retificação de onda completa. 
e) Dente de serra. 
 
Solução alternativa: Embora a proposta do exercício seja a resolução por intermédio da expressão (3), a 
determinação dos valores eficazes das formas de onda anteriores pode ser feita por intermédio de simulação 
no MATLAB/SIMULINK utilizando-se os arquivos II_5a.mdl, II_5b.mdl, II_5c.mdl, II_5d.mdl e 
II_4.mdl, respectivamente, para verificar duas formas alternativas de obtenção do valor RMS (utilizando 
a definição e a função pré-programada) e para obter os valores RMS dos cinco sinais anteriores, ilustrados a 
seguir. 
 
Onda quadrada Onda quadrada alternada 
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Solução alternativa (continuação): 
 
Senóide com retificação de meia onda Senóide com retificação de onda completa 
 
Dente de serra 
 
 
II.3 – Potência ativa, reativa, aparente e complexa 
 
Considere o sistema da Figura II.3 que se encontra em regime permanente senoidal. 
 
+ 
)cos()( max φω += tVtv 
)cos()( max θφω −+= tIti 
- 
)(tv
 
)(ti
φ
V
 
I
 
 θ
 
Re
Im
φ
2
maxVV =
θφ −=
2
maxII
SISTEMA 
 
Figura II.3 – Sistema a dois fios em regime permanente senoidal. 
 
A potência instantânea fornecida para o sistema é dada por: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp coscosmaxmax (4) 
mas ( ) bababa sensencoscoscos −=+ , daí 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θφωθφωθφωθφωθφω sensencoscossensencoscoscos +++=−+−−+=−+ ttttt (5) 
Substituindo (5) em (4), 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )φωφωθφωθ
θφωθφωφω
++++=
=++++=
ttIVtIV
tttIVtp
sencossencoscos
sensencoscoscos
maxmax
2
maxmax
maxmax
 (6) 
Mas 
2
2cos1
cos2
a
a
+
= e aaa cossen22sen = , logo: 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
2
22
cos
22cos1
2
1
cos2
φωφωφω
φωφω
+
=++
++=+
tsen
tsent
tt
 (7) 
Aplicando (7) em (6), chega-se a: 
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( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen
2
22cos1cos
2
maxmaxmaxmax ++++= t
IV
t
IV
tp 
Definindo 
2
maxVV = e 
2
maxII = como os valores eficazes da tensão e da corrente, 
 VIIVIV ==
222
maxmaxmaxmax
 
chega-se à seguinte expressão: 
 
 
( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen22cos1cos ++++= tVItVItp (8) 
 
A forma de onda da potência instantânea dada por (8) apresenta uma parcela constante, igual a θcosVI , e 
uma parcela variável e alternada com relação ao tempo, igual a 
( ) ( )φωθφωθ 22sensen22coscos +++ tVItVI , cuja freqüência corresponde exatamente ao dobro da 
freqüência da tensão e da corrente. 
 
Quando a tensão está em fase com a corrente, os gráficos das funções tensão, corrente e potência 
instantâneas são de acordo com a Figura II.4 a seguir. Observar que a função potênciainstantânea é oscilante 
e apresenta sempre valores positivos. 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente em fase com a tensão
wt
v
(t)
,
 
i(t)
,
 
p(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura II.4 – Potência instantânea ( )tp – corrente em fase com a tensão. 
 
Quando a corrente está atrasada de 90°°°° em relação à tensão, os gráficos das funções tensão, corrente e 
potência instantâneas são de acordo com a Figura II.5. Observar que a função potência é oscilante e 
apresenta valor médio nulo. 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente atrasada de 90 graus
wt
v
(t)
,
 
i(t)
,
 
p(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura II.5 – Potência instantânea ( )tp – corrente atrasada de 90o em relação à tensão. 
 
Quando a corrente está adiantada de 90°°°° em relação à tensão, os gráficos das funções tensão, corrente e 
potência instantâneas são de acordo com a Figura II.6. Novamente, observar que a função potência é 
oscilante e apresenta valor médio nulo. 
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0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente adiantada de 90 graus
wt
v
(t)
,
 
i(t)
,
 
p(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura II.6 – Potência instantânea ( )tp – corrente adiantada de 90o em relação à tensão. 
 
Uma situação intermediária é aquela na qual a corrente está atrasada de um ângulo qualquer (por exemplo, 
30°, conforme Figura II.7). Neste caso a potência apresenta valores positivos e negativos, sendo a 
predominância dos positivos. 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente atrasada de 30 graus
wt
v
(t)
,
 
i(t)
,
 
p(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura II.7 – Potência instantânea ( )tp – corrente atrasada de 30o em relação à tensão. 
 
A partir da expressão (8) é fácil determinar o valor da potência ativa (eficaz ou útil, que produz trabalho) 
que é igual ao valor médio da potência instantânea fornecida ao sistema: 
 
( )[ ] ( )[ ]∫∫ ++++=∆
TT
dttVItVI
T
dttp
T
P
 
0 
 
0 
22sensen22cos1cos1)(1 φωθφωθ 
 θcos VIP = [W] (9) 
A potência reativa corresponde ao valor máximo da parcela em sen(2ωt+2φ) da potência instantânea: 
 θθ sensenI VIVQ =∆ [var] (10) 
para a qual adota-se a seguinte convenção6: 
INDUTOR: “consome” potência reativa 
CAPACITOR: “gera” potência reativa 
A potência aparente é obtida pela combinação das potências ativa e reativa P e Q: 
 
 
22 QPVIS +==
 [VA] (11) 
 
As expressões (9), (10) e (11) sugerem uma relação de triângulo retângulo (similar ao triângulo das 
impedâncias) na qual a potência aparente S é a hipotenusa, conforme ilustra a Figura II.8. 
O fator de potência é obtido pela relação entre as potências ativa e aparente: 
 θθ coscos ===
VI
VI
S
PFP 
 
6
 Observar que para qualquer elemento ou combinação de elementos, a parcela representada pela potência reativa 
apresenta valor médio nulo, ou seja, não existem geração nem consumo efetivo, na metade do ciclo o elemento absorve 
energia que será devolvida na metade seguinte do ciclo. A convenção é adequada porque na metade do ciclo em que o 
indutor está absorvendo energia o capacitor está devolvendo e vice-versa. 
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 S 
P 
jQ 
IV ∠−∠=θ
 
S 
P 
jQ 
IV ∠−∠=θ
 
Característica INDUTIVA Característica CAPACITIVA 
 
Figura II.8 – Triângulo das potências. 
 
Utilizando-se os fasores tensão e corrente ( )θφφ −== IIVV e , pode-se definir a potência complexa 
através do produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente: 
 
 jQPjVIVIVIIVIVS +=+==+−=⋅= θθθθφφ sencos* 
 
Notar que desta forma, o ângulo da potência só depende do ângulo entre a tensão e a corrente (θ), conforme 
ocorre nas expressões (9), (10) e (11). 
 
 
Exemplo II.5: Utilizando o sentido associado para as correntes e tensões, determinar a potência complexa e 
instantânea fornecida para cada um dos elementos do circuito. Verificar que existe conservação de potência. 
 10 Ω 
+ 
( )t1000cos100 20 mH 
100 µF 
 
 
Solução: Em regime permanente, tem-se o seguinte circuito equivalente, com as tensões e correntes de 
acordo com os sentidos associados (correntes entrando pela polaridade positiva dos componentes RLC e 
saindo da polaridade positiva da fonte): 
 
– + 
10 
I
+ 
0250=V
CV– + RV
LV
– 
+ 
j20 
–j10 
 
De acordo com o circuito, tem-se: 
 ( ) A4555355,35355,31010
250
102010
250
1
o
−=−=
+
=
−+
=






−+
= jjj
C
LjR
VI
ω
ω
 
 V45503553,353553,3545510 oo −=−=−×== jIRV R 
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Solução (continuação): 
 V135503553,353553,35455101 oo −=−−=−×−=−= jjI
C
jV C
ω
 
 V451003553,353553,3545520 oo =+=−×=−= jjILjV L ω 
A potência complexa fornecida para os componentes do circuito é dada por: 
 
( ) W250025045545504554550 ** ==×−=−−== oooooIVS RR 
 
( ) var250VA250902504551355045513550 ** −=−=−=×−=−−== jIVS CC ooooo 
 
( ) var500VA500905004554510045545100 ** ===×=−== jIVS LL ooooo 
A potência complexa fornecida pela fonte de tensão é dada por: 
 
( ) VA2502504522504552504550250 ** jIVS +==×=−== ooooo 
Observa-se que existe conservação de potência complexa, pois: 
 VA250250500250250 jjjSSSS LCR +=+−=++= 
A partir dos fasores determinados anteriormente, é possível determinar os valores instantâneos de regime 
permanente da corrente e das tensões: 
 ( ) ( ) A451000cos25 o−= tti 
 ( ) ( )V451000cos250 o−= ttvR 
 ( ) ( )V1351000cos250 o−= ttvC 
 ( ) ( )V451000cos2100 o+= ttvL 
Utilizando-se estas expressões, os valores de regime permanente das potências instantâneas fornecidas para 
os componentes do circuito são dados por: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ooo 451000cos500451000cos25451000cos250 2 −=−×−== ttttitvtp RR 
 
( ) ( )[ ]{ }o4510002cos1
2
1500 −+= ttpR ( ) ( )[ ]W902000cos1250 o−+= ttpR 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )oo 451000cos251351000cos250 −×−== tttitvtp CC 
 ( ) ( ) ( )[ ] ( )ooo 2702000sen25013510002sen90sen
2
125250 −−=−−×= tttpC ( ) ( ) W902000sen250 o+−= ttpC 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )oo 451000cos25451000cos2100 −×+== tttitvtp LL 
 
( ) ( ) ( )[ ]oo 4510002sen90sen
2
1252100 +×= ttpL ( ) ( )W902000sen500 o+= ttpL 
O valor de regime permanente da potência instantânea fornecida pela fonte de tensão é dado por: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )o451000cos251000cos100 −×== tttitvtp 
 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )








++=++×= tttttp 2000sen
2
22000cos1
2
222502000sen45sen2000cos145cos
2
125100 oo 
 ( ) ( ) ( )[ ]W2000sen2000cos1250 tttp ++= 
Observa-se que existe conservação de potência instantânea, pois: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )ooo 902000sen500902000sen250902000cos1250 +++−−+=++= ttttptptptp LCR 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )44 844 7644 844 76
oo
tt
LCR tttptptptp
2000cos2000sen
902000sen250902000cos1250 ++










−+=++= 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] W2000sen2000cos1250 tttptptptp LCR ++=++= 
Por intermédio de simulação no MATLAB/SIMULINK, utilizando-se os arquivos II_6s.mdl e 
II_6pw.mdl é possível verificar os resultados obtidos anteriormente e ainda determinar a energia 
fornecida pela fonte e para cada um dos componentes ao longo do tempo. 
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Solução (continuação): 
Potência fornecidaEnergia fornecida 
 
Valores para resistência, indutância, capacitância e fonte 
 
Na figura anterior, observa-se que os valores de regime da potência instantânea fornecida para a capacitância 
estão defasados de 180o da fornecida para a indutância, assumindo valores positivos e negativos, com valor 
médio nulo (potência média, ativa, útil ou eficaz nula). Para a resistência os valores de potência fornecida 
são sempre positivos. 
Com relação à energia, observa-se que tanto a capacitância quanto a indutância recebem uma quantidade de 
energia inicial da fonte e apresentam valores oscilatórios entre zero e a energia máxima fornecida, indicando 
que a energia não se dissipa em tais componentes e que a energia que é trocada com a rede foi fornecida pela 
fonte, pois estes estavam inicialmente descarregados. 
 
 
II.4 – Máxima transferência de potência 
 
Considerando que o componente da Figura II.9 pode ser representado pela impedância jXRZ += , deseja-
se escolher algum parâmetro (R, X, ω , etc.) de modo que a potência ativa fornecida para esta impedância 
seja máxima. 
 
– 
+ 
V 
I
SISTEMA jXRZ +=
 
Figura II.9 – Máxima transferência de potência para uma impedância. 
 
O método mais comum consiste em obter a expressão da potência em função do parâmetro escolhido (γ) e 
resolver a equação: 
 0=
∂
∂
γ
P
 
 
Exemplo II.6: Escolha os valores de 2R e 2X de modo que seja fornecida a máxima potência para a carga 
222 jXRZ += . 
 
+ 
V
I
222 jXRZ +=
111 jXRZ +=
 
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Solução: Fazendo 2RV e 2RI serem, respectivamente, o fasor tensão e o fasor corrente na resistência 2R , 
pode-se escrever a expressão da potência complexa dissipada que coincide com a potência ativa dissipada, 
por se tratar de uma resistência: 
2
2
2
2
2
*
22
*
2
2
2
*
222 P
R
V
R
VV
R
VVIVS
RRRR
RRRR ===







== 
22
2
22
*
22
*
222
*
222 PRIRIIIRIIVS RRRRRRRR ===== 
Para o circuito em questão, a corrente é comum, logo 
( )21212 XXjRR
V
Z
VII
eq
R
+++
=== e 
( ) ( ) ( ) 2221221
2
2
2
2121
2
2
2 RXXRR
V
R
XXjRR
VRIP
+++
=
+++
== 
( ) ( )
2
2
21
2
21
2
2 VXXRR
RP
+++
= 
Por inspeção, para maximizar 2P , faz-se 12 XX −= , daí: ( )
2
2
21
2
2 VRR
RP
+
= 
Derivando com relação à 2R : 
2v
udvvdu
v
ud −=





 
( ) } } ( )
( ) ( )
2
4
21
2
221
2
221
2
12
4
21
212
2
21
2
2 22221
2
V
RR
RRRRRRRV
RR
RRRRR
R
P
v
dvuduv
+
−−++
=
+
+−+
=
∂
∂
43421
4847648476
 
( )
2
4
21
2
2
2
1
2
2 V
RR
RR
R
P
+
−
=
∂
∂
 
O valor de máximo de 2P ocorre quando 0
2
2
=
∂
∂
R
P
, ou seja: 
( ) 

−≠
=
⇒=
+
−
21
2
2
2
1
4
21
2
2
2
1 0
RR
RR
RR
RR
 ⇒ 12 RR = 
 
Resumindo: Para MTP, a impedância da carga deve ser igual ao complexo conjugado da impedância da 
fonte. 
 
Solução alternativa: Por intermédio de simulação no MATLAB/SIMULINK, utilizando-se o arquivo 
II_8.mdl, é possível verificar o resultado obtido anteriormente através de uma série de experimentos nos 
quais os parâmetros que definem a carga de um circuito são alterados, ou seja, R2 e X2 (por intermédio da 
modificação da respectiva capacitância). Assumindo v(t)=100sen(400t), R1=R2=100 Ω e X1= –X2=4 Ω, 
verifica-se que o valor médio da potência é sempre inferior ao obtido na condição de MTP, cuja potência 
instantânea é dada pelo gráfico a seguir, que corresponde a um valor médio (eficaz) de 25 W. 
 
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Exemplo II.7: Refazer o exemplo supondo que apenas 2R pode ser ajustado. 
 
Solução: Tem-se que: 
( ) ( )
2
2
21
2
21
2
2 V
XXRR
RP
+++
= 
Derivando a expressão anterior, com relação à 2R , tem-se: 2v
udvvdu
v
ud −=





 
( ) ( )[ ] } } ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
2
22
21
2
21
212
2
21
2
212
22
21
2
21
212
2
21
2
21
2
2 221
2
V
XXRR
RRRXXRRV
XXRR
RRRXXRR
R
P
v
dvuduv
+++
+−+++
=
+++
+−×+++
=
∂
∂
4444 34444 21
484764444 84444 76
 0
2
2
=
∂
∂
R
P
, se ( ) ( ) ( ) 02 212221221 =+−+++ RRRXXRR 
 ( ) 0222 2221221222121 =−−++++ RRRXXRRRR 
 ( ) 02212221 =++− XXRR ⇒ ( )2212122 XXRR ++= 
 
Assim, caso apenas 2R possa ser ajustado, a máxima transferência de potência vai ocorrer quando 
 ( )221212 XXRR ++= 
 
 
Solução alternativa: A verificação do resultado anterior pode ser realizada por intermédio de simulação 
no MATLAB/SIMULINK, utilizando-se o arquivo II_9.mdl. Neste caso é possível observar que quando 
algum parâmetro do circuito é alterado, o maior valor de potência transferida para a carga ocorre quando o 
valor de R2 é ajustado conforme mostrado anteriormente. Para v(t)=100sen(400t), R1=100 Ω, X1=40 Ω e 
X2=50 Ω, ο valor de R2 que implica na MTP para a carga é dado por 54,134)( 221212 =++= XXRR Ω, 
sendo a potência instantânea dada pelo gráfico a seguir. 
 
 
 
II.5 – Potência desenvolvida e circuitos equivalentes 
 
Os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton são muito úteis para o cálculo da potência desenvolvida em 
certos elementos de um circuito, pois permitem determinar com facilidade a corrente e a tensão em tais 
elementos. Outra aplicação bastante usual é a determinação das condições de máxima transferência de 
potência, pela determinação da impedância equivalente de um circuito a partir de dois dos seus terminais. 
 
Como já mencionado no Capítulo I, os circuitos equivalentes representam com fidelidade o funcionamento 
do circuito a partir de seus terminais. Deste modo, é possível determinar a corrente, a tensão e a potência 
desenvolvida na parte do circuito que não foi incluída no equivalente, mas nada se pode afirmar a respeito do 
que ocorre nos componentes do circuito que foram substituídos pelo equivalente. A Figura II.10 mostra dois 
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equivalente que representam um mesmo circuito conectados a uma impedância de carga Z . Como os 
equivalentes representam o mesmo circuito, as relações entre seus componentes, indicadas na Figura II.10, 
devem ser satisfeitas. 
 
Em ambos os casos ilustrados, a potência desenvolvida na carga é dada por: 
 
2*
*
2
*
*
IZIIZ
Z
V
Z
VVIVS
==
=







=⋅=
 
 
THZ
THV
+ 
NTH
NNTH
ZZ
IZV
=
=
NZNI
THN
TH
TH
N
ZZ
Z
VI
=
=Equivalente 
Thévenin 
Equivalente 
Norton 
a 
b 
Z V
+ 
– 
I
a 
b 
Z V
+ 
– 
I1V+ – 
1I
Figura II.10 – Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton. 
 
Quando utilizado o equivalente de Thévenin, têm-se as seguintes expressões para a tensão, corrente e 
potência complexa desenvolvidas na carga: 
 TH
TH
V
ZZ
ZV
+
= (12.1) 
 
TH
TH
ZZ
V
Z
VI
+
== (12.2) 
 ( )
2
*
**
*
TH
TH
TH
TH
TH
THTH
TH
TH
TH ZZ
VZ
ZZ
VV
ZZ
Z
ZZ
VV
ZZ
ZIVS
+
=
++
=







++
=⋅= (12.3) 
Quando utilizado o equivalente de Norton, têm-se as seguintes expressões para a corrente, tensão, e potência 
complexa desenvolvidas na carga: 
 N
N
N
N
N
N I
ZZ
ZZI
ZZZZIZV
+
⋅
=
+
=⋅= (13.1) 
 N
N
N I
ZZ
ZI
+
= (13.2) 
 ( )
2
*
*
**
*
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N I
ZZ
ZZI
ZZ
ZI
ZZ
ZZI
ZZ
ZI
ZZ
ZZIVS
+
=
++
⋅
=







++
⋅
== (13.3) 
Considerando que os circuitos equivalentes representam a mesma rede, são válidas as expressões: 
TH
TH
N
Z
VI = (14.1) 
THN ZZ = (14.2) 
Como esperado, substituindo-se (14) em (13), chega-se às expressões (12): 
Circuitos Elétricos B 
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 TH
THTH
TH
TH
TH
N
N
N V
ZZ
Z
Z
V
ZZ
ZZI
ZZ
ZZV
+
=
+
⋅
=
+
⋅
= 
 
TH
TH
TH
TH
TH
TH
N
N
N
ZZ
V
Z
V
ZZ
ZI
ZZ
ZI
+
=
+
=
+
= 
 
222
TH
TH
TH
TH
TH
TH
N
N
N
ZZ
VZ
Z
V
ZZ
ZZI
ZZ
ZZS
+
=
+
=
+
= 
Assim, observa-se que as expressões da corrente, tensão e potência desenvolvidas no componente externo ao 
circuito equivalente permanecem inalteradas e não dependem do tipo de equivalente adotado. Surge então a 
questão a respeito dos componentes internos ao circuito equivalente. A corrente, a tensão e a potência 
desenvolvidas nos componentes do circuito equivalente seriam as mesmas? A resposta a esta questão exige a 
determinação destas grandezas em ambos os circuitos. 
 
Quando utilizado o equivalente de Thévenin, têm-se as seguintes expressões para a tensão na impedância de 
Thévenin ( )1V e para as potências complexas desenvolvidas na impedância de Thévenin ( )1S e na fonte de 
tensão ( )THS – para a corrente no circuito série vale a expressão (12.2): 
 
}








+
=
+
=
+
=
=
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH V
ZZ
Z
Z
Z
Z
ZV
ZZ
ZV
ZZ
ZV
1
1 (15.1) 
 
( )
} 2
1
2
2
*
**
*
11
TH
THTH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
ZZ
VZ
Z
Z
Z
Z
ZZ
VZ
ZZ
VZ
ZZ
VV
ZZ
Z
ZZ
VV
ZZ
ZIVS
+







=
+
=
=
+
=
++
=







++
=⋅=
= 
 
2
1
TH
THTH
ZZ
VZ
Z
ZS
+







= (15.2) 
 
( ) ( )
( )( )
( ) 22
1
*
2
*
2
*
*
1
TH
THTH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
THTHTH
ZZ
VZ
Z
Z
ZZ
VZZ
ZZ
ZZ
ZZ
V
ZZ
V
ZZ
VVIVS
+







+=
+
+=
=
+
+
+
=
+
=







+
=⋅=
= 48476
 
 
2
1
TH
THTH
TH
ZZ
VZ
Z
ZS
+







+= (15.3) 
Observar que: 
 
222
1 1
TH
THTH
TH
THTH
TH
TH
TH
ZZ
VZ
Z
Z
ZZ
VZ
Z
Z
ZZ
VZSSS
+







+=
+







+
+
=+= 
Quando utilizado o equivalente de Norton, têm-se as seguintes expressões para a corrente na impedância de 
Norton ( )1I e para as potências complexas desenvolvidas na impedância de Norton ( )1S e na fonte de 
corrente ( )NS – para a tensão no circuito paralelo vale a expressão (13.1): 
 N
N
I
ZZ
ZI
+
=1 (16.1) 
 ( )
2
*
*
**
*
11 N
N
NN
N
N
N
N
N
N
N
N
N I
ZZ
ZZI
ZZ
ZI
ZZ
ZZI
ZZ
ZI
ZZ
ZZIVS
+
=
++
⋅
=







++
⋅
=⋅= (16.2) 
Circuitos Elétricos B 
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2**
N
N
N
NN
N
N
NN I
ZZ
ZZII
ZZ
ZZIVS
+
⋅
=
+
⋅
=⋅= (16.3) 
Substituindo-se (14) em (16), chega-se às expressões: 
 







+
=
+
=
+
=
TH
TH
THTH
TH
TH
N
N ZZ
V
Z
Z
Z
V
ZZ
ZI
ZZ
ZI 1 (17.1) 
 2*2
*
*2
*
*
22222
1
TH
TH
THTH
TH
THTH
TH
THTH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
THN
N
N
ZZ
V
Z
ZZ
ZZ
V
Z
ZZ
ZZ
V
ZZ
ZZZ
ZZ
V
Z
ZZ
ZZ
V
Z
ZZ
Z
V
ZZ
ZZI
ZZ
ZZS
+







=
+
⋅
=
+
⋅
⋅
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
 
 
2*
1
TH
TH
TH ZZ
VZ
Z
ZS
+







= (17.2) 
 
( ) ( )( ) ( )
2
*
*
1
*
*
2
*
*
2
*
22
2
111
TH
TH
TH
THTH
TH
TH
THTH
TH
TH
THTHTH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
TH
N
N
N
N
ZZ
VZZZ
ZZZ
ZZVZ
ZZZ
Z
V
ZZ
Z
ZZ
V
ZZ
ZZ
Z
V
ZZ
ZZI
ZZ
ZZS
+
+=
+
+
+
=










+
=










⋅
+
⋅
=
+
⋅
=
+
⋅
=
= 48476
 
 
2*
1
TH
TH
TH
N
ZZ
VZ
Z
ZS
+







+= (17.3) 
Observar que: 
 
2*2*2
1 1
TH
TH
THTH
TH
THTH
TH
N
ZZ
VZ
Z
Z
ZZ
VZ
Z
Z
ZZ
VZSSS
+







+=
+







+
+
=+= 
As expressões da corrente, da tensão e da potência desenvolvidas nos componentes do circuito equivalente, 
em termos dos parâmetros do equivalente de Thévenin ( )THTH VZ e , estão resumidas na Tabela II.1. 
 
Tabela II.1 – Corrente, tensão e potência nos componentes dos circuitos equivalentes. 
 
Circuito Equivalente Grandeza Thévenin Norton 
Tensão em NTH ZZ = 






+
= TH
TH
TH V
ZZ
Z
Z
ZV 1 TH
TH
V
ZZ
ZV
+
= 
Corrente em NTH ZZ = 
TH
TH
ZZ
VI
+
= 







+
=
TH
TH
TH ZZ
V
Z
ZI 1 
Potência complexa em NTH ZZ = 
2
1
TH
THTH
ZZ
VZ
Z
ZS
+







= 
2*
1
TH
TH
TH ZZ
VZ
Z
ZS
+







= 
Potência complexa na fonte FONTES 
2
1
TH
THTH
TH
ZZ
VZ
Z
ZS
+







+= 
2*
1
TH
TH
TH
N
ZZ
VZ
Z
ZS
+







+= 
 
Quando a impedância da carga ( )Z é diferente da impedância do equivalente ( THZZ ≠ , para o equivalente 
de Thévenin; NZZ ≠ , para o equivalente de Norton) todas as grandezas mostradas na Tabela II.1 
apresentam valores diferentes. Em outras palavras, tanto a tensão sobre a impedância do equivalente quanto a 
corrente apresentam valores diversos. Desta forma, a potência desenvolvida nas fontes internas aos 
Circuitos Elétricos B 
Potência e energia em regime permanente senoidal – SHaffner/LAPereira Versão 11/9/2007 Página 18 de 20 
 
equivalentes não apresenta o mesmo valor embora todas as grandezas externas sejam rigorosamente as 
mesmas. Isto reforça o que já foi afirmado: o circuito equivalente representa o comportamento da rede 
apenas e tão somente a partir de seus terminais. 
 
Quando a impedância da carga ( )Z é igual à impedância do equivalente ( THZZ = , para o equivalente de 
Thévenin; NZZ = , para o equivalente de Norton) todas as grandezas mostradas na Tabela II.1 apresentam o 
mesmo valor, constituindo uma caso particular no qual a potência desenvolvida nas impedâncias do 
equivalente ( THZ , para o equivalente de Thévenin; NZ , para o equivalente de Norton) são idênticas, do 
mesmo modo que as potências desenvolvidas na fonte de tensão do equivalente de Thévenin e na fonte de 
corrente do equivalente de Norton, conforme mostra a Tabela II.2. 
 
Tabela II.2 – Corrente, tensão e potência nos componentes doscircuitos equivalentes para NTH ZZZ == . 
 
Circuito Equivalente com NTH ZZZ == Grandeza 
Thévenin Norton 
Tensão em NTH ZZ = THVV 2
1
1 = THVV
2
1
=
 
Corrente em NTH ZZ = 
TH
TH
Z
VI
2
1
= 
TH
TH
Z
VI
2
1
1 = 
Potência complexa em NTH ZZ = 
*
2
1
4
1
TH
TH
Z
V
S = 
*
2
1
4
1
TH
TH
Z
V
S = 
Potência complexa na fonte FONTES 
*
2
2
1
TH
TH
TH
Z
V
S =
 
*
2
2
1
TH
TH
N
Z
V
S =
 
 
 
Exemplo II.8: Sabendo que o resistor variável R foi ajustado para absorver o máximo de potência do 
circuito, determinar o valor de RMTP e a potência nele dissipada. 
 j2 Ω 
A04 o R 6 Ω 
3 Ω 
j1 Ω 
 
 
Solução: Neste caso é possível utilizar o circuito equivalente de Thévenin para determinar o valor da 
resistência e a potência nela dissipada. Da análise do circuito, tem-se: 
 
+ 
 
 
 
 
 
– 
A04 o R 6 Ω 
3 Ω 
j1 Ω THV
I
j2 Ω 
 
Por inspeção, tem-se: 
 IV TH 6= 
Circuitos Elétricos B 
Potência e energia em regime permanente senoidal – SHaffner/LAPereira Versão 11/9/2007 Página 19 de 20 
 
Solução (continuação): Do divisor de corrente, tem-se: 
 4
136
13
j
jI
++
+
= 
 V09,123812,87561,11951,84
136
136 o=+=
++
+
= jj
jV TH 
 
( ) ( ) Ω=+=+
++
+
=++= o97,491853,34390,20488,22
136
61326//13 jjj
jjjZ TH 
Substituindo o circuito pelo seu equivalente, tem-se: 
 
R THV
THZ
+ 
 
A potência dissipada na resistência é dada por: 
 
( ) ( ) 222
222
2



 ++
=
++
=
+
==
THTH
TH
THTH
TH
TH
TH
RR
XRR
V
RjXRR
VR
RZ
VRIRP 
( ) ( ) 222
2
22
2
2 THTHTH
TH
THTH
TH
R XRRRR
VR
XRR
VR
P
+++
=
++
= 
O valor de R que maximiza PR pode ser obtido derivando-se a função PR em relação à R e igualando esta 
derivada parcial à zero: 
 
( ) ( )
[ ] 02
222
2222
22222
=
+++
+−+++
=
∂
∂
THTHTH
THTHTHTHTHTHR
XRRRR
RRVRVXRRRR
R
P
 
Logo, 
 
( ) ( )
22
222
222
2222
22222
0
0222
0222
THTH
THTH
THTH
THTHTHTH
THTHTHTHTHTH
XRR
XRR
XRR
RRRXRRRR
RRVRVXRRRR
+=
+=
=+−
=−−+++
=+−+++
 
Observar que o resultado poderia ter sido obtido a partir do Exemplo II.3, fazendo X2=0. Substituindo os 
valores numéricos, tem-se: 
 Ω=+= 1853,34390,20488,2 22MTPR 
 
sendo a potência dada por: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 7102,64390,21853,30488,2
3812,81853,3
22
2
22
2
=
++
×
=
++
=
THMTPTH
TH
R XRR
VR
P
MTP
W 
De acordo com a figura a seguir, observa-se que o valor de máximo de PR ocorre em 3,1853 Ω, sendo igual a 
6,7102 W, conforme determinado. 
Circuitos Elétricos B 
Potência e energia em regime permanente senoidal – SHaffner/LAPereira Versão 11/9/2007 Página 20 de 20 
 
Solução (continuação): 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
 
Comandos Matlab para obtenção da curva 
e do valor máximo: 
 
R = linspace(0,10,1000); 
Vth = 8.3812; 
Rth = 2.0488; 
Xth = 2.4390; 
Pr=R*Vth^2./((Rth+R).^2+Xth^2); 
plot(R,Pr,'-r'); 
[Prmax,k]=max(Pr); 
R(k) 
Prmax 
 
 
 
Exercício II.4: Para o circuito do exercício anterior, determinar a potência complexa fornecida pela fonte de 
corrente do circuito original e a potência fornecida pela fonte de tensão do circuito equivalente de Thévenin, 
para os seguintes cargas, utilizadas em substituição à R: 
a) MTPRZ = (determinado no exemplo anterior) 
b) 0=Z 
c) *THZZ = 
Verificar as diferenças/semelhanças entre os resultados obtidos para as duas fontes. 
 
 
Na Tabela II.3 encontram-se sugestões de exercícios, referentes aos assuntos tratados neste capítulo. 
 
Tabela II.3 – Sugestões de exercícios referentes ao Capítulo II. 
Livro Capítulo Página: Exercícios 
Alexander&Sadiku 
(2003) 11 
420: 11.1; 11.2; 11.5 421: 11.10; 11.12; 11.14 
422: 11.17; 11.18; 11.19; 11.22; 11.23 423: 11.33; 11.34; 11.37 
424: 11.40; 11.41; 11.45; 11.47 425: 11.53; 11.55; 11.57 
Nilsson&Riedel 
(1999) 10 
251: 10.1; 10.3; 10.4 252: 10.5; 10.6; 10.9; 10.10; 10.12 
253: 10.15; 10.16; 10.17; 10.18; 10.21; 10.22 
254: 10.27; 10.29 255: 10.30; 10.34; 10.35; 10.36; 10.37 
256: 10.44 
Irwin (2000) 11 
463: 11.1; 11.3 465: 11.11; 11.12 466: 11.16; 11.17 
468: 11.23; 11.24 469: 11.29; 11.29 470: 11.34; 11.35 
472: 11.46; 11.47; 11.49; 11.50; 11.53; 11.54 473: 11.58; 11.61; 11.62