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Circuitos Elétricos B 
Análise de Circuitos pela Transformada de Laplace – Sérgio Haffner Versão: 11/9/2007 Página 1 de 2 
 
Transformadas de Laplace de algumas funções 
Nome 
Domínio do tempo: 
( ) 0 , ≥ttf 
Domínio da freqüência 
complexa: ( )sF 
Impulso unitário ( )tδ 1 
Degrau unitário 1 ou ( )tu 
s
1
 
Rampa t 2
1
s
 
Parábola 
2
2t
 3
1
s
 
Polinômio 
!n
t n
 1
1
+n
s
 
Exponencial ate− 
as +
1
 
Co-seno tωcos 22 ω+s
s
 
Seno tωsen 22 ω
ω
+s
 
Rampa amortecida atte− ( )2
1
as +
 
Polinômio amortecido at
n
e
n
t
−
!
 ( ) 1
1
++ nas
 
Co-seno amortecido te at ωcos− ( ) 22 ω++
+
as
as
 
Seno amortecido te at ωsen− ( ) 22 ω
ω
++ as
 
 
 
Propriedades da transformada de Laplace 
Propriedade ou 
operação 
Domínio do tempo: 
( ) 0 , ≥ttf 
Domínio da freqüência complexa: 
( )sF 
Multiplicação 
por constante ( )tAf ( )sAF 
Adição/subtração ( ) ( )tftf 21 + ( ) ( )sFsF 21 + 
Linearidade ( ) ( )tfAtfA 2211 + ( ) ( )sFAsFA 2211 + 
Primeira 
derivada no 
tempo 
( )
dt
tdf
 
( ) ( )0fssF − 
Derivada de 
ordem n no 
tempo 
( )
n
n
dt
tfd
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
2
21
00
00
−
−
−
−
−−
−−
−−−
n
n
n
n
nnn
dt
fd
dt
fd
s
dt
df
sfssFs
K
K
 
Integração no 
tempo ( )∫
t
dxxf 
0 
 
( )
s
sF
 
Deslocamento no 
tempo ( ) ( ) 0 , >−− aatuatf ( )sFe as− 
Mudança de 
escala no tempo ( ) 0 , >aatf 




a
sF
a
1
 
Convolução no 
tempo ( ) ( )tftf 21 * ( ) ( )sFsF 21 
Primeira 
derivada em 
freqüência 
( )ttf ( )
ds
sdF
− 
Derivada de 
ordem n em 
freqüência 
( )tft n ( ) ( )
n
n
n
ds
sFd1− 
Deslocamento 
em freqüência ( )tfe at− ( )asF + 
 
TVF e TVI ( ) ( ) ( )ssFtff
st 0
limlim
→∞→
==∞ ( ) ( )ssFf
s ∞→
+
= lim0 
Circuitos Elétricos B 
Análise de Circuitos pela Transformada de Laplace – Sérgio Haffner Versão: 11/9/2007 Página 2 de 2 
 
 
Expansão em frações parciais de funções racionais próprias 
 
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
876
K
444444 8444444 76
K
L
 termo1
 termos
1
1
2
1
12
1
11
1 m
m
r
r
m
r ps
K
r
ps
K
ps
K
ps
K
psps
sN
sD
sN
sF
−
++
−
++
−
+
−
=
−−
== 
 
 
Raízes reais e simples 
 
( ) ( )( )




−=
→ sD
sNpsK ipsi i
lim 
 
( )tueK
ps
K tp
i
i
i i
=





−
−1L 
 
 
Raízes reais repetidas de multiplicidade r 
 
( ) ( )( )




−=
→ sD
sNpsK ripsir i
lim 
 
( ) ( )
( )
( )




−
−
=
−
−
→ sD
sNps
ds
d
jrK
r
ijr
jr
psij i
lim
 
1
! para 1,,2,1 L−−= rrj 
 
( ) ( ) ( )tuen
tK
ps
K tpn
inn
i
in i
! 1L
1
1
−
=








−
−
−
 
 
 
Raízes complexas conjugadas distintas: ωσ jpi += e ωσ jpi −=* 
 
[ ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )




+−=





−−=+
→→→ sD
sN
s
sD
sNpspsKsK
iii ps
iipsiips
22*
21 limlimlim ωσ 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )tut
KK
tKe
s
KK
s
sK
s
KsK ii
i
t
ii
iii 




 +
+=












+−
+
+
+−
−
=








+−
+
−− ω
ω
σ
ω
ωσ
ω
ω
σ
ωσ
σ
ωσ
σ sencosLL 21122
21
22
11
22
211
 
 
 
Raízes complexas conjugadas repetidas 
 
O procedimento para determinar os termos e coeficientes relativos às raízes complexas conjugadas repetidas é 
uma extensão do procedimento apresentado para raízes reais repetidas utilizando a técnica descrita para raízes 
complexas.