Exercícios com respostas Eletromagnetismo Condutores, Dielétricos e Capacitância

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Exercícios Adicionais do Capítulo V (Professor) 
 
01) Certa densidade de corrente é expressa em coordenadas cilíndricas por: 
-2z 2
zJ = 100e (ρa +a ) A/mρ
ur r r
. Determine a corrente total que atravessa cada uma das seguintes 
superfícies: (a) z = 0, 0 ρ 1≤ ≤ , na direção za
r
; (b) z = 1, 0 ρ 1≤ ≤ , na direção za
r
; 
 (c) cilindro fechado 0 z 1 , 0 ρ 1≤ ≤ ≤ ≤ , na direção radial, apontando para fora. 
Resp.: (a) 314 A ; (b) 42,5 A ; (c) 0. 
 
02) Sendo 2 2 2 2x y zJ =10y za -2x ya + 2x za A/m
r r r r
, determine: (a) A corrente total atravessando a 
superfície x = 3,2 y 3, 3,8 z 5,2≤ ≤ ≤ ≤ , na direção xa
r
; (b) o módulo da densidade de corrente 
no centro desta área; (c) o valor médio de Jx ao longo da superfície. 
Resp.: (a)399 A ; (b)296 2A/m ; (c) 285 2A/m . 
 
03) Em uma região próxima à origem, há uma densidade de corrente apontando radialmente para 
fora, dada por -1,5 210r A/m . (a) Qual é a corrente que atravessa a superfície esférica r = 1 mm? 
(b) Repita para r = 2 mm. (c) Qual é a taxa de variação de ρ para r = 1 mm? 
 (d) Com que taxa está aumentando a carga no interior da esfera r = 1 mm? 
Resp.: (a) 3,97 A ; (b) 5,62 A ; (c) 8 3-1,581 10 C/m s× ⋅ ; (d) -3,97 C/s . 
 
04) Determine o módulo da densidade de corrente no 
interior de uma amostra de alumínio se: (a) a intensidade 
do campo elétrico é 70 mV/m; (b) a velocidade de 
arrastamento dos elétrons é -410 m/s ; (c) a amostra tem a 
forma de um cubo de 1mm de lado, onde flui uma 
corrente total de 2,5 A; (d) a amostra tem a forma de um 
cubo de 1mm de lado, com uma diferença de potencial de 75 µV entre faces opostas. 
Resp.: (a) 2,67 2MA/m ; (b) 3,18 2MA/m ; (c) 2,50 2MA/m ; (d) 22,86 MA/m . 
 
 
05) Qual é a tensão entre os terminais de um condutor de cobre se ele: (a) tem uma seção de reta 
circular com um diâmetro igual a -40,007pol (1,778 10 m)× , seu comprimento é igual a 100 
pés (30,48m) e ele transporta uma corrente de 8 mA; (b) é um cilindro vazado de raio interno 
de 2mm, raio externo de 3mm, cujo comprimento é 200 m e conduz uma corrente de 20 A? 
Resp.: (a) 0,1693 V ; (b) 4,39 V . 
 
06) O ponto P (-2,4,1) está na superfície de um condutor onde x y zE = 400a -290a +310a V/m
ur r r r
. 
Sabendo-se que o condutor está situado no vácuo, determinar: (a) nE no ponto P; 
 (b) tE no ponto P; (c) sρ no ponto P. 
Resp.: (a) 538 V/m ; (b) 0 ; (c) 25,16 nC/m . 
 
07) Uma carga pontual igual a 18 µC está localizada no eixo z a 0,4 m do plano z=0. Determine: 
(a) a densidade superficial de carga no ponto (0,3 ; 0,4 ; 0); (b) D no ponto (0 ; 0,2 ; 0,2). 
Resp.: (a) -4,36 2µC/m ; (b) 219,77 µC/m . 
 
08) Encontre a polarização no interior de um material que: (a) tenha uma densidade de fluxo 
elétrico igual a 21,5µ C/m em um campo elétrico de 15k V/m; (b) tenha 2D=2,8 µC/m e 
eχ = 1,7 ; (c) tenha 20 310 moléculas/m , cada uma com um momento de dipolo igual a 
-261,5 10 C m× ⋅ quando 5E = 10 V/m ; (d) tenha E = 50 kV/m e R = 4,4∈ . 
 σ (S/m) 2µ (m /V s)⋅ 
Alumínio 73,86 10× 0,0012 
Cobre 75,80 10× 0,0032 
Prata 76,17 10× 0,0056 
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Resp.: (a) 1,367 2µC/m ; (b) 1,763 2µC/m ; (c) 1,500 2µC/m (d) 21,505 µC/m . 
 
09) A região z < 0 contém um material dielétrico para o qual R1 = 2,5∈ , enquanto que z > 0 
caracteriza-se por R2 = 4∈ . Sabendo-se que 1 x y z E = -30a +50a +70a V/m
uur r r r
, determine: 
(a) n1E ; (b) t1E
ur
; (c) t1E ; (d) 1E ; (e) 1θ . 
Resp.: (a) 70,0 V/m ; (b) 
x y-30a +50a V/m
r r
; (c) 58,3 V/m (d) 91,1 V/m ; (e) 39,8° . 
 
10) Determine a capacitância de um capacitor de placas paralelas que tem: 
 (a) d = 8mm, 2S= m e R =250∈ ; (b) d = 0,08mm, 2S= m , 5E=10 V/m e 2Sρ = 2µ C/m ; 
 (c) 5µ J de energia armazenada quando a tensão entre as placas é 4V. 
Resp.: (a) 0,553 µF ; (b) 0,500 µF ; (c) 0,625 µF . 
 
11) Encontre a capacitância: (a) do cabo coaxial 58C/U cujo diâmetro do condutor interno é 
0,0295 pol e do externo é 0,116 pol, tendo um dielétrico de polietileno e comprimento 100 pés 
(30,48m); (b) do sistema constituído por uma esfera condutora de 1cm de raio , recoberta com 
uma camada de polietileno de 1 c, envolvida por uma casca esférica, concêntrica, com 2 cm 
de raio, recoberta com uma camada de polietileno de 1cm, envolvida por uma casa esférica, 
concêntrica, com 2cm de raio; (c) de um sistema igual ao do item (b) com exceção da casca 
externa, que agora tem raio igual a 3cm. (Dados: Polietileno 2,26Rε = ) 
Resp.: (a) 2,800 pF; (b) 5,03 pF; (c) 2,87 pF . 
 
12) Determine a capacitância entre um cilindro condutor circular de raio 2,5 mm situado no ar e : 
(a) um plano condutor que dista 1cm do eixo do cilindro utilizando a equação 
 
L
-12 2
1
ρ L 2pi L 2pi LC = = = 
V cosh (h/b)ln[(h+ h -b )/b]
∈ ∈
; 
(b) o mesmo que no item (a), só que utilizando a equação 2pi LC = 
ln(2h/b)
∈
 onde (b=h) ; 
um cilindro semelhante, estando os eixos separados de 1cm. 
Resp.: (a) 26,96 pF/m; (b) 26,75 pF/m; (c) 21,12 pF/m . 
 
13) Uma superfície, em z = 0, é um catodo do qual são emitidos elétrons com velocidade inicial 
nula. Eles sofrem a ação de um campo elétrico 6 zE = -2x10 a V/m
ur r
. Sabendo-se que 
-19e = 1,602 10 C× e -31m = 9,11x10 kg , determine: (a) velocidade v(t) para um elétron 
emitido em t = 0; (b) z(t); (c) v(z). (d) Se os elétrons deixam o catodo 
continuamente, segundo um feixe de 100µ C de corrente e com uma seção reta de -7 210 m , 
determine a densidade de corrente e a densidade volumétrica de carga. 
Resp.: (a) 173,52 10 t m/s× ; (b) 17 21759 10 t m× ; (c) 88,39 10 z× ; 
 (d) 2-1000 A/m , -6 3-1,192 10 / z C/m× . 
 
14) O componente z da densidade de corrente é 2 20 /[( 1) ( 1)]azJ e x y− + + . Determine a corrente na 
direção za
r
, que atravessa a superfície: (a) z = 0, x 1, y 1≤ ≤ ; (b) z = 0. 
Resp.: (a) 02,47J ; (b) 09,87J . 
 
15) Próximo ao ponto P(5,7,-5), a densidade de corrente pode ser representada pelo 
vetor 3 2 2 2 2x y zJ=2x ya -5x z a + 4x ya A/m
r r r r
. (a) Qual é a corrente deixando um cubo de 1m de 
lado, centrado em P com as arestas paralelas aos eixos coordenados? (b) Qual é a taxa de 
crescimento da densidade volumétrica de carga no ponto P? 
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Resp.: (a) 1756 A; (b) 3-1750 C/m s⋅ . 
 
16) Um pedaço de material condutor para o qual σ=5M S/m tem a forma de uma cunha truncada, 
4<ρ<10cm, 0< <0,2pi, 0<z<6cmφ . No interior do material E = 2a /ρ mV/mφ
r r
. (a) Qual é a 
corrente total que atravessa o objeto? (b) Qual é a sua resistência? 
Resp.: (a) 550 A; (b) 2,29µ Ω . 
 
17) Duas placas condutoras paralelas têm, cada uma, 22 m de área, estando separadas de 1,25 mm 
no vácuo. Os terminais de uma bateria de 100 V são a ela conectados e, depois de algum 
tempo, são então desconectados. (a) Determine 0V , E, D, Sρ , Q, EW e C. (b) Uma folha de 
material dielétrico, cuja forma e área são as mesmas placas tendo 1 mm de espessura, é 
cuidadosamente introduzida entre as placas. Se R = 5∈ para o dielétrico, determine 0V , Sρ , 
Q, EW , bem como E e D no material dielétrico. 
Resp.: (a) 100V; 80k V/m; 20,708 µC/m ; 20,708 µC/m ; 20,708 µC/m ; 1,417 µC ; 70,8 µJ ; 
14,17 nF ; (b) 36V; 20,708 µC/m ;1,417 µC ; 25,5 µJ ; 39,4 nF; 16 kV/m; 20,708 µC/m . 
 
18) Determine o Jr em um condutor para o qual: (a) a mobilidadeé -3 24,1 10 m /V s× ⋅ , a 
densidade volumétrica de carga é 9 3-3,6 10 C/m× , e a intensidade do campo elétrico é 0,085 
V/m; (b) a velocidade de arrastamento é 0,04 mm/s e há 286 10× elétrons de 3condução/m ; (c) 
a resistividade é -83 10 Ω m× ⋅ e a intensidade do campo elétrico é 48 mV/m. 
Resp.: (a) 21,255 MA/m ; (b) 20,385 MA/m ; (c) 21,6 MA/m . 
 
19) 2V = 1000ρ em coordenadas cilíndricas. (a) Se a região 0,1<ρ<0,3m é vácuo e as superfícies 
0,1 e 0,3 são condutoras, especifique a densidade superficial de carga em cada condutor. (b) 
Qual é a carga ao longo de 1m de comprimento da região onde há vácuo? (c) Qual é a carga 
total ao longo de 1m de comprimento, incluindo ambas as cargas superficiais? 
Resp.: (a) interno: 2-1,771 nC/m ; externo: 25,31 nC/m ; (b) -8,90 nC ; (c) 0 . 
 
20) Em um ponto P (-2,5,-4) em superfície condutora esférica, a densidade superficial de carga 
é 275 nC/m . Se o condutor está isolado no vácuo, encontre E
ur
 fora e dentro do condutor nas 
vizinhanças do ponto P. 
Resp.: dentro: 0; fora: x y z-2530a + 6310a - 5050a V/m
r r r
. 
 
21) Um campo potencial é dado por 2 2 2 2V = 100ln{[(x+1) +y ]/[(x-1) +y ]} V . Sabendo que o 
ponto P(2, 1, 1) está na superfície do condutor e que ele está situado no vácuo, determinar o 
vetor unitário normal à superfície bem como a densidade superficial de carga no condutor. 
Resp.: 2n x y sa = (0,447a +0,894a ), ρ = 792 pC/m± ±
r r r
. 
 
22) Duas cargas pontuais de -100pi µC estão localizadas em (2,-1,0) e (2,1,0). A superfície x = 0 é 
um plano condutor. (a) Determine a densidade superficial de carga na origem. 
(b) Determine Sρ no ponto P(0, h, 0). 
Resp.: (a) 217,89µ C/m ; (b) -4 2 -1,5 2 -1,5 210 {[4+(h-1) ] +[4+(h+1) ] } C/m . 
 
23) A uma certa temperatura, as mobilidades do elétron e do buraco são, respectivamente, 0,43 e 
20,21m /V s⋅ para o germânio puro. Se as concentrações de elétrons e buracos são iguais a 
19 -32,3 10 m× , determine a condutividade a essa temperatura. 
Resp.: 2,36 S/m . 
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24) Uma amostra semicondutora tem uma seção reta retangular de 1,5 por 2 mm e comprimento 
de 1,1 cm. As concentrações de elétrons e buracos são, respectivamente, 181,8 10x e 
15 -33 10 m× . Se 2eµ = 0,082 m /V s⋅ e
2
bµ = 0,0021 m /V s⋅ , determinar a resistência oferecida 
entre as faces terminais da amostra. 
Resp.: 155 kΩ . 
 
25) O campo elétrico em um certo ponto no interior de um vidro pirex é dado 
por: x y zE = -50a +220a - 85a V/m
ur r r r
. (a) Localize os valores de R∈ e eχ para este material. 
(b) Determine P
ur
 e D
ur
 no ponto em questão. 
Resp.: (a) R e= 4, χ = 3∈ ; (b) 2x y zP = -1,328a + 5,84a - 2,26a nC/m
ur r r r
, 
 
2
x y zD = -1,771a + 7,79a - 3,01a nC/m
ur r r r
. 
 
26) O hidrogênio mono-atômico contém 25 35,42 10 átomos/m× sob certas condições de 
temperatura e pressão. Quando um campo elétrico de 2500 V/m é aplicado, o dipolo formado 
possui um comprimento efetivo -19d = 6,7 10 m× . Calcule a constante dielétrica com seis casas 
decimais. 
Resp.: 1,000263. 
 
27) A superfície de separação de dois dielétricos passa pela origem, e o vetor 
x y zA = -2a +5a +14a
ur r r r
 lhe é perpendicular neste ponto, apontando da região 1 R( = 1)∈ para a 
região 2 R( = 2)∈ . Sendo 1 x y zE = 30a - 15a + 45a V/m
uur r r r
, determine o ângulo (agudo) entre A
ur
 e: 
(a) 1E
ur
; (b) 1D
ur
; (c) 2E
ur
; (d) 2D
ur
. 
Resp.: (a) 54,0° ; (b) 54,0° ; (c) 70,0° ; (d) 70,0° . 
 
28) Um condutor cilíndrico tem raio de 7 mm, e seu eixo dista 25mm de um plano condutor. O 
condutor está a um potencial de 2000 V e o plano está a 0 V. Considerando o conjunto no 
vácuo, determine: (a) a capacitância por unidade de comprimento; (b) a carga por unidade de 
comprimento do cilindro; (c) o módulo do campo elétrico no ponto do cilindro situado mais 
próximo do plano. 
Resp.: (a) 28,6 pF/m ; (b) 57,2 nC/m; (c) x-195,8a kV/m
r
. 
 
29) Para um capacitor de placas paralelas, totalmente preenchido com um dielétrico, temos: d = 4 
mm, 264S cm= e 5R∈ = . Determine a capacitância. Aplica-se uma tensão de 20 V entre as 
placas. (b) Determine E, D, Q e EW . Agora, removemos a fonte de tensão, sem alterar a 
tensão entre as placas, e retiramos, cuidadosamente, o dielétrico. (c) Qual é valor de Q após a 
operação? (d) Determine novamente os valores de E, D e EW . (e) Qual é o valor de V0 após a 
operação? 
Resp.: (a) 70,8 pF ; (b) 5 kV/m ; 20,221 µC/m ; 1,417 nC; 14,17 nJ; 
 (c) 1,417 nC (d) 20,221 µC/m ; 25 kV/m, 70,8 nJ ; (e) 100 V. 
 
30) Os capacitores são tão mais caros quanto maiores forem a capacitância e máx V . A tensão 
Vmáx depende do campo elétrico RDE para qual o dielétrico está na iminência de romper 
(rigidez dielétrica). Qual dos seguintes dielétricos dará o maior produto máx CV : (a) 
mica: 8R RD= 5,4, E = 10 V/m∈ ; (b) titanato de bário: 6R RD= 1200, E = 3 10 V/m∈ × ; (c) 
neoprene: 6R RD= 6,6, E = 1,2 10 V/m∈ × ; (d) ar: 6R RD= 1, E = 3 10 V/m∈ × ? 
Resp.: (b) titanato de bário.