2014-2-EP-10-IEM-Gabarito

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Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/10 1
Informa´tica no Ensino da Matema´tica
EP/10 — 20/09/2014
ATIVIDADE 1
(Questa˜o sugerida pela professora Gilda Palis da PUC-Rio) Encontre treˆs func¸o˜es
da forma f(x) = a x+ b, com a < 0, cujos gra´ficos formam um triaˆngulo contendo a origem
em seu interior. Utilize o programa GeoGebra 4.x para visualizar sua resposta. Salve
a construc¸a˜o como uma figura PNG e, enta˜o, anexe o arquivo PNG em uma mensagem
na atividade da plataforma de nome “AE-01 do EP-10: Treˆs Retas”. Prazo de entrega
dessa atividade: 01/10/2014.
Soluc¸a˜o. Exitem va´rias respostas poss´ıveis para esse exerc´ıcio. Aqui esta´ uma resposta:
y = −3 x−3, y = −x+ 1 e y = (−1/2) x−1/2. Os gra´ficos destas func¸o˜es sa˜o apresentadas
na Figura (1). Nesta figura, A = (−2, 3), B = (+3,−2) e C = (−1, 0).
Figura 1: Treˆs func¸o˜es da forma f(x) = a x + b, com a < 0, cujos gra´ficos formam um
triaˆngulo contendo a origem em seu interior.
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Figura 2: O gra´fico de y = f(x) = x2 − 3 x+ 5 na janela J1 = [−10,+10]× [−10,+10].
ATIVIDADE 2
(Questa˜o sugerida pela professora Gilda Palis da PUC-Rio) Um gra´fico pode lem-
brar uma reta e ser um gra´fico local de uma func¸a˜o cujo gra´fico global na˜o e´ uma reta. Por
exemplo, analise o gra´fico da func¸a˜o y = f(x) = x2 − 3 x + 5 nas seguintes janelas (todas
especificadas na forma [xmin, xmax]× [ymin, ymax]):
J1 = [−10,+10]× [−10,+10], J2 = [−3,+0.5]× [−2,+5] e J3 = [+3,+6]× [−1,+3].
Soluc¸a˜o.
(1) Os gra´ficos de f nas janelas J1, J2 e J3 esta˜o apresentados, respectivamente, nas Figu-
ras (2), (3) e (4).
(2) Como
∆ = b2 − 4 a c = (−3)2 − 4 (1) (5) = −11 < 0,
segue-se que f na˜o possui zeros reais. Isto esta´ de acordo com o gra´fico de f apresentado
na Figura (1) com a janela de visualizac¸a˜o J1.
(3) Na˜o existem valores de x ∈ R para os quais f(x) < 0 ou f(x) = 0, pois f(x) > 0 para
todo x ∈ R.
(4) O ponto de mı´nimo ocorre no ve´rtice da para´bola, cuja abscissa e´ dada por xV =
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Figura 3: O gra´fico de y = f(x) = x2 − 3 x+ 5 na janela J2 = [−3,+0.5]× [−2,+5].
Figura 4: O gra´fico de y = f(x) = x2 − 3 x+ 5 na janela J3 = [+3,+6]× [−1,+3].
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−b/(2 a) = 3/2. Assim, f e´ crescente para x ≥ 3/2 e f e´ decrescente para x ≤ 3/2.
ATIVIDADE 3
(Questa˜o sugerida pela professora Gilda Palis da PUC-Rio)
(a) Observe os gra´ficos da func¸a˜o y = f(x) = x a seguir, obtidos com o GeoGebra 4.x.
Voceˆ teria trac¸ado figuras semelhantes a ma˜o? E´ correto afirmar que o gra´fico da
func¸a˜o y = f(x) = x e´ a bissetriz do primeiro quadrante?
Soluc¸a˜o. Quando uma pessoa desenha o gra´fico da func¸a˜o y = f(x) = x a ma˜o, e´ muito
prova´vel que ela use a mesma escala para os dois eixos coordenados. Nesta situac¸a˜o,
o gra´fico de y = f(x) = x e´, de fato, a bissetriz do primeiro quadrante. E´ importante
observar, contudo, que quando escalas diferentes sa˜o usadas para os dois eixos, esta
propriedade deixa de valer. Nas figuras acima, se voceˆ projetar perpendicularmente
sobre os eixos x e y um ponto qualquer do gra´fico, voceˆ lera´ os mesmos valores nume´ricos
para a abscissa e para a ordenada. Isto demonstra que, de fato, os gra´ficos desenhados
sa˜o da func¸a˜o y = f(x) = x. As retas na˜o sa˜o bissetrizes, pois escalas diferentes foram
usadas os eixos coordenados. Ao se trabalhar com gra´ficos de func¸o˜es no computador,
o cuidado com as escalas e´ essencial.
(b) Aqui esta˜o os gra´ficos de y = f(x) = 3 x − 5 e g(x) = −(1/3) x + 25/6 produzidos no
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computador. Essas retas sa˜o perpendiculares? O que voceˆ acha desses gra´ficos?
Soluc¸a˜o. A frase “Os gra´ficos das func¸o˜es y = f(x) = mx + b e y = g(x) = nx + c
sa˜o retas perpendiculares se, e somente se, mn = −1.” e´ verdadeira somente quando
uma mesma escala e´ usada para os dois eixos coordenados. Os gra´ficos apresentados na
figura esta˜o corretos. O aˆngulo entre as retas na˜o e´ 90◦ por conta das escalas diferentes.
Ao se trabalhar com gra´ficos de func¸o˜es no computador, o cuidado com as escalas e´
essencial.
(c) Observe os gra´ficos das func¸o˜es
y = f(x) = x e y = g(x) = 5 x
trac¸ados nas janelas de visualizac¸a˜o a seguir. Voceˆ teria trac¸ado figuras semelhantes
a ma˜o? O que voceˆ acha desses gra´ficos?
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Soluc¸a˜o. Vemos que, nas duas figuras, os gra´ficos de y = f(x) = x e y = g(x) = 5 x
sa˜o bissetrizes do primeiro quadrante. Isto acontece porque o gra´fico da esquerda foi
feito usando-se as mesmas escalas para os eixos coordenados, enquanto que o gra´fico da
direita foi constru´ıdo com escalas diferentes. Em geral, as pessoas na˜o costumam usar
escalas diferentes quando fazem gra´ficos de func¸o˜es a ma˜o e, por este motivo, elas na˜o
percebem que certas propriedades dependem das escalas empregadas. Com o advento
do computador, onde escalas podem ser modificadas facilmente, questo˜es e problemas
de escala aparecem mais facilmente e voceˆ, como futuro professor de matema´tica, deve
ter domı´nio sobre o assunto.
(d) Um certo aluno observou que “nada acontecia” ao desenhar os gra´ficos de y = 3 x e
y = 3 x+ 15 na tentativa de visualizar o efeito de mudanc¸as no coeficiente linear sobre
o gra´fico de func¸o˜es desse tipo. Como voceˆ explicaria a obervac¸a˜o do aluno?
Soluc¸a˜o. Ele possivelmente esta´ usando uma janela de visualizac¸a˜o onde os gra´ficos
de y = 3 x e y = 3 x + 15. Isto ocorre, por exemplo, na janela de visualizac¸a˜o [4, 6] ×
[4, 6].
(e) O gra´fico a seguir representa que tipo de func¸a˜o?
Soluc¸a˜o. Na˜o e´ poss´ıvel afirmar qual e´ o tipo de func¸a˜o que gerou o gra´fico da figura.
( f ) Use o GeoGebra 4.x para desenhar os gra´ficos das func¸o˜es
f(x) = 10000 x2 e g(x) = 0.000001 x2
em uma mesma janela de visualizac¸a˜o. Voceˆ teria trac¸ado figuras semelhantes a ma˜o?
O que voceˆ acha dos gra´ficos apresentados pelo GeoGebra 4.x? E´ poss´ıvel melhora´-los?
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ATIVIDADE 4
Com o programa GeoGebra 4.x desenhe o gra´fico da func¸a˜o y = f(x) = cos(pix/2) na janela
de visualizac¸a˜o [−6,+6] × [−2,+2]. Depois, desenhe o gra´fico de cada uma das func¸o˜es
a seguir e determine quais as transformac¸o˜es geome´tricas que permitem obteˆ-los a partir do
gra´fico de f .
y = f1(x) = −f(x), y = f2(x) = f(−x), y = f3(x) = f(x) + 1/2,
y = f4(x) = f(x+ 2), y = f5(x) = f(x− 2), y = f6(x) = 2 f(x),
y = f7(x) = f(2 x), f8(x) = y = f(x)/2, y = f9(x) = f(x/2),
y = f10(x) = |f(x)|, y = f11(x) = f(|x|).
Dicas: (1) no GeoGebra 4.x, |x| e´ denotado por abs(x); (2) para definir uma func¸a˜o de nome
f1 no GeoGebra 4.x, digite no campo de entrada; f {1}(x) = · · · ; (3) use cores diferentes
para func¸o˜es diferentes; (4) sua construc¸a˜o deve ser feita de tal modo que se o usua´rio trocar
a expressa˜o que define a func¸a˜o f , todas os gra´ficos das demais func¸o˜es fi, 1 ≤ i ≤ 11, se
ajustara˜o automaticamente.
Salve sua construc¸a˜o no formato GGB e exporte-a no formato PNG. Anexo o arquivo GGB e
inclua o arquivo PNG como imagem em uma mensagem na atividade da plataforma de nome
“AE-04 do EP-10: Transformac¸o˜es de Gra´ficos”. Prazo de entrega dessa atividade:
01/10/2014.
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