Deduu00E7u00E3o Natural_ Regra_de_Inferencia

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UNIVERSIADE FEDERAL DO MARANHÃO – UFMA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA – CCET
CURSO DE BACHARELADO EM QUÍMICA
DEDUÇÃO NATURAL E REGRA DE INFERÊNCIA
SÃO LUÍS – MA 
(2014)
GISLENE COSTA
DEDUÇÃO NATURAL E REGRA DE INFERENCIA
Trabalho apresentado como exigência da disciplina de Metodologia Científica do curso de graduação em Química sob a orientação da professora Cynthia Moreira Lima.
SÃO LUÍS – MA
 (2014)
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO	4
2. DEFINIÇÃO	5
2.1 Dedução Natural	5
2.1 .1 Origem	6
2.1.2 Sistema de Dedução Natural	7
2.1.3 Validade do sistema	14
3 REGRAS DE INFÊRENCIA	15
CONCLUSÃO	18
REFERÊNCIA	19
INTRODUÇÃO
		Na tentativa de organizar o pensamento para encontrar o caminho mais adequado para conhecer e controlar a natureza o homem criou o Método Cientifico e através do raciocínio lógico que produz conhecimento associado a experimentação, designando-se por um conjunto de paradigmas para a observação, identificação, descrição, investigação experimental e explanação teórica de fenômenos. O método científico envolve técnicas exatas, objetivas e sistemáticas, implementadas através de regras fixas para a formação de conceitos, para a condução de observações, realização de experimentos e para a validação de hipóteses explicativas.
		O objetivo da atividade científica é fornecer conhecimentos que facilitem a interação com o mundo, permitindo previsões sobre eventos futuros e indicando mecanismos de controle para que se possa intervir favoravelmente sobre os mesmos.
		Através da argumentação podemos solucionar problemas matemáticos, compreender o tempo e espaço dentro da física, analisar reações na química para chegar a uma formula eficaz e principalmente no século XXI criar softwares que facilitam a vida humana na verdade toda melhoria vem de uma boa argumentação certa vez Albert Einstein disse: Se soubesse que alguém iria matá-lo e tive-se uma hora para encontra a saída ele usaria 55 minutos para fazer a pergunta correta e 5 minutos para encontrar a solução. Segundo Einstein o segredo não está em encontrar a resposta e sim em fazer o questionamento correto. 
		Levando em consideração todo esse aparato teórico iremos descrever através desse trabalho o conceito de Dedução Natutral que é um método de demonstração introduzido independentemente por Gerhard Gentzen em 1935 e Stanislaw Jaskowski em 1934. e as Regras de Inferência que são normas de transformação sintáticas que podem ser usadas para inferir um resultado a partir de uma premissa, para criar uma alegação.
DEFINIÇÃO
		Vamos estudar e caracterizar a Dedução Natural e as Regras de Inferência, verificando suas peculiaridades e tendo como base demonstrações que venham difundir suas aplicações no nosso cotidiano. 
2.1 Dedução Natural 
		É o processo para estabelecer de maneira rigorosa a validade dos argumentos, derivando a conclusão do argumento a partir das premissas usando um sistema de regras.
		Para poder realizar uma derivação formal, é necessário formalizar a expressão que queremos demonstrar. Formalizar significa traduzir da forma lingüística usual para uma notação lógica, uma forma que é entendível para qualquer um, independente da língua que fala, e que também reduz o espaço ocupado pela frase escrita, tendo em vista que podemos utilizar uma notação mais econômica, a lógica. Na notação formal utilizamos conectivos lógicos, operadores que realizam a ligação entre os átomos (os menores objetos). São eles:
 - Negação (não é um conectivo, simplesmente nega a fórmula ou átomo ligado)
 - Conjunção
 - Disjunção
 - Implicação
 - Bi-implicação
No caso da lógica clássica de primeira ordem, temos ainda os quantificadores:
 - Universal
 - Existencial
Também utilizamos alguns símbolos extras para auxiliar:
 - Derivação
 - Consequência semântica
 - Top (Verdade)
 - Bottom (Absurdo, falsidade)
2.1 .1 Origem
		O sistema de dedução natural se originou do desgosto predominante com relação aos sistemas de demonstração formal viventes, que foram produzidos por Hilbert, Frege, e Russell. Jaśkowski. Em 1929, foi desenvolvido um sistema dedutivo mais natural, utilizando-se de uma notação diagramática, posteriormente atualizando sua proposta em meados dos anos 30. A forma foi proposta por G. Gentzen, um matemático alemão, em uma dissertação no ano de 1935. Gentzen foi impulsionado pelo ambição de  solidificar a consistência da teoria dos números. Ele encontrou uso para seu cálculo de dedução natural, mas ficou  apreensivo com a complexidade de suas demonstrações, e em 1938 deu uma nova consistência às suas demonstrações.
		Prawitz escreveu uma monografia em 1965 demonstrando o método de dedução natural na forma mais popular, incluindo a utilização para lógica modal e de segunda ordem se baseou no trabalho de Gentzen.
 
2.1.2 Sistema de Dedução Natural
		O método de dedução natural é utilizada para conferir a derivabilidade de uma expressão. Essa verificação não é valida para gerar um contra-modelo nem para expressar um conjunto de derivações executável, ou seja, a árvore de derivação nos mostra apenas uma, das diversas derivações reais para a expressão.
		Há duas alternativas evidenciadas em dedução natural: por meio do método linear ou a árvore de derivação. A ordem da dedução natural apresenta regras que ligam as árvores, que são criadas a partir do complexo finito de premissas e hipóteses até derivar uma certa conclusão.  A raiz da árvore é a conclusão, os filhos são as derivações que geram o resultado.  
		Nas folhas temos hipóteses ou premissas. As premissas estão relacionadas com as folhas abertas já as folhas fechadas representam hipóteses. O universo das folhas devem possuir marcas e deve evitar o confronto de marcas, o ter duas formulas distintas que possuam uma mesma marca. A identificação das folhas é feito através do numero natural que é atribuído a marca. 
		Toda ação deve ser baseada em uma das regras. Assim como uma mapa para o tesouro, devemos seguir todas as instruções para finalizarmos de maneira correta e segura.
		Os sistemas que trataremos aqui serão o Sistema intuitivo(Lógica Intuicionista), Sistema Np (Lógica Clássica Proposicional) e o Sistema Nc(Lógica Clássica de Primeira Ordem).
Sistema intuitivo 
		No sistema intuitivo possuímos regras que tratam de conectivos, assim como o sistema Np apresentado abaixo. A grande diferença entre o sistema intuitivo e o sistema Np é que o sistema intuitivo não possui a regra do absurdo clássico e nenhuma derivação baseada nela. Sendo assim, não podemos fazer derivações como: , facilmente derivadas no sistema Np ou Nc da lógica clássica. Com exceção do citado, podemos utilizar as mesmas regras do sistema Np.
Sistema Np
		No sistema Np possuímos regras que tratam de conectivos. Abaixo está a apresentação do conjunto de regras do Sistema Np:
Regras de eliminação
		As regras de eliminação mostram como retirar os conectivos para podermos gerar derivações. Elas são melhores utilizadas quando estamos construindo uma derivação a partir das hipóteses em direção a conclusão ("de cima para baixo").
Eliminação da conjunção
  Eliminação da conjunção à direita.
  Eliminação da conjunção à esquerda.
		As regras de eliminação da conjunção, como foram apresentadas acima, dizem que, se temos uma conjunção, podemos tirar um pedaço dela, a parte mais à direita (Ed) ou a parte mais à esquerda (Ee), e eliminá-lo.
Exemplos:
 
 
Eliminação da implicação
  Eliminação da implicação
		A regra de eliminação da implicação diz que se temos uma implicação de  em  e sabemos quem é o , logo saberemos quem é o .
Exemplo:
Eliminação da disjunção
  Eliminação da disjunção com hipóteses  e 
		A regra de eliminação da disjunção diz que, se temos um  derivando um  e um  derivando um  e uma disjunção entre  e , podemos eliminar a disjunção e ficar só com o , como é mostrado acima. Nessa regra podemos também transformar o  e o  emhipóteses, fechando as folhas.
Exemplo:
Regras de absurdo
		As regras de absurdo partem da premissa que da falsidade podemos derivar qualquer coisa, ou seja, do absurdo podemos derivar qualquer coisa.
Absurdo clássico
  Absurdo clássico com hipótese 
		O absurdo clássico gera uma hipótese . Se a partir dessa hipótese chegarmos a um absurdo, então podemos derivar A.
Exemplo:
Note que, nesse exemplo,  e  são premissas.
Absurdo intuicionista
  Absurdo intuicionista
		O absurdo intuicionista é menos poderoso que o absurdo clássico. Nele, não ganhamos hipótese alguma para utilizar, ou seja, temos que chegar a um absurdo através das premissas dadas para desse absurdo derivarmos outra coisa qualquer.
Regras de introdução
		As regras de introdução introduzem conectivos lógicos nas derivações. Elas são melhores utilizadas quando estamos construindo uma derivação a partir da conclusão e em direção as hipóteses(metodologia bottom-up, ou "de baixo para cima").
Introdução da conjunção
  Introdução da conjunção
Se temos  e  podemos derivar .
Exemplo:
 
Introdução da implicação
 Introdução da implicação com hipótese 
Se chegamos a  a partir de uma hipótese , derivamos:  e fechamos a hipótese .
Exemplo:
Note que nesse exemplo  é uma premissa.
Introdução da disjunção
  Introdução da disjunção à direita
  Introdução da disjunção à esquerda
		Se temos um  então podemos adicionar à sua direita ou esquerda um disjunto qualquer.
Exemplos:
 
 
Regras derivadas
		São as regras criadas a partir de outras regras que, quando demonstradas válidas, podem ser utilizadas...
Abaixo temos dois exemplos de regras derivadas, uma de eliminação e outra de introdução, bastante utilizadas:
Eliminação da negação
  Eliminação da negação
		A regra da eliminação da negação é uma regra feita a partir da eliminação da implicação, pois uma negação  pode ser apresentada como:  e se temos  em conjunto dessa implicação podemos derivar . Ou seja, de  e não , derivamos um absurdo.
Exemplo
Introdução da negação
  Introdução da negação com hipótese 
		A partir de uma hipótese , se chegarmos a um absurdo podemos derivar . Essa regra se justifica através da regra do absurdo clássico e do fato que  é o mesmo que .
Sobre a bi-implicação
		A bi-implicação () pode ser introduzida como uma abreviatura para: 
Sistema Nc
		O sistema Nc inclui todo o sistema Np mas adiciona algumas regras novas para que possamos trabalhar com fórmulas da Lógica Clássica de Primeira Ordem. As regras adicionais são as relativas aos quantificadores, inexistentes na Lógica Proposicional.
Regras de eliminação
		Seguem as regras que eliminam os quantificadores utilizados em primeira ordem.
Eliminação do universal
  Eliminação do Universal
		Esta regra diz que se temos um quantificador universal podemos eliminá-lo substituindo-o por um termo , se  for um termo livre para  na fórmula . Recomenda-se a utilização dela o mais próximo das folhas possível.
Exemplo:
 
Eliminação do existencial
  Eliminação do existencial
		Algumas restrições devem ser efeitas sobre a aplicação dessa regra:  não pode ocorrer livre nas hipóteses abertas que derivam , nem em  e a marca n aplica-se apenas às hipóteses com a forma da hipótese fechada.
Regras de introdução
		Abaixo estão as regras que introduzem os quantificadores utilizados em primeira ordem.
Introdução do universal
  Introdução do universal
		Se tivermos um i não-livre nas hipóteses abertas que derivam , então podemos introduzir o quantificador universal. Recomenda-se a utilização desta regra o mais próximo da conclusão possível.
Introdução do existencial
  Introdução do existencial
		Se possuirmos um termo livre  para a variável  na fórmula , podemos então introduzir o quantificador existencial.
Exemplo:
Note que nesse exemplo,  e  são premissas.
2.1.3 Validade do sistema 
		Se o sistema derivado é avaliado como válido se é possível demonstrar aquilo que ele deriva, como verdadeiro, por meio da semântica, sendo assim considerado correto, e se ele conseguir derivar tudo que é retratado semanticamente.O sistema dedutivo pode ser correto, completo e válido, mas para ser válido ele precisa ser correto e completo ao mesmo tempo.
 
REGRAS DE INFÊRENCIA
		Regras de inferência são regras de mudança sintáticas que podem ser utilizadas para inferir um resultado a partir de uma premissa, para criar um argumento. Um conjunto de normas que pode ser usada para inferir qualquer conclusão válida, se esta conclusão for integral. Entretanto nunca pode-se inferir uma conclusão inválida, se isto for assegurado. Um completo e seguro conjunto de regras não precisa incluir cada regra da listagem à seguir, já que muitas delas são redundantes, e podem ser provadas com o uso de outras regras.
		Dividimos as regras usadas ma dedução natural em regras de inferência e regras de substituição. As regras de inferência são designadas por cada uma delas constitui uma forma simples de argumento válido em que as premissas implicam o resultado; já a regras de substituição permitem substituir uma fórmula por outra que é logicamente equivalente. 
		As regras apresentadas no quadro acima são regras válidas de inferência e podemos comprovar esse fato utilizando um inspetor de circunstâncias. As primeiras duas regras, o modus ponens e o modus tollens, já são tuas conhecidas, pelo que não é necessário qualquer explicação adicional. O silogismo hipotético possibilita a dedução de um enunciado condicional por meio de dois outros enunciados condicionais usados por premissas. O silogismo disjuntivo permite a separação de uma disjunção. O dilema construtivo é uma regra complexa, mas basta se dá conta que se trata de uma norma que relaciona dois modus ponens. Na primeira premissa afirma que tivemos A, temos B e se tivermos C, temos D. Como na segunda premissa se afirma que temos A ou C, segue por modus ponens que temos B ou D o que é afirmado no resultado. As três regras seguintes são de fácil entendimento. A simplificação torna real a aquisição a partir de uma conjunção, uma das suas conjuntas, com base no fato de que se duas proposições são em conjunto verdadeiras, cada uma delas é verdadeira distintamente A conjunção permite unificar em uma linha proposições que afirmam separadamente em distintas linhas. A adição permite que relacionemos a qualquer proposição válida a qualquer outra proposição que selecionamos. Recapitulando temos um dos termos de uma disjunção seja válido para que uma disjunção seja verdadeira, notamos que essa regra é válida. A conclusão de um argumento contém uma letra proporcional que não está presente em nenhuma premissa, devemos utilizar a adição para inserir a letra que falta. A adição é a única regra de inferência que pode introduzir novas letras.
		É preciso analisar com cautela o fato de trata-se de ter em conta que A, B, C e D são variável de formula, por isso, implica em apenas o lugar ocupado por qualquer proposição simples ou complexa nas formulas que constituem uma dada rega. Assim, por exemplo:
 
		Acima temos instância de modus ponens. isso implica que quaisquer fórmulas, simples ou complexas, que valorizem a estrutura de um modus ponens, por muito distintos que na estética possam se tornar umas das outras, podem ser utilizadas para fazer um modus ponens. Algo semelhante acontece com todas as regras de inferência que apresentamos.
CONCLUSÃO
			
		Estudar a estruturação do pensamento e compreender as formas de argumentação pautadas em técnicas que tornam tangíveis a possibilidade de encontrar um resultado válido a partir da formulação de sistemas dedutivos e transformações sintáticas. São metodologias fundamentais para produção e extensão do conhecimento cientifico e do pensamento mais institucionalizado.
REFERÊNCIAS
Bedregal, Benjamín René Callejas, e Acióly, Benedito Melo (2002), Lógica para a Ciência da Computação, Versão Preliminar, Natal, RN.
F. Miguel Dionísio, Paula Gouveia, João Marcos. LógicaComputacional. Versão preliminar, 2006.
Introduction to natural deduction. Acesso em: 11:20h. 18 de junho, 2007. Disponível em: http://www.danielclemente.com/logica/dn.en.html .
Wikipédia, a enciclopédia livre. Acesso em 08:10h. 15 de dezembro 2014. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_regras_de_infer%C3%AAncia
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