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ROTEIRO DE ESTUDOS Antiderivadas Seja f uma func¸a˜o definida num intervalo I. Uma antiderivada ou primitiva de f em I, e´ uma func¸a˜o definida em I, tal que F ′(x) = f(x), para todo x em I. Na primeira parte do v´ıdeo abaixo, voceˆs tera˜o um conceito mais aprofundadado do assunto e uma definic¸a˜o mais abrangente sobre antiderivadas, vejam: http://www.youtube.com/watch?v=8XTvBwJgVkU Na notac¸a˜o ∫ f(x) dx, a func¸a˜o f denomina-se integrando. Uma primitiva de f sera´ tambe´m denominada uma integral indefinida de f . E´ comum referir-se a ∫ f(x) dx como a integral indefinida de f . No v´ıdeo abaixo, voceˆs encontrara˜o dicas e exemplos que os ajudara˜o a compreender melhor a mate´ria. http://www.youtube.com/watch?v=DiXFHDncB3E Para melhor fixac¸a˜o, tente resolver os seguintes exerc´ıcios: 1. Calcule. a) ∫ x3 dx b) ∫ ex dx c) ∫ (x5 + 1 x2 + 4) dx d) ∫ 3 √ x2 dx e) ∫ 1 x dx f) ∫ e2x dx 2. Verifique que a) ∫ sinαx dx =− 1 α cosαx+ k b) ∫ cosαx dx = 1 α sinαx+ k 3. Calcule: a) ∫ sin 5x dx b) ∫ ( 3 √ x+ cos 3x) dx Respostas 1. Questa˜o 1 a) x 4 4 + k b) ex + k c) x 6 6 − 1 2x2 + 4x+ k d) 3 5 3 √ x5 + k e) lnx+ k f) 1 2 e2x+ k 2. Questa˜o 2 1 a) Derive f(x) = − 1 α cosαx+ k b) Derive f(x) = 1 α sinαx+ k 3. Questa˜o 3 a) −1 5 cos 5x+ k b) 3 4 3 √ x4 + 1 3 sin 3x+ k Integrac¸a˜o por Partes Suponhamos f e g definidas e deriva´veis num mesmo intervalo I, temos: [f(x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x), isto e´; f(x)g′(x) = [f(x)g(x)]′ − f ′(x)g(x) Supondo, enta˜o, que f ′(x)g(x) admita primitiva em I e observando que f(x)g(x) e´ uma primitiva de [f(x)g(x)]′, enta˜o f(x)g′(x) tambe´m admitira´ primitiva em I, e∫ f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)− ∫ f ′(x)g(x) dx (1) que e´ a regra de integrac¸a˜o por partes. Fazendo u = f(x) e derivando em relac¸a˜o a varia´velx, temos du = f ′(x)dx e fazendo v = g(x) e derivando em relac¸a˜o a varia´vel x, temos dv = g′(x)dx, o que nos permite escrever a regra (1) na seguinte forma usual:∫ u dv = uv − ∫ v du Nos v´ıdeos abaixo, voceˆs encontrara˜o uma se´rie de exerc´ıcios resolvidos e as poss´ıveis func¸o˜es onde esta te´cnica pode ser empregada. http://www.youtube.com/watch?v=XAGyiafVjlg http://www.youtube.com/watch?NR=1&feature=endscreen&v=0t01aAkiizY http://www.youtube.com/watch?v=p0IUVdUT9oS http://www.youtube.com/watch?v=O2q45TzlsSM Tente resolver tambe´m os seguintes exerc´ıcios: 1. calcule a) ∫ xe2x dx b) ∫ lnx dx c) ∫ x sinx dx d) ∫ sec3 x dx e) ∫ e2x sinx dx Respostas a) xe 2x 2 − e2x 4 + c b) x ln |x| − x+ c c) −x cosx+ sinx+ c d) 1 2 [secx tanx+ ln | secx+ tanx|] + c e) e 2x 5 (sinx− cosx) + c 2 Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais Usaremos integrais da forma ∫ P (x) Q(x) dx onde P (x) e Q(x) sa˜o polinoˆmios na˜o-nulos. Antes de usarmos estas integrais veremos, atrave´s dos v´ıdeos abaixo, como a expressa˜o racional P (x) Q(x) pode ser escrita como uma somato´ria de frac¸o˜es parciais. Vejam: http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=xzIqeNtOR1s&NR=1 http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=t4WA8IC_APw&feature=endscreen http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=IxEv37ZF_qQ&NR=1 Exerc´ıcios: 1. Escreva cada uma das seguintes expresso˜es como uma somato´ria de frac¸o˜es parciais. a) 3x+1 x2−x−6 b) x 3+3x2+7x+4 x2+2x c) x 2−x+2 x3−2x2+x Respostas a) 2 x−3 + 1 x+2 b) 2 x + 3 x+2 c) 2 x + −1 x−1 + 2 (x−1)2 Nos v´ıdeos abaixo, voceˆs encontrara˜o exemplos de como resolver equac¸o˜es da forma∫ P (x) Q(x) dx, confiram: http://www.youtube.com/watch?v=cv1Dm41e2ZU http://www.youtube.com/watch?v=MCsVAVBY7Z490 http://www.youtube.com/watch?v=wbmK_T2ki2U&feature=fvwrel Exerc´ıcios: 1. Calcule: a) ∫ 3x+ 1 x2 − x− 6 dx b) ∫ x3 + 3x2 + 7x+ 4 x2 + 2x dx c) ∫ x2 − x+ 2 x3 − 2x2 + x dx d) ∫ 1 1− x2 dx e) ∫ x+ 1 x2 + 4x− 5 dx f) ∫ x3 (x2 + 1)2 dx 3 Respostas a) 2 ln |x− 3|+ ln |x+ 2|+ c b) x 2 2 + x+ 2 ln |x|+ 3 ln |x+ 2|+ c c) 2 ln |x| − ln |x− 1| − 2 x−1 + c d) 1 2 ln |x+1 x−1 |+ c e) 2 3 ln |x+ 5|+ 1 3 ln |x− 1|+ c f) 1 (x2+1)2 + 1 2 ln |x2 + 1|+ c 4
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