Área sob o gráfico de uma função

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Área sob o gráfico de uma função
Lembre-se de que, quando a função f é contínua e não negativa em [a,b], a integral definida representa a área sob o gráfico de f de a até b, ou seja,
Exemplo 1
Calcule a área sob o gráfico da função f , esboçada a seguir, no intervalo [0,4]. 
unidades de área (u.a.).
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Considere uma função f contínua e não positiva em [a,b].
Deseja-se calcular a área entre o gráfico de f(x) e o eixo Ox, de a até b. 
Note que a área entre o gráfico de f(x) e o eixo Ox é igual à área sob o gráfico de função –f(x), de a até b.
Assim, você pode concluir que a área entre o gráfico de f(x) e o eixo Ox, de a até b, é pela integral:
u.a.
No exemplo ilustrado, tem-se:
Observe a área sob o gráfico da função – f(x), de a até b.
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Exemplo 2: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
A1
A2
A3
u.a.
u.a.
u.a.
A =
A1
+ A2
+ A3
u.a.
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Exemplo 3: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
Considere as áreas:
A área A entre os gráficos da funções pode ser calculada pela diferença:
A =
A1
- A2
Observe que a função f(x) = 4 – 2x é maior que a função g(x) = x2 + 1, para todo x  [0,1].
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Exemplo 3: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
Considere as áreas:
A área A entre os gráficos da funções pode ser calculada pela soma:
A =
A1
+A2
Ou seja,
Observe que a função f(x) = x2 + 1 é maior que a função g(x) = x - 2, para todo x  [0,1].
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Exemplo 4: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
Considere as áreas:
A área A entre os gráficos da funções pode ser calculada pela diferença:
A =
A1
- A2
Observe que a função f(x) = x2 - 1 é maior que a função g(x) = x - 2, para todo x  [0,1].
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Propriedade
Sejam f e g duas funções contínuas em [a,b], tais que f(x)  g(x), para todo x  [a,b]. 
A área entre os gráficos das funções f e g, de a até b pode ser calculada pela integral:
Exemplo 5: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
u.a.