calculo1aula18(2012.2) Assintotas e tracado de graficos

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Assíntotas
Definição:
Diz-se que uma reta r é uma assíntota a uma curva C, quando ao afasta-se 
da origem do sistema de coordenadas, as distâncias entre os pontos de C e de r 
 , se aproximam de zero.
Exemplo 1 :
Assim, a reta r: y = 1 é uma assíntota do gráfico da função esboçada acima.
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Exemplo 2:
Observe que a distância entre os pontos do gráfico de f e da reta r: x = 2 se aproximam de zero, quando nos afastamos da origem do sistema.
Daí, a reta r: x = 2 é uma assíntota vertical do gráfico de f. 
Definição 2.
A reta r: x = a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f se pelo menos
uma das afirmações dadas a seguir for verdade.
x = 2
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Exemplo 3:
Observe que a distância entre os pontos do gráfico de f e da reta s: y = 1 se aproximam de zero, quando nos afastamos da origem do sistema.
Daí, a reta s: y = 1 é uma assíntota horizontal do gráfico de f. 
Definição 3.
A reta r: y = a é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos
uma das afirmações dadas a seguir for verdade.
y = 1
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Esboço de gráficos de funções
Exemplo: Esboce o gráfico da função f definida por:
1. Domínio de f:
2. Interseções do gráfico com:
2.1 Eixo Ox
Lembre-se de que os pontos do eixo Ox são do tipo P(x,0).
Você pode então obter os pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Ox fazendo y = 0, na lei de definição de f, ou seja,
Assim, o gráfico de f intercepta o eixo Ox nos pontos:
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2.2 Eixo Oy
Lembre-se de que os pontos do eixo Oy são do tipo P(0,y).
Você pode então obter os pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Oy fazendo x = 0, na lei de definição de f, ou seja,
Assim, o gráfico de f intercepta o eixo Oy no ponto:
3. Intervalos de crescimento e decrescimento de f
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Estudo do sinal de f’.
Como o expoente é par o sinal de h(x) é positivo para todo x do domínio de f.
Então:
0
Intervalo de decrescimento:
Intervalo de crescimento:
Observe que f’(0) = 0 daí x = 0 é um ponto crítico de f.
Aplicando o teste da primeira derivada, você pode concluir que x = 0 é um ponto de mínimo local da função f.
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4. Estudo da concavidade
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Estudo do sinal de f’’
Observe que g(x) é negativa para todo valor de x.
Como o expoente é ímpar o sinal de h(x) é igual ao sinal da base.
Ou seja, o sinal de h(x) é igual ao sinal da função
Então:
-1
Concavidade voltada para cima:
Concavidade voltada para baixo:
1
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Observe que nos pontos x = -1 e x = 1 o gráfico de f troca de concavidade, 
mas como esses pontos não pertencem ao domínio de f, então esses pontos 
não são pontos de inflexão do gráfico de f.
Concavidade voltada para cima:
Concavidade voltada para baixo:
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5. Assíntotas
5.1. Assíntotas verticais
Então:
-1
Logo, as retas r: x = - 1 e 
 s: x = 1 são assíntotas verticais do gráfico de f.
Como x = -1 e x =1 não pertencem ao domínio de f, deve-se investigar o procedimento de f numa vizinhança desses pontos. 
Você pode começar perguntando: 
Estudo do sinal do quociente
-2
1
2
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5.2. Assíntotas horizontais
Logo, a reta s: y = 1 é uma assíntota horizontal do gráfico de f.
Você deve investigar o procedimento da função f quando x    , ou seja,
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decrescente
Concav. Volt. para cima
Concav. Volt. para baixo
f é decrescente
crescente
f é crescente
Concav. Volt. para baixo