Aula 3 Sistemas Lineares_2013_2

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Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
Sistemas de 
Equações Lineares
Geometria 
Analítica3
Prof. Éverton Rafael Breitenbach
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
O que já vimos !!!
1.Determinantes
2.Cálculo de Determinantes de 2ª
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
O que já vimos !!!










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
)a.aa.a.(a
aa
aa
.a ;
aaa
aaa
aaa
3123332112
3331
2321
12
333231
232221
131211
−=















3. Cálculo de Determinantes de 3ª
)a.aa.a.(a
aa
aa
.a ;
aaa
aaa
aaa
3223332211
3332
2322
11
333231
232221
131211
−=















)a.aa.a.(a
aa
aa
.a ;
aaa
aaa
aaa
3122322113
3231
2221
13
333231
232221
131211
−=















)...()...()...(det 312232211331233321123223332211 aaaaaaaaaaaaaaaA −+−−−=
Determinante pela 1ª linha.
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O que já vimos !!!
4. Cálculo de Determinantes de qualquer ordem 
4.1 Processo de Triangulação
)
2
1(L
435
231
712
Adet
1→
=
. . .
10
132)
10
1321.1.(- T :é principal termo O −==
66)
2
132()
10
132
.(
2
10)
10
132
.(
2
5
.2Adet
:Logo
−=−=−=−=
10
13200
10
610
2
6
2
11
.
2
5
.2Adet
−
−=
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O que já vimos !!!
)21(L
100
010
001
352
224
312 1→




















=
352
224
312
A
5. Inversão de Matrizes
. . .












−
−
−−
04
1
2
1
4
104
1
8
1
8
3
8
1
100
010
101
. . .
I A-1
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
1. Equação linear
2. Sistemas de equações lineares
3. Tipos de sistemas
4. Sistemas equivalentes
5. Operações elementares
6. Estudo e solução dos sistemas
7. Característica de uma Matriz
A aula de hoje!
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
1. Equação Linear
É uma equação da forma:
a1.x1 + a2 . x2 + a3 . x3 + ... + an . xn = b
Onde:
x1, x2, x3, ...., xn são as variáveis.
a1, a2, a3, ...., an são os respectivos coeficientes das 
variáveis.
b é o termo independente.
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Solução de uma Equação Linear
Os valores das variáveis (x1, x2, x3, ...., xn) que 
transformam uma equação linear em identidade, 
isto é, que satisfazem à equação, constituem sua 
solução. 
Esses valores são denominados de raízes da 
equação linear.
Dada uma equação linear: 
a1.x1 + a2 . x2 + a3 . x3 + ... + an . xn = b
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2. Sistema de Equações Lineares
A um conjunto de equações lineares dá-se o nome 
de sistema de equações lineares:









=++++
=++++
=++++
=++++
mnmn33m22m11m
3nn3333232131
2nn2323222121
1nn1313212111
bx.a...x.ax.ax.a
...
bx.a...x.ax.ax.a
bx.a...x.ax.ax.a
bx.a...x.ax.ax.a
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Solução de um Sistema Linear
É dado pelos valores das variáveis que 
transformam simultaneamente as equações de um 
sistema linear em identidade, isto é, que satisfazem 
todas as equações do sistema. 
Estes valores são denominados raízes do sistema 
de equações lineares.
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3. Tipos de sistemas
3.1. Sistema compatível 
3.2 Sistema compatível determinado
3.3. Sistema compatível indeterminado
3.4. Sistema incompatível
3.5. Sistema linear homogêneo
4. Sistemas Equivalentes
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3.1. Sistema Compatível
Um sistema é compatível quando admite solução, 
isto é, quando tem raízes. 
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3.1. Sistema Compatível 
Determinado
Um sistema compatível é determinado quando 
admite uma única solução.



=+
=+
25y.4x.3
18y.3x.2
É compatível e determinado, pois tem como raízes 
unicamente: x = 3 e y = 4
Exemplo:
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3.2. Sistema Compatível 
Indeterminado
Um sistema compatível é indeterminado quando 
admite mais de uma solução (na verdade, admite 
infinitas soluções).



=+
=+
200y.4x.8
100y.2x.4
Soluções:
...19202122232425X
...121086420Y
Exemplo:
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3.3. Sistema Incompatível
Um sistema é incompatível quando não admite
solução.



=+
=+
15y.9x.3
12y.9x.3
É incompatível, pois não existem valores de x e y, 
que simultaneamente fazem com que a equação 
3.x + 9.y seja igual a 12 e 15, ao mesmo tempo.
Exemplo:
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Quando num sistema de equações lineares os termos 
independentes são todos nulos, o sistema é chamado de 
homogêneo.
3.4. Sistema Linear Homogêneo





=++
=−+
=−+
0.2.2.4
0.4.8.2
0.3.2.1
zyx
zyx
zyx
Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução, 
denominada de solução trivial, ou seja, xi = 0, onde xi
representa as variáveis do sistema e i = 1, 2, 3, 4, ..., m.
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4. Sistemas Equivalentes
Dois sistemas de equações lineares são 
equivalentes quando admitem a mesma solução.



=−
=+
12y.4x.2
42y.6x.3
Os sistemas são equivalentes pois admitem a 
mesma solução: 
x =10 e y = 2



=−
=+
6y.2x
14y.2x
Exemplo:
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Um sistema de equações lineares se transforma num sistema 
equivalente quando se efetuam as seguintes operações:
5. Operações Elementares e 
Sistemas Equivalentes
1. Permutação de duas equações;
2. Multiplicação de uma equação por um número real diferente 
de zero;
3. Substituição de uma equação por sua soma com outra 
equação previamente multiplicada por um número real 
diferente de zero.
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Notação !!!
Quando se deseja permutar, por exemplo, a 2ª equação pela 
3ª equação de um sistema de equações lineares, se escreverá
da seguinte forma:





=−+
=++
=−+
24z.4y.8x.2
16z.2y.2x.4
10z.6y.4x.2
→→→→ L23





=++
=−+
=−+
16z.2y.2x.4
24z.4y.8x.2
10z.6y.4x.2
A
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Notação !!!
Quando se deseja multiplicar a 1ª equação, por exemplo, por 
1/2 , se escreverá da seguinte forma:
→L1 (1/2)





=++
=−+
=−+
16z.2y.2x.4
24z.4y.8x.2
10z.6y.4x.2





=++
=−+
=−+
16z.2y.2x.4
24z.4y.8x.2
5z.3y.2x.1
B
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Notação !!!
Quando se deseja substituir a 2ª equação, por exemplo, pela 
soma dela com a 1ª equação, previamente multiplicada por 
-2, se escreverá da seguinte forma:
→ L2 = L2 + L1(-2)




=++
=−+
=−+
16z.2y.2x.4
24z.4y.8x.2
5z.3y.2x.1





=++
=−+
=−+
16z.2y.2x.4
12z.2y.4x.0
5z.3y.2x.1
C
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Observação





=++
=−+
=−+
16z.2y.2x.4
24z.4y.8x.2
10z.6y.4x.2





=++
=−+
=−+
16z.2y.2x.4
24z.4y.8x.2
5z.3y.2x.1





=++
=−+
=−+
16z.2y.2x.4
24z.4y.8x.2
5z.3y.2x.1





=++
=−+
=−+
16.2.2.4
12.2.4.1
5.3.2.1
zyx
zyx
zyx
ADMITEM A MESMA SOLUÇÃO!
x = 2
y = 3
z = 1
Sistemas 
Equivalentes
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Para facilitar o entendimento, vamos considerar três 
casos em separados:
6. Estudo e Solução dos S.E.L
1º Caso: Sistema de n equações lineares com igual 
número de variáveis m (m = n);
2º Caso: Sistema de m equações lineares com n variáveis 
(para m ≠ n);
3º Caso: Sistema de equações lineares homogêneo (para 
m = n ou m ≠ n).
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Para resolver um sistema de n equações lineares e com n 
variáveis, podem ser empregados dois métodos de solução:
6.1. Sistema com N Equações Lineares e 
com N Variáveis
• Método de Gauss-Jordan
• Método da Matriz Inversa
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6.1.1. Método de Gauss - Jordan
Consiste na aplicação de operações elementares nas linhas 
da matriz até que obtenhamos uma matriz numa forma em 
que o sistema associado a esta matriz seja de fácil resolução.
Vamos ver no próximo slide um 
exemplo ....
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O sistema inicial 
ficou transformado 
no sistema 
equivalente !



=
=
 3y1
 5x1
Isto é:
x = 5
y = 3



=+
=+
3y1x0
5y0x1



=+
=+
3y1x0
11y2x1




−=−
=+
75y25x0
11y2x1



−=−
=+
20y15x5
11y2x1




−=−
=+
20y15x5
22y4x2
−+=→ )2(LLL 211
−→ )251(L2
−+=→ )5(LLL 122
→ )21(L1
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• A matriz dos coeficientes das variáveis foi 
transformada por meio de operações adequadas na 
matriz unidade; ao mesmo tempo, submetida às 
mesmas operações, a matriz-coluna dos termos 
independentes foi transformada nas raízes das 
equações, isto é, na solução do sistema.



=+
=+



−=−
=+
 3y1x0
 5y0x1
...
20y15x5
 22y4x2
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Assim, para desenvolver o método de Gauss 
Jordan ... (são três passos)
Passo 1: Coloca-se 
ao lado da matriz dos 
coeficientes das 
variáveis, separada 
por um traço vertical, a 
matriz-coluna dos 
termos independentes:






−−



−=−
=+
20
22
155
42
...
20y15x5
 22y4x2
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade






−− 20
22
155
42
• Esta matriz, associada ao sistema dado de equações 
lineares, é chamada de matriz ampliada do sistema. 
• Cada linha é uma representação abreviada da equação 
correspondente no sistema. 
• O traço vertical é colocado para facilitar a visualização da 
matriz dos coeficientes das variáveis e da matriz-coluna dos 
termos independentes.
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Passo 2: Transforma-se, por meio de operações 
adequadas, a matriz dos coeficientes das variáveis na 
matriz-unidade, aplicando-se simultaneamente, à
matriz coluna, colocada ao lado da matriz dos 
coeficientes das variáveis, as mesma operações:
)5(LLL20
11
155
21
20y15x5
11y2x1
122 −+=→






−−



−=−
=+
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Passo 3: Transformada a matriz dos coeficientes das 
variáveis na matriz-unidade, a matriz dos termos 
independentes ficará transformada, ao final, na 
solução do sistema.









=+
=+
3
5
 
10
01
 3y1x0
 5y0x1
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Vamos fazer um exemplo! 
Resolver o sistema:





−=++
=++
=++
12x3x5x2
4x2x2x4
8x3x1x2
321
321
321
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( )2LLL 133 −+=→12-
12-
4
352
4-00
2
3
2
11












( )4LLL 122 −+=→
12-
4
4
352
224
2
3
2
11












( )21L1→
12-
4
8
352
224
312










)41(L3 −→12-
5-
4
4-00
010
2
3
2
11












)41(L2→
12-
20-
4
4-00
040
2
3
2
11












L23→
20-
12-
4
040
4-00
2
3
2
11












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




=++
−=++
=++
3x1x0x0
5x0x1x0
2x0x0x1
321
321
321
O sistema inicial se 
transformou no 
seguinte sistema 
equivalente:
Resultado:
x1 = 2
x2 = -5
x3 = 3
3
5-
2
100
010
001










)23(LLL 311 −+=→
3
5-
2
13
100
010
2
301












)21(LLL 211 −+=→
3
5-
4
100
010
2
3
2
11












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6.1.2. Método da Matriz Inversa









=++++
=++++
=++++
=++++
mnmn33m22m11m
3nn3333232131
2nn2323222121
1nn1313212111
bx.a...x.ax.ax.a
...
bx.a...x.ax.ax.a
bx.a...x.ax.ax.a
bx.a...x.ax.ax.a
















=
















=
















=
n
3
2
1
n
3
2
1
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
b
...
b
b
b
 B ;
x
...
x
x
x
X ;
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
a...aaa
A
Fazendo,
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O sistema pode ser escrito na forma matricial, como:
















=
































n
3
2
1
n
3
2
1
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
b
...
b
b
b
 
x
...
x
x
x
 . 
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
a...aaa
Ou, utilizando a notação abreviada:
A.X = B
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
Admitindo a existência da matriz A-1 (inversa de A) e pré-multiplicando ambos 
os lados da igualdade por A-1, teremos:
A.X = B
A-1 A X = A-1 B
Logo, IX = A-1B
(IX = X)
X = A-1B
A solução do sistema é bastante simples: basta multiplicar a inversa da matriz A-1 da 
matriz A dos coeficientes das variáveis pela matriz coluna B dos termos independentes.
(A-1 A = I)
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
Vamos fazer um exemplo !





=++
=++
=++
3321
2321
1321
bx.4x.3x.5
bx.2x.3x.1
bx.7x.1x.2Resolver o seguinte sistema de equações lineares
Para: b1 = 16 b2 = - 5 b3 = 11 Sistema 1
Para: b1 = 25 b2 = -11 b3 = -5 Sistema 2
Para: b1 = 3 b2 = 5 b3 = -5 Sistema 3
Solução: Fazendo, 










−
=










=










−
−=










=










−=










=










=










=
5
5
3
b
b
b
 B;
5
11
25
b
b
b
 B;
11
5
16
b
b
b
 B ;
x
x
x
X ;
435
231
712
A
3
2
1
3
3
2
1
2
3
2
1
1
3
2
1
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
Os três sistemas se transformam em:
1) A X = B1
2) A X = B2
3) A X = B3
E, a solução deles é dada por:
1) X = A-1 B1 → Sistema 1
2) X = A-1 B2 → Sistema 2
3) X = A-1 B3 → Sistema 3
A inversa da Matriz A é:










−
−−
−−
=
−
66
5
66
1
66
12
66
3
66
27
66
6
66
19
66
17
66
6
1A
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• Fazendo, X = A-1 Bn, para obter a solução do sistema:
• Logo:
X1 = 3
X2 = -4
X3 = 2
B1
Sistema 1










−=










−










−
−−
−−
=
66
5
66
1
66
12
66
3
66
27
66
6
66
19
66
17
66
6










=
3
2
1
X
X
X
2
4
3
11
5
16
.X
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• Fazendo, X = A-1 B, para obter a solução do sistema:
• Logo:
X1 = 2
X2 = -7
X3 = 4
Sistema 2
B2










−=










−










−
−−
−−
=
66
5
66
1
66
12
66
3
66
27
66
6
66
19
66
17
66
6










=
3
2
1
X
X
X
4
7
2
5
11
25
.X
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• Fazendo, X = A-1 B, para obter a solução do sistema:
• Logo:
X1 = -3
X2 = 2
X3 = 1
Sistema 3
B3









−
=










−










−
−−
−−
=
66
5
66
1
66
12
66
3
66
27
66
6
66
19
66
17
66
6










=
3
2
1
X
X
X
1
2
3
5
5
3
.X
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
É utilizado um método semelhante ao Método de 
Gauss-Jordan com a diferença de que a matriz dos 
coeficientes das variáveis não pode ser transformada 
na matriz-unidade, porque ela é uma matriz retangular
(devido a diferença de equações e variáveis).
6.2. Sistema com M Equações Lineares 
com N Variáveis (M ≠ N)
O procedimento a ser seguido é o mesmo !!!!!
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
Vamos fazer três exemplos: 
Resolver o sistema:





=−
=−
=+
3x4x10
4x2x5
16x4x2
21
21
21
Sistema com 3 equações e 2 variáveis:
1º Exemplo:
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
12
dado. sistema ao eequivalent é que ,
500
310
401
abaixo sistema ao eequivalent é matriz Essa
21
21
21





−=+
=+
−=+
xx
xx
xx
( )
77-
3
8
240
10
21
77-
36-
8
240
0
21
3
36-
8
410
120
21
3
4
8
410
25
21
L’
3
4
16
410
25
42 211










−
−2 12( )L’ 1→










−
−
(LLL’ )10133 −+=→









−
−
( 5L22 )LL’ 1 −+=→










−
−
→










−
−




















5-
3
-4
00
10
01
77-
3
2
00
10
21
( )+=→ 24LLL’ 233
L’1=→ L1 - 2L2
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
SISTEMAS 
EQUIVALENTES





−=+
=+
=+
5x0x0
3x1x0
2x0x1
21
21
21





=−
=−
=+
3x4x10
4x2x5
16x4x2
21
21
21
Neste exemplo, como não existem valores de x1 e 
x2 que satisfaçam a 3ª equação (0.x1 + 0.x 2 = -5), o 
SISTEMA É INCOMPATÍVEL.
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
2º Exemplo: 
Resolver o sistema:







=−
=+
=−
=+
7x5x4
9x1x3
4x2x5
16x4x2
21
21
21
21
Sistema com 4 equações e 2 variáveis
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
( )
( )
 
 
0
0
3
2
 
00
00
10
01
13LLL
 
39-
0
3
2
 
130
00
10
01
...
...
 
L
 
7-
9
4
16
 
54
13
25
42
244
2
1
1














+=→













−
→














−
−
dado. sistema ao eequivalent é que ,
0x0x0
0x0x0
3x1x0
2x0x1
abaixo sistema ao eequivalent é matriz Essa
21
21
21
21







=+
=+
=+
=+
A 3ª e 4ª equação não estabelecem 
nenhuma condição para x1 e x2. Estas 
equações são satisfeitas para qualquer 
valor de x.
Assim, a solução do sistema será dada 
pelas duas primeiras equações:
x1 = 2
x2 = 3
O sistema é COMPATÍVEL é
DETERMINADO.
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
3º Exemplo: 
Resolver o sistema:



=++−
=++−
1904252144
84182482
4321
4321
xxxx
xxxx
Sistema com 2 equações e 4 variáveis
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade



−−=
−−=






−+=→





 −
+=→






−
−
→






−
−
432
431
211
122
2
1
1
x3x211x
x21x2086x
:sistema ao equivale matriz Esta
 
11
86
 
3210
212001
)4(LLL
 
11
42
 
3210
91241
)4(LLL 190
42
 
4252144
91241
)(L
 
190
84
 
4252144
182482
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade



−−=
−−=
432
431
x3x211x
x21x2086x
...453021X4
...42 5 013X3
...-9-8-131132X2
...-78-59-7786245X1
Arbitrários:
Calculados:
O sistema é COMPATÍVEL e INDETERMINADO, pois admite infinita 
soluções.
Os valores de x1 e x2 são obtidos atribuindo valores a x3 e x4.
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
7. Características de uma Matriz
Vamos considerar o sistema





=−
=−
=+
3x4x10
4x2x5
16x4x2
21
21
21










−
−
3
4
16
 
410
25
42










5-
3
2
 
00
10
01










00
10
01
Matriz A
Matriz Ampliada 
do Sistema
Matriz B
Matriz em Forma 
de Escada
Matriz V
dos Coeficientes 
das Variáveis
• a Matriz B tem 3 linhas com elementos não nulos;
• a Matriz V (contida em B) tem 2 linhas com elementosnão nulos.
Quando m ≠ n
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
Chama-se característica de A (da matriz ampliada do sistema) 
o número de linhas com elementos não todos nulos de B (matriz 
em forma de escada equivalente a A).
A característica de A é representada por Ca.
No 1º Exemplo:
Ca = 3, porque a matriz B tem 3 linhas com elementos todos 
não nulos.










5-
3
4-
 
00
10
01





=−
=−
=+
3x4x10
4x2x5
16x4x2
21
21
21
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
Chama-se característica de V (da matriz dos coeficientes das 
variáveis contidas em B) o número de linhas com elementos não 
todos nulos de V.
A característica de V é representada por Cv.
No 1º Exemplo:
Cv = 2, porque a matriz V tem 2 linhas com elementos todos 
não nulos;










00
10
01
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• No 1º exemplo, B representa um sistema de 3 
equações com 2 variáveis e Ca > Cv. Nesse caso, 
o sistema é incompátivel. 
SISTEMAS 
EQUIVALENTES





−=+
=+
−=+
500
310
401
21
21
21
xx
xx
xx





=−
=−
=+
3x4x10
4x2x5
16x4x2
21
21
21
• O sistema é incompatível, pois não existe um 
valor de x1 e x2 que satisfaça as três equações ao 
mesmo tempo!
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
 
 
0
0
3
2
 
00
00
10
01














• No 2º exemplo ...
 
 
00
00
10
01












Neste exemplo, B representa um sistema de 4 
equações (m=4) com 2 variáveis (n=2) e Ca = Cv = 2.
Neste caso, o sistema é compatível e as duas 
linhas de B, informam que x1 = 2 e x2 = 3.
B V
Ca Cv
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• No 3º exemplo ...
Neste exemplo, B representa um sistema de 2 equações (m=2) com 4 
variáveis (n=4) e Ca = Cv = 2.
A 1ª linha de B informa que x1 = 86 – 20 x3 – 21 x 4
A 2ª linha de B informa que x2 = 11 – 2 x3 – 3 x 4
Os valores de x1 e x2 são obtidos arbitrando valores para x3 e x4.
B V 11
86
 
3210
212001






 
3210
212001






Quando Ca = Cv dizemos que Ca = Cv = C
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
8. Grau de liberdade de um sistema
Indica o número de variáveis às quais devem ser atribuídos 
valores arbitrários para calcular cada uma das variáveis 
restantes.
É dado pela diferença g = n - C
• No 3º exemplo que acabamos de ver: n = 4 ; C = 2 e, 
portanto, g = 2.



=++−
=++−
84x42x52x14x4
84x18x24x8x2
4321
4321
 
11
86
 
3210
212001






Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• Resolver o sistema de 2 equações com 2 variáveis:



=+
=+
15y9x3
12y9x3
)(L
15
12
93
93 311→






)3(LLL15
4
93
31
122 −+=→












3
4
00
31
• Ca = Características da 
matriz ampliada (número 
de linhas com elementos 
não todos nulos de B) = 2
• Cv = Característica da 
matriz V dos coeficientes 
das variáveis (número de 
linhas com elementos não 
todos nulos dos 
coeficientes das variáveis, 
contida em B) = 1
• Ca > Cv
• Sistema é Incompatível!
Exemplo: 
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• Resolver o sistema de 2 equações com 2 variáveis:



=+
=+
200y4x8
100y2x4
)(L
200
100
48
24 411→






)8(LLL200
25
48
1
122
2
1
−+=→












0
25
00
1 21
• Ca = Características da 
matriz ampliada (número 
de linhas com elementos 
não todos nulos de B) = 1
• Cv = Característica da 
matriz V dos coeficientes 
das variáveis (número de 
linhas com elementos não 
todos nulos dos 
coeficientes das variáveis, 
contida em B) = 1
• Ca = Cv = C = 1
• Sistema é Compatível!
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• O sistema é compatível;
• n = número de variáveis = 2 (x e y);
Ca = Cv = C = 1;
Porém, C < n, o Sistema é Compatível e Indeterminado;
• Grau de liberdade, g = n – C = 2 – 1 = 1
Analisando o grau de liberdade, a 1ª linha da matriz reduzida é
1.x + 0,5.y = 25, portanto, os valores de x são calculados ao
se atribuir valores arbitrários à variável y;
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade



=+
=+
200y4x8
100y2x4






0
25
00
1 21
y5,025x
25y5,0x1
−=
=+
..19202122232425x
..121086420yArbitrários:
Calculados:
Resultado:
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
Um sistema linear homogêneo pode ter outras 
soluções, denominadas soluções próprias, além da 
solução trivial. 
O método para encontrar essas soluções, se 
existirem, é o mesmo método utilizado para resolver 
um sistema de m equações lineares com n variáveis.
6.3. Sistema de Equações Lineares 
Homogêneo
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• Resolver o sistema de 2 equações com 3 variáveis:



=−+
=−+
0x6x4x2
0x9x6x3
321
321
• Ca = Características da matriz 
ampliada (No de linhas com 
elementos não todos nulos de B) = 
1
• Cv = Característica da matriz V dos 
coeficientes das variáveis (No de 
linhas com elementos não todos 
nulos dos coeficientes das 
variáveis, contida em B) = 1
• Ca = Cv = C = 1
• n = 3
• C < n = Sistema é Indeterminado
• A solução trivial é: x1 = x2 = x3 = 0
Exemplo 1
• Soluções próprias:





 −
−+=→






−
−
→






−
−
0
0
000
321
)2(LLL0
0
642
321
)(L
0
0
642
963
122
3
1
1
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• O sistema é indeterminado;
• n = número de variáveis = 3 (x1, x2 e x3);
• Grau de liberdade, g = n – C = 3 – 1 = 2
Analisando o grau de liberdade, a 1ª linha da matriz reduzida
representa a equação 1.x1 + 2.x2-3x3 = 0.





 −
0
0
000
321Matriz reduzida 
Portanto, os valores de x são calculados ao se atribuir
valores arbitrários à variável y;
.7317-416-14x1
.95723412x3
.106254321x2Arbitrários:
Calculados:
Arbitrários:
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• Resolver o sistema de 3 equações com 2 variáveis:





=−
=−
=+
0x2x12
0x8x16
0x4x2
21
21
21
• Ca = Características da matriz 
ampliada (No de linhas com 
elementos não todos nulos de B) = 2
• Cv = Característica da matriz V dos 
coeficientes das variáveis (No de 
linhas com elementos não todos 
nulos dos coeficientes das variáveis, 
contida em B) = 2
• Ca = Cv = C = 2
• O Sistema é Determinado
• O sistema não tem soluções 
próprias. A única solução é a trivial;
• x1 = x2 = 0
• A solução trivial é: x1 = x2 = 0
Exemplo 2
• Soluções próprias:










+=→
−+=→










−
0
0
0
00
10
01
)26(LLL
)2(LLL
0
0
0
260
10
21
...
233
121
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• Resolver o sistema de 3 equações com 3 variáveis:





=+−
=−−
=−−0x3x2x1
0x1x2x1
0x4x3x1
321
321
321
• Ca = Características da matriz 
ampliada (No de linhas com 
elementos não todos nulos de B) = 3
• Cv = Característica da matriz V dos 
coeficientes das variáveis (No de 
linhas com elementos não todos 
nulos dos coeficientes das variáveis, 
contida em B) = 3
• Ca = Cv = C = 3
• O Sistema é Determinado
• O sistema não tem soluções 
próprias. A única solução é a trivial;
• x1 = x2 = x3 = 0
• A solução trivial é: x1 = x2 = x3 = 0
Exemplo 3
• Soluções próprias:










0
0
0
100
010
001
Escalonando as matrizes, 
chegaremos a:
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• A é a matriz ampliada do sistema (contém a matriz dos coeficientes das 
variáveis e a matriz-coluna dos termos independentes, ambas separadas 
por um traço vertical);
• B é a matriz ampliada reduzida à forma de escada;
• Ca é a característica da matriz ampliada (número de linhas com 
elementos não todos nulos de B);
• Cv é a característica da matriz V dos coeficientes das variáveis (número 
de linhas com elementos não todos nulos dos coeficientes das variáveis, 
contida em B);
• C é a característica da matriz B reduzida à forma de escada (quando 
Ca=Cv=C)
• m é o número de equações.
Uma análise importante antes de 
resolver os problemas !!!
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
• n é o número de variáveis;
• g é o grau de liberdade.
Se:
Ca > Cv , o sistema é INCOMPATÍVEL;
Ca = Cv = C, o sistema é COMPATÍVEL:
Se C = n, o sistema é determinado;
Se C < n, o sistema é índeterminado;
Quando o sistema é compatível e indeterminado, g = n – C é o 
grau de liberdade do sistema.
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng.Centro de Engenharia da Mobilidade
FIM.
Bons estudos!