Exercícios resolvidos de Eletromagnetismo Energia e Potencial

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044
 
 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 
– Página 4.1 – 
CAPÍTULO 04 
 
ENERGIA E POTENCIAL 
 
 
4.1) A densidade de fluxo elétrico é dada por: [ ]2z mCz2310 aaaD ���� ρρ φρ −+= . Encontre o 
fluxo elétrico total efluente do volume cilíndrico limitado por um cilindro de 2 m de raio 
e 4 m de altura, cujo eixo é o eixo z e cuja base se encontra no plano z = 1 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Dados: 




=
−+=
dz d d dv
z2310 z
φρρ
ρρ φρ aaaD
���
�
 
 
 De acordo com o Teorema da Divergência e com a Lei de Gauss: 
 
 ∫∫ •∇=•=Ψ
volS
dvDdSD
��
 (02) 
 
� Cálculo de D
��
•∇ : 
 
 
( ) ( ) ( ) ρ
ρ
ρ∂
∂ρ∂φ
∂
ρ
ρ∂ρ
∂
ρ
∂
∂
∂φ
φ∂
ρ∂ρ
ρρ∂
ρ
210z2
z
31101
z
z11
−=•∇⇒−⋅+⋅+⋅=•∇
+⋅+⋅=•∇
DD
D
����
�� DD)D(
 
 
 Substituindo (01) e (03) em (02): 
 
 
( )
[ ] [ ] [ ]C 
3
352
 8
3
1610z
3
210
dzdd210dz d d 210
5
1z
2
0
2
0
3
2
0
5
1z
2
0
2
5
1z
2
0
2
0
pi
piφρρ
φρρφρρρ
ρ
pi
φ
ρ
pi
φρ
pi
φ ρ
=Ψ⇒⋅





−=Ψ⇒








−=Ψ
⋅⋅−=Ψ⇒





−=Ψ
==
=
= === = =
∫ ∫∫∫ ∫ ∫
..
 
(03) 
(01) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
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– Página 4.2 – 
4.2) Dentro da esfera de raio r = 1 m, o potencial é dado por: 
]V[ sensenr150r50100V φθ++= 
a) Encontre E� em P (r =1; θ = 2pi ;φ = 0 ). 
b) Quanto de carga existe dentro da esfera de raio r = 1 m? 
 
Resolução: 
 
 Dados: ]V[ sensenr150r50100V φθ++= 
a) Sabe-se que 





∂φ
∂
θ
+
∂θ
∂
+
∂
∂
−=∇−= φθ a
V
senr
1
a
V
r
1
a
r
VV r
���
��
E (01) 
 
� Cálculo de ( ) φθ+=
∂
∂
⇒φθ++
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
sensen15050
r
V
sensenr150r50100
rr
V
:
r
V
 (02) 
 
� Cálculo de ( ) φθ=
θ∂
∂
⇒φθ++
θ∂
∂
=
θ∂
∂
θ∂
∂
sencosr150Vsensenr150r50100V:V (03) 
 
� Cálculo de ( ) φθ=φ∂
∂
⇒φθ++φ∂
∂
=φ∂
∂
φ∂
∂
cossenr150Vsensenr150r50100V:V (04) 
 
 Substituindo (02), (03) e (04) em (01): 
 
 
( ) ( ) ( )[ ]φθ φθ+φθ+φθ+−= aaaE ���� cossenr150sencosr150sensen15050 r (05) 
 
 Substituindo as coordenadas de P em (05) , temos: 
 
 
( ) ( ) ( )[ ] [ ]
m
V
 15050 11500150050
 0cos
2
sen1150 0sen
2
cos1150 0sen
2
sen15050
rr
r
φφθ
φθ
−−=⇒⋅+⋅++−=












°




 pi
⋅+





°




 pi
⋅+





°




 pi
+−=
aaEaaaE
aaaE
��
�
���
�
���
�
 
 
b) De acordo com a Lei de Gauss: 
 
 
( )
 
 d d senr
sensen15050
 onde ,Q 
r
2
rooo
esfS
interna




φθθ=
φθε+ε−=ε=
•= ∫
adS
aED
dSD
�
�
��
�
 (01) 
 
� Cálculo de :dSD •
�
 
 
 
( ) ( )
( ) φθθφθ+ε−=•
φθθ•φθε−ε−=•
d dsenrsensen15050
 d d senr sensen15050
2
o
r
2
roo
dSD
aadSD
�
��
�
 
 
Substituindo (02) em (01): 
 
 








φθφθ⋅+φθθε−= ∫ ∫∫ ∫
pi
=φ
pi
=θ
pi
=φ
pi
=θ=
2
0 0
2
2
0 0
2
o
1r
interna d d sensen3d d sen.r5Q 
(02) 
 
 
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[ ] [ ] [ ]
( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
 
C 56,5Qou C 200Q
d sen00311100Q
d sen0cos2cos320coscos50Q
d sencos3cos50Q
 
internaointerna
0
2
ointerna
0
2
ointerna
0
22
0
2
00ointerna
η−=piε−=∴
∫ θθ⋅+⋅++⋅piε−=
∫ θθ⋅°+pi−⋅+pi⋅°+pi−⋅ε−=
∫ θθ⋅φ−⋅+φ⋅θ−⋅ε−=
pi
=θ
pi
=θ
pi
=θ
pi
=φ
pi
=φ
pi
=θ
 
 
4.3) Uma carga pontual de 16 ηC está localizada em Q (2, 3, 5) no espaço livre, e uma linha 
de cargas uniforme de 5 η C/m está localizada na interseção dos planos x = 2 e y = 4. Se o 
potencial na origem é 100 V, encontrar V em P (4,1,3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 100VV100-VVVVV 0PPP0P0P0P +=⇒=⇒−= (01) 
 
 O potencial elétrico do ponto P em relação ao ponto 0 ( VP0 ) é a soma do potencial gerado 
pela carga em Q ( 
carga0PV ) com o potencial gerado pela distribuição linear ρL ( linha0PV ). 
Portanto, 
linha0Pcarga0P0P
VVV +
=
 (02) 
 
� Cálculo de 
carga0PV : 
 
 











−⋅=−=
Q. ponto ao 0 ponto do distancia a é r
Q. ponto ao P ponto do distância a é r
 onde 
r
1
r
1
4
QVVV
0Q
PQ
Q0PQo
Q0PQcarga0P ,piε
 (03) 
� Cálculo de PQr : 12r222r PQ222PQ =⇒++= (04) 
 
 
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� Cálculo de Q0r : 38r532r Q0222Q0 =⇒++= (05) 
 
 Substituindo (04) e (05) em (03), temos: 
 
 
[ ]V 21,18V
6524
16
8513
16V
38
1
12
1
4
QV
carga0P
oo
carga0P
o
carga0P
=⇒−=






−⋅=
piε
η
piε
η
piε
,,
 
 
� Cálculo de 
linha0P
V : 
 



−=
−=⇒⋅





−=




=
⋅−=
∫
∫∫
∫
=
P. ponto ao cargas de linha da distância a é 
0. ponto ao cargas de linha da distância a é 
 onde d
2
V
 d
2
V d
2
V
. d
. cargas delinear ãodistribuic 
pela gerado elétrico campo o é 
 onde V
0
0
o
L
linha0P
P
0 o
L
carga0P
P
0 o
L
linha0P
L
P
0
linha0P
ρ
ρ
ρ
ρ
piε
ρ
ρ
ρpiε
ρρρ
ρpiε
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
,
,
aa
adL
E
dLE
��
�
�
�
 
 
� Cálculo de 0ρ : 20042 02220 =⇒++= ρρ (08) 
 
� Cálculo de ρ : 13032 222 =⇒++= ρρ (09) 
 
 Substituindo (08) e (09) em (07), temos: 
 
 
[ ]
[ ]V 19,39V 
13
2090V
13
20
2
5V
13
20
2
V
2
V d
2
V
linhaP0linha0P
olinha
0P
o
L
linha0P
13
20o
L
linha0P
13
20o
L
linha0P
=⇒







=








⋅−=⇒







⋅−=
⋅−=⇒−=
=
=
∫
ln
lnln
ln
piε
η
piε
ρ
ρ
piε
ρ
ρ
ρ
piε
ρ
ρ
ρ
 
 
 Substituindo ( 06 ) e ( 10 ) em ( 02 ), temos: 
 
 [ ]V 37,60V39192118VVVV P00Plinha0Pcarga0P0P === ⇒+⇒+ ,, (11) 
 
 Substituindo (11) em (01), temos: 
 
 [ ]V 137,60V 1006037V100VV PP0PP =⇒+=⇒+= , 
(07) 
(10) 
(06) 
 
 
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4.4) Dado o campo potencial expresso por V e yx= −100 5050 sen [volts], no espaço livre. 
a) Mostrar que 0=•∇ D� ; 
b) Mostrar que y = 0 representa uma superfície equipotencial; 
c) Mostrar que E é perpendicular à superfície y = 0; 
d) Encontrar a carga total no plano y = 0, 0 < x < ∞, 0 < z < 1. Assumir que y < 0 é o 
interior do condutor; 
e) Encontrar a energia armazenada no cubo 0 < x < 1, 0 < y < 1 e 0 < z < 1. 
 
Resolução: 
 
 Dados: y50e100V x50 sen−= 
 
a) Sabe-se que: 





∇−=
=
V
e 
o
��
��
E
ED ε
 
 
� Cálculo do V∇
�
: 
 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) yx50xx50
z
x50
y
x50
x
x50
zyx
 y50e5000 y50e5000V
 y50e100
z
 y50e100y
 y50e100
x
V
z
V
y
V
x
VV
aa
aaa
aaa
��
�
���
�
���
�
cossen
sensensen
−−
−−−
+−=∇
++=∇
++=∇
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 
 
 Substituindo (03) em (02): 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) yx50xx50
y
x50
x
x50
 y50e5000 y50e5000
 y50e5000 y50e5000
aaE
aaE
��
�
��
�
cossen
cossen
−−
−−
−=∴
+−−=
 
 
 Substituindo (04) em (01): 
 
 
( ) ( )[ ]yx50xx50o y50e5000 y50e5000 aaD ��� cossen −− −= ε 
 
� Cálculo do D
��
•∇ : 
 
 
z
z
y
y
x
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂ DDD
++=•∇ D
��
 
 
( ) ( )
( ) ( )
0
y5050e5000e50y505000
y50e5000
y
y50e5000
x
x50
o
x50
o
x50
o
x50
o
=•∇∴
−⋅⋅−−⋅⋅=•∇
⋅+⋅=•∇
−−
−−
D
D
D
��
��
��
sensen
cossen
εε
ε∂
∂
ε∂
∂
 
(01) 
(02) 
(03) 
(04) 
 
 
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– Página 4.6 – 
b) Seja ( x, 0, z ) a representação dos pontos da superfície y = 0. Para estes pontos, temos 
V e yx= −100 5050 sen . 
Se V apresentar o mesmo valor para todos estes pontos, então V é uma superfície equipotencial. 
Assim, substituindo ( x, 0, z ) em V e yx= −100 5050 sen , conclui-se que V = 0 para todos os pontos 
da superfície y = 0. 
 
c) Da equação (04) do item (a), conclui-se que: 
 
 
( ) ( ) yx50xx50 y50e5000 y50e5000 aaE ��� cossen −− −= 
Para os pontos ( x, 0, z ) da superfície y = 0, ( ) yx50 e5000 aE �� −−= , o que prova que E� é 
perpendicular à superfície y = 0. 
 
d) x50oS
S
NSS e5000 onde dSQ −⋅−=⇒== ∫ ερρρ D, 
 
[ ]
[ ] [ ] [ ]C -0,885Qou C 100Q 110100Q
z
50
e5000Qdzdxe5000Q
oo
1
0z
0x
x50
o
0x
1
0z
x50
o
ηεε
εε
=−=⇒⋅−⋅=
⋅








−
−=⇒−=∴
=
∞
=
−
∞
= =
−
∫ ∫
 
 
 
e) ∫ ==
vol
2
o E onde dvE2
1W E
�
,ε (01) 
 
� Cálculo de E: 
 
 
( ) ( )
x5022x50
222x50
e5000Ey50y50e5000E
y50y50e5000E
−−
−
=⇒+⋅=
+⋅=
cossen
cossen
 
 
 Substituindo (02) em (01): 
 
 
( )∫ −=
vol
2x50
o dve50002
1W ε 
 [ ] [ ]
[ ] [ ]J 125000 W111e10512W
zy
100
e10512W
dxdydze10512W
o
100
o
4
1
0z
1
0y
1
0x
x100
o
6
1
0z
1
0y
1
0x
x100
o
6
εε
ε
ε
=⇒⋅⋅+−⋅⋅=
⋅⋅








−⋅⋅=
⋅=
−
==
=
−
= = =
−
∫ ∫ ∫
,
,
,
 
 
(02) 
 
 
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– Página 4.7 – 
4.5) Uma carga pontual Q de 6 ηC está localizada na origem do sistema de coordenadas, no 
espaço livre. Determinar o potencial VP sendo P (0,2;-0,4;0,4) e: 
a) V = 0 no infinito 
b) V = 0 no ponto A (1,0,0) 
c) V = 20 volts no ponto B (0,5;1,0;-1,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Por Definição: 
 









−⋅=⇒−=
Y. ponto ao Q carga da distancia a é r
X. ponto ao Q carga da distancia a é r
 onde 
r
1
r
1
4
QVVVV
Y
X
YXo
XYYXXY ,
piε
 
 
a) Dados: V = 0 no infinito. 
 
 P ponto ao Q carga da distancia a é r onde 
r4
QVV P
Po
PP ,
piε
==
∞
 (01) 
 
� Cálculo de rP: 60r404020r P
222
P ,,,, =⇒++= (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
[ ]V 90V 
42
6V
604
QV P
o
P
o
P =⇒=⇒=
piε
η
piε ,,
 
 
 
b) Dados: V = 0 em A (1,0,0). 
 
 









−⋅=∴
==⇒−=
A. ponto ao Q carga da distancia a é r
P. ponto ao Q carga da distancia a é r
 onde 
r
1
r
1
4
QV
0V pois ,VVVVV
A
P
APo
P
APPAAPPA
,
piε
 
 
� Cálculo de rP: 60r404020r P
222
P ,,,, =⇒++= (02) 
(01) 
 
 
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� Cálculo de rA: 1r001r A222A =⇒++= (03) 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 [ ]V 36V5490V
4
6
42
6V
1
1
60
1
4
QV PP
oo
P
o
P =⇒−=⇒−=⇒





−⋅=
piε
η
piε
η
piε ,,
 
 
c) Dados: V = 20 [V] em B (0,5;1,-1). 
 
 20VV20-VVVVV PBPPPBBPPB +=⇒=⇒−= (01) 
 
� Cálculo de VPB: 
 
 









−⋅=
B. ponto ao Q carga da distancia a é r
P. ponto ao Q carga da distancia a é r
 onde 
r
1
r
1
4
QV
B
P
BPo
PB ,
piε
 (02) 
 
� Cálculo de rP: 60r404020r P
222
P ,,,, =⇒++= (03) 
 
� Cálculo de rB: 51r1150r B222B ,, =⇒++= (04) 
 
 Substituindo (03) e (04) em (02), temos: 
 
 [ ]V 54V3690V
6
6
42
6V
51
1
60
1
4
QV PBPB
oo
P
o
PB =⇒−=⇒−=⇒





−⋅=
piε
η
piε
η
piε ,,,
 
 (05) 
 
 Substituindo (05) em (01), temos: 
 
 [V] 74V 2054V20VV PPPBP =⇒+=⇒+= 
 
4.6) Calcular a energia acumulada em um sistema com três cargas pontuais iguais a Q, todas 
sobre a mesma reta, separadas entre si por distâncias iguais a d. 
 
Resolução: 
 
 1o modo: 
 
 
 Dados: Q1 = Q2 = Q3 = Q 
 
 Potencial de uma carga pontual: 
 
 
r4
QV
opiε
= (01) 
 
 Energia acumulada por um sistema de cargas discretas: 
 
 ∑
=
=
3
1m
mmE VQ2
1W (02) 
 
 
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– Página 4.9 – 
 De (02), conclui-se que a energia acumulada pelo sistema de três cargas pontuais acima é 
dado por: 
 [ ]332211E VQVQVQ2
1W ++= (03) 
 
� Cálculo do potencial da carga Q1: 
 
 
d4
Q
2
3V
d24
Q
d4
Q
V
o
1
o
3
o
2
1
piεpiεpiε
⋅=⇒+= (04) 
 
� Cálculo do potencial da carga Q2: 
 
 
d4
Q2V
d4
Q
d4
Q
V
o
2
o
2
o
1
2
piεpiεpiε
=⇒+= (05) 
 
� Cálculo do potencial da carga Q3: 
 
 
d4
Q
2
3V
d4
Q
d24
Q
V
o
3
o
2
o
1
3
piεpiεpiε
⋅=⇒+= (06) 
 
 Substituindo (04), (05) e (06) em (03): 
 
 
[ ]J 
d8
Q5W 
d4
Q
2
3
d4
Q2
d4
Q
2
3
2
QW
o
2
E
ooo
E piεpiεpiεpiε
=⇒





⋅++⋅= 
 
2o modo: 
 
 
 
 
 
 
� Cálculo do trabalho para mover Q1 do infinito para o ponto 1: 
 
 WE 1 = 0 (01) 
 
� Cálculo do trabalho para mover Q2 do infinito para o ponto 2: 
 
 
[ ]J 
d4
QW
d4
QQW
Q carga à devido 2 ponto no potencial o é V onde , VQW
o
2
2E 
o
1
22 E
12,11222 E
piεpiε
=⇒⋅=∴
= .,
 
 
� Cálculo do trabalho para mover Q3 do infinito para o ponto 3: 
 
 
[ ]J 
d4
Q
d8
QW
d4
QQ
d24
QQW
Q carga à devido 3 ponto no potencial o é V
e 
Q carga à devido 3 ponto no potencial o é V
 onde , VQVQW
o
2
o
2
3E 
o
2
3
o
1
33 E
23,2
13,1
3,231333 E
piεpiεpiεpiε
+=⇒⋅+⋅=∴




+= ,
 
(02) 
(03) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044
 
 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 
– Página 4.10 – 
� Cálculo do trabalho total: 
 
 WE = WE 1 + WE 2 + WE 3 (04) 
 
 Substituindo (01), (02) e (03) em (04), temos: 
 
 [ ]J 
d8
Q5W
2
12
d4
QW
d4
Q
d8
Q
d4
Q0W
o
2
E
o
2
E
o
2
o
2
o
2
E
piεpiεpiεpiεpiε
=⇒




 +⋅=⇒+++= 
 
4.7) Uma densidade de carga 



= m
Cz
10
21L
ηρ estende-se ao longo do eixo z para z > 1 m 
e uma densidade de carga 



−= m
C
 
z
10
22L
ηρ estende-se ao longo do eixo z para z < 
-1 m. Determine V em P ( ρ, 0, 0 ), se V = 0 em ρ = ∞. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Para uma distribuição linear de cargas, ∫=
L o
L
R4
dL
V
piε
ρ
. Logo, para o caso acima, teremos: 
( )
( )

















+==
+=
=




−=
+==
=
=




=
+= ∫∫
−
−∞=
∞
=
;
;
;
;
;
;
,
22
22
z1
22
2
2L2
22
11
z1
11
1
2L1
1
z 2o
22L
1z 1o
11L
zR
; z Portanto, .0 0; ; P ponto ao
 ocompriment de ferencialelementodi do dirigido vetor o é 
dzdL
m
C
 
z
10
zR
; z- Portanto, .0 0; ; P ponto ao
 ocompriment de ferencialelementodi do dirigido vetor o é 
dzdL
m
C
 
z
10
: onde 
R4
dL
R4
dLV
ρ
ρρ
ηρ
ρ
ρρ
ηρ
piε
ρ
piε
ρ
ρ
ρ
R
aaR
dLR
R
aaR
dLR
�
��
�
�
�
��
�
�
 
 Portanto, ∫∫
−
−∞=
∞
= +
−
+
+
=
1
z
22
o
2
1z
22
o
2
dz
z4
z
10
dz
z4
z
10
V
ρpiερpiε
 (01) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044
 
 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 
– Página 4.11 – 
� Solução da integral: 
 ∫
+ 222 zz
dz
ρ
 (02) 
 Substituição de variáveis na integral:




=
=
θθρ
θρ
d dz
tg z
2sec
 (03) 
 
 Substituindo ( 03) em ( 02 ), temos: 
 
 
 d1
1
tg
d 
tg
d 
tg tg
d 
2222
2222
2
22222
2
∫∫
∫∫∫
=
⋅
=
⋅
=
+
θ
θ
θ
ρθθρ
θ
θρ
θθ
θρθρ
θθρ
θρρθρ
θθρ
sen
cos
cos
sen
cos
sec
sec
secsec
 
 
 Substituição de variáveis na integral:



=
=
θθ
θ
d du
u
cos
sen
 (05) 
 
 Substituindo (05) em (04), temos: 
 
 





−=





−=∫ θρρρ sen
11
u
11
u
du1
2222 (06) 
 
 De (03), 
22
z
z
+
=
ρ
θsen (07) 
 
 Substituindo (07) em (06), temos: 
 
 
z
z1
z
z1 22
2
22
2
+
⋅−=







 +
−
ρ
ρ
ρ
ρ
 (08) 
 
 Substituindo (08) em (01), temos: 
 
 
( )[ ] [ ]V 0V 11
4
10V
z
z
z
z
4
10V
z
z1
4
10
z
z1
4
10V
o
2
1
z
22
1z
22
o
2
1
z
22
2
o
1z
22
2
o
=⇒+−−=

















 +
+







 +
−=







 +
⋅−−







 +
⋅−=
−
−∞=
∞
=
−
−∞=
∞
=
ρρ
εpiρ
ρρ
εpiρ
ρ
ρpiε
ρ
ρpiε
 
 (04) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044
 
 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 
– Página 4.12 – 
4.8) Duas esferas condutoras concêntricas de raios a = 6 cm e b = 16 cm possuem cargas 
iguais e opostas, sendo 10-8 C na esfera interior e -10-8 C na exterior. Assumindo ε ε= o 
na região entre as esferas, determinar: 
a) o máximo valor da intensidade de campo elétrico entre as esferas; 
b) a diferença de potencial (Vo) entre as esferas; 
c) a energia total armazenada (WE) na região entre as esferas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
a) Seja a superfície gaussiana esférica de raio a < r < b : 
 
 Pela Lei de Gauss: interna
S
Q=⋅∫ dSD
�
 ; onde r
2
 d d r adS �φθθsen= 
 r22
2
r4
Q
r4
QDQr4D aD �
�
pipi
pi =⇒=⇒=⋅ (01) 
 
 Mas r2
oo r4
Q
aEDE �
�
�
�
piεε
=⇒= (02) 
 
 De (02), conclui-se que 2
o r4
QE
piε
==E
�
 (03) 
 
 De (03), conclui-se que E varia de acordo com 2r
1 para a região entre as esferas. Logo, o 
maior valor que E atinge nesta região ocorre para o menor valor de r. 
 
 Assim, para r = 6 cm, temos: 
 
 =maxE ( ) [ ]mKV 25E 0604
10E max2
o
8
max =⇒=
−
,piε
 
b) 





=
=
•−== ∫
r
r2
oo
 dr
.
r4
Q
 onde VV
adL
aE
dLE
�
�
�
�
piε,
a
b
ab 
 
[ ]V 5,937V 
16,0
1
06,0
1
4
10V
11
4
QVdr
r4
QV
o
o
8
o
o
o2
o
o
=⇒





−=






−=⇒








−=∴
−
∫
piε
piεpiε ba
a
b
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044
 
 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 
– Página 4.13 – 
c) 









=
==
=
=⇒•= ∫∫
φθθ
pi
pi
ε
d d dr rdv
r4
QD
r4
Q
 onde dv D
2
1Wdv 
2
1W
2
2
r2
vol o
2
E
vol
E
sen
, D
aD
ED
�
�
�
��
 
 
 
[ ] [ ]
[ ]
[ ]J 69,4W 
16,0
1
06,0
1
8
10W
11
8
QW2011
32
QW
 
r
1
32
QW
d d dr 
32
QWdv 
r16
Q
2
1W
E
o
16
E
o
2
E
o
2
2
E
2
00
ro
2
2
E
2
0 0 ro
2
2
E
vol o
42
2
E
µ
piε
piε
pipi
εpi
φθ
εpi
φθθ
εpiεpi
pi
φ
pi
θ
pi
φ
pi
θ
=⇒





−=






+−=⇒⋅°+−⋅





+−=
−





−=
=⇒=∴
−
==
=
= = =
∫ ∫ ∫∫
abab
r
sen
b
a
b
a
2
coscos
cos