calculo1aula14(2012.2) taxa de variacao e diferencial

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Taxa de variação
Considere a função y = f(x) e suponha que x varia de x1 a x2.
Chama-se acréscimo de x, representado por x, como:
E acréscimo de y, representado por y, como:
Define-se taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo ]x1,x2[, o quociente:
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Exemplo 1:
A corrente I (em ampéres) em um circuito elétrico é dado por I = 100/R, onde R representa a resistência(em homs). Determine a taxa de variação média da corrente I quando a resistência varia de 10  a 25 . 
Observe que a corrente I é função da resistência R e quando a resistência aumenta a corrente diminui.
Assim, quando a resistência varia de 10  a 25  , a corrente decresce, em média, 2 ampéres a cada aumento da resistência de 5  .
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Exemplo 2:
A posição de um móvel que se desloca sobre uma reta é dado por s = t2 
(em metros), onde t representa o tempo(em segundos). Determine a taxa de variação média da posição s quando o tempo varia de 4s a 6s. 
Ou seja, quando o tempo varia de 4 s a 6 s, a posição do móvel aumenta 10 m a cada segundo, em média.
Observe que a posição do móvel s é função do tempo t.
Essa taxa é denominada “ velocidade média”. Então,
Daí, a velocidade média é a taxa de variação média da posição em função do tempo.
Ou ainda, a velocidade média é a razão entre o espaço percorrido pelo tempo gasto para percorrer este espaço.
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A taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo (x1,x2) é o quociente:
Define-se taxa de variação instantânea no ponto x1 o limite da taxa de variação média, quando x  x1 , ou seja,
Assim, a taxa de variação instantânea no ponto x1, ou simplesmente, taxa de variação, é a derivada da função f no ponto x1. 
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No exemplo 2, a taxa média (velocidade média) no intervalo de 4 a 6 segundos é de 10m/s . 
Você pode calcular a taxa instantânea (velocidade instantânea) em um instante t determinando a função derivada da função s, ou seja, 
Então você pode calcular a velocidade instantânea no instante t qualquer.
Resumindo, se s(t) é a função posição de um móvel que se desloca sobre uma reta, então: 
Observe que a velocidade também é uma função do tempo. 
Assim, você pode calcular a taxa de variação média e a taxa de variação instantânea da velocidade.
Essas taxas são chamadas aceleração média e aceleração, respectivamente.
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Exemplo 3:
a) A velocidade que ele atinge a posição de 54 m.
b) A aceleração quando a velocidade é 9ln(3) m/s. 
Um móvel se desloca sobre uma reta e sua posição em cada instante é dada por ,
t segundos e s(t) em metros. Determine: 
Solução :
a) A velocidade que ele atinge a posição de 54 m. Ou seja, s(t) = 54 m.
b) A aceleração quando a velocidade é 9ln(3) m/s. 
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Diferencial
Considere a função y = f(x) derivável e x o acréscimo de x. Definimos:
 1. A diferencial da variável x, representada por dx, como:
 2. A diferencial da variável y, representada por dy, como:
tg(α) = at
tg(α) = f’(x1)
 Observe que quando fazemos x2 se aproximar de x1, 
a diferença entre y e dy diminui, ou seja,
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Exemplo 1:
Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume de uma esfera quando o raio varia de 4 cm a 4,01 cm. 
Lembre-se de que o volume da esfera é dado por 
Observe que V é o aumento procurado.
A diferencial de V é dada por:
Lembre-se de que:
Você pode concluir então que o aumento do volume é 1,92 cm3 , aproximadamente.
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Exemplo 2:
Utilize diferencial para calcular um valor aproximado de . 
Solução:
1. Identificação da função.
2. Identificação do x2 e escolha do x1.
3. Cálculo de dx.
4. Cálculo de y.
5. Cálculo de dy.
6. Utilizar o fato que