exercícios cálculo II & III

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-Problemas de Cálculo multivariável-
1. A energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é K = 1
2
mv2. Mostre que
∂K
∂m
∂2K
∂v2
= K.
2. O elipsoide 4x2+2y2+ z2 = 16 intersecta o plano em uma elipse. Determine as equações
paramétricas da reta tangente à elipse no ponto (1,2,2). Faça o esboço.
3. Explique porque a função f(x, y) = arctan(x+2y) é diferenciável em (1, 0). Em seguida,
faça a linearização L(x, y) no ponto (1, 0) e use-a para aproximar f(0, 98; 0, 01).
4. Supondo que você esteja escalando um muro cujo formato é dado pela equação
z = 1000− 0, 01x2 − 0, 02y2 onde x, y e z são medidos em metros, e você está em pé no ponto
de coordenadas (−50, 80, 847). O eixo positivo dos x aponta para o Leste e o eixo positivo dos
y aponta para o Norte.
a) Se você andar para o Norte, está subindo ou descendo? Com que taxa?
b) Se você andar para o Leste, está subindo ou descendo? Com que taxa?
5. Seja a função f(x, y) =
{
xy
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
.
a) Verifique que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f não é diferenciável em (0, 0).
b) Explique porque fx e fy não são contínuas em (0, 0).
6. a) A equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (1, 1, 1) é 2x+ y+3z = 6.
Determine
∂f
∂x
e
∂f
∂y
.
b) A função z = f(x, y) é diferenciável e dada implicitamente pela equação x
2
a2
+x
2
b2
+ z
2
c2
= 1.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico no ponto (x0, y0, z0), z0 6= 0.
7. Seja T = g(x, y) a temperatura no ponto (x, y) na elipse x = 2
√
2 cos t, y =
√
2 sin t,
0 ≤ t ≤ 2pi, e suponha que ∂T
∂x
= y e ∂T
∂y
= x.
a) Localize as temperaturas máximas e mínimas na elipse examinando
dT
dt
e
d2T
dt2
.
b) Suponha T = xy − 2. Encontre os valores máximos e mínimos de T na elipse.
8. Suponha que as derivadas parciais de uma função f(x, y, z) nos pontos da hélice x = cos t,
y = sin t, z = t sejam fx = cos t, fy = sin t e fz = t
2 + t − 2. Em que pontos da curva, caso
exista algum, f assume valor extremo?
1
9. Suponha que f seja uma função diferenciável de x e y. Utilize a tabela para resolver os
itens abaixo.
f g fx fy
(0, 0) 3 6 4 8
(1, 2) 6 3 2 5
a) Se g(u, v) = f(eu + sin v, eu + cos v), calcule gu(0, 0) e gv(0, 0).
b) Se g(r, s) = f(2r − s, s2 − 4r), determine gr(1, 2) e gs(1, 2).
10. Mostre que qualquer função da forma z = f(x + at) − g(x − at) é uma solução da
equação de onda
∂2z
∂t2
= a2 ∂
2z
∂x2
onde a é uma constante.
11. Se g(x, y) = x − y2, determine o vetor gradiente ∇g(3,−1) e use-o para achar a reta
tangente à curva de nível g(x, y) = 2 no ponto (3,−1). Esboce a curva de nível , a reta tangente
e o vetor gradiente.
12. O formato de um morro pode ser aproximado perto do seu cume pela equação
z = 3000− 2x2+3y2
1000
. O eixo x aponta para o Leste e o eixo y aponta para o Norte e as unidades
correspondem a um metro. Uma pessoa parte do ponto 100m a Leste e 50m ao Norte.
a) Se ela se dirigir para o Sudeste, ela começará a subir ou descer? Com que taxa?
b) Em que direção e sentido ela deverá se dirigir para descer o mais rapidamente possível?
c) Em qual direção e sentido ela deverá andar para subir a uma taxa de elevação de
1
4
?
13. Suponha que T graus seja a temperatura em qualquer ponto da esfera x2+y2+z2 = 4 e
T (x, y, z) = xy2z. Encontre os pontos da esfera onde a temperatura é máxima e onde é mínima.
Calcule a temperatura nesses pontos.
14. Determine o valor máximo da função f(x, y) = (x2 + y2)e−x−y na região
R = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0, y ≥ 0}.
15. Determine o ponto do plano x− y + z = 4 que está mais próximo do ponto (1, 2, 3).
16. Determine os pontos da superfície x2y2z = 1 que estão mais próximos da origem.
17. Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f no conujunto D:
a) f(x, y) = 3 + xy − x− 2y, onde D é a região triangular fechada de vértices (1, 0), (5, 0)
e (1, 4).
b) f(x, y) = 2x3 + y4, onde D = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1}.
c) f(x, y) = x3 − 3y − y3 + 12y, onde D é o quadrilátero cujos vértices são (−2, 3), (2, 3),
(2, 2) e (−2,−2).
2
18. A produção total P de certo produto depende da quantidade L de trabalho empregado e
da quantidade K de capital investido. Charles Cobb e Paul Douglas seguiram certas hipóteses
econômicas, e chegaram em um modelo que ficou conhecido com função de Cobb-Douglas, dada
pela fórmula: P = bLαKβ, onde b, α < 1 e β < 1 são constantes; e α + β = 1. Se o custo por
unidade de trabalho for m e o custo porunidade de capital for n, e uma companhia pode gastar
somente uma quantidade p de dinheiro como despesa total, maximizar a produção P estará
sujeita a restrição mL+ nK = p.
a) Mostre que a produção máxima ocorre quando L = αp
m
e K = βp
n
.
b) Se a produção for fixada bLαKβ = Q, onde Q é uma constante, quanto devem valer L e
K de modo que o custo C(L,K) = mL+ nK seja minimizado?
19. Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B ou O determinam os quatro tipos de
sangue: A(AA ou AO), B(BB ou BO), O(OO) e AB. A lei de Hardy-Weinberg estabelece que
a proporção de indivíduos, em uma população, que carregam dois alelos diferentes é
P = 2ab+ 2ac+ 2bc
onde a, b e c são as proporções de A, B e O na população. Use o fato de que a+ b+ c = 1 para
mostrar que P é no máximo 2
3
.
20. Mostre que a função f(x, y) = −(x2−1)2− (x2y−x−1)2 só possui dois pontos críticos,
ambos de máximo local. Obs.: Esse tipo de comportamento não acontece em funções contínuas
de uma variável real.
21. Mostre que a função f(x, y) = 3xey − x3 − e3y tem exatamente um ponto crítico, onde
f tem um máximo local, porém este não é um máximo absoluto. Obs.: esse tipo de comporta-
mento não acontece com funções contínuas de uma variável real.
22. Resolva a integral
∫∫
R
1√
x2+y2
dA onde R = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≥ 4, x2 + (y− 2)2 ≤ 4}.
23. Determine o volume do sólido delimitado pelos cilindros x2 + y2 = r2 e x2 + z2 = r2.
24. Determine o volume do sólido delimitado pelo paraboloide cilíndrico y = x2 e pelos
planos z = 3y e z = 2 + y.
25. Calcule a integral
∫∫
R
ex
2
dA onde R = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 1, 3y ≤ x ≤ 3}.
26. Uma piscina tem 40ft de diâmetro e encontra-se cheia de água. Sua profundidade na
direção Leste-Oeste é constante, e aumenta linearmente de 2ft no término Sul para 7ft no tér-
mino Norte. Determine o volume de água dessa piscina.
3
27. Vamos usar integrais duplas para calcular a integral imprópria
∫∞
−∞ e
−x2dx. Para isso,
definimos a seguinte integral imprópria sobre R2:∫∫
R2 e
−x2−y2dA =
∫∞
−∞
∫∞
−∞ e
−x2−y2dydx = lim
a→∞
∫∫
Da
e−x
2−y2dA
onde Da é o disco(ou círculo) de raio a com centro (0, 0). A mesma definição pode ser feita
sobre um quadrado Qa de vértices (±a,±a) ao invés do disco.
a) Mostre que
∫∞
−∞
∫∞
−∞ e
−x2−y2dydx = pi.
b) Mostre que lim
a→∞
∫∫
Qa
e−x
2−y2dA =
∫∞
−∞ e
−x2dx
∫∞
−∞ e
−y2dy.
c) Dos itens anteriores conclua que
∫∞
−∞ e
−x2dx =
√
pi.
28. Seja R a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = x e y = 3x, pelas
hipérboles xy = 1 e xy = 3.
a) Use a mudança de variáveis x = u
v
e y = v para calcular a integral
∫∫
R
xydA.
b) Se z = f(u
v
, v), determine ∂z
∂u
e
∂z
∂v
.
29. Seja R a região delimitada pela elipse 9x2 + 4y2 = 1.
a) Usando uma mudaça de variáveis conveniente, calcule a integral
∫∫
R
sin(9x2 + 4y2)dA.
b) Se z = f(x(r, θ); y(r, θ)) com x(r, θ) e y(r, θ) como em (a), calcule ∂z
∂r
e
∂z
∂θ
.
30. Seja f uma função contínua sobre o intervalo [0, 1] e seja R a região triangular com
vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1).
a) Mostre que
∫∫
R
f(x+ y)dA =
∫ 1
0
uf(u)du.
b) Calcule
∫∫
R
3
√
x2 + y2 + 2xydA onde R é o mesmo triângulo do enunciado acima.
31. Encontre o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados,pelo plano y = 1− x e pela superfície z = cos(pix
2
), 0 ≤ x ≤ 1.
32. Encontre o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados,
pelo plano y + z = 2 e pelo cilindro x = 4− y2.
33. Encontre
∫∫∫
E
yz cos(x5)dV onde
E = {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, x ≤ z ≤ 2x}.
34. Use coordenadas cilíndricas para calcular
∫∫∫
E
xdV , onde E está delimitado pelos pla-
nos z = 0, x+ y + z = 3, e pelos cilindros x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
35. Ache o volume da região E delimitada pelos paraboloides z = x2+y2 e z = 36−3x2−3y2.
36. Use coordenadas esféricas para calcular
∫∫∫
E
xdV onde E está contido entre as esferas
x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4.
4
37. Ache o volume do sólido que está contido dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 4, acima do
plano z = 0 e abaixo do cone z =
√
x2 + y2.
38. Determine o volume da região delimitada pela superfície
√
x +
√
y +
√
z = 1 e pelos
planos coordenados. (Sugesta˜o: Utilize a mudança de coordenadas x = u2, y = v2 e z = w2).
39. a) Determine
∫∫∫
E
1
(x2+y2+z2)
n
2
dV , onde n é um número inteiro e E é a região entre as
esferas com centro na origem e raios r e R com 0 < r < R.
b) Para que valores de n a integral do item (a) tem limite quando r → 0+?
40. a) Calcule
∫∫∫
E
dV , onde E é o sólido limitado pelo elipsoide x
2
a2
+ y
2
b2
+ z
2
c2
= 1.
(Sugesta˜o: Utilize a mudança de variáveis x = au, y = bv e z = cw).
b) O formato do planeta terra pode ser aproximado por um elipsoide com a = b = 6378km
e c = 6356km. Use a letra (a) para estimar o volume da Terra.
41. Calcule a integral
∫∫∫
E
xzdV , onde E é o tetraedro com vértices nos pontos (0, 0, 0),
(0, 1, 0), (1, 1, 0) e (0, 1, 1).
42. Escreva a integral
∫ 1
0
∫ x2
0
∫ y
0
f(x, y, z)dzdydx de cinco outras maneiras diferentes.
43. Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. Faça um esboço da curva C.
a)
∫
C xy
4ds, C é a metade direita da circunferência x2 + y2 = 16.
b)
∫
C sinxdx+cos ydy, C consiste na metade superior da circunferência x2+ y2 = 1 de (1, 0)
a (−1, 0) e o segmento de reta de (−1, 0) a (−2, 3).
c)
∫
C(2x+ 9z)ds, C: x = t, y = t2, z = t3, 0 ≤ t ≤ 1.
d)
∫
C(x+
√
y − z2)ds, onde C é a união das curvas
C1: x = t, y = t2, z = 0, 0 ≤ t ≤ 1 e C2: x = 1, y = 1, z = t, 0 ≤ t ≤ 1.
44. Calcule a integral de linha
∫
C
~F · d~r, onde C é dada pela função vetorial ~r(t).
a)
~F (x, y) = x2y3iˆ− y√xjˆ, ~r(t) = t2iˆ− t3jˆ, 0 ≤ t ≤ 1.
b)
~F (x, y, z) = ziˆ+ yjˆ − xkˆ, ~r(t) = tˆi+ sin tjˆ + cos tkˆ, 0 ≤ t ≤ pi.
45. É uma tabela de valores de uma função f com gradiente contínuo.
y 0 1 2
x * * * *
0 * 1 6 4
1 * 3 5 7
2 * 8 2 9
Calcule
∫
C∇~F · d~r, onde C tem equações paramétricas x = t2 + 1, y = t3 + t, 0 ≤ t ≤ 1.
5
46. Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral.
a)
∫
C tan ydx+ x sec
2 ydy, é C é qualquer caminho de (1, 0) a (2, pi
4
).
b)
∫
C(1− ye−x)dx+ e−xdy, C é qualquer caminho de (0, 1) a (1, 2).
47. Seja
~F (x, y) = −y
x2+y2
iˆ+ x
x2+y2
jˆ.
a) Verifique que
∂Q
∂x
= ∂P
∂y
.
b) Mostre que
∫
C
~F ·d~r não é independente do caminho, calculando a integral primeiro sobre
a semicircunferência superior e, em seguida, a semicircunferência inferior de x2 + y2 = 1 do
ponto (1, 0) ao ponto (−1, 0).
(Obs.: esse exercício mostra que o campo ~F não é conservativo sobre R2 mesmo satisfazendo
a igualdade da letra (a)).
48.
~F (x, y) = −y
x2+y2
iˆ + x
x2+y2
jˆ. Calcule
∮
C
~F · d~r, onde C é a fronteira da região dada pela
região dada pela interseção de x2 + y2 ≥ 1 com x2 + y2 ≤ 4.
49. Seja C a curva fronteira da região delimitada pelo eixo x, a reta x = 1 e a parábola
y = x2. Calcule a integral
∮
C xydx+ xdy.
50. Considere o campo vetorial
~F (x, y) = (ex + 2xy)ˆi+ x2jˆ para (x, y) em R2.
a) Verifique se
~F é um campo conservativo ou não. Se sim, encontre uma função potencial
para
~F .
b) Calcule
∫
C
~F · d~r, onde C é a curva de equação y = x3ex−1, para 0 ≤ x ≤ 1, percorrida de
(0, 0) a (1, 1).
6
51. A curva descrita pela equação (x2 + y2)2 = 4(x2 − y2) é chamada de Lemniscata de
Bernoulli. Em coordenadas polares fica r2 = 4 cos(2θ). Seja C a curva dada pela equação
((x− 1)2 + y2)2 = 4((x− 1)2− y2), translação da equação anterior no eixo x de uma unidade à
direita.
Figura 1: ((x− 1)2 + y2)2 = 4((x− 1)2 − y2)
a) Se ~r(t) = x(t)ˆi + y(t)jˆ é uma parametrização para C com ~r(0) = 2ˆi, ~r′(0) = 2jˆ e
f(x, y) = (x− y)2, determine df
dt
∣∣
t=0
.
b) Na figura 1 está o esboço da curva C com uma orientação fixada. Calcule∫
C
−y
x2+y2
dx+ x
x2+y2
dy com relação à essa orientação.
52. a) Se C é um segmento de reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto (x2, y2), mostre que∫
C xdy − ydx = x1y2 − x2y1.
b) Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são (x1, y1), (x2, y2), · · · ,
(xn, yn), mostre que a área do polígono é
A = 1
2
[(x1y2 − x2y1) + (x2y3 − x3y2) + · · ·+ (xn−1yn − xnyn−1) + (xny1 − x1yn)].
53. Encontre uma parametrização para cada superfície abaixo.
a) A porção do cone z = 2
√
x2 + y2 entre os planos z = 2 e z = 4.
b) A porção da esfera x2 + y2 + z2 = 4 no primeiro octante entre o plano z = 0 e o cone
z =
√
x2 + y2.
c) A superfície cortada do cilindro parabolico y = x2 pelos planos z = 0, z = 3 e y = 2.
d) A porção do cilindro y2 + z2 = 9 entre os planos x = 0 e x = 3.
e) A porção do cilindro x2 + z2 = 4 acima do plano z = 0 e os planos y = −2 ou y = 2.
f) A porção do plano x+ y + z = 1 dentro do cilindro x2 + y2 = 9.
7
54. Use uma parametrização para expressar a área da superfície como uma integral dupla.
Em seguida, calcule a integral.
a) A porção do plano y + 2z = 2 dentro do cilindro x2 + y2 = 1.
b) A porção do cone z =
√
x2 + y2 entre os planos z = 2 e z = 6.
c) A calota cortada do paraboloide z = 2− x2 − y2 pelo cone z =√x2 + y2.
d) A parte de baixo cortada da esfera x2 + y2 + z2 = 2 pelo cone z =
√
x2 + y2.
55. Considere o campo vetorial
~F (x, y, z) = xyiˆ + yzjˆ + zxkˆ. Seja S a parte da superfície
z = 10 − x2 − y2 que está dentro da superfície z = x2 + y2 e C a curva interseção dessas duas
superfícies.
a) Calcule a área de S.
b) Calcule a integral de linha do campo
~F ao longo da curva C com a orientação anti-horária
quando vista de cima, usando:
b.1) A definição.
b.2) O teorema de stokes.
b.3) O teorema da divergência.
56. Seja C a curva de interseção do cilindro circular x2 + y2 = 4 com o plano z = 4, orien-
tada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule
∫
C
~F · d~r onde ~F é o campo vetorial
definido por
~F (x, y, z) = (yz + ex
2
)ˆi+ [3x− xz + ln(1 + ey)]jˆ + [ln(3x2 + 3y2 + 1− z)]kˆ.
(Obs.: O domínio campo vetorial ~F não inclui o círculo x2 + y2 ≤ 4 no plano z = 4. Sendo
assim, utilize o cilindro dado acima como 0 ≤ x ≤ 4).
57. Seja S a metade superior da superfície do elipsoide de equação x2 + y2 + z2
9
= 1, orien-
tada com vetores normais unitários para cima. Calcule
∫∫
S ∇× ~F · nˆdS, onde
~F (x, y, z) = x3iˆ+ y4jˆ + z3 sin(xy)kˆ, usando:
a) O teorema de Stokes.
b) O teorema da divergência.
58. Use o teorema da divergência para calcular
∫∫
S(2x+ 2y + z
2)dS, onde S é a superfície
x2 + y2 + z2 = 1.
8