2ª Lista

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Segunda Lista de Exercícios - Engenharia Civil
Disciplina Cálculo I / IFSP
1o sem. - 2014
Prof. José Renato
. Revisão. Funções. Aplicações.
Exercício 1: Seja f : IR→ IR a função tal que f(x) = x2. Seja g : IR→ IR a função tal que
g(x) =
f(x+ h)− f(x)
h
.
Calcule g(x).
Exercício 2: Seja f : IR→ IR definida por f(x) = ax+ b, onde a ∈ IR∗ e b ∈ IR. Se α ∈ IR,
β ∈ IR e α 6= β, demonstre que
f(α)− f(β)
α− β = a.
Exercício 3: Encontre o zero ou raiz da função f(x) = ax+ b.
Exercício 4: Encontre o zero ou raiz das funções:
a) y = −2x+ 1 b) g(x) = x+ 2
Exercício 5: Construa os gráficos das funções abaixo:
a) f(x) = 5 b) g(x) = 2x+ 3 c) f(x) = −x+ 5
d) f(x) = −2 e) g(x) = 2x2 f) h(x) = −x2 + 2x+ 3
g) h(x) = −x2 + 2x+ 3 h) h(x) = x2 − 2x− 3
Exercício 6: Dada a função f(x) = ax + b e sabendo que f(3) = 5 e f(−2) = −5,
calcule f(
1
2
) .
Exercício 7: Encontre as coordenadas do vértice das funções:
a) y = x2 − 2x+ 1 b) g(x) = −x2 + x+ 2
Exercício 8: Construir os gráficos das funções abaixo:
a) f(x) = 2 + sen(x) b) g(x) = sen(2x)
c) g(x) = 3 cos(x) d) h(x) = 3 + cos(x)
1
Exercício 9: Esboce os gráficos das seguintes funções exponenciais.
a) h(x) = 3x b) g(x) = 2x+1 c) f(x) = (
1
2
)x
Exercício 10: Construa os gráficos das funções:
a) f(x) = log2x b) g(x) = log 1
2
x c) g(x) = 2 + log3x
Exercício 11: Atribuindo valores à x, esboce os gráficos das funções abaixo.
a) f(x) =
√
x− 2 b) g(x) = 1
x− 1 c) g(x) =
1
(x− 2)2
d) f(x) =
√
x+ 5 e) g(x) =
1
x+ 3
f) g(x) =
1
(x+ 1)2
Exercício 12: Construa o gráfico das funções:
a) f(x) = |x− 2| b) g(x) = − | 3x| c) f(x) = 2 |x+ 1|
. Aplicações.
Seja x a quantidade produzida de um produto.
O custo de produção depende de x, e a relação entre eles chamamos de função custo variável.
Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e
outros. A soma desses custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo
fixo.
Assim, a função custo total, que indicamos por C, é composta pelo custo fixo e pelo custo
variável.
Seja x a quantidade vendida de um produto.
Chamamos de função receita ao produto de x pelo preço de venda e indicamos por R, ou
seja, R(x) = p x, onde p é o preço.
A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C.
Logo, teremos
L(x) = R(x)− C(x).
Exercício 1: Sabendo que a margem de contribuição (lucro) por unidade é $ 3, 00, o preço
de venda é $ 10, 00 e o custo fixo é $ 150, 00 por dia, obtenha:
a) A função receita; (Resp.: R = 10x)
b) A função custo total diário; (Resp.: C = 150 + 7x)
2
c) A função lucro diário; (Resp.: L = 3x− 150)
d) A quantidade que deve ser vendida para que haja um lucro de $180, 00 por dia.
(Resp.: 110 unidades)
Exercício 2: A transportadora X cobra por seus serviços $ 3000,00 fixo mais $ 20,00 por
quilômetro rodado. A transportadora Y cobra $ 2000,00 fixo mais $ 30,00 por quilômetro rodado.
A partir de quantos quilômetros rodados é preferível usar a transportadora X? (Resp.: 100 km)
Exercício 3: Em certa localidade, a função de oferta anual de um produto agrícola é
p = 0, 01x− 3, em que p é o preço por quilograma e x é a oferta em toneladas.
a) Que preço induz uma produção de 500 toneladas? (Resp.: $ 2, 00)
b) Se o preço por quilograma for $ 3,00, qual a produção anual? (Resp.: 600 ton.)
c) Qual o ponto de equilíbrio de mercado (oferta = demanda) se a função de demanda anual
for p = 10− 0, 01x? (Resp.: x = 650 ton. e p = 3, 5)
Exercício 4: Em certo mercado as funções de oferta e demanda são dadas por
oferta: p = 0, 3x+ 6
demanda: p = 15− 0, 2x
Se o Governo tabelar o preço da venda em $ 9,00 por unidade, em quantas unidades a
demanda excederá a oferta? Note que p é o preço e x a unidade. (Resp.: 20 unidades)
Exercício 5: A função de demanda de um produto é p = 10−x, e a função custo é C = 20+x.
Obtenha:
a) A função receita e o preço que a maximiza. (Resp.: R = 10x− x2 e p = 5)
b) A função lucro e o preço que a maximiza. (Resp.: L = −x2 + 9x− 20 e p = 5, 5)
Exercício 6: Um modelo para decaimento radioativo.
Experimentos laboratoriais indicam que alguns átomos emitem parte de sua massa na forma
de radiação e, com massa menor, constituem algum outro elemento. Por exemplo, o carbono
14 radioativo decai para nitrogênio; o rádio acaba por decair para chumbo. Se y0 é o número
de núcleos radioativos presentes no instante zero, o número remanescente em qualquer tempo t
posterior será
y = y0 e
−r t, r > 0.
O número r é chamado taxa de decaimento da substância radioativa. Para o carbono 14, a taxa
de decaimento determinada experimentalmente é aproximadamente r = 1, 2 × 10−4 quando t é
medido em anos. Faça a previsão da porcentagem de carbono 14 presente depois de 866 anos.
(Resp.: Após 866 teremos aproximadamente 90 % da quantidade original)
3
Exercício 7: Crescimento bacteriano.
O número de bactérias numa cultura em placa de Petri após t horas é
B = 100 e 0,693 t.
Qual o número inicial de bactérias presentes? Quantas bactérias estarão presentes em 6 horas?
(Resp.: 100; 6.3944e+003)
Exercício 8: Considere a seguinte função de produção P = 10x
2
3
, em que P é o número de
mesas produzidas por semana numa marcenaria (com certo número fixo de empregados) e x, o
número de serras elétricas utilizadas.
a) Quantas mesas serão produzidas por semana se forem utilizadas 8 serras? Qual a
produtividade média? (Resp.: 40 e 5)
b) Quantas mesas serão produzidas por semana se forem utilizadas 64 serras? Qual a
produtividade média? (Resp.: 160 e 2, 5)
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