AP1-MetDet_I-2012-2-gabarito

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS 1
Questa˜o 1 (2 pontos). Ha´ treˆs anos Pedro gastava 30% de seu sala´rio com moradia. Seu
sala´rio teve um aumento total de 10% nos u´ltimos 3 anos e o aumento acumulado de seus
gastos com moradia foi de 25%. Qual a porcentagem do sala´rio de Pedro e´ atualmente
empregada para pagar a escola?
Soluc¸a˜o: Supondo que Pedro recebia S reais de sala´rio, o gasto com moradia era de
0, 3S e passou para 0, 3S × 1, 25, enquanto o sala´rio de Pedro passou para 1, 1S. Logo a
porcentagem do sala´rio de Pedro que e´ hoje gasta com moradia corresponde a:
0, 3× 1, 25S
1, 1S
≈ 0, 34 = 34%
Questa˜o 2 (2,5 pontos). Uma empresa de produtos aliment´ıcios realizou uma pesquisa com
clientes em supermercados para avaliar o consumo de treˆs de seus produtos: sopa, macarra˜o
e tempero completo. Segundo as respostas apresentadas, dentre os entrevistados
• 34 na˜o consomem nenhum dos treˆs produtos;
• 27 consomem apenas dois dos treˆs produtos pesquisados;
• 79 consomem macarra˜o ou sopa;
• 18 consomem todos os 3 produtos;
• 72 consomem macarra˜o ou tempero;
• 12 consomem apenas sopa.
1
Quantos consumidores foram entrevistados? Desenhe o diagrama de Venn e justifique sua
resposta.
Soluc¸a˜o:
A partir das informac¸o˜es dadas, podemos marcar no digrama de Venn as 18 pessoas que esta˜o
na intersec¸a˜o dos treˆs conjuntos, as 34 que na˜o pertencem a nenhum dos treˆs conjuntos e
as 12 que consomem apenas sopa. Chamando de a, b e c as regio˜es que correspondem a
intersec¸o˜es de apenas dois conjuntos, sabemos que a + b + c = 27. Agora podemos calcular
quantas pessoas consomem apenas macarra˜o (m) usando a equac¸a˜o 79 = m+18+12+27. Da´ı
vemos que 22 pessoas compram apenas macarra˜o. Para descobrir quantos clientes consomem
apenas tempero dentre os treˆs produtos, usamos outra equac¸a˜o: 72 = t+ 18 + 22 + 27. Da´ı
vemos que 5 pessoas consomem, dentre estes treˆs produtos, apenas o tempero. Para descobri
quantas pessoas foram entrevistadas basta somar: 18 + 27 + 5 + 22 + 12 + 34 = 118. Logo
118 consumidores foram entrevistados.
2
Questa˜o 3 (3 pontos). Considere as premissas a seguir.
Premissas:
1) A ⊆ N;
2) Para quaisquer x e y pertencentes a A, x− y e´ mu´ltiplo de 10;
3) 21 ∈ A se e somente se {22, 23, 24, . . . , 28, 29} ∩A 6= ∅;
4) Existe x ∈ A tal que 21 ≤ x ≤ 30;
5) Para todo x ∈ A temos que 10 < x < 50;
6) Se 35 6= A, enta˜o A possui exatamente 3 elementos.
Discuta se e´ poss´ıvel ou na˜o saber qual o conjunto A. Aponte o que voceˆ pode concluir sobre
A e justifique sua resposta com uma argumentac¸a˜o baseada nas premissas dadas.
Soluc¸a˜o:
Podemos concluir que A = {20, 30, 40}. Essa conclusa˜o se justifica com base na seguinte
argumentac¸a˜o:
Pela premissa 1, A ⊂ N e pela premissa 2 a diferenc¸a de quaisquer dois elementos de A tem
que ser mu´ltiplo de 10.
Logo, pela premissa 3, nenhum elemento entre 21 e 29 pode pertencer a A (pois se isso
ocorresse, necessariamente 21 e um outro elemento 22 ≤ x ≤ 29 pertenceriam a A, mas a
diferenc¸a entre estes na˜o seria mu´ltiplo de 10, contrariando a premissa 2).
Como a premissa 4 garante que existe x ∈ A tal que 21 ≤ x ≤ 30, esse elemento so´ pode ser
o 30.
Como pela premissa 5 todos os elementos de A sa˜o maiores que 10 e menores que 50, pela
premissa 2 deduzimos que A ⊆ {20, 30, 40}.
3
Como 30 ∈ A, pela premissa 2, 35 /∈ A, logo, pela premissa 6, A possui exatamente 3
elementos.
Da´ı podemos concluir que A = {20, 30, 40}.
Questa˜o 4.
Questa˜o 5 (2,5 pontos). Resolva:
[(
−1
3
)4
÷
(
−1
3
)3](
−1
3
)
−2
+
2(a+ b)√
a2 + b2 + 2ab
+
(
3
√−64 + 2× 1
4
)
Soluc¸a˜o: [(
−1
3
)4
÷
(
−1
3
)3](
−1
3
)
−2
+
2(a+ b)√
a2 + b2 + 2ab
+
(
3
√−64 + 2× 1
4
)
=
[(
1
34
)
÷
(
− 1
33
)]
(−3)2 + 2(a+ b)√
(a+ b)2
+
(
3
√
−26 + 1
2
)
=
[
1
34
×−33
]
× 9 + 2(a+ b)
(a+ b)
+
(
−22 + 1
2
)
= −1
3
× 9 + 2 +
(
−4 + 1
2
)
= −3 + 2 +
(−8
2
+
1
2
)
= −1− 7
2
= −9
2
4