calculo1aula10(2012.2) derivada da função inversa

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Derivada da função inversa
1. Revisão de função inversa.
Considere a função f dada por:
Quando f é bijetora você pode definir uma função f-1 dada por:
A função f-1 é chamada inversa da função f.
Notação:
x
f(x) = y
Observe que:
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Exemplo 1:
Então a função inversa da função de f é dada por:
Como
 você pode escrever:
Exemplo 2:
A função inversa da função de f é dada por:
Como
 você pode escrever:
Você pode concluir então que a função inversa da função exponencial 
é a função logarítmica e vice versa.
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Exemplo 3:
A função f-1 é chamada função arco seno.
Notação:
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2. Derivada da função inversa.
Considere as funções f e f-1 : 
Se a função f é derivável em xo e f’(xo) ≠ 0, então a função f-1 é derivável em yo = f(xo), e 
De fato, comece observando que
Derivando membro a membro essa última igualdade, você obtém:
Daí,
e
Logo,
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Você pode calcular a derivada da função logarítmica como a função inversa da função exponencial. Observe,
Ou seja,
Exemplo 1:
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Exemplo 2:
Ou seja,
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De forma análoga, você pode determinar as derivadas das outras funções trigonométricas inversas e listadas a seguir.
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Determine as derivadas das funções dadas a seguir.
Exemplo 3:
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Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f dada a seguir, no ponto xo = 0.
Exemplo 4: