Laplace5[04]

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 A Transformada de Laplace 
O método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem equações algébricas.
Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por
 
Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s.
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Transformamos através do operador L funções f(t), na variável t, em funções F(s), na variável s .
Sabe-se que uma integral definida em um intervalo ilimitado é chamada de integral imprópria é definida como um limite de integrais definidas em intervalos finitos; Assim
Onde A é um real positivo. Se a integral de a até A existe para todo A > a e se o limite quando A   existir, então dizemos que a integral imprópria converge para aquele valor limite. Caso contrário, diverge.
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Exemplo 1: Seja f(t) = 1 / t , t  1, então 
Converge ?
Logo a integral imprópria diverge.
Exemplo 2: Seja f(t) = 1 / t 2 , t  2, então a integral 
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Temos que :
Logo a integral dada converge para o valor ½ .
Teorema: Se f é seccionalmente contínua em t  a, se | f(t) |  g(t) quando t  M para alguma constante positiva M e se 
também converge. Por outro lado, se f(t)  g(t)  0 para t  M e se 
também diverge.
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Teorema : (Existência da transformada de Laplace) Suponha que 
1- f seja seccionalmente contínua no intervalo 0  t  A para qualquer A positivo;
2- | f(t) |  Keat quando t  M, onde K, a e M são constantes reais com K e M necessariamente positivas. Então, a transformada de Laplace L{f(t)} = F(s), definida pela equação 
L{f(t)} = F(s) = 
Existe para s > a.
Exemplo 3: Seja f(t) = 1, t  0. Então
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Exemplo 4: Seja f(t) = sen(at), t  0. Então
Temos integrando por partes
Finalmente, F(s) = a / (s 2 + a 2), s > 0
Exemplo 5: Seja f(t) = eat, t  0, então
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Existem 3 propriedades extremamente importantes nas transformadas , como:
O sistema é linear, isto é, L(a f(t) + b g(t)) = a Lf(t) + b Lg(t) ;
O sistema destrói derivadas, isto é, se f’(t) entra na caixa, ela sai como sF(s) – f(0);
iii) O sistema é inversível, isto é, existe uma outra caixa, denominada L-1, que, se atravessada pela função de saída, F(s) fornece f(t) de volta, assim, L-1(F(t)) = f(t).
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L
F(s)
aF(s) + bF(s)
sF(s) – f(0)
s 2F(s)-sf(0)-f’(0)
f(t)
af(t) + bf(t)
f’(t)
f”(t)
Transformada de Laplace
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Teorema: Suponha que f seja contínua e que f’ seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0  t  A. 
Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que | f(t)|  ke at para t  M. Então L{f’(t)} existe para s > a e, além disso, L{f’(t)} = sL{f(t)} = sL{f(t)} – f(0).
Corolário: Suponha que as funções f, f’, f”, ..., f(n-1) sejam contínuas e que f(n) seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0  t  A. Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que | f(t)|  ke at , | f’(t)|  ke at ...| f(n-1)(t)|  ke at para t  M. Então L{f(n)(t)} existe para s > a e é dado por
L{f(n)(t)} = snL{f(t)} – sn-1f(0) - ... - sf(n-2)(0) – f(n-1)(0). 
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Exemplo 6: Determine F(s) se f(x) = 3 + 2x 2.
Por definição e tabela de transformada, temos:
F(s) = L(3 + 2x 2) = 3L(1) + 2L(x 2) = 3 (1 / s) + 2 (2 / s3) =
 = 3 /s + 4 / s 3.
Exemplo 7: Resolva a equação diferencial y” – y’ – 2y =0 com y(0) = 1, y’(0) = 0.
Facilmente pode-se encontrar a solução y = 2/3e-t +1/3e2t usando equação característica.
Usando transformada de Laplace, temos:
L{y”} – L{y’} –2L{y} = 0,
 s2L{y} – sy(0) – y’(0) – [sL{y} – y(0)] – 2L(y) = 0
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ou ( s2 – s – 2)Y(s) + (1-s)y(0) – y’(0) = 0
Y(s) = (s –1) / (s2 – s –2) = (s –1) / [(s – 2) (s +1)]
que acaba chegando à mesma solução.
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Exemplo 8: Usando a trsansformada de Laplace, resolva a equação y” – y’- 6 = 0, y(0) = 1, y’(0) = -1.
Solução: L{y”} – L{y’} – 6L{y} = 0
s2L{y} – sy(0) – y’(0) – [sL{y} – y(0)] – 6L{y} = 0.
Como L(y} = Y(s), temos:
s2Y(s) – sy(0) – y’(0) – sY(s) + y(0) – 6Y(s) = 0
Y(s)(s2 – s – 6) + 1 – s + 1 = 0
Y(s) = (s –2) / (s2 – s – 6) = (s –2) / (s – 3)(s –+2).
Separando em frações, temos: Y(s) = (1/5)/(s-3) + (4/5)/(s+2).
Consultando a tabela de Laplace, temos
Y(s) = (1/5)e3t + (4/5)e-2t = (1/5)(e3t + 4e -2t )
 
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Exemplo 9: Resolva por Laplace a equação: y’ + y = senx, y(0) = 1.
Solução: sY(s) – y(0) + Y(s) = 1 / (s2 +1)
sY(s) – 1 + Y(s) = 1 / (s2 +1), Y(s)(s+1) = 1 + 1 / (s2 +1)
Y(s) = 1/(s+1) + 1/ (s+1)(s2+1).
Separando em frações, temos: 
1/(s+1)(s2+1) = A/(s+1) + (Bs+C) / (s2+1) 
Donde A = ½, B = - ½ e C = ½. Então
Y(s) = 1/(s+1) + (1/2)/(s+1) – (½)(s/(s2+1)) + ½ (1/(s2+1)).
Logo: y = (3/2)e –x –(1/2)cos(x) +(1/2)sen(x) = ½ ( 3e –x – cos(x) + sen(x))
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Função Degrau : A função Degrau unitário, denotado por c, é definida por
 
A função de Laplace de c é determinada por 
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y
t
1
c
y = 1 - c 
t
y
c
1
y = 
c (t)
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Teorema: Se F(s) = L{f(t)} existe para s > a  0 e se c é uma constante positiva, então
L{µc(t)f(t-c)} = e – cs L{f(t)} = e – cs F(s), s > a.
Reciprocamente, se f(t) = L –1{F(s)}, então 
µc(t)f(t-c) = L –1{e – cs F(s)}.
Teorema: Se F(s) = L{f(t)} existe para s > a  0 e se c é uma constante positiva, então L{ectf(t)} = F(s-c), s > a + c
Reciprocamente, se f(t) = L –1 {f(t)}, então ect = L –1 {f(s-c)}.
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Exemplo 10: Usando a função
Reescreva a função
 
Assim podemos escrever f(t) = a(t)sen(t-a)
ou 
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Teorema: Se f é de ordem exponencial e é de período p, então
Exemplo 11: Ache a transformada de Laplace da função cujo gráfico é
1
1
2
3
4
t
f(t)
Neste caso, f é periódica com período 2, donde
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Exemplo 12: Encontre a transformada de Laplace da função
 f(t) = t 0  t < 1, f(t+1) = f(t).
Integrando por partes, temos
[1 –(1+s)e –s] / [s2 (1 – e-s)] 
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Definição de convolução: Sejam f(x) e g(x)  E . A convolução de f(x) e g(x) é dada por
Exemplo: Se f(x) = e 3x e g(x) = e 2x, então f(t) = e 3t e g(t) = e 2(x - t) e
 
Teorema: Se L{f(x)} = F(s) e L{g(x)} = G(s), então 
L{f(x).g(x)} = L{f(x)}. L{g(x)} = F(s).G(s) podem ser escrita na forma L –1{F(s).G(s)} = f(x).g(x)