Medição de Força

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1. Breve História da Instrumentação 
2. Conceitos de Instrumentação 
3. Fundamentos de Estatística, Incertezas de Medidas e sua Propagação 
4. Conceitos de Eletrônica Analógica e Eletrônica Digital 
5. Sinais e Ruído 
6. Medidores de Grandezas Elétricas 
7. Efeitos Físicos Aplicados em Sensores 
8. Medição de Temperatura 
9. Medição de Força 
9.1. Transdutores de força: são equipamentos eletromecânicos que medem cargas estáticas ou 
dinâmicas e as convertem em sinais elétricos para posterior análise. Os principais transdutores 
de força são os strain gauges metálicos, os strain gauges a semicondutores e os transdutores 
indutivos LVDT. 
a Medições estáticas: quando os esforços variam lentamente em função do tempo. 
b Medições dinâmicas: quando os esforços variam rapidamente em função do tempo. 
c Medições estáticas dinâmicas: quando os esforços variam de forma impulsiva (choques, 
vibrações). 
9.2. Strain gauges metálicos (células extensiométricas ou células de carga): são elementos 
utilizados para converter deformações mecânicas em sinais elétricos proporcionais, com base 
na variação da sua resistência elétrica. 
a Definição e conceitos básicos: 
 Extensometria: método que tem por objetivo a medição das deformações superficiais 
dos corpos. 
 Deformação: é geralmente expressa em termos relativos: 
𝜀 =
𝛿𝐿
𝐿
 
onde 𝜀 é a deformação relativa (ou específica) longitudinal, 𝐿 o comprimento inicial [m] 
e 𝛿𝐿 a variação no comprimento [m]. 
 
Fig. 9.1 – Elemento deformado longitudinalmente. 
 Tensão: é o quociente entre a força (esforço) 𝐹 [N] desenvolvida dentro de um material 
por unidade de área 𝐴 [m²]: 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 
 Lei de Hooke: se um material for isótropo e homogêneo e seu limite elástico não for 
superado, então se verifica que a relação entre a tensão e a deformação é linear: 
𝐸 =
𝜎
𝜀
 
onde E é denominado módulo de elasticidade longitudinal [N/m²] ou módulo de Young, 
o qual determina a rigidez do material. 
 
Fig. 9.2 – Curva tensão x deformação para um metal característico. 
 Ex: Aço SAE 1020: 
 Módulo de Young: 2,05x105 N/mm² 
 Limite de elasticidade: 3,40x105 N/mm² 
 Módulo de ruptura: 5,40x105 N/mm² 
 Efeito de Poisson: quando solicitado longitudinalmente (eixo x), a deformação de um 
corpo não se produz somente nesta direção, pois o aumento do comprimento resulta na 
diminuição da seção transversal (contração nos eixos y e z). 
𝜀𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
 
𝜀𝑦 = −𝜈𝜀𝑥 
𝜀𝑧 = −𝜈𝜀𝑥 
onde 𝜈 é chamado coeficiente adimensional de Poisson, cujo valor é próximo a 0,3 para 
os metais mais comuns. 
 
Fig. 9.3 – Efeito de Poisson. 
 Experimento de Thomson: quando uma barra metálica é esticada, ela sofre um 
alongamento em seu comprimento e também uma diminuição da área da seção 
transversal, com um consequente aumento de sua resistência elétrica. 
𝑅 = 𝜌
𝐿
𝐴
 
onde 𝜌 é a resistividade do condutor [Ω.m]. 
b Tipos de strain gauges: 
 Strain gauges de filamento (wire strain gauges): o elemento sensível é um fio condutor 
metálico disposto em várias dobras e colado sobre um suporte isolante. 
 
Fig. 9.4 – Constituição de um strain gauge de filamento. 
 Strain gauges de trama pelicular (foil strain gauges): o elemento sensível é uma película 
de metal. 
 
Fig. 9.5 – Constituição de um strain gauge de trama pelicular. 
c Coeficiente de sensibilidade (fator gauge): representa a relação entre as variações relativas 
de resistência elétrica e deformação longitudinal. 
𝐾 =
𝛿𝑅
𝑅
𝛿𝐿
𝐿
 
Lembrando que: 
𝑅 =
𝜌𝐿
𝐴
=
𝜌𝐿
𝑦𝑧
 
𝛿𝑦 = 𝑦𝜀𝑦 = −𝑦𝜈𝜀𝐿 = −𝑦𝜈
𝛿𝐿
𝐿
 
𝛿𝑧 = 𝑧𝜀𝑧 = −𝑧𝜈𝜀𝐿 = −𝑧𝜈
𝛿𝐿
𝐿
 
|𝛿𝑅| = |
𝜕𝑅
𝜕𝜌
| |𝛿𝜌| + |
𝜕𝑅
𝜕𝐿
| |𝛿𝐿| + |
𝜕𝑅
𝜕𝑦
| |𝛿𝑦| + |
𝜕𝑅
𝜕𝑧
| |𝛿𝑧| 
𝛿𝑅 = 𝑅
𝛿𝜌
𝜌
+ 𝑅
𝛿𝐿
𝐿
+ 2𝜈𝑅
𝛿𝐿
𝐿
 
𝛿𝑅
𝑅
𝛿𝐿
𝐿
= 𝐾 = 1 + 2𝜈 +
𝛿𝜌
𝜌
𝛿𝐿
𝐿
 
 
Tab. 9.1 – Características de alguns strain gauges comerciais. 
d Tipos de configurações: 
 Bandas uniaxiais: utilizada quando as deformações se dão em uma única direção. 
 
Fig. 9.6 – Exemplo de aplicação de bandas uniaxiais. 
 Bandas biaxiais (strain gauges do tipo roseta): utilizada quando as deformações se dão 
em duas ou mais direções. 
 
Fig. 9.7 – Bandas biaxiais. 
 
Fig. 9.8 – Bandas biaxiais para esforços radiais e tangenciais. 
 
Fig. 9.9 – Exemplo de aplicação de bandas biaxiais. 
e Métodos de medição: utilizam-se, em geral, pontes de Wheatstone para medição da 
variação da resistência elétrica. 
 Método direto: consiste em medir a diferença de potencial nos terminais de saída da 
ponte. Requer um circuito de amplificação e uma fonte de excitação estável. 
 
Fig. 9.10 – Circuito básico para medição direta. 
 Método de zero (ou de oposição): consiste em se estabelecer o equilíbrio na ponte, seja 
variando as resistências nos ramos da ponte ou por uma tensão oposta à de equilíbrio. 
 
Fig. 9.11 – Circuito básico para medição de zero. 
f Montagens de pontes extensiométricas: 
 Caso I: barra prismática de eixo reto, submetida a esforço de tração simples: 
 Primeira montagem: um gauge ativo, alinhado na direção da força, condicionado 
em ¼ de ponte e alimentado com tensão constante. 
 
Fig. 9.12 – Caso I - primeira montagem. 
𝑅𝐺𝑎𝑢𝑔𝑒 = 𝑅 + 𝛿𝑅 
𝛿𝑉 = 𝑉𝑎𝑑 − 𝑉𝑎𝑏 
𝑉𝑎𝑑 =
𝑅 + 𝛿𝑅
2𝑅 + 𝛿𝑅
𝑈 
𝑉𝑎𝑏 =
𝑅
2𝑅
𝑈 =
𝑈
2
 
𝛿𝑉 =
𝑅 + 𝛿𝑅
2𝑅 + 𝛿𝑅
𝑈 −
𝑈
2
= (
2(𝑅 + 𝛿𝑅) − (2𝑅 + 𝛿𝑅)
2(2𝑅 + 𝛿𝑅)
) 𝑈 
𝛿𝑉 =
𝑈𝛿𝑅
4𝑅 + 2𝛿𝑅
=
𝑈
4 (𝑅 +
𝛿𝑅
2
)
𝛿𝑅 
𝛿𝑅
𝑅
= 𝐾
𝛿𝐿
𝐿
= 𝐾𝜀 
𝛿𝑉 =
𝑈𝐾
4 (1 + 𝐾
𝜀
2
)
𝜀 =
𝑈𝐾
4𝐸 (1 +
𝐾
𝐸
𝜎
2
)
𝜎 =
𝑈𝐾
4𝐸𝐴 (1 +
𝐾
𝐸𝐴
𝐹
2
)
𝐹 
𝐹 =
4𝐸𝐴 (1 +
𝐾
𝐸𝐴
𝐹
2
)
𝑈𝐾
𝛿𝑉 
 Compensação de temperatura: para se compensar os efeitos da temperatura 
sobre um strain gauge instalado em um corpo submetido a uma solicitação, 
substitui-se um dos resistores da ponte de Wheatstone por um segundo strain 
gauge, o qual é instalado sobre a superfície de um corpo semelhante ao que 
esta sendo avaliado, porém não solicitado e submetido às mesmas condições de 
temperatura. 
 
Fig. 9.13 – Montagem de strain gauge com compensação de temperatura. 
 Segunda montagem: dois gauges ativos, em ramos adjacentes da ponte, um deles 
alinhado na direção da força aplicada e outro em direção perpendicular, acusando o 
efeito de Poisson, condicionados em ½ de ponte e alimentados com tensão 
constante. 
 
Fig. 9.14 – Caso I - Segunda montagem. 
𝑅𝐺𝑎𝑢𝑔𝑒1 = 𝑅 + 𝛿𝑅1 
𝑅𝐺𝑎𝑢𝑔𝑒 2 = 𝑅 + 𝛿𝑅2 
Lembrando que: 
𝛿𝑅
𝑅
𝛿𝐿
𝐿
= 1 + 2𝜈 +
𝛿𝜌
𝜌
𝛿𝐿
𝐿
 
Considerando 
𝛿𝜌
𝜌
= 0, temos: 
𝛿𝑅1 = 𝑅(1 + 2𝜈)
𝛿𝐿1
𝐿1
= 𝑅(1 + 2𝜈)𝜀𝐿1 
𝛿𝑅2 = 𝑅(1 + 2𝜈)
𝛿𝐿2
𝐿2
= 𝑅(1 + 2𝜈)𝜀𝐿2 
Mas como: 𝜀𝐿2 = 𝜀𝑧1 = −𝜈𝜀𝐿1: 
𝑅𝐺𝑎𝑢𝑔𝑒1 = 𝑅 + 𝛿𝑅 
𝑅𝐺𝑎𝑢𝑔𝑒 2 = 𝑅 − 𝜈𝛿𝑅 
𝛿𝑉 = 𝑉𝑎𝑑 − 𝑉𝑎𝑏 
𝑉𝑎𝑑 =
𝑅 + 𝛿𝑅
2𝑅 + (1 − 𝜈)𝛿𝑅
𝑈 
𝑉𝑎𝑏 =
𝑅
2𝑅
𝑈 =
𝑈
2
 
𝛿𝑉 =
𝑅 + 𝛿𝑅
2𝑅 + (1 − 𝜈)𝛿𝑅
𝑈 −
𝑈
2
= (
2(𝑅 + 𝛿𝑅) − (2𝑅 + (1 − 𝜈)𝛿𝑅)
2(2𝑅 + (1 − 𝜈)𝛿𝑅)
) 𝑈 
𝛿𝑉 =
𝑈(1 + 𝜈)
4 (𝑅 + (1 − 𝜈)
𝛿𝑅
2
)
 𝛿𝑅 =
𝑈(1 + 𝜈)𝐾
4 (1 + (1 − 𝜈)𝐾
𝜀
2
)
𝜀 
Supondo-se 𝜈 = 1: 
𝛿𝑉 =
𝑈
2𝑅
 𝛿𝑅 =
𝑈𝐾
2
𝜀 =
𝑈𝐾
2𝐸
𝜎 =
𝑈𝐾
2𝐸𝐴
𝐹 
𝐹 =
2𝐸𝐴
𝑈𝐾
𝛿𝑉 
 Terceira montagem: quatro gauges ativos, dois de ramos opostos para a direção da 
força aplicada e osdois restantes na direção perpendicular ao efeito de Poisson, 
condicionados em ponte completa e alimentados com tensão constante. 
 
Fig. 9.15 – Caso I - terceira montagem. 
𝑅𝐺𝑎𝑢𝑔𝑒1 = 𝑅 + 𝛿𝑅 
𝑅𝐺𝑎𝑢𝑔𝑒 2 = 𝑅 − 𝜈𝛿𝑅 
𝑅𝐺𝑎𝑢𝑔𝑒3 = 𝑅 + 𝛿𝑅 
𝑅𝐺𝑎𝑢𝑔𝑒 4 = 𝑅 − 𝜈𝛿𝑅 
𝛿𝑉 = 𝑉𝑎𝑑 − 𝑉𝑎𝑏 
𝑉𝑎𝑑 =
𝑅 + 𝛿𝑅
2𝑅 + (1 − 𝜈)𝛿𝑅
𝑈 
𝑉𝑎𝑏 =
𝑅 − 𝜈𝛿𝑅
2𝑅 + (1 − 𝜈)𝛿𝑅
𝑈 
𝛿𝑉 =
𝑈(1 + 𝜈)
2𝑅 + (1 − 𝜈)𝛿𝑅
𝛿𝑅 =
𝑈(1 + 𝜈)𝐾
2 (1 + (1 − 𝜈)𝐾
𝜀
2
)
𝜀 
Fazendo-se 𝜈 = 1: 
𝛿𝑉 =
𝑈
𝑅
 𝛿𝑅 = 𝑈𝐾𝜀 =
𝑈𝐾
𝐸
𝜎 =
𝑈𝐾
𝐸𝐴
𝐹 
𝐹 =
𝑈𝐾
𝐸𝐴
𝛿𝑉 
 Caso II: barra prismática de eixo reto, submetida a esforço de flexão simples: neste caso 
são produzidos esforços iguais e opostos: a superfície convexa (superior) é solicitada por 
esforço de tração, enquanto a côncava (inferior) é solicitada por compressão. 
 
Fig. 9.16 – Viga engastada submetida a esforço de flexão simples e as tensões atuantes. 
 Montagem: quatro gauges ativos, dois a dois em ramos opostos da ponte e 
submetidos a esforços iguais, porém de sinal contrário, condicionados em ponte 
completa e alimentados com tensão constante. 
 
Fig. 9.17 – Caso 2. 
𝛿𝑉 =
𝑈
𝑅
 𝛿𝑅 = 𝑈𝐾𝜀 =
𝑈𝐾
𝐸
𝜎 
𝜎 =
6𝑙
𝑏ℎ²
𝐹 
onde 𝑙 é o comprimento da barra, 𝑏 sua largura e ℎ sua altura. 
𝛿𝑉 =
6𝑈𝐾𝑙
𝐸𝑏ℎ²
𝐹 
𝐹 =
6𝑈𝐾𝑙
𝐸𝑏ℎ²
𝛿𝑉 
 Caso III: barra prismática de eixo reto, submetida a esforço de flexão e tração (flexo-
tração): neste caso os esforços deixam de ser iguais nas superfícies consideradas. 
 
Fig. 9.18 – Viga submetida a esforço de flexão e tração. 
 Montagem: dois gauges ativos, em ramos opostos da ponte, ambos alinhados na 
direção da força de tração aplicada, condicionados em ½ de ponte e alimentados 
com tensão constante. 
 
Fig. 9.19 – Caso III. 
𝛿𝑉 =
𝑈
2𝑅
 𝛿𝑅 =
𝑈𝐾
2
𝜀 =
𝑈𝐾
2𝐸
𝜎 
 Caso IV: árvores de transmissão (esforço de torção): 
 Montagem: quatro gauges ativos, dois a dois em ramos opostos da ponte, 
montados a 45° com as geratrizes. Os gauges registram deformações iguais, porém 
de sinais contrários, sendo condicionados em ponte completa e alimentados com 
tensão constante. 
 
Fig. 9.20 – Caso IV. 
𝛿𝑉 =
𝑈
𝑅
 𝛿𝑅 = 𝑈𝐾𝜀 =
𝑈𝐾
𝐸
𝜎 
 
Fig. 9.21 – Desenho esquemático de um transdutor de força a strain gauge. 
9.3. Strain gauges a semicondutores: têm como elementos de capitação, semicondutores dos tipos 
piezo-resistivos e piezelétricos, os quais têm sua resistência elétrica variada, ou uma pequena 
diferença de potencial gerada, respectivamente, em função do esforço mecânico aplicado. 
 
Fig. 9.22 – Constituição de um strain gauge semicondutor. 
9.4. Transdutores indutivos LVDT (Linear Variable Differential Transformer): têm como princípio de 
funcionamento uma bobina interna que possui dois secundários conectados em anti-série e 
um núcleo móvel. Devido à contraposição em fase das tensões induzidas nos secundários, 
quando o núcleo estiver em posição central (nenhuma força aplicada sobre ele), a tensão 
resultante (somada) será nula. Quando uma força é aplicada sobre o núcleo, este se 
movimenta no interior da bobina, variando a indutância mútua de cada secundário em relação 
ao primário e a tensão resultante (somada) será proporcional à força aplicada. 
 
Fig. 9.23 – Principio esquemático do circuito de um transdutor LVDT. 
 
Fig. 9.24 – Desenho esquemático de um transdutor LVDT para medição de força de 
compressão. 
a Características gerais dos transdutores de força: variado campo de medidas, elevada rigidez 
mecânica, boa linearidade, grande faixa de indicação (elevado limite elástico), grande 
sensibilidade e boa resolução (baixo módulo de elasticidade), baixa histerese com boa 
capacidade de repetição, trabalho em condições adversas. 
9.5. Revisão de Resistência dos materiais: 
a Solicitações fundamentais: são as forças ou momentos, também chamados cargas ou 
carregamentos, aplicados externamente em um corpo: 
 Solicitação de compressão/tração: quando uma força é aplicada perpendicularmente à 
seção transversal de um corpo, tentando comprimi-lo ou estirá-lo. 
 
Fig. 9.25 – Solicitação de compressão/tração. 
 Solicitação de corte: quando uma força é aplicada paralelamente à seção transversal de 
um corpo tentando cortá-lo 
 
Fig. 9.26 – Solicitação de corte. 
 Solicitação de flexão: quando um momento é aplicado perpendicularmente ao eixo de 
simetria de um corpo tentando fleti-lo. 
 
Fig. 9.27 – Solicitação de flexão. 
 Solicitação de torção: quando um momento é aplicado paralelamente ao eixo de 
simetria de um corpo tentando torcê-lo. 
 
Fig. 9.28 – Solicitação de torção. 
b Tensões: são as forças, também chamadas esforços, desenvolvidas internamente nos 
corpos, por unidade de área. 
 Tensão normal: é a componente de tensão na direção longitudinal ao corpo. São 
geradas pelas solicitações de compressão/tração e flexão. 
 Tensão cisalhante (tangencial): é a componente de tensão nas direções transversais ao 
corpo. São geradas pelas solicitações de corte e torção. 
 
Fi. 9.29 – Tensões normais e cisalhantes. 
c Deformações: 
 Deformação longitudinal: é o alongamento/encurvamento do corpo causado pelo 
aparecimento de tensões normais. 
 Distorção angular: é a variação angular do corpo causado pelo aparecimento de tensões 
cisalhantes. 
 
Fig. 9.30 – Deformações nas estruturas. 
d Solicitação de flexão: o fenômeno da flexão causa o encurvamento da estrutura, de forma 
que algumas fibras sofrerão alongamento e outras, encurvamento. A fibra que passa pelo 
centro de gravidade da seção transversal não sofre deformação, sendo chamada de linha 
neutra. Observa-se que as forças internas agem na direção do eixo principal, logo as tensões 
na flexão são normais 𝜎, diretamente proporcionais ao momento fletor 𝑀𝑓 aplicado e à 
distância 𝑦 da fibra à linha neutra, e inversamente proporcionais ao momento de inércia 𝐼𝑧 
da estrutura (rigidez da estrutura): 
𝜎 =
𝑀𝑓𝑦
𝐼𝑧
 
com: 
𝜀 =
𝜎
𝐸
 
onde 𝜀 é a deformação longitudinal relativa e 𝐸 o módulo de elasticidade longitudinal. 
 
Fig. 9.31 – Tensões e deformações na flexão. 
e Solicitação de torção: o fenômeno da torção causa a entorse da estrutura, de forma que as 
fibras sofrerão escorregamento em relação umas às outras. Observa-se que as forças 
internas agem paralelamente ao eixo principal, logo as tensões na torção são cisalhantes 𝜏, 
diretamente proporcionais ao momento torçor 𝑀𝑡 aplicado e à distância 𝑟 da fibra ao centro 
de giro, e inversamente proporcionais ao momento de inércia polar 𝐼𝑝 da estrutura (rigidez 
da estrutura): 
𝜏 =
𝑀𝑡𝑟
𝐼𝑝
 
com: 
𝛾 =
𝜏
𝐺
 
onde 𝛾 é a distorção angular relativa e 𝐺 o módulo de elasticidade transversal, o qual 
relaciona-se com o módulo de elasticidade longitudinal segundo o coeficiente de Poisson: 
𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
 
O ângulo de torção 𝜃, por fim, é determinado em função do comprimento 𝐿 do corpo, isto 
é: 
𝜃 =
𝑀𝑡𝐿
𝐼𝑝𝐺
 
 
Fig. 9.32 – Tensões e deformações na torção. 
f Solicitações combinadas (flexo-torção): as tensões oriundas de solicitações compostas são 
determinadas individualmente, pelas expressões vistas nos itens anteriores.