Modulo 1- Fixação

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 1
Temas abordados : Func¸o˜es
Sec¸o˜es do livro: 1.1; 1.2; 1.5; 1.6
1) Sejam x, y ∈ R tais que x = y e considere a seguinte sequeˆncia de passos
x2 = yx
x2 − y2 = yx− y2
(x− y)(x+ y) = y(x− y)
x+ y = y
2y = y
2 = 1.
Uma vez que 2 6= 1, em alguma das passagens acima existe um erro. Identifique essa
passagem e explique qual foi o erro cometido.
2) A func¸a˜o mo´dulo e´ definida, para todo x ∈ R, como sendo
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0.
Marcando o ponto x na reta real, o mo´dulo de x e´ exatamente a distaˆncia desse ponto ate´
o ponto 0. Utilizando a definic¸a˜o acima descreva o conjunto dos valores x que satisfazem
as seguintes igualdades.
(a) |2x+ 5| = 4
(b) |x− 3| = |2x+ 1|
3) Repita o exerc´ıcio acima considerando agora as seguintes desigualdades
(a) |3x− 8| < 4
(b) |x+ 3| ≥ 2
4) Determine o domı´nio de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) =
3x+ 4
x2 − x− 2 (b) g(x) =
|x2 − 1|
3
√
x+ 1
(c) h(x) =
√|x| − x
(d) r(x) =
x√|x| − 1 (e) p(x) =√1−√1− x2
5) Em cada um dos itens abaixo, encontre a equac¸a˜o da reta que satisfaz as exigeˆncias
apresentadas.
(a) passa pelos pontos (3, 4) e (−2, 5)
(b) passa pelo ponto (−1, 3) e tem inclinac¸a˜o igual a −1
(c) passa pelo ponto (5,−1) e e´ paralela a` reta 2x+ 5y = 15
(d) passa pelo ponto (0, 1) e e´ perpendicular a` reta 8x− 13y = 13
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 1 de 10
6) Considere a func¸a˜o linear f(x) = 2x + 1 e δ > 0 um nu´mero dado. Verifique que, se
|x− 1| < δ, enta˜o |f(x)− f(1)| < 2δ.
7) Considere a func¸a˜o linear f(x) = −3x + 4 e ε > 0 um nu´mero dado. Verifique que
|f(x)− f(0)| < ε, sempre que |x− 0| < ε/3.
8) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine os intervalos no qual a func¸a˜o dada e´
positiva e aqueles onde ela e´ negativa.
(a) s(t) = (2t− 3)(t+ 1)(2− t)
(b) m(y) =
y(1− 2y)
y + 1
9) Considerando f(x) = 2x2 − 8 e g(x) = 2/(x− 7), determine o domı´nio e a expressa˜o de
cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) (f + g)(x) (b) (f · g)(x) (c)
(
f
g
)
(x)
(d)
(
g
f
)
(x) (e) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) (f) (g ◦ f)(x) = g(f(x))
10) Considerando f(x) = (4− x)/x, determine a expressa˜o de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f
(
1
x
)
− 1
f(x)
(b) f(x2)− f(x)2 (c) f(f(x))
11) Dadas f(x) =
{ −x se x < 0
x2 se x ≥ 0 e g(x) =
{
1/x se x < 0√
x se x ≥ 0 , determine
(a) (f ◦ g)(x) (b) (g ◦ f)(x)
12) Denotando por x e y os lados de um retaˆngulo cujo per´ımetro e´ igual a 100, determine o
domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o d(x) que fornece o comprimento da diagonal do retaˆngulo
em func¸a˜o de x.
13) A partir de uma cartolina medindo 14× 22 vamos construir uma caixa sem tampa como
segue: recortamos quadrados de lado x em cada um dos ve´rtices da cartolina e dobramos
as abas. Determine a expressa˜o e o domı´nio da func¸a˜o V (x) que fornece o volume da
caixa em func¸a˜o de x.
14) Sejam x, y e z os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, onde x e´ a hipotenusa. Suponha que
o triaˆngulo tem per´ımetro igual a 6. Determine a expressa˜o da func¸a˜o A(x) que fornece
a a´rea do triaˆngulo em func¸a˜o de x.
Dica: eleve os dois lados da igualdade y + z = 6− x ao quadrado.
15) Um grama de gelo, inicialmente a −40oC, e´ posto em uma fonte de calor. Neste expe-
rimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T ), em calorias, para que
a amostra atinja temperatura T , em oC. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua
temperatura em 2oC. Quando atinge 0oC, sa˜o necessa´rias mais 80 cal para o derretimento
total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a a´gua necessita de
1 cal para aumentar sua temperatura em 1oC.
(a) Calcule Q(−40), Q(−38), Q(0), Q(1) e Q(2).
(b) Determine a expressa˜o de Q(T ), para T ∈ [−40, 80].
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 2 de 10
RESPOSTAS
1) Na quarta passagem o termo (x− y) na˜o pode ser ”cancelado”por ser igual a zero.
2) (a) x ∈ {−9
2
,−1
2
}
(b) x ∈ {−4, 2
3
}
3) (a) x ∈ (4
3
, 4) (b) x ∈ (−∞,−5] ∪ [−1,+∞)
4) (a) R \ {−1, 2} (b) R \ {−1} (c) R (d) (−∞,−1) ∪ (1,+∞) (e) [−1, 1]
5) (a) y = −1
5
x+ 23
5
(b) y = −x+ 2 (c) y = −2
5
x+ 1 (d) y = −13
8
x+ 1
6) |f(x)− f(1)| = |(2x+ 1)− (2 · 1 + 1)| = |2x− 2| = 2|x− 1| < 2δ
7) |f(x)− f(0)| = |(−3x+ 4)− (−3 · 0 + 4)| = | − 3x| = 3|x| < 3 · ε
3
= ε
8) (a) positiva em (−∞,−1) ∪ (3
2
, 2
)
, negativa em
(−1, 3
2
) ∪ (2,+∞)
(b) positiva em (−∞,−1) ∪ (0, 1
2
)
, negativa em (−1, 0) ∪ (1
2
,+∞)
9) (a) 2x2 − 8 + 2
(x− 7), para x 6= 7
(b)
4x2 − 16)
(x− 7) , para x 6= 7
(c) (x2 − 4)(x− 7), para x ∈ R
(d)
1
(x− 7)(x2 − 4), para x 6∈ {−2, 2, 7}
(e)
8
(x− 7)2 − 8, para x 6= 7
(f)
2
2x2 − 15, para x 6= ±
√
15/2
10) (a)
−4(x2 − 4x+ 1)
4− x
(b)
−2(x2 − 4x+ 6)
x2
(c)
5x− 4
4− x
11) (a) (f ◦ g)(x) =
{ −1/x se x < 0
x se x ≥ 0
(b) (g ◦ f)(x) =
{ √−x se x < 0
x se x ≥ 0
12) d(x) =
√
x2 + (50− x)2, x ∈ (0, 50)
13) V (x) = x(22− 2x)(14− 2x), x ∈ (0, 7)
14) A(x) = 9− 3x
15) (a) Q(−40) = 0, Q(−38) = 1, Q(0) = 20, Q(1) = 101, Q(2) = 102
(b) Q(T ) =
{
(T/2) + 20 se T ∈ [−40, 0]
T + 100 se T ∈ (0, 80]
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 3 de 10
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 2
Temas abordados : Limites no ponto (conceito intuitivo e formal)
Sec¸o˜es do livro: 2.1; 2.2; 2.3
1) Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→1
(−3x2 + 3x+ 5) b) lim
s→0
√
2s2 + 3s− 4
4s− 4
c) lim
x→−1
|x− 1|
x− 1 d) limx→1
|x− 1|
x− 1
e) lim
z→0
z2 + 2z
z
f) lim
x→9
2
√
x− 6
x− 9
g) lim
z→1
|z − 1|(z − 2) h) lim
x→7
5−√4 + 3x
7− x
i) lim
x→4
x2 + 2x− 8
2x− 8 j) limt→2
t3 − 8
t− 2
k) lim
x→2
2x2 − 6x+ 4
2− x l) limx→1+
x2 − 5x+ 4
|x− 1|
2) Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→0
sen(6x)
2x
b) lim
x→0
sen(5x)
sen(9x)
c) lim
x→0
1− cos(x)
2x
d) lim
x→0
1− cos(x)
x2
e) lim
x→0
x sen(x)
1− cos(x) f) limh→0
sen(a+ h)− sen(a)
h
3) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o f para a qual o limite lim
x→0
|f(x)| existe, mas na˜o existe
lim
x→0
f(x).
4) Suponha f(x) > 0 para todo x 6= 2 e f(2) = −3. Decida sobre a veracidade de cada
uma das afirmac¸o˜es abaixo, justificando caso ela seja verdadeira ou apresentando um
contra-exemplo caso seja falsa.
a) lim
x→2
f(x) na˜o existe b) lim
x→2
f(x) = −3 c) Se existir, lim
x→2
f(x) e´ positivo.
5) Dadas f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1,
x+ 1 se x > 1,
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1,
2 se x > 1,
resolva os itens abaixo.
a) Esboce os gra´ficos de f e g.
b) Calcule lim
x→1
f(x) e lim
x→1
g(x).
c) Deˆ a expressa˜o de h(x) = f(x)g(x) e verifique se existe lim
x→1
h(x).
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 2 - Pa´gina 4 de 10
RESPOSTAS
1)
a) 5 b) 1 c) −1 d) na˜o existe e) 2 f) 1/3
g) 0 h) 3/10 i) na˜o existe j) 12 k) −2 l) −3
2) a) 3 b) 5/9 c) 0 d) 1/2 e) 2 f) cos(a)
3) Um exemplo e´ f(x) =
{
1 se x < 0
−1 se x ≥ 0
4) Todas as afirmac¸o˜es sa˜o falsas. Para os dois primeiros itens um poss´ıvel contra-exemplo
e´ a func¸a˜o f(x) =
{
1 se x 6= 2
−3 se x = 2 . Para o terceiro f(x) =
{ |x− 2| se x 6= 2
−3 se x = 2
5) b) os limites na˜o existem, visto que nos dois casos os limites laterais no ponto x = 1,
apesar de existirem, sa˜o diferentes.
c) h(x) =
{
x4 + 3x2 se x ≤ 1
2x+ 2 se x > 1
, de modo que lim
x→1
h(x) = 4.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 2 - Pa´gina 5 de 10
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 3
Temas abordados : Limites laterais e limites que envolvem o infinito; Ass´ıntotas
Sec¸o˜es do livro: 2.4; 2.5
1) Calcule oslimites abaixo.
a) lim
x→−∞
(3x3 − 4) b) lim
x→+∞
5− 4x
2x− 3 c) limx→+∞
x2 + 4
8x3 − 1
d) lim
x→+∞
x2 + 4
x− 1 e) limx→±∞
√
x2 − 2x+ 2
x+ 1
f) lim
x→−∞
x+ 3
√
x
x2 + 1
g) lim
x→−∞
3
√
2 +
3
x
h) lim
x→+∞
cos(x) i) lim
x→+∞
x+ sen3(x)
5x+ 6
j) lim
x→−∞
x2(1 + sen2(x))
(x+ sen(x))2
k) lim
x→+∞
(
√
x2 − 1− x) l) lim
x→+∞
x(
√
x2 − 1− x)
2) Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→3−
1
x− 3 b) limx→3+
1
x− 3
c) lim
x→3+
1
(x− 3)2 d) limx→−1−
(
3
x+ 1
− 5
x2 − 1
)
e) lim
x→5−
√
25− x2
x− 5 f) limx→3+
x2 − 2x+ 4
2x− 6
3) Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais de cada uma das func¸o˜es abaixo.
a) g(x) =
2x2 + 1
2x2 − 3x b) f(x) =
2x√
x2 + 4
c) f(x) =
|x− 2|
x− 2
d) f(x) =
x√
x2 − 4 e) f(x) = x+ sen(x) f) f(x) =

x+
1
3
√
x
, se x < 0
x− 4√
x− 2 se x ≥ 0, x 6= 4
RESPOSTAS
1)
a) −∞ b) −2 c) 0 d) +∞
e)
{
1 se x→ +∞
−1 se x→ −∞ f) 0 g)
3
√
2 h) na˜o existe
i) 1/5 j) na˜o existe k) 0 l)−1/2
2) a) −∞ b) +∞ c) +∞ d) −∞ e) −∞ f) +∞
3) a) Verticais: x = 0 e x = 3/2, Horizontais: y = 1
b) Verticais: na˜o existem, Horizontais: y = 2 e y = −2
c) Verticais: na˜o existem, Horizontais: y = −1 e y = 1
d) Verticais: x = −2 e x = 2, Horizontais: y = −1 e y = 1
e) Verticais: na˜o existem, Horizontais: na˜o existem
f) Verticais: x = 0, Horizontais: na˜o existem
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 3 - Pa´gina 6 de 10
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 4
Temas abordados : Continuidade; Reta tangente
Sec¸o˜es do livro: 2.6; 2.7
1) Explique o que significa dizer que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto x = x0.
2) Sabe-se que limx→2 f(x) = 5 e f esta´ definida em R. Todas as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o
falsas. Desenhe um contra-exemplo para cada uma delas.
a) f(x) > 0 para x ∈ (1, 3) b) f(2) = 5 c) f(2) e´ positivo
3) Suponha que x2 cos2(x) ≤ f(x) ≤ x sen(x), para todo x ∈ (−pi/2, pi/2). Verifique que f
e´ cont´ınua em x = 0.
4) Para cada uma das func¸o˜es f abaixo, verifique se existe uma func¸a˜o cont´ınua F : R→ R
tal que F (x) = f(x) para todo x ∈ Dom(f). Em caso afirmativo, determine F (x), em
caso negativo, explique porque tal func¸a˜o na˜o pode existir.
a) f(x) =
|x|
x
b) f(x) =
x2 − 4
x− 2
5) Decida se a func¸a˜o f(x) =
{
x3 cos(1/x) se x 6= 0,
1 se x = 0,
e´ cont´ınua em x = 0.
6) Decida se a func¸a˜o func¸a˜o g(x) =

√
x− 1
x− 1 se x 6= 1,
1/2 se x = 1,
e´ cont´ınua em x = 1.
7) Determine a ∈ R tal que a func¸a˜o f(x) =
{
1 + ax se x ≤ 0,
x4 + 2a se x > 0,
seja cont´ınua em x = 0.
8) Determine a, b ∈ R tal que a func¸a˜o f(x) =
 −
√
2− x se x < 1,
ax+ b se 1 ≤ x < 2,
|x2 − 7x+ 12| se x ≥ 2, ,
seja
cont´ınua.
9) Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, onde a > 0 e b, c, d ∈ R sa˜o dados. Mostre que f possui
pelo menos uma ra´ız.
10) Para cada func¸a˜o abaixo determine um intervalo de comprimento 1 que possua pelo
menos uma ra´ız da func¸a˜o.
a) f(x) = x3 + x− 1 b) g(x) = x3 + 3x− 5 c) h(x) = 1 + x cos
(pix
2
)
11) Verifique que existe x ∈ R tal que sen(x) = x− 1.
12) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)) em cada um
dos casos abaixo.
a) f(x) = x2 − x+ 1, x0 = 1 b) f(x) = 1/x, x0 = −2
c) f(x) =
√
x, x0 = 4 d) f(x) = 1/
√
x, x0 = 1
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 4 - Pa´gina 7 de 10
RESPOSTAS
1) A func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto x = x0 se lim
x→x0
f(x) = f(x0). Desse modo, o ponto x0
tem que estar no domı´nio de f , o limite nesse ponto deve existir e coincidir com o valor
da func¸a˜o no ponto.
2)
3) Fazendo x = 0 conclu´ımos que f(0) = 0. Ale´m disso, como lim
x→0
x2 cos2(x) = 0 =
lim
x→0
x sen(x), segue do Teorema do Sandu´ıche que lim
x→0
f(x) = 0.
4) a) Na˜o, pois na˜o existe o limite lim
x→0
f(x). Esse u´ltimo na˜o existe porque os limites
laterais, apesar de existirem, sa˜o diferentes.
b) F (x) = x+ 2
5) Na˜o, pois lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x3 cos(1/x) = 0 6= 1 = f(0).
6) Sim, pois lim
x→1
g(x) = lim
x→1
√
x− 1
(
√
x− 1)(√x+ 1) =
1
2
= f(1).
7) a = 1/2
8) a = 3, b = −4
9) Calcule os limites no infinito da func¸a˜o e use o Teorema do Valor Intermedia´rio (TVI).
10) a) f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1). Como f e´ cont´ınua em [0, 1] segue do TVI que existe
c ∈ [0, 1] tal que f(c) = 0
b) [1, 2]
c) [1
2
, 3
2
]
11) Use o TVI para obter uma ra´ız da func¸a˜o h(x) = x− 1− sen(x).
12) a) y = x b) y = −1
4
x− 1 c) y = 1
4
x+ 1 d) y = −1
2
x+
3
2
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 4 - Pa´gina 8 de 10
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Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 5
Temas abordados : Regras de derivac¸a˜o; Derivadas de func¸o˜es trigonome´tricas
Sec¸o˜es do livro: 3.1; 3.2; 3.3; 3.4
1) Defina o conceito de derivada de uma func¸a˜o f no ponto x = x0.
2) Usando a definic¸a˜o calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo.
a) f(x) = x2 − x+ 1 b) f(x) = 1/x
c) f(x) =
√
x d) f(x) = 1/
√
x
3) Quantas retas tangentes ao gra´fico de f(x) = x3 + 3x sa˜o paralelas a` reta y = 6x + 1?
Determine a equac¸a˜o dessas retas tangentes.
4) Usando as regras de derivac¸a˜o e lembrando que ( sen(x))′ = cos(x) e (cos(x))′ = − sen(x),
calcule a derivada das func¸o˜es trigonome´tricas abaixo.
a) tan(x) =
sen(x)
cos(x)
b) sec(x) =
1
cos(x)
c) csc(x) =
1
sen(x)
d) cot(x) =
cos(x)
sen(x)
Em seguida, determine as ass´ıntotas verticais de cada uma dessas func¸o˜es.
5) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo.
a) f(x) = 3x4 − 7x2 + 5x− 11 b) f(x) = 2x+ 3
x2 − 1
c) f(x) =
√
x
x2 − 2x d) f(x) =
√
x sec(x)
e) f(x) = 3
√
x+
4
x
f) f(x) = cos(x) + (x2 + 1) sen(x)
6) Uma part´ıcula de move sobre uma linha reta de acordo com a equac¸a˜o s =
√
t, sendo
s a distaˆncia (em metros) da part´ıcula ao seu ponto de partida, t > 0 segundo apo´s a
partida.
a) Calcule a velocidade me´dia da part´ıcula entre os instantes t = 9 e t = 16;
b) Calcule a velocidade instantaˆnea da part´ıcula quando t = 9.
7) Calcule a taxa de variac¸a˜o do volume de um bala˜o esfe´rico em relac¸a˜o ao seu raio, quando
o raio do bala˜o for igual a 5 cm.
8) Um proje´til e´ lanc¸ado verticalmente para cima e t > 0 segundo apo´s o lanc¸amento esta´
a s metros do solo, onde s(t) = 256t− 16t2. Calcule
a) a velocidade do proje´til t segundos apo´s o lanc¸amento;
b) o tempo necessa´rio que a altura ma´xima seja atingida;
c) a altura ma´xima atingida pelo proje´til.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 9 de 10
9) No instante t horas um ve´ıculo esta´ 16
√
t3− 24t+16 quiloˆmetros a` leste de um ponto de
refereˆncia na estrada.
a) Qual a velocidade no instante t = 1/4? Nesse instante o ve´ıculo esta´ se afastando ou
aproximando do ponto de refereˆncia?
b) Onde esta´ o ve´ıculo quanto a velocidade e´ zero?
10) Determine a, b ∈ R de modo que a func¸a˜o f(x) =
{
x2 se x < 1,
ax+ b se x ≥ 1, seja deriva´vel
em x = 1.
11) Mostre que a func¸a˜o f(x) =
{
x2 sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0,
e´ deriva´vel (e portanto cont´ınua)
em x = 0.
12) Mostre que a func¸a˜o f(x) =
{
x sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0,
e´ cont´ınua em x = 0 mas na˜o e´
deriva´vel nesse mesmo ponto.
RESPOSTAS
1) A derivada de uma func¸a˜o f no ponto x0 e´ o limite
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 .
Geometricamente, a derivada f ′(x0) e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no
ponto (x0, f(x0)).
2) a) 2x− 1 b) − 1
x2
c)
1
2
√
x
d) − 1
2x
√
x
3) duas retas, com equac¸o˜es y = 6x− 2 e y = 6x+ 2
4) a) sec2(x) b) sec(x) tan(x) c) − csc(x) cotan(x) d) − csc2(x)5)
a) 12x3 − 14x+ 5 b) −2x
2 − 6x− 2
(x2 − 1)2
c)
−3x2 + 2x
2
√
x(x2 − 2x)2 d)
√
x sec(x) tan(x) +
1
2
√
x
sec(x)
e)
1
3x2/3
− 4
x2
e) (2x− 1) sen(x) + (x2 + 1) cos(x)
6) a) 1/7 m/s b) 1/6 m/s
7) 100pi
8) a) v(t) = 256− 32t b) 8 segundos c) 1024 metros
9) a) Se aproximando a 12 km/h b) 8 km a leste do ponto de refereˆncia
10) a = 2 e b = −1
11) f ′(0) = lim
h→0
f(h)− f(0)
h
= lim
h→0
h sen(1/h) = 0
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 10 de 10