Apostila de PO 2 - Análise de Decisão

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Pesquisa Operacional II – Engenharia de Produção – UFPI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI 
CURSO DE ENGENHARIA DE 
PRODUÇÃO 
 
 
 
 
Apostila de Pesquisa Operacional II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pesquisa Operacional II – Engenharia de Produção – UFPI 
 
 
 
ANÁLISE DE DECISÕES 
 
Na análise de decisões usa-se um processo racional para selecionar a melhor de varias 
alternativas. A qualidade da alternativa selecionada depende da índole dos dados a serem usados 
para descrever o caso abordado pela decisão (Taha, 2004). Alguns autores costumam abordar e 
classificar as decisões segundo o conhecimento das probabilidades envolvidas. Conforme Changkong 
et all (1992), as decisões podem ser classificadas em três tipos: 
 
 Decisões sob certeza. Neste tipo de decisão sabe-se o que acontecerá quando é eleita uma alternativa, 
consistindo o problema em escolher a melhor alternativa. Nesta categoria encontram-se os problemas 
determinísticos como os encontrados na programação linear e inteira, nos modelos EOQ, etc. 
 
 Decisões sob risco. Nestes casos são conhecidas as probabilidades associadas à escolha de cada 
alternativa. Nesta categoria encontram-se os problemas estocásticos. 
 
 Decisões sob incerteza. Supõe-se que o decisor não conhece as probabilidades associadas a cada 
alternativa, deixando disponível alguns critérios para a tomada de decisão que funcionam sem a 
necessidade de probabilidade associadas à escolha de cada alternativa ou mediante a estimação 
subjetiva de probabilidades (Gould et al, 1992) como: Maximin/Minimax, Método de Laplace, etc. 
 
TOMADA DE DECISÕES SOB RISCO (Taha, 2008): 
 
Em condições de risco, as vantagens associadas a cada alternativa de decisão se descrevem com 
distribuições de probabilidade. Por essa razão a tomada de decisão sob risco se baseia no critério valor 
esperado, no qual se comparam alternativas de decisão com base na maximização da utilidade 
esperada ou a minimização do custo esperado. 
 
a) Critério do Valor Esperado: Esse critério busca a maximização do lucro (médio) esperado ou a 
minimização do custo esperado. Nesse caso, se supõe que o lucro (ou o custo) associado a cada 
alternativa de decisão é probabilística. O caso da arvore de decisão, usada em esse tipo de 
problemas pode ser mostrado com um exemplo. 
 
Exemplo: Suponha que uma empresa deseja investir 10.000 reais no mercado de valores, 
comprando ações de uma de dois companhias: A e B. As ações da companhia A são arriscadas, 
mas poderiam produzir um rendimento de 50% sobre o investimento durante o próximo ano. Se 
as condições do mercado de valores não são favoráveis (isto é, o mercado está “em baixa”), as 
ações podem perder 20% do seu valor. A empresa B proporciona utilidades seguras, de 15% num 
mercado “em alta” e só 5% num mercado “em baixa”. Todas as publicações que consultou 
predizem que há 60% de probabilidade que o mercado esteja “em alta” e 40% de que esteja “em 
baixa”. Onde deveria investir seu dinheiro?. 
Solução: O problema pode-se resumir como segue: 
 
Rendimentos em um ano por investimento de $ 10.000 
 
Alternativa de decisão Mercado “em alta” ($) Mercado “em baixa” ($) 
Ações da empresa A 5000 - 2000 
Ações da empresa B 1500 500 
Probabilidade de ocorrência 0,6 0,4 
 
O problema também pode ser representado mediante uma arvore de decisão. Um quadrado 
representa um ponto de decisão e um círculo representa um evento: 
Mercado “em alta” (0,6)
Investir em 
ações de A 
 
 
 
1 
 
 
 
Investir em 
ações de B 
 
2 
Mercado “em baixa” (0,4) 
 
 
Mercado “em alta” (0,6) 
 
3 
Mercado “em baixa” (0,4) 
$ 5000 
 
 
$ - 2000 
 
 
$ 1500 
 
 
$ 500
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Os rendimentos esperados para o ano 1 das alternativas são: 
Ações A: (5000) (0,6) + (- 200) (0,4) = 2200 Ações B: (1500) (0,6) + (500) (0,4) = 1100 
 
Com base nesses cálculos, se escolheria investir nas ações de A. 
 
Em geral, diz-se que é necessário conhecer os estados da natureza (“em alta” e “em baixa” do 
problema anterior), isto implica conhecer suas probabilidades e seus possíveis resultados. A decisão 
será o máximo valor esperado (quando a decisão implica lucro) ou o mínimo valor esperado (quando a 
decisão implica perda). Note que o somatório das probabilidades é igual a 1 e cada probabilidade deve 
ser  0. 
 
Portanto, se VEi representa o valor esperado da alternativa “i”, teremos que: 
VEi = ai1 p1 + ai2 p2 + .......... + ain pn; sendo i = 1, 2, ......, n e (p1 + p2 + ..... + pn) = 1 
onde: 
a i j é o retorno da alternativa “i”dado o estado da natureza “j” 
p i é a probabilidade de ocorrência do estado da natureza “j”, sendo p j  0 
 
b) Probabilidades a posteriori (Bayes): Considere o problema anterior sobre “mercado de valores”. 
Agora suponha que além de confiar nas publicações (que indicam que há 60% de probabilidade 
que o mercado esteja “em alta” e 40% de que esteja “em baixa”) você decidiu fazer uma pesquisa 
mais pessoal. Sua pesquisa permitiu saber sobre o fato de votar “a favor” ou “em contra” de 
investir. Assim, dentro da empresa, você determinou que se há um mercado “em alta” há um 90% 
de probabilidade de que o voto seja “a favor”. Se há um mercado “em baixa” há um 50% de 
probabilidade de que o voto seja “a favor”. 
a) Se a pesquisa feita por você indica “a favor”, investiria você nas ações de A ou em B? 
b) Se a pesquisa feita por você indica “em contra”, investiria você nas ações de A ou em B? 
Solução: 
Usando os seguintes símbolos: 
v1 = voto “a favor” v2 = voto “em contra” 
m1 = mercado “em alta” m2 = mercado “em baixa” 
Esse problema poderia ser resolvido com um arvore decisão como segue: 
 
 
 
 
Voto “a favor” 
(v1) 
2 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
3 
Voto “em 
contra” (v2) 
 
Investir em 
ações de A 
 
 
 
 
 
 
 
 
Investir em 
ações de B 
 
 
Investir em 
ações de A 
 
 
 
 
 
 
 
 
Investir em 
ações de B 
Mercado “em alta” (m1) 
 
P (m1|v1) = 0,730 
4 
Mercado “em baixa” (m2) 
P (m2|v1) = 0,270 
Mercado “em alta” (m1) 
 
P (m1|v1) = 0,730 
5 
Mercado “em baixa” (m2) 
P (m2|v1) = 0,270 
 
 
P (m1|v2) = 0,231 
6 
Mercado “em baixa” (m2) 
P (m2|v2) = 0,769 
Mercado “em alta” (m1) 
 
P (m1|v2) = 0,231 
7 
Mercado “em baixa” (m2) 
 
P (m2|v2) = 0,769 
 
$ 5000 
 
 
$ - 2000 
 
 
$ 1500 
 
 
$ 500 
 
 
$ 5000 
 
 
$ - 2000 
 
 
$ 1500 
 
 
$ 500
 
Sabe-se que a probabilidade condicional de um evento B, conhecido um evento A, denotada como 
P(B\A), é:
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P(B \ A) 
P(A  B) 
P(A) 
 
, para P(A)  0
 
Note que isso leva a : P(A  B)  P(B \A) P(A), para P(A)  0 
 
Supondo que E1, E2, ........, Ek sejam k conjuntos mutuamente excludentes e exaustivos, então: 
P(B) = P(BE1) + P(BE2) + ......... + P(BEk) 
= P(B\E1) P(E1) + P(B\E2) P(E2) + ......... + P(B\Ek) P(Ek) 
 
Um gráfico da divisão de um evento B entre uma coleção de 4 eventos mutuamente excludentes (sem 
interseção entre eles) e exaustivos (todos eles somam o universo) mostra-se na figura abaixo: 
 
 
 
B E1 
E 1 E 2 
S 
E 3 
B E2 E 4
BE3 
 
BE4 
B
 
 
O teorema de Bayes indica que se E1, E2, ......, Ek forem eventos mutuamente excludentese exaustivos e 
B for qualquer evento, então: 
 
 
Portanto, devemos notar que o que necessitamos calcular são as probabilidades: 
 
P (m1|v1) ; P (m1|v2) e P (m2|v1) ; P (m2|v2) 
Assim: 
 
P (m1|v1) = 
 
P(v1 \ m1) P(m1) 

P(v1 \ m1) P(m1)  P(v1 \ m2) P(m2) 
 
P(v1 \ m1) P(m1) 
P(v1) 
 
 
, para P(v1)  0
 
Do problema inicial, sabemos que P(m1) = 0,6 e P(m2) = 0,4; e que as novas informações permitem 
descrever as seguintes probabilidades condicionais: 
 
P (v1|m1) = 0,9; P (v2|m1) = 0,1; P (v1|m2) = 0,5; P (v2|m2) = 0,5; portanto: 
 
P(m1|v1) 
 
 
P(m1|v2) 
(0,9)(0,6) (0,9)(0,6)  
(0,5)(0,4) (0,1)(0,6) 
(0,1)(0,6)  (0,5)(0,4) 
 
 0,730, para P(v1)  0 
 
 
 0,231, para P(v2)  0
 
P(m2|v1) 
(0,5)(0,4) 
(0,5)(0,4)  (0,9)(0,6) 
 
 0,270, para P(v1)  0
 
P(m2|v2) 
(0,5)(0,4) 
(0,5)(0,4)  (0,1)(0,6) 
 
 0,769, para P(v2)  0
 
Agora estamos prontos para avaliar as alternativas com base nos retornos esperados: 
Voto a favor, investir em A: (5000) (0,730) + (- 2000) (0,270) = 3100
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Voto a favor, investir em B: (1500) (0,730) + (500) (0,270) = 1230 
Se o voto for “a favor” a melhor decisão é investir em ações A. 
 
Voto em contra, investir em A: (5000) (0,231) + (- 2000) (0,769) = - 383 
Voto em contra, investir em B: (1500) (0,231) + (500) (0,769) = 731 
Se o voto for “Em contra” a melhor decisão seria investir em ações B. 
 
Problema: Uma certa empresa varejista coloca candidatos a crédito em duas categorias, riscos ruins e 
riscos bons. Estatísticas indicam que 10% da população seria classificada como de risco ruim pelos 
padrões da empresa. A empresa usa uma estratégia de escore de crédito para resolver se o crédito 
deveria ser concedido ao candidato. A experiência sugere que, se uma pessoa de bom risco, se 
candidata conseguirá crédito 90% das vezes. Se um indivíduo de risco ruim se candidata, o crédito 
será concedido em 20% das vezes. A gerencia acredita que é razoável presumir que as pessoas que 
pedem crédito sejam selecionadas de modo aleatório entre a população. Qual é a probabilidade de 
uma pessoa que recebe crédito ser um risco ruim? (Use o teorema de Bayes) 
Resposta: P(risco ruim  crédito) = 0,024 
 
Problema: Jenny Lind é autora de romances. Uma empresa de filmes e uma rede de TV querem direitos 
exclusivos de uma de suas obras mais populares. Se ela assinar com a rede, receberá uma soma única, 
mas se assinar com a empresa de filmes, a quantia que receberá vai depender da resposta do mercado 
ao filme. Os resultados de Jenny estão resumidos na tabela abaixo. Se as estimativas de probabilidade 
para os estados de natureza são P(pequena) = 0,3; P(média) = 0,6 e P(grande) = 0,1. 
a) Para quem Jenny deveria vender os direitos? 
b) Qual é o máximo que Jenny deveria estar disposta a pagar para saber a magnitude da 
bilheteria antes de decidir com quem assinar? 
 
 
Decisão 
Estado da natureza 
Bilheteria pequena Bilheteria média Bilheteria grande 
Assinar com a empresa de cinema 200.000 1.000.000 3.000.000 
Assinar com a rede de TV 900.000 900.000 900.000 
 
Problema: O fazendeiro McCoy pode plantar milho ou soja. Se as probabilidades dos preços da 
próxima safra desses grãos subirem, permanecem os mesmos ou baixarem são 0,25; 0,30 e 0,45, 
respectivamente. Se os preços subirem, a safra de milho gerará 30.000 reais líquidos e a soja 10.000. Se 
os preços permanecerem os mesmos, McCoy (mal) conseguirá equilibrar a receita e despesa. Mas, se 
os preços baixarem, as safras de milho e soja darão prejuízos de 35.000 e 5.000 reais respectivamente. 
a) Represente o problema de McCoy como uma árvore de decisão. 
b) Qual dos grãos McCoy deve plantar? 
Solução: b) VE(milho) = - 8.250; VE (soja) = 250. Melhor selecionar soja. 
 
Problema: Você é o autor de um romance que promete ser um sucesso e tem a opção de publicá-lo por 
conta própria ou por meio de uma editora. A editora está lhe oferecendo $20.000 para assinar o 
contrato. Se o romance for um sucesso, vendera 200.000 cópias. Se não tiver, venderá apenas 10.000 
cópias. A editora paga $ 1 de royalties por copia. Um levantamento de mercado realizado pela editora 
indica que há 70% de chance de o romance ser um sucesso. Se você publicá-lo por conta própria, 
incorrerá em um custo inicial de $90.000 para impressão e marketing, mas cada copia vendida lhe 
renderá $ 2. 
a) Você aceitaria a oferta da editora ou publicaria o livro por conta própria? 
b) Suponha que você contrate um agente literário para realizar um levantamento referente ao 
sucesso potencial do romance. Por experiência própria, o agente lhe diz que quando um 
romance se torna um sucesso, o levantamento preverá o resultado errado 20% das vezes. 
Quando o romance não se torna um sucesso, o levantamento dará a previsão correta 85% das 
vezes. Como essa informação afetaria sua decisão? 
Respostas: 
a) Melhor é publicar o livro por conta própria (VE = 196.000) 
b) Quando feito um levantamento certo melhor “conta própria” (VE = 217.568,8) 
Quando feito um levantamento errado melhor “conta própria” (VE = 173.784,4) 
Portanto, a nova informação não muda a decisão anterior.
 
 
 
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i j )
i j 
DECISÕES SOB INCERTEZA 
 
Da mesma forma que nas “decisões sob risco”, as decisões sob incerteza dependem dos estados 
da natureza (aleatórios). Em geral o problema consiste de ter “m” ações alternativas e “n” estados da 
natureza, os quais podem ser representados da seguinte forma: 
 
 s1 s2 ....... sn 
a1 v (a1, s1) v (a1, s2) ....... v (a1, sn) 
a2 v (a2, s1) v (a2, s2) ....... v (a2, sn) 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
am v (am, s1) v (am, s2) ....... v (am, sn) 
 
O elemento ai representa a ação “i”, e o elemento sj representa o estado da natureza “j”. O 
resultado associado com a ação ai e o estado sj é v (ai, sj). 
No caso das decisões sob risco, as probabilidades dos estados da natureza se conhecem ou se 
podem determinar. No caso das decisões sob incerteza, as probabilidades dos estados da natureza se 
desconhecem ou não se podem determinar. A falta de informação levou os pesquisadores a desenvolver 
vários critérios para analisar esse tipo de problema. Entre os principais temos: 
 
a) Critério de Laplace: Baseia-se no suposto de que se não se conhecem as probabilidades dos estados 
da natureza, então não há motivo para acreditar que elas sejam distintas. Portanto, se usa a 
hipótese otimista de que todos os estados da natureza são igualmente prováveis. Assim: 
 
P(s1) = P(s2) = ……. = P(sn) = 1/n 
 
Dado que o retorno v(ai, sj) representa o ganho, a melhor alternativa é a que dá: 
 
 
Se v(ai, sj) representar prejuízo, então a minimização substitui a maximização. 
 
b) Critério Maximin (ou Minimax): É baseado na atitude conservadora de obter o melhor das piores 
condições possíveis. Se v(ai, sj) for prejuízo, então escolhemos a ação que corresponde ao critério 
Minimax: 
 
 
min max v(a i , s j )

ai  s j 
 
Se v(ai, sj) representar o ganho, então usar o critério Maximin: 
 
max 
ai 

min 
s j 
v(a , s 


 
c) Critério de Savage: Aplica-se ao conservadorismo moderado no critério Minimax (Maximin) pela 
substituição da matriz de retorno (ganho ou perda) v(ai, sj) por uma matriz de perda (ou 
arrependimento) r(ai, sj), usando a seguinte transformação: 
 
v(a i , s j )  min [ v(ak , s j ) ], se v for perda 
r (a , s ) 
 ak 
max [ v(ak , s j ) ]  v(a i , s j ), se v for ganho 
 ak
 
 
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d) Critério de Hurwicz: Elaborado para refletir atitudes da tomada de decisão que vão da mais 
otimista à mais pessimista (ou conservadora). Defina-se 0   < 1 e se considere que v(ai, sj) 
representa ganho. Então, a ação selecionada deve ser associada com: 
 
 
 
O parâmetro  é denominado índice de otimismo. Se  = 0, o critério é conservador porque se aplica 
ao critério Minimax normal. Se  = 1, o critério produz resultados otimistas porque procura o 
melhor das melhores condições. Podemos ajustar o grau de otimismo (ou pessimismo) por meio 
de uma seleção adequada do valor  na faixa especificada de (0, 1). Na ausência de um forte 
sentimento em relação a otimismo e pessimismo,  = 0,5 pode ser uma escolha adequada. 
Se v(ai, sj) representar prejuízo, o critério é mudado para: 
 
 
Problema: Hank é um aluno inteligente e normalmente tira boas notas, contando que possa revisar o 
material do curso na noite anterior ao teste. Para o teste de amanha, Hank enfrenta um pequeno 
problema: seus companheiros de república vão dar uma festa durante a noite, da qual ele gostaria de 
participar. Ele tem três opções: 
a1 = divertir-se a noite inteira 
a2 = dividir a noite em partes iguais para estudar e participar da festa 
a3 = estudar a noite inteira 
O teste de amanha pode ser fácil (s1), moderado (s2) ou difícil (s3), dependendo do humor imprevisível 
do professor. Hank antecipa as seguintes: 
 
 s1 s2 s3 
 
a1 85 60 40 
a2 92 85 81 
a3 100 88 82 
 
a) Recomende um curso de ação para Hank, com base nos critérios de Laplace, Maximin (ou 
Minimax), de Savage e de Hurwicz (use  = 0,5). 
b) Suponha que Hank esteja mais interessado na nota alfabética que conseguirá (A = 90, B = 80, C 
= 70 ou D 60). Essa atitude em relação às notas exige uma mudança no curso de ação de 
Hank? 
 
Solução: 
a) Segundo o princípio de Laplace teríamos 3 estados da natureza: (sj, j = 1, 2, 3), P(sj) = 1/3 
O valor esperado para cada uma das 3 possíveis ações (ai com i = 1, 2, 3) será: 
E(a1) = 1/3 (85 + 60 + 40)  61,67 
E(a2) = 1/3 (92 + 85 + 81) = 86 
E(a3) = 1/3 (100 + 88 + 82) = 90 
Portanto, em função do critério de Laplace a melhor ação seria a3. 
 
Segundo o critério Maximin/Minmax, temos que os valores v(ai, sj) representam ganho, 
portanto, o princípio a ser usado é Maximin: 
 
 s1 s2 s3 Min da linha 
 
a1 85 60 40 40 
a2 92 85 81 81 
a3 100 88 82 82  Maximin 
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85 60 40 
92 85 81 
100 88 82 
40 
81 
82 
85 
92 
100 
42,5 + 20,0 = 62,5 
46,0 + 40,5 = 86,5 
50,0 + 41,0 = 91,0  Max 
 
Segundo o critério de Savage, primeiro faríamos representam ganho: 
max [ v(ak , s j ]  v(a i , s j ) , já que as notas ak 
 
 
 
 s1 s2 s3 
 
a1 100 - 85 = 15 88 – 60 = 28 82 – 40 = 42 
a2 100 - 92 = 8 88 – 85 = 3 82 – 81 = 1 
a3 100 – 100 = 0 88 – 88 = 0 82 – 82 = 0 
 
Logo escolhemos o Minimax da coluna, isto é escolhemos a alternativa a3, estudar a noite 
inteira Min (42; 41; 0) = 0. 
 
 s1 s2 s3 Max da linha 
 
a1 15 28 42 42 
a2 8 3 41 41 
a3 0 0 0 0  Minimax 
 
Segundo o critério de Hurwicz e para = 0,5 teriamos: 
s1 s2 s3 Min 
linha 
a1 
a2 
a3 
Max 
linha 
0,5*Max linha + (1-0,5)*Min linha
 
Por ser uma matriz de ganho, a melhor alternativa seria a de maior valor (Max ai), ou seja, 
Max (62,5; 86,5; 91) = 91, isto é, a alternativa a3. 
 
Problema: A Cia. ABXT-Produtos Eletrônicos Ltda. está considerando o lançamento de um auto-rádio e 
tem quatro opções de modelo: ST, LX, LS e GL, que diferem entre si no acabamento e características 
técnicas. Os lucros anuais que cada modelo pode fornecer são dependentes das escalas de produção, 
que por sua vez são funções dos contratos com revendedores e fornecedores de peças e componentes. 
Os custos não variam uniformemente com as produções, já que a maioria dos componentes é 
comprada de fornecedores diferentes. Por outro lado, os preços dependem da aceitação do mercado. 
Nessa etapa do processo de planejamento, a empresa acredita que o lucro de cada alternativa irá 
depender da escala de produção e venda de cada tipo e, dessa forma, identificou quatro eventos que 
podem influenciar fundamentalmente os resultados finais. São eles: 
 
 Evento 1: produção e venda de 50.000 auto-rádios por ano 
 Evento 2: produção e venda de 70.000 auto-rádios por ano 
 Evento 3: produção e venda de 90.000 auto-rádios por ano 
 Evento 4: produção e venda de 100.000 auto-rádios por ano 
 
É importante observar que a companhia não deseja, neste estado de análise do problema, realiz ar 
análises mais detalhadas de custo e mercado, como por exemplo entrar em contato com revendedores 
e fornecedores, para não gerar expectativas. Assim, deseja examinar o problema em caráter 
preliminar, de forma a obter elementos para discutir, mais tarde, com os demais interessados. 
Para cada um dos eventos, os lucros esperados de cada modelo são fornecidos na tabela abaixo. 
 
Tipo Evento 1 Evento 2 Evento 3 Evento 4 
ST 26 24 24 23 
LX 27 28 22 20 
LS 25 27 29 31 
GL 26 26 26 26 
 
Recomende que tipo de auto-rádio a empresa deve fabricar com base em cada um dos critérios de 
decisão sob incerteza. 
 
Problema: Um empresário de shows tem que organizar um concerto e o pode fazê-lo ao ar livre ou 
num campo coberto. Os benefícios vão depender da assistência do público, e ela (a assistência) por sua 
vez do clima, que pode ser com chuva, nublado ou ensolarado. Os resultados esperados caso o show
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seja ao ar livre são 10.000, 50.000 e 65.000 euros se o tempo for chuvoso, nublado ou ensolarado 
respectivamente. Se o concerto se realiza em campo coberto, os resultados seriam 45.000, 40.000 e 
35.000 euros para cada estado climático respectivamente. Pede-se: 
a) Determinar a matriz de decisão. 
b) Qual decisão deve tomar o empresário se utiliza o critério de Laplace? 
c) Qual seria a opção mais adequada se fosse aplicado o critério de arrependimento de Savage? 
d) Qual decisão deve tomar o empresário se utiliza o critério de Hurwicz para  = 0,35?