5ª Lista

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Quinta Lista de Exercícios - Engenharia Civil
Disciplina Cálculo I - IFSP
1o sem. - 2014
Prof. José Renato
. Teorema do Confronto. Limites laterais. Limite fundamental. Limites infinitos.
Exercício 1: Calcule os limites abaixo utilizando o teorema do Confronto.
a) lim
x→0
x2 sen(x) b) lim
x→0
x2 sen(
1
x
) (Resp.: 0)
Exercício 2: Seja a função definida em IR tal que para todo x 6= 1,
−x2 + 3x ≤ f(x) ≤ x
2 − 1
x− 1 .
Calcule lim
x→1
f(x).
Exercício 3: Considere a função f definida por
f(x) =
{
x+ 1 se x ≥ 1
2x se x < 1
.
Calcule lim
x→1+
f(x) e lim
x→1−
f(x). A função possui limite quando x tende a 1? Qual é este limite?
Exercício 4: Considere a função g definida por
g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2x− 1 se x > 1 .
Calcule os limites laterais e verifique se a função possui limite quando x tende a 1. Caso exista
limite, qual é este limite? (Resp.: 1)
Exercício 5: Considere a função f definida por
f(x) =
 x se x ≥ 2x2
2
se x < 2
.
Calcule lim
x→2+
f(x) e lim
x→2−
f(x). A função possui limite quando x tende a 2? Qual é este limite?
Exercício 6: Calcule, caso exista, o limite lim
x→1+
|x− 1|
x− 1 . (Resp. : 1 )
Exercício 7: Calcule, caso exista, o limite
1
lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1 ,
onde
f(x) =
{
x+ 1 se x ≥ 1
2x se x < 1
. (Resp. : 1 )
Exercício 8: Calcule.
a) lim
x→−1+
5 b) lim
x→4+
√
x (Resp.: 2) c) lim
x→0−
x3 + 3
Exercício 9: Calcule os limites.
a) lim
x→0
sen(5x)
x
(Resp.: 5) b) lim
x→0
sen(3x)
x
c) lim
x→0
1− cos(x)
x2
d) lim
x→0
sen2(x)
x2
e) lim
x→0
x2
sen(x)
(Resp.: 0)
f) lim
x→0
tg(k x)
x
(Resp.: k) g) lim
x→0
sen(a x)
sen(b x)
(Resp.:
a
b )
Exercício 10: Calcule os limites.
a) lim
x→0
3x2
tg(x) sen(x)
(Resp.: 3) b) lim
x→0
x sen(
1
x
) (Resp.: 0)
Exercício 11: Calcule os limites.
a) lim
x→2−
1
x− 2 b) limx→0+
2
x
(Resp.: +∞) c) lim
x→5+
1
x− 5 (Resp.: +∞)
d) lim
x→2+
1
(x− 2)2 e) limx→0−
1
x2
(Resp.: +∞) f) lim
x→0−
−1
x2
(Resp.: −∞)
g) lim
x→3+
5
3− x h) limx→3−
4
x− 3 i) limx→ 1
2
+
4
2x− 1 (Resp.: +∞)
j) lim
x→1−
2x+ 3
x2 − 1 l) limx→1+
2x+ 3
x2 − 1 (Resp.: +∞) m) limx→1+
2x+ 1
x2 − 1
Exercício 12: Para cada função f(x) abaixo, calcule lim
x→a+
f(x) e lim
x→a−
f(x), quando
existirem.
a) f(x) =
4
x− 6 , a = 6 (Resp.: +∞ e −∞)
b) f(x) =
x+ 5
x
, a = 0 (Resp.: +∞ e −∞)
2
c) f(x) = 2x+
1
x2
, a = 0 (Resp.: +∞ e +∞)
Exercício 13: Resolva
lim
h→0
√
2 + h−√2
h
. (Resp. : 1/2
√
2 )
Exercício 14: Suponha que lim
x→c f(x) = 5 e limx→c g(x) = −2. Determine:
a) lim
x→c f(x). g(x) (Resp.: -10)
c) lim
x→c f(x) + 3 g(x) (Resp.: -1)
Exercício 15: Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é
m =
m0√
1− v2
c2
em que m0 é a massa da partícula no repouso e c, a velocidade da luz. O que acontece se v → c?
(Resp.: Temos que calcular limv→c− m. Logo, quando v → c−,
√
1− v2
c2
→ 0 e assim obtemos
m→∞)
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