Pêndulos Acoplados

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Figuras de Lissajous - Osciladores Harmônicos Simples Acoplados
Autora: Camila Gasparin
05/2013
	
Já parou pra pensar?
Como podemos relacionar oscilações mecânicas acopladas com os harmônicos resultantes deste movimento? Iremos tratar das figuras ou curvas de Lissajous, que foram inicialmente estudadas em 1815 por Nathaniel Bowditch e depois mais a fundo por Jules Antonie Lissajous em 1857.
Um dos recursos mais importantes para a manutenção, reparação e ajuste de equipamentos eletrônicos e seus circuitos é a visualização das grandezas que variam com o tempo usando um osciloscópio. Para observar frequências, amplitudes e fases de oscilação é necessário conhecer as Figuras de Lissajous, pois estas serão resultado das variações dos aspectos observáveis e darão informações sobre o sistema.
Mas outras situações mais simples também resultam em movimentos descritos por senoides. Basicamente todas as oscilações podem ser descritas pela função seno. Então, podemos descrever movimentos de pêndulos de relógios antigos (figura 1), dois movimentos circulares que se combinem, ondas sonoras, entre outros.
Fig. 1 – Relógio de pêndulo
Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/observatorio/acervo.html>. 
Acesso em: 04 de Maio de 2013.
	Como são feitos os diagnósticos com a utilização de osciloscópio e análise das Figuras de Lissajous?
O que iremos discutir?
Osciladores Harmônicos 
Osciladores Harmônicos Acoplados
Figuras de Lissajous
Vamos responder?
Para o diagnóstico eletrônico são analisadas as figuras formadas pela medição das características variáveis com o tempo, mas estas figuras sempre se apresentam na forma de senóides (funções seno). 
Por que?
A forma senoidal indica como a tensão ou a corrente variam com o tempo como podemos ver na figura 2 (tensão x tempo).
Fig. 2 – Senóide
Disponível em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/instrumentacao/108-artigos-diversos/5959-ins210>. 
Acesso em: 26 de Abril de 2013.
	Mas o que o senoide nos mostra? Primeiro precisamos lembrar de onde vem a função seno. 
Relembrando um pouco do MCU – Movimento Circular Uniforme, temos que o movimento de uma partícula, com módulo da velocidade constante, em uma trajetória circular pode ser descrito por um ângulo conforme na figura 3. Para cada posição da partícula podemos determinar o ângulo que ela faz com o eixo x, e para cada ângulo com o eixo x podemos determinar a posição da partícula.
Fig. 3 – Movimento circular e sua relação com o ângulo.
Disponível em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/instrumentacao/108-artigos-diversos/5959-ins210>. 
Acesso em: 26 de Abril de 2013.
	Na figura 4 os ângulos são apresentados em graus, mas estes se relacionam diretamente com a unidade de ângulo em radianos de acordo com:
90°: 
180°: 
270°:
360°: 
A função seno então, conforme a figura 4, nos dará a posição (no eixo y) da posição da partícula que faz com o eixo x um ângulo. Para isto consideramos o raio da circunferência (ciclo) igual a 1 (uma) unidade. Assim, os valores de x e y estarão sempre entre [-1, 1], considerando a origem do sistema de referência no centro da circunferência.
Fig. 4 – Movimento circular e sua relação com o ângulo.
Disponível em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/instrumentacao/108-artigos-diversos/5959-ins210>. 
Acesso em: 26 de Abril de 2013.
A partir de todos estes dados o senoide é construído de acordo com a figura 5, sem estar em ciclo, mas sendo colocado em função de x. Então agora para cada valor de seno (posição no eixo y) temos claramente o valor da posição da partícula no eixo x.
Fig. 5 – Descrição de seno em função x.
Disponível em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/instrumentacao/108-artigos-diversos/5959-ins210>. 
Acesso em: 26 de Abril de 2013.
Mas como estes conhecimentos se aplicam na eletrônica e nos diagnósticos de sistemas eletrônicos?
	A figura 6 nos apresenta uma espira em uma campo magnético gerado pelos polos Norte e Sul de um ímã. Sabemos, pelo eletromagnetismo, que a espira girará e gerará uma corrente.
Fig. 6 – Onda de corrente gerada por uma espira que gira em um campo magnético.
Disponível em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/instrumentacao/108-artigos-diversos/5959-ins210>. 
Acesso em: 26 de Abril de 2013.
Mas como a corrente é gerada? O movimento da espira se dá entre dois ângulos entre o ângulo do campo magnético gerado pelo ímã e a espira. Quando a espira está com 0° com o campo magnético (ou seja, na mesma direção que ele) não há geração de tensão, ponti 1, 3 e 5 da figura 6.
Mas quando a espera está com um ângulo de 90° com o campo magnético, temos o máximo de tensão gerada, pontos 2 e 4 da figura 6.
Entre 0° e 90° temos valores crescentes de tensão pelos diferentes ângulos entre a espira e o campo magnético. Assim, a cada volta completa da espira temos a indução de um ciclo de tensão alternada cuja forma é de onda é senoidal.
	Esta tensão gerada pelo ângulo entre a espira e o campo magnético gera a corrente na espira (que é de metal) e assim é gerada a corrente em uma circuito conectado à espira.
	E como estes valores podem ser medidos?
O osciloscópio é um equipamento que permite visualizar o sinal de onda de um equipamento. A aplicação do sinal no osciloscópio é parametrizado por um “dente de serra”, isto possibilita a observação de qualquer sinal de onda na forma de senoide, conforme pode ser visto na figura 7.
Fig. 7 – Parametrização no osciloscópio de um sinal eletrônico, resultando em um senoide.
Disponível em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/instrumentacao/108-artigos-diversos/5959-ins210>. 
Acesso em: 26 de Abril de 2013.
 
As Figuras de Lissajous são formadas por Osciladores Harmônicos Acoplados. Como é dado este acoplamento?
Um dos exemplos clássicos de osciladores harmônicos acoplados está representado na figura 8.
Fig. 8 – Osciladores Harmônicos Acoplados
Disponível em: <http://nerdyard.com/dois-osciladores-harmonicos-acoplados/>.
Acesso em: 04 de Maio de 2013.
As figuras de Lissajous é resultante do movimento coplanar (no mesmo plano) e perpendiculares entre si. A figura 8 nos mostra o movimento de dois corpos ligados por molas, no mesmo plano.
Conforme mostrado na figura 8, temos massas diferentes e constantes elásticas das molas diferentes, e estas estão em equilíbrio nas posições x1 e x2 mostradas. Maiores detalhes sobre o movimento do acoplamento será dado posteriormente.
Neste roteiro discutiremos o experimento da figura 9. Nesta situação temos dois osciladores harmônicos acoplados em 90° associados a uma caneta e um conjunto de peso. As situações das figuras 8 e 9, ou seja, têm a mesma descrição. 
	De acordo com o salientado acima devemos entender como as Figuras de Lissajous representam osciladores harmônicos acoplados e como se dá a descrição do movimento que se traduz nas figuras.Fig. 9 –Aparato Experimental para estudo dos osciladores harmônicos acoplados
Disponível em: <http://www.cdcc.usp.br/exposicoes/fisica.html>. 
Acesso em: 26 de Abril de 2013.
É importante salientar que devemos considerar que cada Oscilador Harmônico Simples executa movimento em um eixo e, portanto, a figura que há de se formar será uma figura bidimensional, ou seja, no plano OXY, que é o plano da mesa da figura 9.
Vamos experimentar?
O que é observado?
Entendendo um pouco mais...
A equação que representa cada Oscilador Harmônico Simples (OHS) pode ser escritas por: ω1 (frequência de oscilação)
x = A1.sin(ω1t)
y = A2.sin(ω2t + θ)
Em que:
A1 e A2 : amplitudes de oscilação;
ω1 e ω2 : freqüência angular de oscilação;
θ: diferença de fase entre os movimentos dos OHS.
Para o estudo do experimento e seus resultados podemos usar o modelo supracitado dos OHS e estudar alguns casos especiais:
Para amplitudes A1 = A2, ω1 = ω2 e diferença de fase θ = 0, temos:
x =A.sin(ωt) 
	 	 x = y
y =A.sin(ωt) 
e, portanto, o gráfico do movimento será uma reta que passa pela origeme tem todos os valores x = y, sendo uma reta.
Para amplitudes A1 = A2 , ω1 = ω2 e diferença de fase θ = , temos:
x =A.sin(ωt) 
y =A.sin(ωt + ) 		
mas como sin(ωt + ) = sin(ωt).cos () + sin()cos(ωt), e como, cos() = 0 e sin() = 1, temos y =A.cos(ωt)
Elevando ambas equações ao quadrado e somando-as, temos: 	 
 x = A.sin(ωt) 2 
+ y = A.cos(ωt)	 => x2 +y2 = A2 (sin²(ωt) + cos²(ωt)) 
 como sin²(ωt) + cos²(ωt) = 1, vem que x2 +y2 = A2 que é a equação de uma circunferência de raio r=A com centro na origem do sistema (0,0).
Para amplitudes A1 = A2 , ω1 = ω2 e diferença de fase θ = , temos:
x =A.sin(ωt) 
y =A.sin(ωt + ) 	
como: sin(ωt + ) = sin(ωt).cos() + sin().cos(ωt) e sabendo que 
cos() = sin(), então chamaremos: cos() = sin() = c (constante) e substituindo nas expressões dos OHS, temos:
x =A.sin(ωt) 
y =A.c. [sin(ωt) + cos(ωt)] 
que é a forma parametrizada de uma elipse rotacionada.
Alterando os parâmetros e as condições iniciais, pode-se obter diversas outras parametrizações das figuras que aparecem durante o experimento, mas os cálculos destas parametrizações são muito avançados para o propósito deste trabalho como pode-se ver na figura 10. 
Uma demonstração virtual do oscilador pode substituir a experimentação em laboratório ou sala de aula, sendo mais prática e exigindo menos preparação para a demonstração.
Existem algumas ferramentas disponíveis na rede, então deixamos como dica aqui duas possibilidades.
A primeira, http://www.auladefisica.com.br/site/index.php?banco_arquivos=2213&sid=osciloscopio-simulador-figura-de-lissajous.html, possibilita o download de um arquivo de tabelas que demonstram a variação do comportamento das figuras geradas de acordo com a modificação dos valores das variáveis. Assim, no quadro ao lado é mostrada a figura de Lissajous gerada pela combinação das duas cujos parâmetros ajustamos.
A segunda possibilidade, http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/13677, precisa de um plug-in Java instalado no computador, mas não exige de muitos recursos do computador e é de fácil interpretação. 
Fig. 10 – Figuras de Lissajou. 
Disponível em: <http://www.fisica.uepg.br/professores/saab/apostila%20exp%20II%202006%20pdf/figuras%20de%20lissajous.PDF>. 
Acesso em: 26 de Abril de 2013.
Referências
[1] USP. Centro de Divulgação Científica e Cultural. Espaço de física. Figuras de Lissajous. Disponível em: <http://www.cdcc.usp.br/exposicoes/fisica.html>. Acesso em: 26 de Abril de 2013.
[2] CEFET BA. Figuras de Lissajous. Applet. Disponível em: <http://www.cefetba.br/fisica/NFL/fge2/FigurasDeLissajous/figurasDeLissajous.html>. Acesso em: 26 de Abril de 2013.
[3] BRAGA, NEWTON C. Figuras de Lissajous. INSTITUTO NEWTON C. BRAGA. Disponível em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/instrumentacao/108-artigos-diversos/689-figuras-de-lissajous>. Acesso em:  26 de Abril de  2013. 
[4] BRAGA, NEWTON C. Figuras de Lissajous. INSTITUTO NEWTON C. BRAGA. Disponível em: http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/instrumentacao/108-artigos-diversos/5959-ins210>. Acesso em: 02 de Maio de 2013.
[5] SAAB, SERGIO DA COSTA. Figuras de Lissajous. UEPG. Disponível em:
< http://www.fisica.uepg.br/professores/saab/apostila%20exp%20II%202006%20pdf/figuras%20de%20lissajous.PDF>. Acesso em: 26 de Abril de 2013.
[6] MONTEIRO JUNIOR, FRANCISCO NAIRON; CARVALHO, JOAO JOSE CALUZI WASHINGTON LUIZ PACHECO. O aparato de Lissajous e o ensino Experimental das Vibrações Mecânicas. Encontro Nacional de Pesquisa em Educação em Ciências. Disponível em: < http://posgrad.fae.ufmg.br/posgrad/viienpec/pdfs/349.pdf>. Acesso em: 26 de Abril de 2013.
[7] NETTO, LUIZ FERRAZ. Pêndulo duplo de Airy-Blackburn. Disponível em: < http://www.feiradeciencias.com.br/sala10/10_28.asp>. Acesso em: 26 de Abril de 2013.
[8] MARTINS, BRUNA GRAZIELA. Pêndulo duplo de Airy-Blackburn. Disponível em: < http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem1_2009/BrunaG-Ennio_RF2.pdf>. Acesso em: 26 de Abril de 2013.
http://www.feiradeciencias.com.br/sala10/10_07.asp
http://www.if.ufrgs.br/observatorio/acervo.html
http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/instrumentacao/108-artigos-diversos/5959-ins210
http://webbif.ifi.unicamp.br/apostilas/f229/exp19/experiencia19.pdf