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Cálculo 2
Mauro Patrão
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SUMÁRIO
Sumário 2
1 Introdução 5
1.1 Derivada, Integral e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Polinômios infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Aproximando polinômios infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Sequências e séries 21
2.1 Aproximação da origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Propriedades da aproximação da origem . . . . . . . . . . . . . 26
Limite infinito de sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Limite de sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Propriedades do limite de sequências . . . . . . . . . . . . . . . 35
Sequência monótonas e limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Sequências e funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Sequência dos semiperímetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Séries numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Teste da divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Série harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Série geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Operações com séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 Séries de termos sem sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Teste da raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Teste da razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Teste da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5 Séries de termos com sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Teste da convergência absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2
Sumário 3
Teste da série alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Testes da raiz e da razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3 Séries de potências 87
3.1 Séries de potências: polinômios infinitos . . . . . . . . . . . . . 88
Operações com séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Derivada de séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Integral de séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2 Unicidade dos coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4 Polinômio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4 Equações diferenciais 117
4.1 Equação diferencial ordinária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2 EDO separável de 1ª-ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Catenária: cabo suspenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3 EDO linear de 1ª ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Solução da homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Solução da não-homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4 EDO linear de 2ª ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Solução da homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Solução da não-homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.5 Coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Equação característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Raízes reais distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Raiz real única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Raízes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Coeficientes a determinar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.6 Coeficientes variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Soluções por séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5 Transformada de Laplace 189
5.1 Definição e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Linearidade da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Transformada da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.2 Transformada de PVIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Regra do deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Mudança de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4 Sumário
Derivada da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Injetividade da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.3 Frações parciais e a transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.4 Transformada de sistemas de PVIs . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
A Apêndice 227
A.1 Integral imprópria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
A.2 Exponencial complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Funções com valores complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
A.3 EDO linear de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Solução da homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Solução da não-homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
C
A
P
Í
T
U
L
O
1
INTRODUÇÃO
5
6 Capítulo 1. Introdução
1.1 DERIVADA, INTEGRAL E APLICAÇÕES
No Cálculo 1 vimos diversos exemplos e aplicações de derivada e integral de
funções polinomiais, trigonométricas, exponenciais e suas combinações.
Exemplos
1) Queda-livre:
y(t ) = y0+ v0t − g t
2
2
v(t ) =
(
s0+ v0t − g t
2
2
)′
= v0− g t
2) Posição de um sistema-massa mola:
x(t ) = x0 cos(ωt )
v(t ) = (s0 cos(ωt ))′ =−x0ω sen(ωt )
3) Velocidade do trem-bala freiando com o atrito com o ar:
v(t ) = v0e−bt
a(t ) = −bv0e−bt
x(t ) =
∫
v0e
−bt d t = v0 e
−bt
−b +C
Derivar é fácil, uma vez que se conheça as regras básicas. No entanto, in-
tegrar nem sempre é fácil. Por exemplo, a área abaixo da conhecida curva de
sino de Gauss está relacionada ao cálculo de certas probabilidades: como cal-
cular essa integral? ∫ b
a
e−x
2
d x =?
1.2. Polinômios 7
FIGURA: Curva de Gauss (µ= 0, σ= 1) hachurada entre a a b com x no eixo
1.2 POLINÔMIOS
É muito fácil derivar e integrar um polinômio de grau n
a0+a1x+a2x2+·· ·+an xn
uma vez que
(a0 + a1x + a2x2 + ·· · + an xn)′ =
a1 + a22x + ·· · + annxn−1
e que ∫
(a0 + a1x + a2x2 + ·· · + an xn )d x =
a0x + a1 x22 + a2 x
3
3 + ·· · + an x
n+1
n+1 +C
Será que toda função pode ser dada por um polinômio?
Cada vez que derivamos um polinômio seu grau diminui por um. Assim,
depois de derivar n+1 vezes um polinômio de grau n temos que o polinômio
zera. Por outro lado temos que
(ex)′ = ex
( cos(x))′′ =− cos(x)
( sen(x))′′ =− sen(x)
o que mostra que nenhuma das funções ex , cos(x), sen(x) é dada por um
polinômio. Mas e se considerarmos polinômios infinitos (isto é, polinômios
de grau infinito) que podem ser derivados sem que seu grau diminua?
Exemplos
FIGURA: Soma dos termos da PG de razão x
8 Capítulo 1. Introdução
1) A soma dos termos da progressão geométrica de razão x
1+x+x2+·· ·+xn +·· ·
é um polinômio infinito (ver Figura ??). Veremos que
1+x+x2+·· ·+xn +·· · = 1
1−x
para x ∈ (−1,1). Em particular, para x = 12 temos (ver Figura ??)
1+ 1
2
+ 1
4
+·· ·+ 1
2n
+·· · = 1
1− 12
= 2
FIGURA: Soma dos termos da PG de razão 12
2)
1
1+x é dado por um polinômio infinito? Temos que
1
1+x =
1
1− (−x)
= 1+ (−x)+ (−x)2+ (−x)3+ (−x)4+ (−x)5+·· ·
= 1−x+x2−x3+x4−x5+·· ·
para x ∈ (−1,1).
3)
1
1+x2 é dado por um polinômio infinito? Temos que
1
1+x2 =
1
1− (−x2)
= 1+ (−x2)+ (−x2)2+ (−x2)3+ (−x2)4+ (−x2)5+·· ·
= 1−x2+x4−x6+x8−x10+···
para −x2 ∈ (−1,1), ou seja, para x ∈ (−1,1).
1.3. Polinômios infinitos 9
1.3 POLINÔMIOS INFINITOS
Veremos que podemos derivar e integrar um polinômio infinito como se ele
fosse um polinômio finito, desde que tomemos o devido cuidado com o seu
domínio.
Propriedades
Um polinômio infinito
a0 + a1x + a2x2 + ·· · + an xn + ·· ·
tem
1) Domínio:
Intervalo centrado na origem, com raio 0≤R ≤∞.
2) Derivada:
(a0 + a1x + a2x2 + ·· · + an xn + ·· · )′ =
a1 + a22x + ·· · + annxn−1 + ·· ·
para x ∈ (−R,R).
3) Integral:∫
(a0 + a1x + a2x2 + ·· · + an xn + ·· · )d x =
a0x + a1 x
2
2
+ a2 x
3
3
+ ·· · + an x
n+1
n+1 + ·· · +C
para x ∈ (−R,R).
10 Capítulo 1. Introdução
Exemplos
FIGURA: definição arco-tangente
1) Uma maneira de escrever a função atg(x) como um polinômio
infinito é, usando o que já vimos, escrever sua derivada
(atg(x))′ = 1
1+x2
como o polinômio infinito
(atg(x))′ = 1−x2+x4−x6+·· ·
para x ∈ (−1,1), e integrar os dois lados
atg(x) =
∫
(1−x2+x4−x6+·· · ) d x
= x− x
3
3
+ x
5
5
− x
7
7
+·· ·+C
para x ∈ (−1,1). Para determinar o valor da constante de integra-
ção fazemos x = 0
0= atg(0)= 0− 0
3
3
+ 0
5
5
− 0
7
7
+·· ·+C =C
de onde segue que
atg(x)= x− x
3
3
+ x
5
5
− x
7
7
+·· ·
para x ∈ (−1,1). Veremos mais adiante que o domínio desse po-
linômio infinito é (−1,1], em particular esse domínio tem raio
R = 1. É possível mostrar que a igualdade acima também vale
1.3. Polinômios infinitos 11
para x = 1 de modo que
atg(1) = 1 − 1
3
3
+ 1
5
5
− 1
7
7
+·· ·
∥
pi
4
= 1 − 1
3
+ 1
5
− 1
7
+·· ·
É possível mostrar que a mesma igualdade não vale para x =−1,
o que indica que devemos ser cuidadosos com o domínio de po-
linômios infinitos.
2) Uma maneira de escrever a função log(1+x) como um polinô-
mio infinito é, usando o que já vimos, escrever sua derivada
(log(1+x))′ = 1
1+x
como o polinômio infinito
(log(1+x))′ = 1−x+x2−x3+·· ·
para x ∈ (−1,1), e integrar os dois lados
log(1+x) =
∫
(1−x+x2−x3+·· · ) d x
= x− x
2
2
+ x
3
3
− x
4
4
+·· ·+C
para x ∈ (−1,1). Para determinar o valor da constante de integra-
ção fazemos x = 0
0= log(1)= 0− 0
2
2
+ 0
3
3
− 0
4
4
+·· ·+C =C
de onde segue que
log(1+x)= x− x
2
2
+ x
3
3
− x
4
4
+·· ·
12 Capítulo 1. Introdução
para x ∈ (−1,1). Veremos mais adiante que o domínio desse po-
linômio infinito é (−1,1], em particular esse domínio tem raio
R = 1. É possível mostrar que a igualdade acima também vale
para x = 1, de modo que
log(2)= 1− 1
2
+ 1
3
− 1
4
+·· ·
A mesma igualdade não faz nem sentido para x = −1 pois log(0)
não está nem definido, o que indica novamente que devemos ser
cuidadosos com o domínio de polinômios infinitos.
Exemplos
1) Vimos que ex não é um polinômio finito, pois (ex)′ = ex . Será
que é um polinômio infinito? Fazendo
ex = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 +·· ·
devemos descobrir quem seria cada coeficiente an da potência
de grau n. Fazendo x = 0, temos
e0 = a0 + a10 + a202 + a303 + a404 +·· ·
∥
1 = a0
de modo que a0 = 1 é o coeficiente da potência de grau 0. Deri-
vando termo a termo temos que
(ex)′ = a1 + a22x + a33x2 + a44x3 +·· ·
Usando então que
(ex)′ = a1 + a22x2 + a33x2 + a44x3 +·· ·
∥
ex = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +·· ·
1.3. Polinômios infinitos 13
e igualando os coeficientes das potências de mesmo grau, temos
que
a1 = a0 = 1 =⇒ a1 = 1
a22= a1 = 1 =⇒ a2 = 1
2
a33= a2 = 1
2
=⇒ a3 = 1
3!
a44= a3 = 1
3!
=⇒ a4 = 1
4!
Segue que, em geral
an = 1
n!
de modo que
ex = 1 + x + 1
2!
x2 + 1
3!
x3 + 1
4!
x4 +·· ·
Veremos mais adiante que o domínio desse polinômio infinito é
x ∈ (−∞,∞), isto é, esse domínio tem raio R =∞. Observe que
(ex)′ = ( 1 + x + 1
2!
x2 + 1
3!
x3 + 1
4!
x4 +·· · )′
= 1 + 1
2!
2x + 1
3!
3x2 + 1
4!
4x3 +·· ·
= 1 + x + 1
2!
x2 + 1
3!
x3 +·· ·
= ex
e que
e1 = 1 + 1 + 1
2!
12 + 1
3!
13 + 1
4!
14 +·· ·
∥
e = 1 + 1 + 1
2!
+ 1
3!
+ 1
4!
+·· ·
14 Capítulo 1. Introdução
FIGURA: Curva de Gauss (µ= 0, σ= 1) hachurada entre a a b com x no eixo
2) Já comentamos que a área abaixo da conhecida curva de sino
de Gauss, dada por ∫ b
a
e−x
2
d x
está relacionada ao cálculo de certas probabilidades.
Podemos calcular essa integral usando o polinômio infinito
para ex e fazendo
e−x
2 = 1 + (−x2) + 1
2!
(−x2)2 + 1
3!
(−x2)3 + ·· ·
= 1 − x2 + 1
2!
x4 − 1
3!
x6 + ·· ·
para x ∈ (−∞,∞), de modo que
∫
e−x
2
d x = x − x
3
3
+ 1
2!
x5
5
− 1
3!
x7
7
+ ·· ·+C
para x ∈ (−∞,∞).
3) Vimos que sen(x) não é um polinômio finito, pois ( sen(x))′′ =
− sen(x). Será que é um polinômio infinito? Fazendo
sen(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ·· ·
temos que
sen′(x) = a1 + a22x + a33x2 + a44x3 + ·· ·
sen′′(x) = a22 + a33 ·2x + a44 ·3x2 + a55 ·4x3 + ·· ·
1.3. Polinômios infinitos 15
Fazendo x = 0, temos
sen(0) = a0 + a10 + a202 + a303 + ·· ·
∥
0 = a0
sen′(0) = a1 + a220 + a3302 + a4403 + ·· ·
1 = a1
de onde concluímos que a0 = 0 e a1 = 1. Usando que
sen′′(x) = a22 + a33 ·2x + a44 ·3x2 + a55 ·4x3 + ·· ·
∥
− sen(x) = −a0 − a1x − a2x2 − a3x3 + ·· ·
e igualando os coeficientes das potências de mesmo grau, temos
que
a22=−a0 = 0 =⇒ a2 = 0
a33 ·2=−a1 =−1 =⇒ a3 =− 1
3!
a44 ·3=−a2 = 0 =⇒ a4 = 0
a55 ·4=−a3 = 1
3!
=⇒ a5 = 1
5!
Segue que
sen(x) = x − 1
3!
x3 + 1
5!
x5 − 1
7!
x7 + 1
9!
x9 +·· ·
Veremos mais adiante que o domínio desse polinômio infinito é
x ∈ (−∞,∞), isto é, esse domínio tem raio R =∞.
Usando que cos(x) = sen′(x) podemos facilmente escrever
16 Capítulo 1. Introdução
cos(x) como um polinômio infinito
cos(x) = (x − 1
3!
x3 + 1
5!
x5 − 1
7!
x7 +·· · )′
= 1 − 1
3!
3x2 + 1
5!
5x4 − 1
7!
7x6 +·· ·
= 1 − 1
2!
x2 + 1
4!
x4 − 1
6!
x6 +·· ·
para x ∈ (−∞,∞).
Sabemos que cos(x) é uma função par e sen(x) é uma função
ímpar, isto é
cos(−x)= cos(x) e sen(−x)=− sen(x)
Observe que no polinômio infinito para cos(x) aparecem apenas
potências pares e no polinômio infinito para sen(x) aparecem
apenas potências ímpares. Coincidência?
1.4 APROXIMANDO POLINÔMIOS INFINITOS
Dado um polinômio infinito
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + ·· · + an xn + ·· ·
na prática só sabemos calcular o polinômio finito
fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ·· · + an xn
que obtemos parando a soma das potências no termo de grau n. Para que
valores de x fixado temos que fn(x) aproxima f (x), em símbolos,
fn(x)≈ f (x) para n grande?
1.4. Aproximando polinômios infinitos 17
Isto é, para que valores de x fixado temos que
f (x)− fn(x)≈ 0 para n grande?
Exemplos
1) Já vimos que
f (x)= 1+x+x2+·· ·+xn +·· · = 1
1−x
para x ∈ (−1,1). Temos que
fn(x)= 1+x+x2+·· ·+xn
de modo que
f (x)− fn(x) = xn+1+xn+2+·· ·
= xn+1(1+x+x2+·· · )
= xn+1
(
1
1−x
)
= x
n+1
1−x
Mais adiante vamos mostrar que
xn+1 ≈ 0 para n grande
se e só se x ∈ (−1,1), de modo que fn(x) aproxima f (x) para n
grande apenas para x ∈ (−1,1).
Para ilustrar esse fato, tomamos x = 12 e obtemos
f
(1
2
)= 1
1− 12
= 2
fn
(1
2
)= 1+ 1
2
+ 1
4
+·· ·+ 1
2n
18 Capítulo 1. Introdução
Pelo visto acima, temos
f
(1
2
)− fn (12)=
(1
2
)n+1
1− 12
= 1
2n+1
2= 1
2n
onde é intuitivo que
1
2n
≈ 0 para n grande.
Segue que fn
(1
2
)
aproxima f
(1
2
)
para n grande.
2) Já vimos que
exp(x)= 1+x+ 1
2!
x2+ 1
3!
x3+·· ·
para x ∈ (−∞,∞). Temos que
expn−1(x)= 1+x+
1
2!
x2+·· ·+ 1
(n−1)! x
n−1
De modo que, para x ≥ 0, temos
0≤ exp(x)−expn−1(x) =1
n!
xn + 1
(n+1)! x
n+1+ 1
(n+2)! x
n+2+·· ·
= x
n
n!
(
1+ 1
n+1 x+
1
(n+2)(n+1) x
2+·· ·
)
≤ x
n
n!
(
1+x+ 1
2!
x2+ 1
3!
x3+·· ·
)
= x
n
n!
ex
Mais adiante vamos mostrar que
xn
n!
≈ 0 para n grande
1.4. Aproximando polinômios infinitos 19
para cada x fixado, de modo que expn(x) aproxima exp(x) para n
grande para cada x ∈ (−∞,∞) fixado.
Para ilustrar esse fato, tomamos x = 1 e obtemos
exp(1)= e1 = e
expn−1(1)= 1+1+
1
2!
+·· ·+ 1
(n−1)!
Pelo visto acima, temos
0≤ exp(1)−expn−1(1)≤
1
n!
e
onde é intuitivo que
1
n!
≈ 0 para n grande.
Segue que expn−1(1) aproxima exp(1) para n grande.
Tomando agora x = 3 obtemos
exp(3)= e3
expn−1(3)= 1+3+
1
2!
32+·· ·+ 1
(n−1)!3
n−1
Pelo visto acima, temos
0≤ exp(3)−expn−1(3)≤
3n
n!
e3
onde veremos que
3n
n!
≈ 0 para n grande.
Segue que expn−1(3) aproxima exp(3) para n grande.
C
A
P
Í
T
U
L
O
2
SEQUÊNCIAS E SÉRIES
21
22 Capítulo 2. Sequências e séries
2.1 APROXIMAÇÃO DA ORIGEM
Nosso primeiro passo será tornar mais preciso o conceito de uma sequência
de números reais se aproximar de um dado ponto da reta. Uma sequência é
uma lista ordenada infinita de números reais
a1, a2, a3, . . . , an , . . .
Denominamos a1 de primeiro termo da sequência, a2 de segundo termo da
sequência, a3 de terceiro termo da sequência e assim por diante. Numa po-
sição genérica n, aparece an , o n-ésimo termo da sequência, denominado
termo geral da sequência. Muita vezes, denotamos à sequência acima sim-
plesmente pelo seu termo geral. Podemos visualizar uma sequência como
uma progressão infinita de pontos da reta real R.
Primeiro consideramos sequências que se aproximam da origem, como
por exemplo a sequência harmônica 1n , dada pela seguinte lista infinita
1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
, . . .
Neste caso, o número real 1n aparece na posição n da lista.
Figura 2.1: Sequência harmônica se aproximando da origem.
Como ilustra a Figura 2.1, é intuitivo que, à medida que percorremos a lista
para a direita, seus termos se aproximam de 0. Neste caso, dizemos que 0 é o
limite da sequência 1n .
2.1. Aproximação da origem 23
Figura 2.2: Sequência anti-harmônica se aproximando da origem.
Um outro exemplo de sequência que se aproxima da origem é a denomi-
nada sequência anti-harmônica, ilustrada pela Figura 2.2 e dada por − 1n . Um
último exemplo de sequência se aproximando da origem, a sequência harmô-
nica alternada, é ilustrada pela Figura 2.3 e dada por (−1)
n
n .
Figura 2.3: Sequência harmônica alternada se aproximando da origem.
Uma vez que uma sequência pode se aproximar da origem sem que ne-
nhum de seus termos seja igual a zero, o que significa, de maneira mais pre-
cisa, que uma sequência an se aproxima da origem? A ideia básica é não ser-
mos tão rigorosos e permitirmos alguma margem de erro positiva, que pode
ser tão pequena quanto desejarmos. Para isso, consideramos o erro ε > 0,
como ilustra a Figura 2.4. Se a sequência an se aproxima da origem, para cada
erro ε > 0, deve existir uma posição na lista n (ε), denominada posição asso-
ciada ao erro ε, tal que todos os termos a partir dessa posição para a direita
devem ter valor absoluto menor do que ε. Neste caso, isso é denotado por
an → 0
Em geral, quanto mais rigorosos formos, mais para direita devemos ir na lista,
ou seja, quanto menor o erro ε, maior será a posição associada n (ε). Por
24 Capítulo 2. Sequências e séries
exemplo, no caso da sequência harmônica, se escolhermos ε = 0,01, temos
que a posição n = 101 é tal que todos os termos dessa posição para a direita
têm valor absoluto menor do que ε = 0,01. Por outro lado, se escolhermos
ε = 0,005, temos que a posição n = 201 é tal que todos os termos dessa posi-
ção para a direita têm valor absoluto menor do que ε= 0,005.
1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
101
,
1
102
,
1
103
, . . . ,
1
201
,
1
202
,
1
203
, . . .
Em outras palavras, a sequência an se aproxima da origem se, para cada
erro ε> 0, existir uma posição associada n (ε) tal que
n ≥ n (ε) =⇒ |an | < ε,
ou de modo equivalente
n ≥ n (ε) =⇒ −ε< an < ε
como ilustrado pela Figura 2.4. Observe que, adotando um outro erro δ> 0, a
posição associada mudaria para n (δ) e a condição acima ficaria
n ≥ n (δ) =⇒ −δ< an < δ
como ilustrado pela Figura 2.4.
Figura 2.4: Intervalo de erro ε em torno da origem.
Observe também que, uma vez que an e |an | possuem o mesmo valor ab-
soluto, segue que an → 0 se e só se |an | → 0. Nos exemplos anteriores, temos
que ∣∣∣∣− 1n
∣∣∣∣= ∣∣∣∣ (−1)nn
∣∣∣∣= 1n
Nesses exemplos, temos que o valor absoluto dos termos diminui a medida
que percorremos a lista para a direita. Quando isso acontece, a situação é mais
2.1. Aproximação da origem 25
simples: a primeira posição cujo termo tem valor absoluto menor que ε > 0
serve como posição associada n (ε). Como nos exemplos anteriores |an | = 1n ,
o primeiro natural n tal que
1
n
< ε
serve como posição associada n (ε) dessas sequências. Resolvendo para n te-
mos que
n > 1
ε
,
de modo que
n (ε)= 1º n > 1
ε
é uma posição associada ao erro ε. A tabela abaixo apresenta alguns dos seus
valores:
ε 1/ε n (ε)
0,5 2 3
0,4 2,5 3
0,3 3,333. . . 4
0,2 5 6
No caso da sequência harmônica, as primeiras linhas dessa tabela são ilustra-
das pela Figura 2.5.
Figura 2.5: Alguns erros para a sequência harmônica.
Em geral, duas sequências que se aproximam da origem podem possuir
posições distintas associadas ao mesmo erro ε. Por exemplo, denotando por
na (ε) a posição associada ao erro ε da sequência an = 1n e por nb (ε) a posição
associada ao erro ε da sequência bn = 1n2 , temos que
na (ε)= 1º n > 1
ε
26 Capítulo 2. Sequências e séries
como vimos acima e também que
nb (ε)= 1º n >
√
1
ε
uma vez que esse é o primeiro natural n tal que
1
n2
< ε.
A tabela abaixo compara alguns dos seus valores:
ε 1/ε na (ε)
p
1/ε nb (ε)
0,5 2 3 1,414. . . 2
0,4 2,5 3 1,581. . . 2
0,3 3,333. . . 4 1,825. . . 2
0,2 5 6 2,236. . . 3
0,1 10 11 3,162. . . 4
0,01 100 101 10 11
0,001 1000 1001 31,622. . . 32
Não é difícil perceber que, para cada erro, a posição associada de an é muito
maior que a respectiva posição associada de bn .
PROPRIEDADES DA APROXIMAÇÃO DA ORIGEM
Agora vamos considerar o que acontece com a soma de duas sequências que
se aproximam da origem.
Proposição 2.1
Se an ,bn → 0, então an +bn → 0.
Prova:
A ideia da demonstração se baseia no seguinte fato: se an e bn estão no
intervalo de erro
(−ε2 , ε2), então sua soma an+bn está no intervalo de erro
(−ε,ε). Sejam na (ε) e nb (ε) as posições associadas ao erro ε, respectiva-
2.1. Aproximação da origem 27
mente, de an e de bn . Temos então que
n ≥ na
(
ε
2
) =⇒ −ε
2
< an < ε
2
e também que
n ≥ nb
(
ε
2
) =⇒ −ε
2
< bn < ε
2
.
Escolhendo n (ε) como o maior dentre os tempos na
(
ε
2
)
e nb
(
ε
2
)
, somando
as desigualdades acima, teremos então que
n ≥ n (ε) =⇒ −ε< an +bn < ε,
mostrando que n (ε) é de fato uma posição associada ao erro ε da sequên-
cia an +bn .
Para ilustrar o resultado acima, considere a sequência an + bn , que é a
soma, respectivamente, das sequências harmônica an e harmônica alternada
bn . Temos que
an +bn =
{
2
n , n é ímpar
0, n é par
como ilustrado pela Figura 2.6. O resultado acima garante que an +bn → 0.
Figura 2.6: Soma das sequências harmônica e harmônica alternada.
A próxima proposição é uma versão mais restrita do famoso Teorema do
Sanduíche.
28 Capítulo 2. Sequências e séries
Proposição 2.2
Se 0≤ an ≤ bn e bn → 0, então an → 0.
Prova:
Uma vez que 0 ≤ an ≤ bn , podemos escolher para an a mesmaposição
associada de bn . De fato, seja n (ε) uma posição associada ao erro ε da
sequência bn . Então temos que
n ≥ n (ε) =⇒ |bn | = bn < ε.
Como 0≤ an ≤ bn , segue que
n ≥ n (ε) =⇒ |an | = an < ε.
o que mostra que n (ε) é de fato uma posição associada ao erro ε da
sequência an .
Uma exemplo de aplicação do resultado acima é mostrar que a progres-
são geométrica com razão r = 1/2 se aproxima da origem. Como a sequência
2n dobra de tamanho, enquanto a sequência n cresce de um em um, temos
que 2n > n, para todo n ∈ N. Neste caso, invertendo ambos os lados dessa
desigualdade, segue que
0< 1
2n
< 1
n
Como 0→ 0 e também 1n → 0, temos que
1
2n
→ 0
Dizemos que uma sequência bn é limitada quando ela não se afasta muito
da origem. Em outras palavras, existe uma raio R > 0 tal que |bn | <R para todo
n ∈N, como ilustra a Figura 2.7.
2.1. Aproximação da origem 29
Figura 2.7: Uma sequência limitada.
É intuitivo que toda sequência que se aproxima da origem é limitada. A
sequência alternada, dada por (−1)n e ilustrada pela Figura 2.8, é um exemplo
de uma sequência limitada, mas que não se aproxima da origem. Como mos-
tramos a seguir, o produto de uma sequência limitada por uma sequência que
se aproxima da origem também se aproxima da origem. Um exemplo disso é
a sequência harmônica alternada que é o produto da sequência harmônica,
que se aproxima da origem, pela sequência alternada, que é apenas limitada.
Figura 2.8: Sequência alternada é limitada, mas não se aproxima da origem.
Proposição 2.3
Se an → 0 e bn é limitada, então anbn → 0.
Prova:
A ideia dessa demonstração se baseia no seguinte fato: se bn está no inter-
valo (−R,R) e an está no intervalo
(− εR , εR ), então anbn está no intervalo
de erro (−ε,ε). Seja na (ε) a posição associada ao erro ε da sequência an .
Temos então que
n ≥ na
(
ε
R
) =⇒ |an | < ε
R
30 Capítulo 2. Sequências e séries
Escolhendo n (ε) igual a na
(
ε
R
)
e multiplicando a desigualdade acima por
R, teremos então que
n ≥ n (ε) =⇒ |anbn | ≤ |an |R < ε,
mostrando que n (ε) é uma posição associada ao erro ε da sequência
anbn .
LIMITE INFINITO DE SEQUÊNCIAS
De maneira intuitiva, uma sequência an tende para o infinito se seus termos
ficam cada vez maiores, a medida que percorremos a lista para direita. De
maneira precisa, dado um raio R > 0, deve existir uma posição na lista n (R),
denominada posição associada ao raio R, tal que
n ≥ n (R) =⇒ R < an
Neste caso, dizemos que an se aproxima de mais infinito e denotamos isso
por an →∞.
Exemplos
1) Temos que n →∞. De fato, consideremos a função
n (R)= 1º n > R
onde R > 0. A tabela abaixo apresenta os valores de n (R) para
alguns valores de R > 0.
R n (R)
pi 4
10pi 32
100pi 315
Temos que essa é uma posição associada ao raio R da sequên-
2.1. Aproximação da origem 31
cia dos números naturais, onde an = n, pois de fato
n ≥ n (R) =⇒ R < n,
como ilustra a Figura 2.9.
2) Temos que
p
n →∞. De fato, consideremos a função
n (R) = 1º n tal quepn > R
= 1º n tal que n > R2
= 1º n > R2
onde R > 0. A tabela abaixo apresenta os valores de n (R) para
alguns valores de R > 0.
R R2 n (R)
pi pi2 10
10pi 100pi2 987
100pi 10000pi2 98697
Temos que essa é uma posição associada ao raio R da sequên-
cia bn =
p
n, pois de fato
n ≥ n (R) =⇒ R2 < n =⇒ R <pn.
Figura 2.9: Sequência do números naturais.
Por outro lado, dizemos que bn se aproxima de menos infinito e denotamos
isso por bn →−∞, quando −bn →∞.
32 Capítulo 2. Sequências e séries
Exemplo:
A sequência dos números inteiros negativos, onde bn = −n, se
aproxima de menos infinito, como ilustra a Figura 2.10.
Figura 2.10: Sequência do números inteiros negativos.
O resultado seguinte mostra a relação entre sequências que se aproximam
da origem com sequências que se aproxima de mais ou de menos infinito.
Proposição 2.4
Temos que
(A) Se an →∞, então 1
an
→ 0.
(B) Se an ↓ 0, então 1
an
→∞.
(C) Se an →∞ e an ≤ bn , então bn →∞.
Prova:
Para o item (A), escolhendo R = 1/ε, temos que
n ≥ na (1/ε) =⇒ 1
ε
< an .
Definindo n (ε)= na (1/ε), temos que
n ≥ n (ε) =⇒ 0< 1
an
< ε.
2.1. Aproximação da origem 33
Para o item (B), escolhendo ε= 1/R, temos que
n ≥ na (1/R) =⇒ 0< an < 1
R
.
Definindo n (R)= na (1/R), temos que
n ≥ n (ε) =⇒ R < 1
an
.
Finalmente para o item (C), escolhendo nb (R)= na (R), temos que
n ≥ nb (R) =⇒ R < an ≤ bn .
A proposição acima é útil para determinar alguns limites.
Exemplos
1) Uma vez que
p
n →∞, então 1p
n
↓ 0.
2) Como
1
2n
↓ 0, segue que 2n →∞.
3) Uma vez que −n →−∞, então − 1
n
↑ 0.
4) Uma vez que n →∞ e que n ≤ n2, então n2 →∞.
5) Temos que
(−1)n
n
→ 0, mas n
(−1)n = (−1)
nn não tende para ∞
nem para −∞. Isso contradiz a proposição acima?
34 Capítulo 2. Sequências e séries
2.2 LIMITE DE SEQUÊNCIAS
Uma vez que definimos com precisão o que significa uma sequência se apro-
ximar da origem, podemos considerar o caso geral de uma dada sequência se
aproximar de um dado ponto qualquer. Dizemos que an se aproxima de a ∈R
quando a diferença an − a se aproxima da origem, ou de modo equivalente,
quando
|an −a|→ 0
Neste caso, escrevemos
an → a
e dizemos que a sequência an é convergente e que o ponto a é seu limite.
Temos então a seguinte relação entre sequências limitadas e sequências
convergentes.
Proposição 2.5
Se bn → b, então
(A) bn é limitada e
(B)
1
bn
é limitada, caso b > 0.
Prova:
Vamos usar o seguinte fato, cuja demonstração deixamos ao leitor: para
que uma sequência an seja limitada basta que, a partir de uma certa po-
sição n, os termos da sequência se encontrem num intervalo (L, M).
(A) Temos que
n ≥ n (ε) =⇒ −ε< bn −b < ε,
2.2. Limite de sequências 35
uma vez que bn −b → 0. Logo
n ≥ n (ε) =⇒ b−ε< bn < b+ε, (2.1)
mostrando que bn é limitada.
(B) Escolhendo ε= b2 na equação (2.1), temos que
n ≥ n
(
b
2
)
=⇒ b
2
< bn < 3b
2
.
Invertendo os três membros da desigualdade acima, segue que
n ≥ n
(
b
2
)
=⇒ 2
3b
< 1
bn
< 2
b
,
mostrando que 1bn é limitada.
A sequência alternada, ilustrada pela Figura 2.8, apesar de limitada, não
se aproxima de nenhum ponto da reta. De fato, quando n é ímpar, (−1)n se
mantém distante de qualquer número positivo e, quando n é par, (−1)n se
mantém distante de qualquer número negativo.
PROPRIEDADES DO LIMITE DE SEQUÊNCIAS
Para determinarmos que o limite da sequência das razões de Fibonacci é de
fato a razão áurea, precisamos considerar o comportamento do limite em rela-
ção às operações de soma, produto e quociente de sequências, as conhecidas
regras de limite.
Proposição 2.6
36 Capítulo 2. Sequências e séries
Sejam an → a e bn → b, então
(S) an +bn → a+b
(P) anbn → ab
(Q)
an
bn
→ a
b
, se bn ,b 6= 0
Prova:
Pela definição, temos que an −a → 0 e bn −b → 0.
(S) A regra da soma segue então da Proposição 2.1, uma vez que
an +bn − (a+b)= (an −a)+ (bn −b)→ 0.
(P) Para a regra do produto, primeiro observamos que bn é limitada,
pela Proposição 2.5. Pelas Proposições 2.1 e 2.3, segue que
anbn −ab = anbn −abn +abn −ab,
= (an −a)bn +a (bn −b)→ 0.
(Q) Para a regra do quociente, primeiro observamos que, pela regra do
produto, como
an
bn
= an 1
bn
, basta mostramos que
1
bn
→ 1
b
. Para
isso, consideramos
1
bn
− 1
b
= b−bn
bnb
= 1
bbn
(b−bn) .
Pela Proposição 2.5, temos que
1
bbn
é limitada, uma vez que bbn →
b2 > 0, pela regra do produto. O resultado segue então da Proposi-
ção 2.3.
2.2. Limite de sequências 37
Uma das propriedades fundamentais do limite é a sua unicidade, o fato de
que uma dada sequência an só pode se aproximar de no máximo um número
a ∈ R. Tal fato é uma consequência diretade uma outra propriedade muito
importante do limite, denominada monotonicidade.
Proposição 2.7: Monotonicidade
Sejam an → a e bn → b. Se an ≤ bn , então a ≤ b.
Prova:
Primeiro vamos mostrar que se cn → c e cn ≤ 0, então c ≤ 0. Se c > 0,
podemos escolher ε= c. Desse modo, segue que
n ≥ n (c) =⇒ −c < cn − c < c
e então
n ≥ n (c) =⇒ 0< cn < 2c,
o que é uma contradição, uma vez que estamos supondo que cn ≤ 0.
Agora considere cn = an − bn ≤ 0. Pelas regras de limite, temos que
cn → a − b. Pela primeira parte da demonstração, temos que a − b ≤ 0,
ou seja, a ≤ b.
Corolário 2.8: Unicidade
Sejam an → a e bn → b. Se an = bn , então a = b.
38 Capítulo 2. Sequências e séries
Prova:
Como an ≤ bn e também bn ≤ an , pela monotonicidade, temos por um
lado que a ≤ b e por outro lado que b ≤ a, o que mostra que de fato a = b.
O seguinte teorema é uma ferramenta básica no estudo do comporta-
mento de sequências e é conhecido pelo sugestivo nome de Teorema do San-
duíche para sequências.
Teorema 2.9: Sanduíche
Se an ≤ cn ≤ bn e an ,bn → c, então cn → c.
Prova:
Como an ≤ cn ≤ bn , segue que
0≤ cn −an ≤ bn −an .
Pelas regras de limite, temos que bn − an → 0, uma vez que an ,bn → c.
Pela Proposição 2.2, segue que cn −an → 0, mostrando que
cn = (cn −an)+an → c.
Agora consideramos um exemplo bastante curioso, a denominada sequên-
cia de Fibonacci dada por an da seguinte maneira: seus dois primeiros passos
são iguais a um, ou seja, a1 = a2 = 1. Para obtermos os demais passos, utiliza-
mos a seguinte fórmula
an+2 = an+1+an
Os 10 primeiros passos dessa sequência são apresentados na seguinte lista
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . .
2.2. Limite de sequências 39
Essa sequência claramente não possui limite. Entretanto é possível mostrar
que a sequência das razões de Fibonacci
1
1
,
2
1
,
3
2
,
5
3
,
8
5
,
13
8
,
21
13
,
34
21
,
55
34
, . . .
dada pelas razões
rn = an+1
an
é de fato convergente e que seu limite é igual a
φ= 1+
p
5
2
denominado razão áurea. Esse número mágico, conhecido desde a antigui-
dade, é obtido geometricamente dividindo-se um dado segmento em dois pe-
daços, de modo que a proporção do todo φ sobre a parte maior 1 coincida
com a proporção da parte maior 1 sobre a parte menor φ−1, como ilustrado
na Figura 2.11. A razão áurea φ é então qualquer uma destas duas proporções
idênticas e satisfaz
φ
1
= 1
φ−1
Figura 2.11: Razão áurea em segmento.
Vamos agora utilizar as propriedades de limite para mostrar que a sequên-
cia da razões de Fibonacci converge para a razão áurea. De fato, vamos supor
que rn → x e mostrar que
x = 1+
p
5
2
.
Em primeiro lugar observamos que
rn+1 = an+2
an+1
= an+1+an
an+1
40 Capítulo 2. Sequências e séries
= 1+ an
an+1
= 1+ 1an+1
an
= 1+ 1
rn
,
o que mostra que
rn+1 = 1+ 1
rn
Por outro lado, utilizando a mesma função tempo de espera de rn → x, con-
cluímos que rn+1 → x. Pela unicidade do limite e pelas regras da soma e do
quociente, segue que
x = 1+ 1
x
Multiplicando a igualdade acima por x, temos que esse limite é solução da
seguinte equação quadrática
x2−x−1= 0
cuja única solução positiva é de fato a razão áurea
x = 1+
p
5
2
SEQUÊNCIA MONÓTONAS E LIMITADAS
Intuitivamente um a sequência é monótona se ela vai sempre para a esquerda
ou sempre para a direita. Mais precisamente, an é monótona quando
· · · ≤ an+1 ≤ an ≤ ·· · ≤ a3 ≤ a2 ≤ a1
ou quando
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ·· · ≤ an ≤ an+1 ≤ ·· ·
2.2. Limite de sequências 41
Quando uma sequência é monótona e limitada, existe uma constante R tal
que
−R ≤ ·· · ≤ a3 ≤ a2 ≤ a1
ou que
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ·· · ≤R
A seguinte proposição é demonstrada no apêndice.
Proposição 2.10
Seja an uma sequência monótona. Então
(A) Se an é limitada, então an → a, para algum a ∈R, e
(B) Se an não é limitada, então an →∞ ou an →−∞.
Exemplo:
Considere
sn = 1
0!
+ 1
1!
+ 1
2!
+ 1
3!
+·· ·+ 1
n!
Temos que sn é crescente e limitada, pois
s0 = 1
∧
s1 = 1+1
∧
s2 = 1+1+ 1
2∧
...
∧
sn = 1+1+ 1
2!
+ 1
3!
+·· ·+ 1
n!
∧
3 = 1+1+ 1
2
+ 1
22
+·· ·+ 1
2n−1
+·· ·
uma vez que
n! = 1 ·2 ·3 · · ·n
42 Capítulo 2. Sequências e séries
> 1 ·2 ·2 · · ·2
= 2n−1
Segue que sn → s e, de fato, vamos ver que sn → e.
SEQUÊNCIAS E FUNÇÕES
A definição de limite de uma função f num dado ponto a pode ser dado em
termos de limite de sequências da seguinte forma. Dizemos que L é o limite
de f (x) quando x → a e denotamos
lim
x→a f (x)= L,
se f (xn)→ L, sempre que xn → a, como ilustra a Figura 2.12. Introzudindo a
notação
lim an = a,
quando an → a, temos a seguinte relação entre limite de sequências e limite
funções.
Proposição 2.11
Se
lim xn = a
então
lim
x→a f (x)= lim f (xn)
Isso permite utilizar ferramentas do Cálculo 1, como a continuidade e a
regra de L’Hospital, para a determinação do limite de certas sequências.
2.2. Limite de sequências 43
Figura 2.12: Limite de função.
Proposição 2.12
Se f é uma função contínua em a e
lim xn = a
então
lim f (xn)= f (a)
Além disso, se
lim an = 0= limbn ou lim an =∞= limbn
então
lim
an
bn
= lim (an)
′
(bn)′
onde (an)′ e (bn)′ são as derivadas de an e bn em relação a n.
44 Capítulo 2. Sequências e séries
Prova:
Como f é contínua em a, temos que
lim
x→a f (x)= f (a).
Se lim xn = a, temos que
lim
x→a f (x)= lim f (xn),
de modo que
lim f (xn)= f (a).
Suponha que an = f (n) e bn = g (n), onde f e g são funções deriváveis.
Temos que
lim
x→∞ f (x)= lim f (n)= lim an e limx→∞g (x)= lim g (n)= limbn .
Se
lim an = 0= limbn ou lim an =∞= limbn ,
temos que
lim
x→∞ f (x)= 0= limx→∞g (x) ou limx→∞ f (x)=∞= limx→∞g (x).
Pela regra de L’Hospital, segue que
lim
x→∞
f (x)
g (x)
= lim
x→∞
( f (x))′
(g (x))′
.
Como
lim
x→∞
f (x)
g (x)
= lim f (n)
g (n)
= lim an
bn
e
lim
x→∞
( f (x))′
(g (x))′
= lim ( f (n))
′
(g (n))′
= lim (an)
′
(bn)′
,
segue que
lim
an
bn
= lim (an)
′
(bn)′
.
2.2. Limite de sequências 45
A proposição acima é útil para determinar o limite de certas sequências.
Exemplos
1) Temos que
lim
np
2= lim2 1n = 20 = 1,
uma vez que
lim
1
n
= 0.
2) Temos que
lim
n
2n
= lim (n)
′
(2n)′
= lim 1
log(2)2n
= 0,
uma vez que
limn =∞= 2n .
SEQUÊNCIA DOS SEMIPERÍMETROS
Concluímos esta seção com a clássica sequência dos semiperímetros SP (In)
dos polígonos regulares inscritos In , cujo número de lados é igual a 2n+1. A
Figura 2.13 ilustra o semicírculo e os três primeiros polígonos, I1, I2e I3, que
são, respectivamente, o quadrado, o octógono e o hexadecágono inscritos. O
comprimento dos lados de In é denotado por ln .
Pelo Teorema de Pitágoras, temos que l1 =
p
2. Para calcularmos l2, consi-
deramos os triângulos retângulos4AC P e4AP0, onde 0 é o centro do círculo
unitário. Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, obtemos o seguinte
46 Capítulo 2. Sequências e séries
Figura 2.13: Sequência de polígonos inscritos.
sistema de equações
l 22 = x21+
l 21
4
, (2.2)
1 = h21+
l 21
4
e
1 = x1+h1
onde h1 é a altura do triângulo4AB0 de base l1. Pela última equação de (2.2),
temos que h1 = 1− x1. Substituindo na segunda equação de (2.2) e simplifi-
cando, obtemos
x21−2x1+
l 21
4
= 0.
Utilizando a fórmula de Bhaskara e o fato de que 0< x1 < 1, temos que
x1 =
2−
√
4− l 21
2
e, portanto, que
x21 =
4−4
√
4− l 21 +
(
4− l 21
)
4
.
2.2. Limite de sequências 47
Substituindo esse valor na primeira equação de (2.2), obtemos que
l 22 = 2−
√
4− l 21 .
(2.3)
Além disso, temos também que h1 < h2, onde h2 é a altura do triângulo4AC 0de base l2, pois h2 é maior que a hipotenusa do triângulo retângulo4QP0.
Para se obter o lado l3 a partir do lado l2, realiza-se um procedimento
análogo. Como mostra a Figura 2.13, considerando os triângulos retângulos
4ADQ e 4AQ0 e aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, obtemos o
seguinte sistema de equações
l 23 = x22+
l 22
4
,
1 = h22+
l 22
4
e
1 = x2+h2
onde em todas as equações de (2.2) substituimos l1 por l2, l2 por l3, x1 por x2
e h1 por h2. Isso mostra que a relação entre o lado l3 e o lado l2 deve ser a
similar à relação entre o lado l2 e o lado l1 dada pela equação (2.3), de modo
que
l 23 = 2−
√
4− l 22
e novamente temos também que h2 < h3. De maneira geral, procedendo-se
de modo análogo, obtemos que a relação entre o lado ln+1 e o lado ln é dada
pela equação
l 2n+1 = 2−
√
4− l 2n ,
que hn < hn+1 e, portanto, que h1 < hn .
A tabela abaixo mostra os 10 primeiros passos do processo descrito acima.
48 Capítulo 2. Sequências e séries
n 2n l 2n ln SP (In)
1 2 2 1,414214 2,828427
2 4 0,585786 0,765367 3,061467
3 8 0,152241 0,390181 3,121445
4 16 0,0384294 0,196034 3,136548
5 32 0,00963055 0,0981353 3,140331
6 64 0,00240909 0,0490825 3,141277
7 128 0,000602363 0,0245431 3,141514
8 256 0,000150596 0,0122718 3,141573
9 512 0,0000376494 0,00613591 3,141588
10 1024 0,00000941238 0,00306796 3,141591
...
...
...
...
...
∞ ∞ 0 0 pi
2.3. Séries numéricas 49
2.3 SÉRIES NUMÉRICAS
Temos que a soma finita
sm = a0+a1+a2+·· ·+am =
m∑
n=0
an
é a m-ésima soma parcial da soma infinita
a0+a1+a2+·· ·+an +·· · =
∞∑
n=0
an
que é chamada de série numérica com termo geral an .
Propriedades
Escrevemos
∞∑
n=0
an = a0+a1+a2+·· ·+an +·· · = s
quando suas somas parciais
sm = a0+a1+a2+·· ·+am → s
onde s pode ser ±∞. Dizemos que a série numérica
1) Converge: quando suas somas parciais sm → s, onde s é um
número real.
2) Diverge: quando suas somas parciais sm não tendem para ne-
nhum número real.
Em particular dizemos que a série diverge para ±∞ quando
suas somas parciais divergem para ±∞, respectivamente.
50 Capítulo 2. Sequências e séries
Exemplos
FIGURA: Soma dos termos da PG de razão 12
1) A soma de todos os termos da progressão geométrica de razão
1
2 fornece a série numérica
∞∑
n=0
(
1
2
)n
= 1+ 1
2
+ 1
4
+ 1
8
+·· ·
que tem termo geral
an =
(
1
2
)n
= 1
2n
n = 0,1,2,3, . . .
e somas parciais
sm = 1+ 1
2
+ 1
4
+·· ·+ 1
2m
É possível observar geometricamente (ver Figura ?) que
sm = 2− 1
2m
Segue que as somas parciais
sm = 1+ 1
2
+ 1
4
+·· ·+ 1
2m
→ 2
logo a série converge para 2, escrevemos
∞∑
n=0
(
1
2
)n
= 1+ 1
2
+ 1
4
+ 1
8
+·· · = 2.
2.3. Séries numéricas 51
2) A série numérica
∞∑
n=1
1= 1+1+1+1+·· ·
52 Capítulo 2. Sequências e séries
tem termo geral
an = 1 n = 1,2,3, . . .
e somas parciais
sm =
m vezes︷ ︸︸ ︷
1+·· ·+1=m
Segue que as somas parciais
sm = 1+·· ·+1→∞
logo a série diverge para o infinito, escrevemos
∞∑
n=0
1= 1+1+1+1+·· · =∞.
3) A série numérica
∞∑
n=0
(−1)n = 1−1+1−1+·· ·
tem termo geral
an = (−1)n n = 0,1,2,3, . . .
e somas parciais
sm = 1−1+·· ·+ (−1)m
Temos as somas parciais
s0 = 1
s1 = 1−1= 0
s2 = 1−1+1= 1
s3 = 1−1+1−1= 0
· · ·
sm =
{
1, m par
0, m ímpar
2.3. Séries numéricas 53
Segue que as somas parciais sm divergem, logo a série
∞∑
n=0
(−1)n = 1−1+1−1+·· ·
diverge, mas não diverge para infinito.
Se a soma infinita da série
∑∞
n=0 an converge, é intuitivo que os termos an
que vão sendo somados sejam cada vez menores. De fato, temos o seguinte
resultado.
Proposição 2.13
∞∑
n=0
an converge =⇒ an → 0
Prova:
Como a série converge, temos que suas somas parciais sm convergem para
um número real s
sm → s
Temos que as somas parciais
sn = a0+a1+a2+·· ·+an−1+an → s
sn−1 = a0+a1+a2+·· ·+an−1 → s
Segue que
an = sn − sn−1 → s− s = 0.
logo, o termo geral an → 0.
54 Capítulo 2. Sequências e séries
TESTE DA DIVERGÊNCIA
Lendo o resultado anterior anterior de uma outra maneira temos o seguinte
critério para divergência de uma série numérica.
Proposição 2.14: Teste da divergência
an 6→ 0 =⇒
∞∑
n=0
an diverge
Prova:
Se a série convergisse, pelo resultado anterior deveríamos ter an → 0.
Como não temos isso, a série não pode convergir, portanto a série di-
verge.
Exemplos
1)
∞∑
n=1
1= 1+1+1+1+·· · diverge, pelo Teste da divergência, pois
seu termo geral 1 6→ 0.
2)
∞∑
n=0
(−1)n = 1−1+1−1+·· · diverge, pelo Teste da divergência,
pois seu termo geral (−1)n 6→ 0.
Observe que nos exemplos acima pudemos concluir que as séries em
questão divergem sem olhar para suas somas parciais: olhamos apenas para
o termo geral e, como ele não tende a zero, a série diverge. Porém, o Teste da
divergência é inconclusivo quando o termo geral tende a zero.
2.3. Séries numéricas 55
SÉRIE HARMÔNICA
A série harmônica é a série numérica dada por
∞∑
n=1
1
n
= 1+ 1
2
+ 1
3
+ 1
4
+ 1
5
· · ·+ 1
n
+·· ·
que tem termo geral
an = 1
n
n = 1,2,3, . . .
e somas parciais
sm = 1+ 1
2
+ 1
3
+ 1
4
+ 1
5
· · ·+ 1
m
Seu termo geral
1
n
→ 0
portanto o Teste da divergência não se aplica pois ele só se aplica quando o
termo geral não tende a zero. Ainda assim, temos que
Proposição 2.15
A série harmônica diverge, mais precisamente
∞∑
n=1
1
n
=∞
Prova:
Vamos dar uma idéia da demonstração: uma maneira mais rigorosa de
provar isso será vista mais adiante. A idéia é organizar os termos da soma
56 Capítulo 2. Sequências e séries
infinita da série da seguinte maneira
∞∑
n=1
1
n
= 1 ≥ 12
+1
2
≥ 12
+1
3
+ 1
4
≥ 14 + 14 = 12
+1
5
+ 1
6
+ 1
7
+ 1
8
≥ 18 + 18 + 18 + 18 = 12
+1
9
+ 1
10
+ 1
11
+·· ·+ 1
16
≥ 116 + 116 + 116 +·· ·+ 116 = 12
+·· ·
de modo que, somando um número suficiente de termos, as somas parci-
ais da série crescem de meio em meio e assim tendem ao infinito. Segue
que a série harmônica diverge para o infinito.
SÉRIE GEOMÉTRICA
FIGURA: Soma dos termos da PG de razão x
A soma de todos os termos da progressão geométrica de razão x fornece a
série numérica ∞∑
n=0
xn = 1+x+x2+·· ·+xn +·· ·
conhecida como série geométrica de razão x, que tem termo geral
an = xn n = 0,1,2,3, . . .
e somas parciais
sm = 1+x+x2+·· ·+xm
2.3. Séries numéricas 57
Para que valores da razão x a série converge?
Primeiro vejamos para que valores de x o termo geral tende a zero.
Proposição 2.16
xn → 0 se e só se |x| < 1.
Prova:
Temos que |xn | = |x|n .
• Se |x| ≥ 1 então
|xn | = |x|n ≥ 1
de modo que xn 6→ 0.
• Se |x| < 1 então
|x|n < 1
e |x|n é descrescente, uma vez que
|x|n+1 = |x||x|n < |x|n .
Segue que |x|n é uma sequência decrescente e limitada, portanto
converge.
|x|n → L
Queremos mostrar que L = 0. De fato, por um lado temos que
|x|n+1 → L
e por outro
|x|n+1 = |x||x|n →|x|L
de modo que, pela unicidade do limite,
L = |x|L.
58 Capítulo 2. Sequências e séries
Como |x| < 1, isso só é possível se L = 0. Segue que, se |x| < 1 então
|xn | = |x|n → 0,
e, portanto, xn → 0.
FIGURA: xn descrescente e limitado por 1, |x| < 1.
Agora vejamos para que valores de x a série converge.
Proposição 2.17
A série geométrica de razão x
∞∑
n=0
xn = 1+x+x2+·· ·+xn +·· ·
é tal que
1)
∞∑
n=0
xn = 1
1−x para |x| < 1.
2)
∞∑
n=0
xn diverge para |x| ≥ 1.
Prova:
2) Para |x| ≥ 1, vimos que o termo geral xn 6→ 0 de modo que ∑∞n=0 xn
diverge, pelo Teste da divergência.
1) Para |x| < 1, consideramos as somas parciais
sm = 1+x+x2+·· ·+xm
2.3. Séries numéricas 59
e observamos quexsm = x+x2+·· ·+xm+1
se parece muito com sm , a diferença sendo
sm −xsm = 1−xm+1
∥
(1−x)sm = 1−xm+1
Como 1−x 6= 0 podemos isolar sm e obter
sm = 1−x
m+1
1−x
Vimos que para |x| < 1 o termo geral xn → 0, logo também
xm+1 → 0
de modo que 1−xm+1 → 1 e, pela fórmula para sm , temos
sm → 1
1−x .
Como as somas parciais convergem para esse valor, isso mostra que
∞∑
n=0
xn = 1
1−x
quando |x| < 1, como queríamos.
A série geométrica é uma das poucas séries numéricas para as quais te-
mos uma fórmula fechada para as somas parciais de modo que, quando ela
converge, sabemos exatamente para qual valor.
Exemplos
60 Capítulo 2. Sequências e séries
1)
∞∑
n=0
1
2n
é a série geométrica de razão 1/2, portanto
∞∑
n=0
1
2n
=
∞∑
n=0
(
1
2
)n
= 1
1− 12
= 2
FIGURA: Soma dos termos da PG de razão −13 (faz zigue-zague)
2)
∞∑
n=0
(−1)n
3n
é a série geométrica de razão −1/3, portanto
∞∑
n=0
(−1)n
3n
=
∞∑
n=0
(−1
3
)n
= 1
1+ 13
= 3
4
3)
∞∑
n=0
2n é a série geométrica de razão 2, portanto diverge.
4)
∞∑
n=0
(−1)n é a série geométrica de razão −1, portanto diverge.
OPERAÇÕES COM SÉRIES
Proposição 2.18
Se
∞∑
n=0
an e
∞∑
n=0
bn convergem então
2.3. Séries numéricas 61
(S)
∞∑
n=0
(an ±bn) converge e
∞∑
n=0
(an ±bn)=
∞∑
n=0
an ±
∞∑
n=0
bn
(C)
∞∑
n=0
can converge e
∞∑
n=0
can = c
( ∞∑
n=0
an
)
onde c é uma constante.
Prova:
Uma vez que
∞∑
n=0
an e
∞∑
n=0
bn convergem, temos que suas somas parciais
convergem
m∑
n=0
an →
∞∑
n=0
an
m∑
n=0
bn →
∞∑
n=0
bn
(S) A convergência de
∞∑
n=0
(an+bn) é analisada olhando para suas somas
parciais
m∑
n=0
(an ±bn) =
m∑
n=0
an +
m∑
n=0
bn
↓
∞∑
n=0
an +
∞∑
n=0
bn
onde usamos que o limite da soma de sequências é a soma dos li-
mites. Para
∞∑
n=0
(an −bn) a prova é a mesma.
(C) A convergência de
∞∑
n=0
can é analisada olhando para suas somas par-
62 Capítulo 2. Sequências e séries
ciais
m∑
n=0
can = c
( m∑
n=0
an
)
↓
c
( ∞∑
n=0
an
)
onde usamos que constantes saem multiplicando do limite de
sequências.
Exemplos
1) Combinando duas séries geométricas que convergem temos
∞∑
n=0
(
1
2n
− (−1)
n
3n
)
(S)=
∞∑
n=0
(
1
2
)n
−
∞∑
n=0
(
−1
3
)n
= 2− 3
4
= 5
4
2) A seguinte série se parece com uma geométrica de razão 12
∞∑
n=0
1
2n+1
= 1
2
+ 1
4
+ 1
8
+·· ·
(C )= 1
2
(
1+ 1
2
+ 1
4
+·· ·
)
= 1
2
2= 1
2.3. Séries numéricas 63
logo ela converge para 1. De outro modo
∞∑
n=0
1
2n+1
=
∞∑
n=0
1
2
1
2n
(C )= 1
2
( ∞∑
n=0
1
2n
)
=
= 1
2
2= 1
3) A seguinte série se parece com uma geométrica de razão 13 , mas
começa dois termos adiante
∞∑
n=2
1
3n
= 1
9
+ 1
27
+ 1
81
+·· ·
(C )= 1
9
(
1+ 1
3
+ 1
9
+·· ·
)
= 1
9
3
2
= 1
6
logo ela converge para 16 . De outro modo
∞∑
n=2
1
3n
=
∞∑
n=0
1
3n+2
=
∞∑
n=0
1
32
1
3n
(C )= 1
32
( ∞∑
n=0
1
3n
)
=
= 1
9
3
2
= 1
6
64 Capítulo 2. Sequências e séries
Para analisar a convergência de uma série
∞∑
n=0
an basta olhar a convergên-
cia de sua cauda ∞∑
n=k
an = ak +ak+1+·· ·+an +·· ·
onde k ≥ 0 está fixo. De fato, para n ≥ k, as somas parciais da série ficam
sm =
m∑
n=0
an = a0+a1+a2+·· ·+am
= a0+a1+a2+·· ·+ak−1︸ ︷︷ ︸
∥
+ ak +ak+1+·· ·+am︸ ︷︷ ︸
↓
→
k−1∑
n=0
an +
∞∑
n=k
an
se e só se a cauda
∞∑
n=k
an converge. Segue que
Proposição 2.19: Teste da cauda
A cauda
∞∑
n=k
an converge ⇐⇒ a série
∞∑
n=0
an converge
A cauda
∞∑
n=k
an diverge ⇐⇒ a série
∞∑
n=0
an diverge
2.4 SÉRIES DE TERMOS SEM SINAL
Se a série
∞∑
n=0
an é tal que seu termo geral é sem sinal
an ≥ 0
2.4. Séries de termos sem sinal 65
então suas somas parciais sm são sem sinal e tais que
sm+1 = sm +am+1
≥ sm
de modo que sm é uma sequência monótona e limitada, pois é maior ou igual
a zero. Temos então apenas duas possibilidades
• sm limitada e, neste caso, temos que sm → s, onde s ∈R,
• sm ilimitada e, neste caso, temos que sm →∞,
de modo que
Propriedades
Uma série
∞∑
n=0
an de termos sem sinal an ≥ 0
1) Converge: se e só se suas somas parciais são limitadas. Nesse
caso escrevemos ∞∑
n=0
an <∞
2) Diverge: se e só se suas somas parciais tendem ao infinito.
Nesse caso escrevemos
∞∑
n=0
an =∞
Se
m∑
n=k
an é uma série de termos positivos, então podemos fazer a mesma
análise acima para sua cauda e concluir que sua cauda ou converge ou diverge
para infinito, de modo que sempre podemos escrever
m∑
n=k
an →
∞∑
n=k
an ≤∞.
66 Capítulo 2. Sequências e séries
Podemos comparar duas séries de termos sem sinal da seguinte maneira.
Proposição 2.20: Teste da comparação
Se
0≤ an ≤ bn para n ≥ k
então ∞∑
n=k
an ≤
∞∑
n=k
bn
de modo que
∞∑
n=k
an =∞ =⇒
∞∑
n=0
bn =∞
∞∑
n=k
bn <∞ =⇒
∞∑
n=0
an <∞
Prova:
Se
0≤ an ≤ bn para n ≥ k
então
m∑
n=k
an ≤
m∑
n=k
bn
↓ ↓
∞∑
n=k
an ≤
∞∑
n=k
bn
onde usamos a monotonicidade do limite de sequências.
Se
∞∑
n=k
an = ∞ então a desigualdade acima “empurra” a outra cauda
para que
∞∑
n=k
bn = ∞ de modo que, pelo Teste da cauda, a série inteira
∞∑
n=k
bn diverge para o infinito.
2.4. Séries de termos sem sinal 67
Se
∞∑
n=k
bn < ∞ então a desigualdade acima “empurra” a outra cauda
para que
∞∑
n=k
an < ∞ de modo que, pelo Teste da cauda, a série inteira
∞∑
n=k
an converge.
Quando o Teste da comparação, ou algum outro teste, conclui que uma
série converge, para que valor ela converge?
Os Testes em geral não nos dizem isso. Como já comentamos, é raro sa-
bermos o valor para onde uma série converge, uma vez que é raro conseguir
uma fórmula fechada para a sequência das somas parciais da série como con-
seguimos no caso da série geométrica. O valor para qual a série converge em
geral deve ser calculado aproximadamente por uma calculadora ou computa-
dor por meio das somas parciais da série. Se colocarmos um computador para
calcular as somas parciais de uma série divergente, os resultados do compu-
tador não farão sentido! É por isso que, antes de tentarmos calcular o valor
de convergência de uma série por meio de um computador ou calculadora,
devemos saber de antemão se a série converge ou não.
Exemplos
1) A série
∞∑
n=2
1
n(n−1) =
1
2 ·1 +
1
3 ·2 +
1
4 ·3 +
1
5 ·4 +·· ·
converge ou diverge?
Suas somas parciais são
sm = 1
2
+ 1
6
+·· ·+ 1
m(m−1)
Uma vez que o termo geral se decompõe em duas partes (verifi-
68 Capítulo 2. Sequências e séries
que!)
1
n(n−1) =
1
n−1 −
1
n
segue que em cada soma parcial
sm =
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+
(
1
3
−·· · − 1
m−1
)
+
(
1
m−1 −
1
m
)
= 1− 1
m
sobram apenas a primeira parte do primeiro termo e a segunda
parte do último termo. Segue que
sm = 1− 1
m
→ 1
e, portanto, a série converge e, mais ainda,
∞∑
n=2
1
n(n−1) = 1
Esse tipo de soma se chama soma telescópica: há o cancelamento
da segunda parte de cada termo com a primeira parte do termo se-
guinte, de modo que nas somas parciais sobram apenas a primeira
parte do primeiro termo e a segunda parte do último termo. As séries
telescópicas são outros dos raros casos em que temos uma fórmula
fechada para as somas parciais e, portanto, sabemos o valor para o
qual a série converge.
2) A série 2-harmônica é a série numérica dada por
∞∑
n=1
1
n2
= 1+ 14
+ 1
9
+ 1
16
+ 1
25
· · ·+ 1
n2
+·· ·
Ela converge ou diverge?
Observe que ela tem termos positivos, e também que seu
2.4. Séries de termos sem sinal 69
termo geral
1
n2
se parece com o termo geral
1
n(n−1) =
1
n2−n
da série telescópica do exemplo anterior, a idéia é então compa-
rar os termos gerais dessas duas séries. Notando que
n2 ≥ n2−n > 0 para n ≥ 2
e, portanto
1
n2
≤ 1
n2−n =
1
n(n−1) para n ≥ 2
segue que
∞∑
n=2
1
n2
≤
∞∑
n=2
1
n2−n = 1<∞
Pelo Teste da comparação, segue que a cauda
∞∑
n=2
1
n2
converge.
Pelo Teste da cauda, segue que a série
∞∑
n=1
1
n2
converge.
Assim, enquanto a série harmônica
∞∑
n=1
1
n
diverge, a série 2-
harmônica
∞∑
n=1
1
n2
converge. Para onde a série 2-harmônica con-
verge? Não sabemos ainda! Mas sabemos que ela converge e, à partir
disso, podemos, por exemplo, usar um computador para aproximar
esse valor, como já comentamos.
70 Capítulo 2. Sequências e séries
TESTE DA RAIZ
Se tomamos o termo geral xn de uma série geométrica com razão x ≥ 0 e ex-
traímos a raiz n-ésima, obtemos de volta a razão
np
xn = x
Podemos fazer algo parecido com uma série numérica de termos sem sinal.
Proposição 2.21
Seja
∞∑
n=0
an uma série com termos an ≥ 0, então
lim n
p
an < 1 =⇒
∞∑
n=0
an <∞
lim n
p
an > 1 =⇒ an 6→ 0
lim n
p
an = 1 =⇒ o teste é inconclusivo
Prova:
A idéia é comparar a série de termos positivos com uma série geométrica.
1) Se lim n
p
an < 1, então npan fica abaixo de 1 para n grande e, portanto,
abaixo de algum x < 1 positivo para n maior que algum k, isto é
n
p
an < x < 1 para n ≥ k
Elevando ambos os lados a n-ésima potência temos
an < xn para n ≥ k
2.4. Séries de termos sem sinal 71
e então as caudas das respectivas séries satifazem
∞∑
k
an <
∞∑
n=k
xn
≤
∞∑
n=0
xn = 1
1−x <∞
onde a série geométrica converge pois sua razão satisfaz 0< x < 1. Pelo
Teste da comparação das caudas, segue que
∞∑
n=0
an <∞.
2) Se lim n
p
an > 1, então, existe k, tal que
n
p
an > 1 para n ≥ k
Elevando ambos os lados a n-ésima potência, temos
an > 1 para n ≥ k
o que mostra que an 6→ 0.
3) Para mostrar que a conta lim n
p
an = 1 é inconclusiva, vamos dar um
exemplo em que essa conta é satisfeita mas a série diverge e dar um
outro exemplo em que essa conta é satisfeita mas a série converge.
A série harmônica
∞∑
n=1
1
n
diverge e é tal que
lim n
√
1
n
= lim 1
n
p
n
= 1
A série 2-harmônica
∞∑
n=1
1
n2
converge e é tal que
lim n
√
1
n2
= lim 1
( n
p
n)2
= 1
72 Capítulo 2. Sequências e séries
Exemplos
1)
∞∑
n=0
n2
2n
converge?
É uma série de termos positivos, podemos então aplicar o
Teste da raiz
n
√
n2
2n
= (
n
p
n)2
2
→ 1
2
< 1
Pelo Teste da raiz segue então que a série converge.
2)
∞∑
n=0
3n
n3
converge?
É uma série de termos positivos, podemos então aplicar o
Teste da raiz
n
√
3n
n3
= 3
( n
p
n)3
→ 3> 1
Pelo Teste da raiz segue então que a série diverge para o infinito,
portanto não converge.
TESTE DA RAZÃO
Se tomamos o termo geral xn de uma série geométrica com razão x ≥ 0 e
comparamos o (n+1)-termo com o imediatamente anterior, que é o n-ésimo
termo, obtemos de volta a razão
xn+1
xn
= x
Podemos fazer algo parecido com uma série numérica de termos positivos.
Proposição 2.22
2.4. Séries de termos sem sinal 73
Seja
∞∑
n=0
an uma série com termos an > 0, então
lim
an+1
an
< 1 =⇒
∞∑
n=0
an <∞
lim
an+1
an
> 1 =⇒ an 6→ 0
lim
an+1
an
= 1 =⇒ o teste é inconclusivo
Prova:
A idéia é, novamente, comparar a série de termos positivos com uma série
geométrica.
1) Se lim
an+1
an
< 1, então an+1
an
fica abaixo de 1 para n grande e, portanto,
abaixo de algum x < 1 positivo para n maior que algum k, isto é
an+1
an
< x < 1 para n ≥ k
Segue que
ak+1
ak
,
ak+2
ak+1
, · · · , an−1
an−2
,
an
an−1
< x
74 Capítulo 2. Sequências e séries
Escrevendo
an = ak
(
ak+1
ak
)(
ak+2
ak+1
)
· · ·
(
an−1
an−2
)(
an
an−1
)
= ak
<x︷ ︸︸ ︷(
ak+1
ak
) <x︷ ︸︸ ︷(
ak+2
ak+1
)
· · ·
<x︷ ︸︸ ︷(
an−1
an−2
) <x︷ ︸︸ ︷(
an
an−1
)
︸ ︷︷ ︸
n−k fatores
< ak xn−k =
= ak
xn
xk
Logo
an < cxn para n ≥ k
onde c = ak
xk
não depende de n. Então as caudas das respectivas séries
satifazem ∞∑
n=k
an <
∞∑
n=k
cxn
= c
∞∑
n=k
xn
≤ c
∞∑
n=0
xn = c 1
1−x <∞
onde a série geométrica converge pois sua razão satisfaz 0< x < 1. Pelo
Teste da comparação das caudas, segue que
∞∑
n=0
an <∞.
2) Se lim
an+1
an
> 1 então, existe k, tal que
an+1
an
> 1 para n ≥ k
de modo que
an+1 > an para n ≥ k
2.4. Séries de termos sem sinal 75
Isso mostra que an é positiva e cresecente para n ≥ k e , portanto, que
an 6→ 0.
3) Para mostrar que a conta
an+1
an
= 1 é inconclusiva, vamos dar um
exemplo em que essa conta é satisfeita mas a série diverge e dar um
outro exemplo em que essa conta é satisfeita mas a série converge.
A série harmônica
∞∑
n=1
1
n
diverge e é tal que
lim
1
n+1
1
n
= lim n
n+1 = 1
A série 2-harmônica
∞∑
n=1
1
n2
converge é tal que
lim
1
(n+1)2
1
n2
= lim n
2
(n+1)2 = 1
Exemplos
1) Considere o polinômio infinito
∞∑
n=0
1
n!
xn = 1+x+ x
2
2
+ x
3
3!
+ x
4
4!
+·· ·
Observe que, para cada valor de x > 0 fixado, ele é uma série nu-
mérica de termos positivos. Os valores de x > 0 que estão no do-
mínio desse polinômio infinito são os valores x > 0 nos quais essa
série converge. Quais são esses valores?
Como é uma série de termos positivos, podemos aplicar o
Teste da razão
1
(n+1)! x
n+1 n!
xn
= n!
(n+1)! x =
1
n+1 x → 0< 1
76 Capítulo 2. Sequências e séries
para qualquer x > 0 fixado. Pelo Teste da razão segue que a série
converge em todo x > 0.
2) Considere o polinômio infinito
∞∑
n=1
1
n
xn = x+ x
2
2
+ x
3
3
+ x
4
4
+·· ·
Observe que, para cada valor de x > 0 fixado, ele é uma série nu-
mérica de termos positivos. Os valores de x > 0 que estão no do-
mínio desse polinômio infinito são os valores x > 0 nos quais essa
série converge. Quais são esses valores?
Como é uma série de termos positivos, podemos aplicar o
Teste da razão
1
n+1 x
n+1 n
xn
= n
n+1 x → x
para qualquer x > 0. Pelo Teste da razão segue que a série con-
verge, quando x < 1 e diverge quando x > 1. O Teste da razão não
nos diz nada quando x = 1. Para saber da convergência da série
nesse caso, temos que substituir diretamente x = 1, obtendo
∞∑
n=1
1
n
(1)n =
∞∑
n=1
1
n
=∞
pois é a série harmônica. Segue que, para x > 0, a série converge
em x < 1 e diverge em x ≥ 1.
2.4. Séries de termos sem sinal 77
TESTE DA INTEGRAL
A integral imprópria fornece uma ferramenta útil para determinar a conver-
gência ou a divergência de séries de termos não negativos.
Proposição 2.23
Se ax = f (x) é positiva e decrescente, então∫ ∞
k
an dn <∞=⇒
∞∑
n=k
an <∞
e ∫ ∞
k
an dn =∞=⇒
∞∑
n=k
an =∞
Prova:
Como f (x) é decrescente e como an = f (n), temos que∫ n+1
n
f (x)d x < an <
∫ n
n−1
f (x)d x,
como ilustrado pela Figura ??. Segue então que∫ k+1
k
f (x)d x < ak <
∫ k
k−1
f (x)d x∫ k+2
k+1
f (x)d x < ak+1 <
∫ k+1
k
f (x)d x
...
...
...∫ m+1
m
f (x)d x < am <
∫ m
m−1
f (x)d x.
78 Capítulo 2. Sequências e séries
Somando todas as linhas acima, obtemos que∫ m+1
k
f (x)d x <
m∑
n=k
an <
∫ m
k−1
f (x)d x.
Fazendo m →∞, segue que∫ ∞
k
f(x)d x <
∞∑
n=k
an <
∫ ∞
k−1
f (x)d x.
Como ∫ ∞
k−1
f (x)d x =
∫ k
k−1
f (x)d x+
∫ ∞
k
f (x)d x
< ak−1+
∫ ∞
k
f (x)d x,
segue que ∫ ∞
k
f (x)d x <
∞∑
n=k
an < ak−1+
∫ ∞
k
f (x)d x.
Como ∫ ∞
k
f (x)d x =
∫ ∞
k
f (n)dn
=
∫ ∞
k
an dn,
temos que ∫ ∞
k
an dn <
∞∑
n=k
an < ak−1+
∫ ∞
k
an dn
e o resultado segue então por comparação.
A seguir, alguns exemplos de aplicação do teste da integral.
Exemplos
2.4. Séries de termos sem sinal 79
1) Vimos que ∫ ∞
1
1
x
d x =∞,
de modo que
∞∑
n=1
1
n
=∞.
2) Vimos também que ∫ ∞
1
1
x2
d x = 1<∞,
de modo que
∞∑
n=1
1
n2
<∞.
Observe que
∞∑
n=1
1
n2
= 1+ 1
4
+·· · > 1.
3) Temos que ∫ ∞
1
1
xp
d x =
[
x1−p
1−p
]∞
1
,
de modo que
∞∑
n=1
1
np
<∞,
quando p > 1 e
∞∑
n=1
1
np
=∞,
quando p < 1. Observe que os testes da razão e da raiz são incon-
clusivos neste caso, uma vez que
lim
1
(n+1)p
1
np
= lim
( n
n+1
)p
= 1
80 Capítulo 2. Sequências e séries
e que
lim n
√
1
np
= lim
(
1
n
p
n
)p
= 1.
4) Temos que ∫ ∞
3
1
x log(x)
d x = [log(log(x))]∞3 =∞,
de modo que
∞∑
n=3
1
n log(n)
=∞.
2.5 SÉRIES DE TERMOS COM SINAL
Vamos retornar ao estudo das séries de termos com sinal. Nosso primeiro re-
sultado relaciona a convergência dessas séries com a convergência das séries
de termos não-negativos.
TESTE DA CONVERGÊNCIA ABSOLUTA
Vamos ver a seguir que a convergência da série dos valores absolutos implica
na convergência da série original.
Proposição 2.24
Se
∞∑
n=0
|an | = |a0|+ |a1|+ |a2|+ · · · <∞
2.5. Séries de termos com sinal 81
então
∞∑
n=0
an = a0+a1+a2+·· ·
converge.
Prova:
Separamos as partes positiva e negativa de an , escrevendo
an = bn + cn
onde
bn =
{
an , an ≥ 0
0, an < 0
e
cn =
{
0, an ≥ 0
an , an < 0
Temos que
0≤ bn = |bn | ≤ |an |
e também que
0≤−cn = |cn | ≤ |an |.
Pelo teste da comparação, segue que
∞∑
n=0
bn ≤
∞∑
n=0
|an | <∞
e também que
∞∑
n=0
cn ≤
∞∑
n=0
|an | <∞.
Pela regra da diferença, segue que
∞∑
n=0
bn −
∞∑
n=0
−cn =
∞∑
n=0
bn − (−cn)
=
∞∑
n=0
bn + cn
82 Capítulo 2. Sequências e séries
=
∞∑
n=0
an
converge.
Quando a série dos valores absolutos converge, dizemos que a série ori-
ginal converge absolutamente. O resultado acima mostra que toda sequência
que converge absolutamente de fato converge. Mas existem sequências que
convergem, mas não convergem absolutamente.
Exemplos
1) Temos que
∞∑
n=1
(−1)n
n2
converge absolutamente, uma vez que
∞∑
n=1
∣∣∣∣ (−1)nn2
∣∣∣∣= ∞∑
n=1
1
n2
<∞.
2) Vamos ver a seguir que a série harmônica alternada
∞∑
n=1
(−1)n
n
converge. Entretanto ela não converge absolutamente, uma vez
que
∞∑
n=1
∣∣∣∣ (−1)nn
∣∣∣∣= ∞∑
n=1
1
n
=∞.
2.5. Séries de termos com sinal 83
TESTE DA SÉRIE ALTERNADA
A proposição a seguir, denominada teste da série alternada, afirma que séries
cujos termos alternam o sinal e cujo valor absoluto desses termos tende para
zero são sempre séries convergentes.
Proposição 2.25
Se an é decrescente e an → 0, então
∞∑
n=0
(−1)n an = a0−a1+a2−a3+·· ·
converge.
Prova:
Considere
s2k = a0−a1+a2−a3+·· ·−a2k−3+a2k−2−a2k−1+a2k .
Como an > 0 e an−an+1 > 0 para todo n, temos que s2k > 0 e, uma vez que
a2k−2 = a2(k−1), temos que
s2k = s2(k−1)−a2k−1+a2k < s2(k−1),
de modo que
0< s2k < s2(k−1) < ·· · < s2 < s0.
Segue que s2k é uma sequência decrescente e limitada, de modo que
existe s tal que
s2k → s.
Além disso, segue que
s2k+1 = s2k −a2k+1 → s,
uma vez que, pelo teorema do sanduíche, a2k+1 → 0, já que 0< a2k+1 < ak .
Como a sequência dos sm com m par e com m ímpar convergem para
84 Capítulo 2. Sequências e séries
o mesmo s, não é difícil mostrar que a sm → s, mostrando que a série
converge.
Exemplos
1) Temos que
∞∑
n=1
(−1)n 1
n log(n)
converge, pelo teste da série alternada, mas não converge abso-
lutamente, uma vez que
∞∑
n=1
∣∣∣∣(−1)n 1n log(n)
∣∣∣∣= ∞∑
n=1
1
n log(n)
=∞.
2) Temos que
∞∑
n=1
(−1)n n+1
n
não converge, pois apesar de
n+1
n
ser decrescente, ela não converge pra zero.
TESTES DA RAIZ E DA RAZÃO
O resultado seguinte é a versão dos testes da raiz e da razão para séries com
termos com sinal.
2.5. Séries de termos com sinal 85
Proposição 2.26
Temos que
lim n
p|an |n < 1 =⇒
∞∑
n=k
an converge absolutamente
lim n
p|an |n > 1 =⇒
∞∑
n=k
an diverge
lim n
p|an |n = 1 =⇒ indefinido
e também que
lim
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣< 1 =⇒ ∞∑
n=k
an converge absolutamente
lim
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣> 1 =⇒ ∞∑
n=k
an diverge
lim
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣= 1 =⇒ indefinido
Prova:
Temos que
lim n
√
|an |n < 1 ou lim
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣< 1
implica que
∞∑
n=0
|an | <∞,
de modo que
∞∑
n=0
an
86 Capítulo 2. Sequências e séries
converge absolutamente. Por outro lado, temos que
lim n
√
|an |n > 1 ou lim
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣> 1
implica que |an | 6→ 0, de modo que an 6→ 0, o que implica, pelo Teste da
divergência, que
∞∑
n=0
an
diverge.
Exemplo:
Vamos analisar para que valores de x a série
∞∑
n=0
1
n
xn
converge. Temos que
lim n
√∣∣∣∣ 1n xn
∣∣∣∣= lim 1npn |x| = |x|,
de modo que, pelo teste da raiz, a série converge absolutamente se
|x| < 1 e diverge se |x| > 1. No caso em que |x| = 1, o teste é inconclu-
sivo. Quando x = 1, a série diverge, pois ela é a série harmônica. Por
outro lado, quando x =−1, a série converge, pois é a série harmônica
alternada. Se utilizarmos o teste da razão, chegaremos aos mesmos
resultados, uma vez que
lim
∣∣∣∣∣
1
n+1 x
n+1
1
n x
n
∣∣∣∣∣= lim nn+1 |x| = |x|.
C
A
P
Í
T
U
L
O
3
SÉRIES DE POTÊNCIAS
87
88 Capítulo 3. Séries de potências
3.1 SÉRIES DE POTÊNCIAS: POLINÔMIOS INFINITOS
Considere um polinômio infinito
f (x)= a0+a1x+a2x2+·· ·+an xn +·· · =
∞∑
n=0
an x
n
com coeficientes
a0, a1, a2, . . . , an . . .
Para cada x fixado o valor de f (x) é dado pela série numérica
∞∑
n=0
an x
n
com termo geral
an x
n
quando a série numérica converge. Por isso um polinômio infinito também é
chamado de uma série de potências e seu domínio é{
x : a série numérica
∞∑
n=0
an x
n converge
}
Observe que 0 sempre está no domínio de uma serié de potências, uma vez
que para x = 0 temos a série numérica
∞∑
n=0
an ·0n = a0+a1 ·0+a2 ·02+·· ·+an ·0n +·· ·
= a0
que, portanto, converge. Assim, se f (x)=
∞∑
n=0
an x
n , então sempre temos
f (0)= a0
Exemplos
1) A série geométrica de razão x é uma série de potências
1+x+x2+x3+·· · =
∞∑
n=0
xn
com domínio
{x : |x| < 1}
3.1. Séries de potências: polinômios infinitos 89
uma vez que a série geométrica converge apenas para esses valo-
res de x.
2) A série de potências
x− x
2
2
+ x
3
3
− x
4
4
+·· · =
∞∑
n=1
(−1)
n
n−1
xn
tem qual domínio?
Vejamos em que valores de x a série converge. Fixado x, te-
mos uma série numérica com termo geral
(−1)
n
n−1
xn
Pelo teste da raiz
n
√∣∣∣∣ (−1)n
n−1
xn
∣∣∣∣ = n
√
1
n
|x|n
= |x|
n
p
n
→|x|
de modo que
|x| < 1 =⇒
∞∑
n=1
(−1)
n
n−1
xn converge absolutamente
|x| > 1 =⇒
∞∑
n=1
(−1)
n
n−1
xn diverge
O Teste da raiz não nos diz o que ocorre quando |x| = 1, isto
é, quando x = ±1. Analisamos esses casos diretamente substi-
tuindo esses valores de x na série de potências
x = 1 =⇒
∞∑
n=1
(−1)
n
n−1
converge
90 Capítulo 3. Séries de potências
pelo Teste da série alternada, pois
1
n↓ 0.
x =−1 =⇒
∞∑
n=1
(−1)
n
n−1
(−1)n =
=
∞∑
n=1
1
n
(−1)2n−1
=
∞∑
n=1
− 1
n
diverge
pois é menos a série harmônica. Onde usamos que
(−1)2n−1 =−1
uma vez que 2n−1 é sempre ímpar.
Assim, o domínio dessa série de potências é (ver Figura ?){
x :
∞∑
n=1
(−1)
n
n−1
xn converge
}
= (−1,1]
FIGURA: domínio de
∑∞
n=1
(−1)
n
n−1
xn desenhado na reta
3) A série de potências
x+ x
2
2!
+ x
3
3!
+ x
4
4!
+·· · =
∞∑
n=0
1
n!
xn
tem qual domínio?
Vejamos em que valores de x a série converge. Fixado x, te-
mos uma série numérica com termo geral
1
n!
xn
3.1. Séries de potências: polinômios infinitos 91
Pelo Teste da razão temos∣∣∣∣ 1(n+1)! xn+1 n!xn
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ n!(n+1)! x
∣∣∣∣
= 1
n+1 |x|→ 0
que é menor que 1, qualquer que seja o x fixado. Segue que
x ∈ (−∞,∞) =⇒
∞∑
n=0
1
n!
xn converge
Assim, o domínio dessa série de potências é (ver Figura ?){
x :
∞∑
n=0
1
n!
xn converge
}
= (−∞,∞)
FIGURA: domínio de
∑∞
n=0
1
n! x
n desenhado na reta
4) A série de potências
x+2!x2+3!x3+4!x4+·· · =
∞∑
n=0
n!xn
tem qual domínio?
Vejamos em que valores de x a série converge. Fixado x, te-
mos uma série numérica com termo geral
n!xn
Pelo Teste da razão temos∣∣∣∣ (n+1)!xn+1n!xn
∣∣∣∣ = (n+1)!|x|n+1n!|x|n
= (n+1)|x|→∞
92 Capítulo 3. Séries de potências
que é maior que 1, para qualquer x 6= 0.
Assim, o domínio dessa série de potências é (ver Figura ?){
x :
∞∑
n=0
n!xn converge
}
= [0,0]
= {0}
FIGURA: domínio de
∑∞
n=0 n!x
n desenhado na reta
O domínio das series de potências dos exemplos acima é sempre um in-
tervalo centrado na origem com raio R:
1) domínio é o intervalo
(−1,1)
o raio é R = 1 e o intervalo não é aberto.
2) domínio é o intervalo
(−1,1]
o raio é R = 1 e o intervalo não é aberto nem fechado.
3) domínio é o intervalo
(−∞,∞)
o raio é R =∞ e o intervalo é aberto.
4) domínio é o intervalo
[0,0]= {0}
o raio é R = 0 e o intervalo é fechado.
Veremos que o domínio de qualquer série de potências tem essa mesma cara.
Primeiro, uma versão do teste da raiz e da razão para séries de potências.
3.1. Séries de potências: polinômios infinitos 93
Proposição 3.1
Seja
∞∑
n=0
an x
n uma série de potências, temos
Teste da raiz
(
lim n
√
|an |
)
|x| < 1 =⇒
∞∑
n=0
an x
n converge absolutamente
(
lim n
√
|an |
)
|x| > 1 =⇒
∞∑
n=0
an x
n diverge
(
lim n
√
|an |
)
|x| = 1 =⇒
∞∑
n=0
an x
n inconclusivo
Teste da razão(
lim
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣) |x| < 1 =⇒ ∞∑
n=0
an x
n converge absolutamente
(
lim
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣) |x| > 1 =⇒ ∞∑
n=0
an x
n diverge
(
lim
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣) |x| = 1 =⇒ ∞∑
n=0
an x
n inconclusivo
Prova:
94 Capítulo 3. Séries de potências
Fixado x, temos uma série numérica com termo geral
an x
n
onde
|an xn | = |an ||x|n
de modo que
n
√
|an xn | =
(
n
√
|an |
)
|x|→
(
lim n
√
|an |
)
|x|
e
|an+1xn+1|
|an xn |
=
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ |x|→ (lim ∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣) |x|
se os limites existem. O resultado segue então do Teste da raiz ou Teste da
razão para séries numéricas.
Proposição 3.2
O domínio de uma série de potências é um intervalo centrado na origem
com raio 0≤R ≤∞, o raio de convergência da série de potências.
Prova:
Para simplificar a prova vamos supor que existe o limite
lim n
√
|an | = L
Pelo Teste da raiz para séries de potências temos que(
lim n
√
|an |
)
|x| = L|x| < 1 =⇒
∞∑
n=0
an x
n converge absolutamente
(
lim n
√
|an |
)
|x| = L|x| > 1 =⇒
∞∑
n=0
an x
n diverge
3.1. Séries de potências: polinômios infinitos 95
logo
|x| < 1
L
=⇒ a série de potências converge
|x| > 1
L
=⇒ a série de potências diverge
Segue que o domínio da série de potências é um intervalo centrado na
origem com raio R = 1/L (veja Figura ?).
FIGURA: domínio de
∑∞
n=0 an x
n desenhado na reta, com fronteira marcada com ?
Observe que os diferentes intervalos centrados na origem
(−R,R) [−R,R) (−R,R] e [−R,R]
têm todos o mesmo raio R. Assim, o raio de convergência R nos diz apenas o
tamanho do domínio da série de potências pois não diz qual desses intervalos
o domínio é (veja os Exemplos mais acime). Observe também que podemos
ter R = 0, nesse caso o domínio da série de potências contém apenas o ponto
x = 0.
OPERAÇÕES COM SÉRIES
Nessa seção, vamos ver que, assim como os polinômios, a soma de duas séries
de potências é uma série de potência, assim como o produto de uma série de
potências por uma potência também é uma série de potências.
Proposição 3.3
96 Capítulo 3. Séries de potências
Temos que
∞∑
n=0
an x
n +
∞∑
n=0
bn x
n =
∞∑
n=0
(an +bn)xn
e também que
cxk
∞∑
n=0
an x
n =
∞∑
n=k
can−k xn
Prova:
Temos que
∞∑
n=0
an x
n +
∞∑
n=0
bn x
n =
∞∑
n=0
(an x
n +bn xn)=
∞∑
n=0
(an +bn)xn
e também que
cxk
∞∑
n=0
an x
n =
∞∑
n=0
cxk an x
n =
∞∑
n=0
can x
n+k .
Fazendo m = n+k, temos que n =m−k, que m = k, quando n = 0, e que
m =∞, quando n =∞, de modo que
cxk
∞∑
n=0
an x
n =
∞∑
m=k
cam−k xm .
Trocando m por n, segue que
cxk
∞∑
n=0
an x
n =
∞∑
n=k
can−k xn .
3.1. Séries de potências: polinômios infinitos 97
Exemplo:
Temos que
x3
∞∑
n=0
1
n!
xn =
∞∑
n=0
1
n!
x3xn
=
∞∑
n=0
1
n!
xn+3
=
∞∑
m=3
1
(m−3)! x
m
=
∞∑
n=3
1
(n−3)! x
n
Ou seja, temos que
x3
(
1+x+ 1
2
x2+ 1
3!
x3+·· ·
)
= x3+x4+ 1
2
x5+ 1
3!
x6+·· ·
DERIVADA DE SÉRIES DE POTÊNCIAS
Tomando o devido cuidado com o domínio, podemos derivar uma série de
potências termo a termo como se fosse um polinômio( ∞∑
n=0
an x
n
)′
=
∞∑
n=0
(
an x
n)′
isto é (
a0+a1x+a2x2+·· ·
)′ = (a0)′+ (a1x)′+ (a2x2)′+·· ·
Proposição 3.4
98 Capítulo 3. Séries de potências
Seja
∞∑
n=0
an x
n com raio de convergência R > 0. Temos que
( ∞∑
n=0
an x
n
)′
=
∞∑
n=1
annx
n−1
=
∞∑
n=0
an+1(n+1)xn
vale para x ∈ (−R,R).
Além disso, a derivada da série de potências tem o mesmo raio de con-
vergência R.
Prova:
Primeiro vamos provar que
f (x)=
∞∑
n=0
an x
n e g (x)=
∞∑
n=0
an+1(n+1)xn
têm o mesmo raio de convergência.
Pelo Teste da razão aplicado a f (x)=
∞∑
n=0
an x
n , denotando
L f = lim
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣
temos que
|x| < 1
L f
=⇒
∞∑
n=0
an x
n converge
|x| > 1
L f
=⇒
∞∑
n=0
an x
n diverge
Pelo Teste da razão aplicado a g (x)=
∞∑
n=0
an+1(n+1)xn , cujos coeficientes
são
an+1(n+1)
3.1. Séries de potências: polinômios infinitos 99
denotando
Lg = lim
∣∣∣∣an+2(n+2)an+1(n+1)
∣∣∣∣
temos que
|x| < 1
Lg
=⇒
∞∑
n=0
an+1(n+1)xn converge
|x| > 1
Lg
=⇒
∞∑
n=0
an+1(n+1)xn diverge
Para mostrarmos que f (x) e g (x) tem o mesmo raio de convergência,
basta mostrar que L f = Lg . De fato, temos que
Lg = lim
∣∣∣∣an+2(n+2)an+1(n+1)
∣∣∣∣ = lim ∣∣∣∣an+2an+1
∣∣∣∣ lim n+2n+1
= lim
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ ·1= L f
Para calcular a derivada usamos a definição( ∞∑
n=0
an x
n
)′
= lim
h→0
1
h
( ∞∑
n=0
an(x+h)n −
∞∑
n=1
an x
n
)
= lim
h→0
∞∑
n=0
an
(
(x+h)n −xn
h
)
= lim
h→0
∞∑
n=0
ann(x+ cn)n−1
onde utilizamos, na última igualdade, o Teorema do Valor Médio aplicado
à função xn , de modo que
(x+h)n −xn
h
= n(x+ cn)n−1,
100 Capítulo 3. Séries de potências
para algum cn tal que |cn | < |h|. Quando |x| < R, as séries convergem
absolutamente e podemos provar que
lim
h→0
∞∑
n=1
ann(x+ cn)n−1 =
∞∑
n=1
annx
n−1
de modo que ( ∞∑
n=0
an x
n
)′
=
∞∑