calculo1aula15(2012.2) maximos e minimos

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Máximos e mínimos
Considere a função y = f(x) e suponha que x1 é um ponto do domínio de f.
I – O ponto x1 é um ponto de máximo local (ou relativo) da função f se existe
 um intervalo aberto  contendo x1 , tal que 
para todo 
II – O ponto x1 é um ponto de mínimo local(ou relativo) da função f se existe
 um intervalo aberto  contendo x1 , tal que 
para todo 
Exemplos:
x = 0 ,
Daí, x = 0 é ponto de mínimo local.
x = 3 ,
Daí, x = 3 é ponto de máximo local.
f
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x = 13 ,
daí, x = 13 é ponto de máximo local.
x = 15 ,
daí, x = 15 é ponto de mínimo local.
x = 6 ,
Daí, x = 6 é ponto de mínimo local.
f
Exemplos:
Se x1 é um ponto de mínimo local dizemos que f(x1) é um valor de mínimo da função f .
Se x1 é um ponto de máximo local dizemos que f(x1) é um valor de máximo da função f .
Valores de mínimo da função f:
-6 
e 3. 
Valores de máximo da função f:
3 
e 6. 
III - Diz-se que x1 é um ponto de máximo global (ou absoluto) da função f se
para todo 
IV - Diz-se que x1 é um ponto de mínimo global (ou absoluto) da função f se
para todo 
Observe que a função f não possui ponto de máximo global.
Os pontos de mínimos globais da função f são:
x = 0 
e x = 6 
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Os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local de uma função f são chamados extremos da função f .
f
Não existe f’(0). 
Não existe f’(6). 
Não existe f’(13). 
Não existe f’(15). 
Você pode concluir que: se x1 é um extremo da função f, então ou não existe f’(x1) ou f’(x1) = 0.
Observe:
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Considere a função f esboçada a seguir.
Mas, o ponto x = 0 não é um extremo da função f.
Assim, você pode concluir que os pontos x1 tal que, não existe f’(x1) ou f’(x1) = 0 são apenas candidatos a pontos extremos da função f. 
Portanto deverão ser investigados para saber se, de fato, são extremos de f. 
Por isso, esses pontos são conhecidos por pontos críticos da função f. 
Ou seja, x1 é um ponto crítico de uma função f se não existe f’(x1) ou f’(x1) = 0 . 
A seguir, você irá conhecer alguns teoremas, que o auxiliarão na investigação para saber que pontos “críticos” da função f são extremos de f. 
Observe que:
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Exemplo 1
Em cada item a seguir, considere a função f(x) = x2 definida nos intervalos dados e determine os seus pontos de máximo e mínimos globais.
x = 0 é ponto de mínimo global.
x = 0 é ponto de mínimo global.
x = 2 é ponto de máximo global.
x = 0 é ponto de mínimo global.
x = -2 é ponto de máximo global.
x = 0 é ponto de mínimo global.
x = -2 e x = 2 são pontos de máximos globais.
Teorema 1
Se a função f é contínua e está definida em um intervalo fechado , então f assume um máximo global e um mínimo global em .
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Exemplo 2:
Teorema 2
Seja f uma função e x1 um ponto do domínio de f, tal que f’(x1) existe. 
Se x1 é um extremo de f então 
f’(x1) = 0 .
Esboce a função f(x) = sen(x) , x  ]-,2[, e determine os pontos extremos de f.
Pontos de mínimo:
Ponto de máximo:
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Exemplo 3:
Em cada item a seguir, considere a função f(x), contínua no intervalo [a,b], derivável no intervalo ]a,b[ e f(a) = f(b).
f(2)
f(-2)
f(-2)
f(2)
a)
b)
Teorema 3
Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo ]a,b[ .
Se f(a) = f(b) então existe um ponto c  (a,b) tal que 
f’(c) = 0 .
c)
f(-2)
f(4)
para todo c(-2,4). 
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Exemplo 4:
Considere a função f(x) contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo ]a,b[ .
O coeficiente angular da reta r determinada pontos A(a, f(a)) e B(b,f(b)) é igual a:
Deseja-se traçar uma reta t que seja tangente ao gráfico de f e paralela à reta r.
Para isso, comece lembrando de que se uma reta t é tangente ao gráfico de f em um ponto x1 , então: 
Por outro lado, para que a reta t seja paralela à reta r, tem-se: 
Então você pode concluir que:
Teorema 4
Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo ]a,b[ .
Então existe um ponto x1  (a,b) tal que