Valor Din Temp

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Disciplina: Engenharia Econômica e Finanças
Tema: O valor do dinheiro no tempo 
Prof. Dr. Eulálio G. Campelo F.Prof. Dr. Eulálio G. Campelo F.
1
• O dinheiro hoje tem maior valor do que 
amanhã (Teoria da preferência pela liquidez). 
O valor do dinheiro no tempo – decisões com certeza 
• Taxa Nominal juros (i) = f {Rf + INF + Risco (sistemático e não sistemático) + liq }
2
Notações de valor do dinheiro no tempo.
Valor 
Presente 
PV, P, Co, M É o montante emprestado no início do 
período. Valor presente hoje do 
empréstimo ou da aplicação. 
taxa de 
juros 
i, k, r É a remuneração a ser paga pelos 
recursos emprestados. juros recursos emprestados. 
Valor 
Futuro 
FV, F, Cn É o montante a ser devolvido ou resgatado 
ao final do prazo do empréstimo ou 
período de aplicação. 
Prestação PMT, Pr, Ct Prestação ou pagamentos intermediários. 
tempo t período de tempo da aplicação 
períodos n número de períodos da aplicação 
Juros J montante de juros pagos 
 
3
A linha do tempo
VP
VF
t0
tn
Saída de recursos (VP) no tempo zero ( t0 )
Entrada de recursos (VF) no tempo futuro ( tn ) 4
A linha do tempo 
VPVP
VF
t0
tn
Entrada de recursos (VP) no tempo zero ( t0 )
Saída de recursos (VF) no tempo futuro ( tn ) 5
Formas de Capitalização
• É a forma como se calculam os juros 
VP
VF
i = taxa de juros VP
t0
tn
Capitalização simples (linear)
Capitalização composta (exponencial)
Capitalização contínua
i = taxa de juros 
6
Capitalização Simples
• Na capitalização simples o montante de juros a ser 
pago é calculado sempre sobre o principal emprestado.
• No Brasil, aplicado apenas no curtíssimo prazo. 
• N e I, devem estar sempre na mesma unidade de 
tempo.tempo.
VF = VP + J (a) 
J = VP.i.n (b) 
Com (b) em (a) ⇒ VF = VP + VP.i.n 
VF = VP ( 1 + i.n)
7
Capitalização Simples
Um Banco emprestou R$ 800,00, para seu cliente devolver
em quatro meses, pagando juros simples de 4% ao mês.
Quanto ele vai devolver no final do período?
Resp: R$ 928,00Resp: R$ 928,00
8
Capitalização Simples
Sua conta ficou devedora em R$ 1.350,00, nos últimos 7
dias do mês. No oitavo dia, coincidentemente o último
dia do mês, você depositou R$ 2.000,00 e seu saldo ficou
positivo em R$ 621,65. Qual a taxa de juros cobrada porpositivo em R$ 621,65. Qual a taxa de juros cobrada por
dia?
Resp: 0,3%
9
Taxas de juros equivalentes
• É necessário encontrar a equivalência de taxas quando o
período de capitalização informado, não corresponde ao
período em que a taxa está expressa.
• Ela geram montantes idênticos quando capitalizadas
sobre o mesmo capital e prazosobre o mesmo capital e prazo
• Taxa anual, capitalização mensal.
• Taxa diária, capitalização anual.
10
Taxas de juros equivalentes em capitalização simples
Taxa informada em: Taxa procurada Cálculo 
Dias Mês Multiplicar a taxa diária por 30. 
Mês ano Multiplicar a taxa mensal por 12 
Semana Mês Multiplicar a taxa semanal por 4,5 
Trimestre ano Multiplicar a taxa trimestral por 4 
 
Mês Dias Dividir a taxa mensal por 30 
Ano Mês Dividir a taxa anual por 12 
Semana Dia Dividir a taxa semanal por 7 
Quadrimestre mês Dividir a taxa quadrimestral por 4 
 
Exemplo: O Banco afirma cobrar uma taxa mensal de 3,5%, e você quer saber 
quanto irá pagar de juros diários?
12%a.m, a.d?
11
Capitalização Composta
Neste regime de capitalização, os juros são somados ao
valor do principal, a cada período, e estes irão ser
também capitalizados.
No primeiro período:
VF = VP + JVF = VP + J
VF = VP + VP x i
VF = VP ( 1+ i )
Para o segundo período:
VF = VP ( 1+ i) x ( 1+ i)
Para n períodos:
VF = VP (1 + i)n
Vp= R$ 20.000,00 ; i= 3; n=2; VF= ? 12
Taxas de juros composta
Uma empresa contraiu um empréstimo de $ 12.000 no mês de
fevereiro. Paga integralmente sua dívida, no mês de outubro,
quitando o valor de $ 18.000. Qual é a taxa de juros mensal
cobrada na operação?
VF = VP (1 + i)n
18000 = 12000 (1 + i )8
18000/ 12000 = (1 + i )8
1,5 = (1 + i )8
8√√√√1,5 = (1 + i )
1,05199 = (1 + i )
i = 1,05199 –1
i = 0,05199 = 5,2% ao mês 13
Taxas de juros composta
Você tomou emprestado a um amigo R$ 1.200, para pagar daqui a
um semestre, com juros de 3,4%. Quanto ira pagar no final?
VF = VP (1 + i)n
VF = 1200 (1 + 0,034 )6VF = 1200 (1 + 0,034 )6
VF = 1.466,58
14
Taxas Equivalentes
Na capitalização composta, o calculo da taxa equivalente é feito por meio
de operações de exponenciação e radiciação.
No exemplo abaixo temos uma taxa mensal a ser transformada em uma
Taxas de juros equivalentes em capitalização 
composta
No exemplo abaixo temos uma taxa mensal a ser transformada em uma
taxa para oito meses. Como vamos do período menor para o maior,
utilizamos a exponenciação:
( 1 + i)n = (1 + in)
1
(1,05199)8 = 1,5
i = 1- 1,5 = 0,5 = 50%
A taxa de juros cobrada no período de oito meses é de 50%.
15
Uma aplicação rende 2,20% ao mês, com capitalização diária. Qual é a taxa
equivalente diária? Qual é a taxa efetiva no mês?
Quando o valor fornecido se baseia nos juros simples, mas o montante é calculado em
juros compostos.
Maior para o menor: Quantos dias tem o mês? 30
fator de divisão: 30
Taxas de juros efetivas em capitalização composta
fator de divisão: 30
0,022/30 = 0,000733 = 0,007% ao dia⇒ taxa equivalente
cálculo da taxa efetiva: do menor para o maior:
fator de exponenciação 30
(1 + i)n = (1 + in)
(1 + i)30= (1 + i30)
(1 + 0,000733) 30 = (1 + i30)
i30 = 1,022236 –1 = 0,022235 = 2,223 % ao mês⇒ taxa efetiva
16
A empresa obteve um financiamento a taxa de 18% ao ano, com capitalização
mensal. Qual é a taxa equivalente mensal? Qual a taxa efetiva anual da
operação?
Maior para o menor: Quantos meses tem o ano? 12
fator de divisão: 12
0,18/12 = 0,015 = 1,5% ao mês⇒ taxa equivalente
Taxas de juros efetivas em capitalização composta
0,18/12 = 0,015 = 1,5% ao mês⇒ taxa equivalente
cálculo da taxa efetiva:
do menor para o maior:
fator de exponenciação 12
(1 + i)n = (1 + in)
(1 + i)12= (1 + i12)
(1 + 0,015) 12 = (1 + i12)
i12 = 1,195618 –1 = 0,195618 = 19,56 % ao ano⇒ taxa efetiva 17
Um exemplo clássico:
As cadernetas de poupança no Brasil pagam juros de 6% ao ano,
capitalizados mensalmente. Qual a taxa de juros anual efetivamente pagas
ao dinheiro poupado?
6% ao ano, capitalizados mensalmente, significa que os juros serão
Taxas de juros efetivas em capitalização composta
6% ao ano, capitalizados mensalmente, significa que os juros serão
incorporados ao principal a cada mês.
A taxa de 0,5% de juros ao mês é equivalente a qual taxa anual?
(1,005)12 = 1,0616778 = 6,17% ao ano
18
Taxas de juros composta
Quanto deverá aplicado hoje, em uma aplicação financeira que
paga juros líquidos de 1% ao dia, para se poder resgatar R$
2.109,13 daqui a 75 dias?
VF = VP (1 + i)n
2.109,13 = VP (1 + 0,01)75
VP = 1.000,00
19
Série de Pagamentos 
• Todas as operações financeiras vistas até agora ocorriam
em apenas dois momentos: aplicação inicial com resgate
final, ou um empréstimo inicial com pagamento no final. A
isso chama-se série de pagamento único e pode ser
visualizada na linha do tempo abaixo:visualizada na linha do tempo abaixo:
20
Série de Pagamentos Uniformes 
• Ocorrem mais de uma entrada e/ou mais de uma saída de recursos, 
durante a operação. 
– Todas as prestações são iguais e ocorrem a intervalos regulares – Todas as prestações são iguais e ocorrem a intervalos regulares 
de tempo
VF = VP (1 + i)n 
VP = PMT x ∑ 1/ (1+ i) n
PMT = VP (1 + i)n x i
(1+ i) n -1 21
Série de Pagamentos Uniformes – Final de Período
Um automóvel custa à vista $ 20.000 e pode ser pago em 12parcelas mensais com juros de 2 % ao mês. Qual o valor da
prestação?
PMT = VP (1 + i)n x iPMT = VP (1 + i) x i
(1+ i) n -1
PMT = 20000 (1 + 0,02)12 x 0,02
(1+ 0,02) 12 -1
PMT = 1.891,19
As doze prestações serão de $ 1.891,19. 22
Série de Pagamentos Uniformes – Início de Período
Uma televisão é vendido por 5 parcelas iguais de R$ 200, sendo
uma entrada e mais quatro prestações. Os juros cobrados são de
5% a.m. Qual o valor à vista da TV?
VP = PMT x ∑ 1/ (1+ i) nVP = PMT x ∑ 1/ (1+ i)
Ou
VP = PMT * [(1+ i) n -1]
(1 + i)n x i
Resp: R$ 909,19
23
Série de Pagamentos Uniformes
Para comprar um carro ao final do ano, no valor de R$ 25.000, ao
final de 10 meses, com uma taxa de juros de 9,5% a.m.. Quanto
devo economizar ao mês?
FV = PMT (1 + i)n -1FV = PMT (1 + i) -1
i
Resp: R$ 1606,65
24
Série de Pagamentos Não Uniformes
–Existem diferentes entradas e saídas de 
recursos ao longo da operação, em 
intervalos regulares ou não de tempo. 
25
Série de Pagamentos Não Uniformes
Uma máquina pode ser comprada, sem entrada, em três parcelas
sucessivas de $ 2.400, $ 2.600 e $ 2.800. O fabricante afirma estar
cobrando juros de 0,5% ao mês. Qual é o preço à vista da máquina?
VP = PMT1 + PMT2 + PMT3VP = PMT1 + PMT2 + PMT3
(1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3
VP = 2400 + 2600 + 2800
(1 + 0,005)1 (1 + 0,005)2 (1 + 0,005)3
VP = 7.720,67
A máquina custa à vista $ 7.720,67.
26
Capitalização Contínua
Os juros são continuamente incorporados ao 
capital
• VF = VP ( ein)• VF = VP ( e )
Onde : 
VF = valor futuro
VP = valor presente
e = 2,7183.... ( algarismo neperiano) 
i = taxa de juros
n = período da operação financeira.
27
Tabelas Financeiras
• Para facilitar os cálculos dos juros (fator de juros) e 
diminuir os cálculos repetitivos pode-se usar tabelas 
financeiras. 
• A dedução da fórmula origina-se de um 
comportamento de uma Progressão Geométricacomportamento de uma Progressão Geométrica
Tabela de fator para valor futuro de um único pagamento 
Período 1% 2% 3% 4% 
1 1,010 1,020 1,030 1,040 
2 1,020 1,040 1,061 1,082 
3 1,030 1,061 1,093 1,125 
4 1,041 1,082 1,126 1,170 
 
28
Tabelas financeiras: série de pagamentos 
Tabela de fator para valor futuro de uma série de pagamentos uniformes 
Número 
de 
períodos 
1% 2% 3% 4% 
1 1,000. 1,000 1,000 1,000 
2 2,010 2,020 2,030 2,040 2 2,010 2,020 2,030 2,040 
3 3,030 3,060 3,091 3,122 
4 4,060 4,122 4,184 4,246 
 
Tabela de fator para valor presente de uma série de pagamentos uniformes 
Número 
de 
períodos 
1% 2% 3% 4% 
1 0,990 0,980 0,971 0,962 
2 1,970 1,942 1,913 1,886 
3 2,941 2,884 2,829 2,775 
4 3,902 3,808 3,717 3,630 
29
Outros Auxiliares
• Calculadoras Financeiras
• Softwares Financeiros. 
Exigem: 
• O conhecimento prévio dos conceitos• O conhecimento prévio dos conceitos
• Domínio do software e/ou equipamento
30
Rentabilidade Real
• Taxa Real: que indica a parcela de juros que está
realmente empenhada, como custo ou rendimento da
operação
• Taxa de Inflação: que visa à manutenção do poder
aquisitivo da moeda.aquisitivo da moeda.
Exemplo:
• Comprou um Imóvel por R$ 300.000,00 em 2010
• Vendeu por R$ 390.000,00 em 2012
• Inflação no Período de 10,39%
• Qual foi a rentabilidade deste investimento? 
• 17,76% , onde Treal= [1+i /(1+INF) ]- 1 31
Aplicação em CDB
• CDBs são títulos de renda fixa emitidos por bancos
• Eles podem ser pós-fixados, atrelados a um índice 
(IPCA/IGP-M), ou prefixados, retorno expresso na taxa de 
juros contradata.
• Esses títulos podem ser negociados antes do vencimento• Esses títulos podem ser negociados antes do vencimento
• Eles são tributados através do IR-Imposto de Renda e do 
IOF- Imposto sobre Operação Financeira
– IOF é devido apenas quando ocorrem resgates antes que se complete 30 dias
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Exemplo de Aplicação em CDB
Um investidor aplica R$ 5.000,00 num CDB prefixado à taxa de 1,5% a.m. para
um período de 80 dias. O IR é de 22,5%, retido na fonte.
1. Valor de resgate liquido?
2. Rentabilidade real mensal líquida considerando uma inflação de 0,8% no
período?
80/30
FV= 5.000,00 x(1,015) = 5.202,51
IR= 22,5% * 202,51 = 45,56
Vr = 5.156,95
I = 5.156,95/5.000,00 – 1 = 3,139%
Tr = 1,03139/1,008 – 1= 2,32%
30/80
Trm = (1,0232) - 1= 0,864% a.m. 33
Desconto de Duplicatas/Cheque
Um empresário antecipa dois cheques: 1) R$ 2.000,00 em 43 dias; 2) R$
3.000,00 em 54 dias, a uma taxa de juros de 3% a.m. e IOF de 0,0082% a.d.
1. Valor liberado da operação?
2. O custo da Operação?
Prazo médio = 43*2000 + 54*3000 = 49,6
2000 + 3000 2000 + 3000 
J= 5.000 * 0,03/30 * 49,6 = 248
IOF = (5.000 – 248) * 0,000082 * 49,6 = 19,33
VL = 4.732,67
Alem disso, o banco cobra um taxa de abertura de crédito (TAC) e custódia de R$ 1,00 
por cheque
VL = 4.732,67 - 40 – 2 = 4.690,67
Custo = 5000/4690,67 – 1= 6,59%
30/49,6
Custo real= (1,0659) - 1= 3,94% a.m.
34
Planos de Amortização
• As diversas formas de pagamentos de dívidas são denominadas
planos de amortização.
• A amortização extingue gradativamente o valor da dívida através de
pagamentos periódicos, que geralmente incluem valores referentes a
encargos financeiros e parte do principal da dívida.
Os elementos básicos para a elaboração de um plano de amortização
são formados por:
•valor da dívida,
•período,
•taxa de juros, e
•definição da forma como serão pagos o valor da dívida e respectivos
encargos financeiros.
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Planos de Amortização - Modalidades
•Pagamento do valor do principal e dos juros no final do prazo
estabelecido em contrato;
•Pagamento do valor principal no final do prazo contratual e
pagamento dos juros durante o prazo do contrato;
•Pagamento dos valores dos juros e do principal ao longo do prazo •Pagamento dos valores dos juros e do principal ao longo do prazo 
do contrato:
–PRICE: Prestações constantes
–SAC: Amortizações constantes 
36
Planos de Amortização PRICE
• Para um empréstimo de $100.000,00, feito a uma 
taxa de 10% aa. Por 4 anos, determinar o valor do 
pagamento anual, calculando juros e amortização.
N Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
o - - - 100.000,00 
1 31.547,08 10.000,00 21.547,08 78.452,92 
2 31.547,08 7.845,29 23.701,79 54.751,13 
3 31.547,08 5.475,11 26.071,97 28.679,16 
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PMT = VP (1 + i)n x i
(1+ i) n -1
Planos de Amortização SAC
• Para um empréstimo de $100.000,00, feito a uma 
taxa de 10% aa. Por 4 anos, determinar o valor do 
pagamento anual, calculando juros e amortização.
A P V
n
====
N Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - 100.000,00
1 35.000,00 10.000,00 25.000,00 75.000,00
2 32.500,00 7.500,00 25.000,00 50.000,00
3 30.000,00 5.000,00 25.000,00 25.000,00
4 27.500,00 2.500,00 25.000,00 0,00
38
Planos de Amortização - Carência
• Carência é um prazo em que não há pagamento do 
principal, porem neste intervalo pode ocorrer:
– Pagamento dos juros do financiamento;
– Os juros são capitalizados e pagos integralmente na 
primeira parcela;primeira parcela;
– Os juros são capitalizados e acrescentados ao saldo 
devedor, gerando uma prestação maior.
39