Teoria de Planck

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Teoria de Plan
k
Plan
k sup�s que os modos normais de vibração só poderiam ter energias dis
retas, de modo que
εn = nhν, n = 0, 1, 2, 3, ..., (1)
sendo εn a energia do modo normal de vibração e h uma 
onstante.
No 
aso dis
reto, a energia média é 
al
ulada da seguinte forma:
〈ε〉 =
∑
∞
n=0 εn e
−βεn
∑
∞
n=0 e
−βεn
, (2)
em que e
−βεn
é o 
hamado fator de Boltzmann e β = 1
kBT
.
Substituindo (1) em (2), temos que
〈ε〉 =
∑
∞
n=0 nhν e
−βnhν
∑
∞
n=0 e
−βnhν
(3)
ou ainda
〈ε〉 =
− ∂
∂β
(∑
∞
n=0 e
−βnhν
)
∑
∞
n=0 e
−βnhν
. (4)
Temos, então, que 
al
ular a soma
S∞ =
∞∑
n=0
e
−βnhν . (5)
É 
onveniente fazer a substituição x = e−βhν , assim
S∞ =
∞∑
n=0
xn. (6)
Para se 
al
ular S∞ observe que
Sm = 1 + x+ x
2 + x3 + ...+ xm (7)
e
xSm = x+ x
2 + x3 + x4 + ...+ xm + xm+1 (8)
de modo que
Sm − xSm = 1− x
m+1
(9)
o que leva a seguinte relação
Sm =
1− xm+1
1− x
. (10)
Tomando o limite m→∞ e observando que 0 < x < 1, en
ontramos que xm+1 → 0. Assim,
1
S∞ =
1
1− x
=
1
1− e−βhν
. (11)
Substituindo (11) em (4), temos que
〈ε〉 =
− ∂
∂β
(
1− e−βhν
)
−1
(1− e−βhν)
−1
(12)
ou seja
〈ε〉 =
hν
e
βhν − 1
. (13)
De modo geral en
ontra-se que (veja as notas de aula)
ρT (ν) =
8piν2
c3
〈ε〉 . (14)
Finalmente, substituindo (13) em (14), e levando em 
onta que β = 1
kBT
, 
hegamos a famosa fórmula de Plan
k
ρT (ν) =
8piν2
c3
hν
exp
(
hν
kBT
)
− 1
. (15)
Para o valor de h = 6, 626 × 10−34Js, a fórmula (15) reproduz perfeitamente o espe
tro de 
orpo negro. A 
onstante h é
denominada 
onstante de Plan
k.
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