calculo1 aula 01-nocao de limite

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

*
EMENTA:
OBJETIVO: Usar os conhecimentos básicos do Cálculo Diferencial e Integral nos domínios da análise e da aplicação, afim de resolver problemas de natureza física e geométrica, no decorrer do curso de Arquitetura e na vida profissional.
Estudo do plano e do espaço. Estudo da Reta. Estudo da Geometria Analítica Plana e suas relações com a Arquitetura. Estudo das superfícies Quádricas, sua geração e suas relações com a Arquitetura; . 
Curso – Arquitetura e Urbanismo
Professor Nei Barreto
https://sites.google.com/site/neibarreto/
Disciplina – Elementos de Cálculo
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
*
BIBLIOGRAFIA:
FLEMING, D. M. Cálculo A. 5a edição. São Paulo. Makron Books, 1992.
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Vol. 1. 6a edição. Ed. Bookman, 2001.
AYRES, F.J. Cálculo diferencial e integral I. 2a edição.
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo. Vol. I. Rio de Janeiro. LTC Editora. 1994.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar. Vol. 8. São Paulo. Atual Editora. 1998.
JAMES STEWART. Cálculo. Vol. 1. Ed. Pioneira. 4a edição.
LEITHOULD, L. Cálculo com geometria analítica. Vol. I. São Paulo. Harbra . 1994.
MUNEM, Mustafa. Cálculo. Vol. 1. Rio de janeiro. Guanabara Dois Editora. 1978.
*
Comentários sobre o Cálculo Diferencial e Integral 
Definição de reta tangente ao gráfico de uma função.
A velocidade instantânea.
Áreas de regiões planas sob o gráfico de uma função. 
O conjunto das ferramentas matemáticas desenvolvidas por eles nas soluções desses problemas, passaram a ser utilizadas em outras áreas e tornou-se conhecido como Cálculo Diferencial e Integral.
No século XVII, vários matemáticos, entre eles Isaac Newton e Leibniz trabalhavam na solução de três problemas: 
*
Hoje, usamos o Cálculo Diferencial e Integral em várias situações, por exemplo :
Mensuração da variação instantânea da corrente elétrica, num circuito.
Prognóstico de resultados de uma reação química.
Investigação sobre taxa de decrescimento de bactérias em uma cultura.
Cálculo da distância máxima percorrida por um foguete. 
Cálculo do fluxo sangüíneo numa artéria.
Determinação da massa térmica de uma edificação
*
Função
Nosso objetivo neste texto é rever o conceito de função e as notações utilizadas.
a
b=f(a)
Notação:
O conjunto A é chamado conjunto partida ou domínio da função f.
f : A
 B
f (a) = b
Mas afinal o que vem a ser uma função?
Lembre-se de que uma função do conjunto A em um conjunto B é uma relação f que a todo elemento do conjunto A associa um único elemento do conjunto B.
f (a)
Elemento do conjunto B associado ao elemento a.
Lê-se “imagem de a pela função f”.
O conjunto B é chamado conjunto chegada da função f.
*
Exemplos
x
 f(x) = 2x
2
 f(2) = 4
-4
 f(-4) = -8
Você pode dizer então que:
A imagem de 2 é 4 e que a imagem de - 4 é - 8.
A expressão f(x) = 2 x define como você deve calcular a imagem de x. 
Nesse exemplo, a imagem de x é o dobro de x. 
O conjunto R é o domínio da função f. 
Diz-se que a função f é constante.
Observe que o número 1 é um número que pertence ao conjunto de chegada, mas não é imagem de nenhum x do conjunto de partida.
O subconjunto do conjunto de chegada formado por todos os elementos que são imagem de algum x do conjunto de partida é chamado conjunto “imagem” da função f . 
Nesse exemplo,
Notação:
1
Assim,
*
Noção intuitiva de limite
Exemplo 1.
Considere que uma pessoa que observa o ângulo de elevação do topo de uma árvore, da qual ela se aproxima, numa mesma direção.
Além disso, essa função não está definida para d = 0.
Diz-se então que “o ângulo de elevação  tendeu ao limite 90o quando a distância d se aproximou de zero”.
Usando a representação matemática: 
Note que o ângulo de elevação  é função da distância d (quanto menor a distância maior é o ângulo de elevação), assim você pode escrever que  = f ( d ). 
Observe que quando a distância d dessa pessoa à árvore se aproxima de zero, o ângulo  se aproxima de 90o .
Observe também que, como a distância d não pode ser zero, pois a pessoa não pode ocupar a posição da árvore,  nunca é 90o.
*
Exemplo 2.
Considere um viajante que deve chegar de trem a Paris às 17:17 horas. Observando a demarcação da estrada e o seu relógio, coleta os seguintes dados:
1 km – 0,621371
Tudo ocorre como o previsto e o trem chega a estação às 17:17 horas. 
Observe que a distância à estação é função do tempo, assim você pode escrever: d = f ( t ). 
Usando a representação matemática: 
*
Exemplo 3.
Considere a função : 
D(f) = R – { 1}.
Observe também que para x  1, tem-se:
Pode-se então dizer que “quando x tende a 1, f(x) tende a 0,5” ou , 
Plan1
		x		f(x)
		1.1		0.605
		1.01		0.51005
		1.001		0.5010005
		1.0001		0.500100005
		1.00001		0.50001
		1.000001		0.500001
Plan2
		
Plan3
		
Plan1
		x		f(x)
		0.9		0.405
		0.99		0.49005
		0.999		0.4990005
		0.9999		0.499900005
Plan2
		
Plan3
		
*
Exemplo 3.
Considere a função : 
D(f) = R – { 0}.
Observe que:
Como os limites laterais são diferentes diz-se que não existe o limite . 
Esses limites são chamados de limites laterais.
Quando se faz x aproximar-se de
zero, por valores menores que zero, as imagens desses valores de x decresce ilimitadamente.
Representação matemática: 
2. Quando se faz x aproximar-se de zero, por valores maiores que zero, as imagens desses valores de x cresce ilimitadamente.
Representação matemática: 
*
Em geral diz-se: “Se uma função f definida num intervalo aberto contento o número real a, exceto possivelmente em a, e se a medida que x se aproxima de a (pela direita e pela esquerda), o valor de f(x) se aproxima de L, escrevemos: 
f(a) = L
Em todos os casos, 
Não existe f(a)
Assim o limite independe do valor da função no ponto a. 
*
Observe ainda a função:
Esses limites são conhecidos como limites no infinito.
 Quando se faz x diminuir ilimitadamente as imagens desses valores de x aproximam-se de zero.
Representação matemática: 
2. Quando se faz x aumentar ilimitadamente as imagens desses valores de x aproximam-se de zero.
Representação matemática: 
Limites no infinito
*
Exemplo 5. 
 Considere o gráfico da função f(x) esboçado a seguir e determine, se possível:
2
0
5
1
1
 não existe
 não existe