Exercícios Resolvidos Eletromagnetismo Campo magnético Estacionário

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
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 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 
CAPÍTULO 07 
 
CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 
 
 
7.1) Calcular B no centro de uma espira quadrada de lado a percorrida por uma corrente I. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os lados AB, BC, CD e DA da espira produzem campos magnéticos no mesmo sentido no 
ponto O (centro da espira). Portanto, o campo magnético total no ponto O ( TH ) será quatro vezes 
maior que aquele produzido por qualquer um dos lados da espira. 
 
 DACDBCABT 4444 HHHHH ==== (01) 
 
� Cálculo de ABH (campo magnético produzido no ponto O pelo lado AB da espira): 
 
 Lei de Biot-Savart: 
 
 ∫
×
= 2
R
R 4
 I
pi
adLH , onde: 









=
I. de direcão a indica que 
ocompriment de ldiferencia elemento o é 
 de versor um é
R
espira da centro aodx corrente de 
 ldiferencia elemento do dirigido vetor o é 
R
dL
Ra
R
R
;
;
;
��
�
�
 (02) 
 
 
 











=
+
+−
==
+=+−=
.x
2
2
yx
R
2
2
yx
 dx 
;
 
4
x
2
 x
R 
 
; 
4
xR ; 
2
 x
adL
aaR
a
aaR
a
a
aa
���
���
 (03) 
 
 
 
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 Substituindo (03) em (02), temos: 
 
 ∫∫
−
=








+
=⇒








+





 +−×
=
2
a
2
a 22 a
a
a
a
x
2
3
2
z
AB
2
3
2
yxx
AB
4
x 
 dx
2
 
4
I
4
x 4
 
2
 x dx
 I
a
H
aaa
H
pi
pi
��
 (04) 
 
 Substituição de variáveis na integral: 












=+
=





°=⇒=
°−=⇒−=
⇒=
θ
θθ
θ
θ
θ
22
2
 
44
x
d 
2
dx
45x
45x
tg 
2
x
 
sec
sec
22 aa
a
2
a
2
a
a
 
 
 Substituindo (05) em (04), temos: 
 
 
[ ]
( )[ ]
zAB
zABzAB
z
45
45ABz
45
45
AB
z
45
45
ABz
45
45 3
3
2
AB
 2
I 2
 
2
2
2
2
 
 2
I
 4545 
 2
I
 
 2
I
 d 
 2
I
 
sec 
d 
 
 2
I
 
sec
2
 
d sec 
2
 
8
 I
aH
aHaH
aHaH
aHaH
a
aa
aa
aa
a
a
pi
pipi
θ
pi
θθ
pi
θ
θ
pi
θ
θθ
pi
θ
θ
θθ
=






+=⇒°−−°=
=⇒=
=⇒






=
°
°−=
°
°−=
°
°−=
°
°−=
∫
∫∫
sensen
sencos
 
 
 Substituindo (06) em (01), temos: 
 
 zTzTABT
 
I 22
 
 2
I 244 aHaHHH
aa pipi
=⇒=⇒= (07) 
 
� Cálculo de TB : 
 
 z
o
o
a
aBHB
 
I 22
 TTT
pi
µµ =⇒= 
 
 
(05) 
(06) 
 
 
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7.2) Duas espiras circulares de corrente, idênticas, de raios a e corrente I situam-se em 
planos horizontais paralelos separados no seu eixo comum por uma distância 2h. 
Encontre H no ponto médio entre as duas espiras. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Espira 01 gera o campo magnético 1H no ponto P (ponto médio), enquanto a Espira 02 gera 
o campo magnético 2H , de mesma magnitude e na mesma direção de 1H . Portanto, o campo 
magnético total gerado em P será: 
 
 121P 2HHHH =+= (01) 
 
� Cálculo de 1H : 
 
 Lei de Biot-Savart: 
 ∫
×
= 2
R
R 4
 I
pi
adLH , onde: 








=
I. de direcão a indica que 
ocompriment de ldiferencia elemento o é 
 de versor um é
R
(P) médio ponto ao de dirigido vetor o é 
R
dL
Ra
R
dLR
;
;
;
��
�
�
 (02) 
 
 







=
+
+−
==
+=+−=
.φ
ρ
ρ
φ adL
aaR
a
aaR
 d 
;
 
 
R 
 
; R ; 
22
z
R
22
z
a
ha
 ha
ha ha
���
���
 (03) 
 
 Substituindo (03) em (02), temos: 
 
 φ
pi
pi
φ ρρφ d 
( 
 
 
4
 I
( 4
) d 
 I
2
3
z
1
2
3
z
1 ∫∫
+
+
=⇒
+
+−×
=
))
()(
2222 ha
 haa
ha
 haa aa
H
aaa
H
����
 (04) 
P 
h 
dL 
I 
z1H 1H 
 R 
 
 a 
 
 
 a 
 I 
ρ1H 
2h 
Espira 01 
Espira 02 
y 
 z 
x 
 
 
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 A inspeção da figura anterior nos mostra que elementos de corrente diametralmente opostos 
produzem componentes radiais de campos que se cancelam. Portanto, 1H possui somente 
componente na direção de za , reduzindo a equação (04) a: 
 
 z
2
31z
2
0 2
31
( 2
 I
 
( 
d
 
4
 I
aHaH ��
)) 22
2
22
2
ha
a
ha
a
+
=⇒
+
= ∫
=
pi
φ
φ
pi
 (05) 
 
 Substituindo (05) em (01), temos: 
 
 z
2
3P121P
( 
 I
 2 aHHHHH �
)22
2
ha
a
+
=⇒=+= 
 
7.3) Uma espira quadrada de lado 2a, centrada na origem, situada no plano z = 0 e lados 
paralelos aos eixos x e y, conduz uma corrente I no sentido anti-horário vista do sentido 
positivo do eixo z. Determinar o campo magnético H no ponto P(0; 0; a). 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os lados AB e CD da espira geram campos magnéticos componentes no ponto P nas direções 
de xa e za . Portanto, os campos magnéticos totais gerados no ponto P pelos lados AB e CD da 
espira terão a seguinte forma: zCDxCDPCDzABxABPAB e aaHaaH H)(HHH +−=+= . 
Nota-se, então, que as componentes xAB aH e )(H xCD a− se anulam. Seguindo o mesmo 
raciocínio, os campos magnéticos totais gerados no ponto P pelos lados BC e DA da espira terão a 
seguinte forma: zBCyBCPBC aaH HH += e zDAyDAPDA aaH H)(H +−= . Nota-se, então, 
que as componentes yBC aH e )(H yDA a− se anulam. Logo, o campo gerado em P pelos lados 
AB, BC, CD e DA será quatro vezes maior que aquela componente no sentido de za produzida por 
qualquer um dos lados da espira. 
 
 zDAzCDzBCzABP 4444 HHHHH ==== (01) 
 
 
 
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� Cálculo de ABH : 
 
� Lei de Biot-Savart: 
 ∫
×
= 2
R
R 4
 I
pi
adLH , onde: 









=
I. de direcão a indica que 
ocompriment de ldiferencia elemento o é 
 de versor um é
R
P ponto ao corrente de 
 ldiferencia elemento do dirigido vetor o é 
R
dL
Ra
R
dL
R
;
;
;
��
�
�
 (02) 
 









=
+
+−−
==
+=+−−=
.y
22
zyx
R
22
zyx
 dy 
;
 2y
 y 
R 
 
; 2yR ; y 
adL
aaaR
a
aaaR
a
 aa
a aa
����
����
 (03) 
 
 Substituindo (03) em (02), temos: 
 
 
z
y 2
322
zAB
y 2
322
zx
AB
2
322
zyxy
AB
 
2y( 
dy
 
4
 Idy 
2y( 
 
4
 I
2y( 4
) y dy
 I
aHaaH
aaaa
H
∫∫
∫
−=−= +
=⇒
+
+
=
+
+−−×
=
a
a
a
a a
a
a
a
a
 aa
))
)(
)
(
pipi
pi
���
 
 
 Substituiçãode variáveis na integral: 












+
=
=




=⇒=
=⇒−=
⇒=
22
2
2
1
2y
y
d 2dy
y
y
tg 2y
 
a
a
a
a
a
θ
θθ
θθ
θθ
θ
sen
sec 
 Substituindo (05) em (04), temos: 
 
 
z
2
1
zABz
2
1
zAB
z
2
1
zABz
2
1
33
2
zAB
 
 8
I
 d 
 8
I
 
sec 
d 
 
 8
I
 
sec 2 
d sec 
 
8
 I
aHaH
aHaH
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
pi
θθ
pi
θ
θ
piθ
θθ
pi
=
=
=
=
=
=
=
=






=⇒=
=⇒=
∫
∫∫
sencos
aa
aa
2aa
 
(05) 
(04) 
 
 
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zzABzzAB
zzABz
-y
22
zAB
 
 34
I
 
3
2
 8
I
 
33
 
 8
I
2y
y
 
 8
I
aHaH
aHaH
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
pipi
pipi
=⇒⋅=






−
−⋅=⇒








+
⋅=
=
 
 
 Substituindo (06) em (01), temos: 
 
 zPzABP
 3
I 
 4 aHHH
api
=⇒= 
 
7.4) Seja [ ]
m
A
 y(xx y(xy y22x22 aaH )) +++−= no plano z = 0. 
a) Determinar a corrente total passando através do plano z = 0, na direção za , no 
interior do retângulo 1x1 <<− e 2y2 <<− . 
b) Se o potencial magnético mV é nulo no vértice P(-1; -2; 0) do retângulo RSPQ, 
determinar mV no vértice R(1; 2; 0), utilizando um percurso que passa pelo vértice 
Q(1; -2; 0). 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) De acordo com a Lei Circuital de Ampère e com o Teorema de Stokes, temos: 
 
 ( ) ( )∫∫∫∫ =•×∇=•⇒•×∇==•
Ret. SRSPQS
enl I I dSHdLHdSHdLH (01) 
 
� Cálculo do Rotacional: 
 
 [ ] z22z2222
z
xy
 y4x4 y3xyx3
 
yx
aHaH
aH
)()(
HH
+=×∇⇒−−−+=×∇








∂
∂
−
∂
∂
=×∇
 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 z
2
2y
1
1x
z
22
 dxdy onde , y4x4I adSdSa =•+= ∫ ∫
−= −=
)( 
(02) 
(06) 
 
 
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[ ]A 3453 
3
160I
3
64
3
16
3
64
3
16Iy
3
8y
3
8Idyy8
3
8I
dyy4
3
4y4
3
4Idyxy4
3
x4I
 dxdy y4x4I dxdy y4x4I
2
2y
3
2
2y
2
2
2y
22
2
2y
1
1x
2
3
2
2y
1
1x
22
2
2y
1
1x
zz
22
,
)()(
==∴






+++=⇒





+=⇒





+=






+++=⇒








+=
+=⇒•+=
−=
−=
−=−=
−=
−= −=−= −=
∫
∫∫
∫ ∫∫ ∫ aa
 
 
b) VmRP = VmRQ + VmQP, onde ∫ •−=
a
bab
mV dLH (01) 
 Trecho P→Q: 
 
 
[ ]
[ ]
[ ]A 
3
52V8
3
28
3
2V
x8
3
x2Vdx yx yV
 dx yx x yx yV
mQPmQP
1
1x
3
mQP
Q
P 2y
22
mQP
Q
P
xy
22
x
22
mQP
−=⇒−−−−=








−=⇒+−−=
•+++−−=
−=
−=
∫
∫
)(
)()( aaa
 
 
 Trecho Q→R: 
 
 
[ ]
[ ]
[ ]A 
3
28V
3
82
3
82V
3
yyVdy yx xV
 dy yx x yx yV
mRQmRQ
2
2y
3
mRQ
R
Q 1x
22
mRQ
R
Q
yy
22
x
22
mRQ
−=⇒−−−−=








−−=⇒+−=
•+++−−=
−=
=
∫
∫
)(
)()( aaa
 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 
 [ ]A 6726
3
80V 
3
28
3
52V mRPmRP ,=−=⇒−−= 
(02) 
(03) 
 
 
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7.5) A superfície cilíndrica ρ = a = 20 mm conduz a corrente [ ]
m
A
 100cil zaK = , enquanto 
que a superfície ρ = b = 40 mm possui a corrente solenoidal [ ]
m
A
 80sol φaK = . Calcule 
a intensidade do campo magnético H em: 
a) ρ = 10 mm; 
b) ρ = 30 mm; 
c) ρ = 50 mm. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Cálculo de H para a superfície cilíndrica ( cilH ) ⇒ Lei Circuital de Ampère: 
 
 Para ρ < 20 mm 0cil =⇒ H (01) 
 
 Para ρ > 20 mm 202I cilenlcil ⋅⋅==•⇒ ∫ piKdLH 
 [ ]
m
A
 
20
202022
cilcil
cilcilcilcil
φρ
ρ
piρpi
aH K
KHKH
=∴
=⇒⋅⋅=⋅⋅
 
 
� Cálculo de H para o solenóide ( solH ) ⇒ Lei Circuital de Ampère: 
 
 Para ρ < 40 mm LI solenlsol ⋅==•⇒ ∫ KdLH 
 [ ]
m
A
 
LL
zsolsol
solsolsolsol
aH K
KHKH
=∴
=⇒⋅=⋅
 
 
 Para ρ > 40 mm 0sol =⇒ H (04) 
 
a) O campo magnético gerado em ρ = 10 mm ( aH ) será proveniente somente do solenóide. 
Portanto, a equação (03) é suficiente para defini-lo. 
 
 
[ ]
[ ]
m
A
 80
m
A
 80 
aa
zazsolsola
==
=⇒==
H
K
H
aHaHH
 
(02) 
(03) 
 
 
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b) O campo magnético gerado em ρ = 30 mm ( bH ) será proveniente tanto da superfície 
cilíndrica quanto do solenóide. Portanto, bH será a soma das equações (02) e (03). 
 
 
[ ]
[ ]
m
A
 14104 806766
m
A
 80 6766 80 100
30
20
20
 
b
22
bb
zbzb
zsolcilbsolcilb
,H,H
,
KK
=⇒+==
+=⇒+





⋅=
+=⇒+=
H
aaHaaH
aaHHHH
φφ
φρ
 
 
c) O campo magnético gerado em ρ = 50 mm ( cH ) será proveniente somente da superfície 
cilíndrica. Portanto, a equação (02) é suficiente para defini-lo. 
 
 
[ ]
[ ]
m
A
 40
m
A
 40 100
50
20
20
cc
cc
cilcilc
==
=⇒





⋅=
==
H
K
H
aHaH
aHH
φφ
φρ
 
 
7.6) Um fio de raio igual a 2a [m] estende-se ao longo do eixo z e é constituído de dois 
materiais condutores, sendo: 
 Condutor 01: condutividade = σ para 0 < ρ <a.. 
 Condutor 02: condutividade = 4σ para a < ρ <2a.. 
 Se o fio conduz uma corrente contínua total de I ampères, calcular: 
a) a corrente devido a cada condutor; 
b) o campo magnético H para 0 < ρ <3a. 
 
Resolução: 
 
a) 
 onde 






02.condutor o somente percorre que corrente a é I
01;condutor o somente percorre que corrente a é I
;condutores dois os percorre que totalcorrente a é I
2
1 
 
 
 
222
2
aaa
a
 12
R
4( 4
R
S
R
 
R
S
R
22
22
2
2
1
11
1
1
piσpiσσ
piσσ
���
��
=⇒
−
=⇒=
=⇒=
)
 
 
 
– Página 7.10 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077
 
 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 
 
[ ]
[ ]




=
=
⇒=⇒+=
=⇒=⇒=∴
A I
13
12I
A 
13
II 
I13II12II Logo,
I12IR12R12
R
R
2
1
111
1221
2
1
 
b) Lei Circuital de Ampère: enlI ∫ =• dLH 
 
� Cálculo de H para ρ < a: 
 
[ ]
m
A
 
 26
 I
 
 2
 I
 
 I 2I 1
2
1enl 222 aaa pi
ρ
pi
ρ
pi
ρpiρpi =⇒=⇒⋅=⋅⇒=•∫ HHHdLH 
 
� Cálculo de H para a < ρ < 2a: 
 
[ ]
m
A
 34
 26
 I
 26
4 I4 I
 3
( I
13
12
13
I
 2
4( 
( II 2I 
2
22
2
21enl
)(H
H
)
H
)
)
H
2
2
2
22
2
2
22
2
a
a
a
aa
a
a
aa
a
−=∴
−+
=⇒
−
⋅+=⋅
−
−
⋅+=⋅⇒=•∫
ρ
ρpi
ρpi
ρρρpi
pi
ρpiρpidLH
 
 
� Cálculo de H para 2a <ρ < 3a:[ ]
m
A
 
 2
I
 II 2I 21enl ρpi
ρpi =⇒+=⋅⇒=•∫ HHdLH 
 
7.7) Um cabo coaxial consiste de um fio central fino conduzindo uma corrente I envolvido 
por um condutor externo de espessura despresível a uma distância a conduzindo uma 
corrente na direção oposta. Metade do espaço entre os condutores é preenchido por um 
material magnético de permeabilidade µ e a outra metade com ar. Determinar B , H e 
M em todos os pontos do condutor. 
 
Resolução: 
 
� Cálculo de B : 
 
� Lei Circuital de Ampère para ρ < a: 
 
 ( ) enlmatarenl I I ∫∫ =•+⇒=• dLHHdLH (01) 
 
 
– Página 7.11 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077
 
 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 
 Mas 






==⇒=
≠⇒≠
φaBBB
HH
 matar
2N1N
matar
2N1N
BB
HH
 (02) 
 





=
=
⇒=
matmat
aroar
 
HB
HB
HB
µ
µ
µ (03) 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 φφρµµ adLdL
BB
 d onde , I
o
enl =•







+= ∫ 
 
 
( ) φ
pi
piφ
pi
φ
φ
µµpiρ
µµ
pi
µ
ρ
pi
µ
ρ
φρ
µ
φρ
µ
φρ
µµ
aBBB
a
BB
+
===⇒⋅+⋅=
+=⇒•








+= ∫∫∫
==
o
o
matar
o
2
0 oo
I 
 
 I
d d I d I
BB
BB
 
 
� Cálculo de H : 
 
� No ar: 
 ( ) φµµpiρ
µ
µ
aHBH
+
=⇒=
o
ar
o
ar
 
I 
 
 
� No material magnético: 
 
 ( ) φµµpiρ
µ
µ
aHBH
+
=⇒=
o
o
matmat
 
I 
 
 
� Cálculo de M : 
 
� No ar: 
 
 0 arar
o
ar =⇒−= MH
BM
µ
 
 
� No material magnético: 
 
 ( )
( ) φ
φφ
µµpiρ
µµ
µpiρpiρµ
µ
µpiρpiρµ
µ
µ
aM
aaMHBM
+
−
=
+
−
+
=⇒−=
o
o
mat
o
o
o
matmatmat
 
 I
I I 
 
 
 
 
– Página 7.12 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077
 
 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 
7.8) Uma película infinita de corrente com [ ]
m
A
 10 x1 aK = estende-se no plano z = 0. 
Duas outras películas de corrente com [ ]
m
A
 5 x32 aKK −== são colocadas nos 
planos z = h e z = -h. 
a) Determinar o campo vetorial H em todo o espaço; 
b) Determinar o fluxo magnético líquido que cruza o plano y = 0 na direção ya , entre 
0 < x < 1 e 0 < z < 2h. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Campo magnético para um plano infinito: N2
1
aKH ×= . 
 Pela análise da figura acima, nota-se que, em qualquer ponto do espaço, o campo magnético 
terá a seguinte forma: 321 HHHH ++= , onde 321 e HHH , são os campos gerados pelas 
películas 321 e KKK , respectivamente. 
 
 Portanto, 



 ×+×+×=
3N32N21N12
1
aKaKaKH (01) 
� Cálculo de H para z > h: 
 
 
( ) 0 5 5 10 
2
1
zxzxzx =⇒×−×−×= HaaaaaaH 
 
� Cálculo de H para 0 < z < h: 
 
 
[ ] [ ]
m
A
 5 5 5 10
2
1
yzxzxzx aHaaaaaaH −=⇒×−−×−×= )( 
 
� Cálculo de H para -h < z < 0: 
 
 [ ] [ ]
m
A
 5 5 5 10
2
1
yzxzxzx aHaaaaaaH +=⇒×−−×−−×= )()( 
 
 
– Página 7.13 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077
 
 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 
� Cálculo de H para z < -h: 
 
 [ ] 0 5 5 10
2
1
zxzxzx =⇒−×−−×−−×= HaaaaaaH )()()( 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ]Wb 5 dxdz5 o
0z
y
1
x
yo
2S
22So
1S
11So
S
h
h
0
µφµφ
µµφφ
−=⇒•−=
•+•=⇒•=
∫ ∫
∫∫∫
= =
aa
dSHdSHdSB
)(
 
 
7.9) Um fio infinito foi dobrado e colocado segundo a figura abaixo. Empregando a Lei de 
Biot-Savart, calcular o campo magnético resultante H num ponto genérico P situado 
sobre o eixo y. Determinar também o valor de H para o valor de y do ponto P igual a: 
a) Zero; 
b) d; 
c) 
2
d ; 
d) 2d. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 O campo magnético resultante em P apresenta uma parcela que é gerada pelo segmento 
semi-infinito localizado em y = 0 ( 1H ), uma parcela que é gerada pelo segmento semi-infinito 
localizado em y = d ( 2H ) e uma parcela que é gerada pelo segmento condutor localizado em x = 0 
( 3H ). 
 321 HHHH ++=∴ (01) 
 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077
 
 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 
� Cálculo de 1H : 
 
� Lei de Biot-Savart: 
 ∫
×
=
2
1
1R11
R 4
 I
pi
adLH , onde: 









=
I. de direcão a indica que 
ocompriment de ldiferencia elemento o é 
 de versor um é
R
P ponto ao corrente de 
 ldiferencia elemento do dirigido vetor o é 
1
11R
11
1
1
dL
Ra
R
dL
R
;
;
;
��
�
�
 (02) 
 









=
+
+
==
+=+−=
.x1
22
yx
1
1
1R
22
1yx1
 dx 
;
yx
 y x
R 
 
;yxR ; y x
adL
aaR
a
aaR
���
���
 (03) 
 
 Substituindo (03) em (02), temos: 
 
 ∫∫
−∞= +
⋅=⇒
+
+×
=
0
x
z
2
322
1
2
322
yxx
1
yx( 
ydx
4
I
yx( 4
) y x dx
 I aH
aaa
H
))
(
pi
pi
��
 (04) 
 
 Substituição de variáveis na integral: 









=




=⇒=
°−=⇒−∞=
⇒=
θθ
θ
θ
θ
d ydx
00y
90x
tg yx
 
2sec
 
 
 Substituindo (05) em (04), temos: 
 
 [ ]
( )[ ] z1z1
z
0
901z
0
90
1
z
0
90
1z
0
90
33
22
1
 
y 4
I
 1--0 
y 4
I
 
y 4
I
 d osc 
y 4
I
 
sec 
d 
 
y 4
I
 
sec y 
d sec y
 
4
I
aHaH
aHaH
aHaH
pipi
θ
pi
θθ
pi
θ
θ
piθ
θθ
pi
θ
θ
θθ
=⇒=
=⇒=
=⇒=
°−=
°−=
°−=°−=
∫
∫∫
sen 
 
� Cálculo de 2H : 
 
 A parcela 2H apresente a mesma direção e sentido de 1H , porém varia inversamente com a 
distância (y – d). 
(05) 
(06) para (y ≠ 0) 
 
 
– Página 7.15 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077
 
 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 
 Portanto: z2 )-y( 4
I
 aH
 dpi
= . para (y ≠ d) (07) 
 
� Cálculo de 3H : 
 
 O segmento condutor localizado em x = 0 não pode gerar um campo magnético no ponto P, 
pois 03R3 =× adL .Logo, 03 =H (08) 
 
 
 
 Substituindo (06), (07) e (08) em (01), temos: 
 
 ( ) ( )
�� ��� �������
d
dd
≠≠
+=⇒++=
y
z
0y
zzz 
-y 4
I
 
y 4
I0 
-y 4
I
 
y 4
I
aaHaaH
pipipipi
 
 
 
a) Neste caso, 01 =H e )z2 ( 
 4
I
 aHH −==
dpi
 
 
b) Neste caso, 02 =H e z1 
 4
I
 aHH
dpi
== 
 
c) 0 
 4
I 2
 
 4
I 2
 zz21 =⇒−=⇒+= HaaHHHH dd pipi
 
 
d) zzzz21
 8
I 3
 1
2
1
 4
I
 
 4
I
 
 8
I
 aHaHaaHHHH
dddd pipipipi
=⇒





+⋅=⇒+=⇒+= 
 
7.10) Calcular B no ponto P(0; 0; 2a) gerado por uma espira circular de raio ρ = a, situada no 
plano xy, percorrida por uma corrente I no sentido horário e por um condutor filamentar 
passando pelo ponto (2a; 0; 0), conduzindo uma corrente I o sentido ya+ . 
 
Resolução: 
 
 (01) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
2a 
condB 
 a 
 
 I 
I 
P (0; 0; 2a) 
espB 
 z 
 y 
condespP BBB += 
 
 
– Página 7.16 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077–– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 
� Cálculo de B para a espira: Lei de Biot-Savart: ∫
×
= 2
R
R 4
 I
pi
adLH (02) 
 
 onde: 








=
I. de direcão a indica que 
 ocompriment de ldiferencia elemento o é 
 de versor um é
R
(P) ponto ao de dirigido vetor o é 
R
dL
Ra
R
dLR
;
;
;
��
�
�
 
 







=
+−
==
=+−=
.φ
ρ
ρ
φ adL
aaR
a
aaR
 d 
;
 5
2 
R 
 
; 5R ; 2 
z
R
z
a
 
a aa
���
���
 (03) 
 Substituindo (03) em (02), temos: 
 
 φ
pipi
φ
ρ
ρφ d 2 
5 20
I
5 20
) 2 d 
 I zesp
z
esp ∫∫ +−=⇒
+−×
= )(
()(
aaH
aaa
H ��
��
 
aa
 a
2
 (04) 
 
 A inspeção da figura nos mostra que elementos de corrente diametralmente opostos produzem 
componentes radiais de campos que se cancelam. Portanto, espH possui somente componente na 
direção de za , reduzindo a equação (04) a: 
 
 zespz
2
0
esp
 10
I
 d 
 20
I
aHaH ��
5a5a
−
=⇒
−
= ∫
=
pi
φ
φ
pi
 (05) 
 
 z
o
espespoesp
10
I
 aBHB
5a
µµ −=⇒=∴ (06) 
 
� Cálculo de B para o condutor: 
 
 φρpi
µ
aB
 2
Io
cond = , onde ρφ aa ⊥ (07) 
 
















 +
=∴





 +−
×=⇒×=
+−
==
=+−=
 2
 
 2
 
;
 2
 
 
 
; 22 ; 2 2
zx
zxyy
zx
zx
aa
a
aa
aaaaa
aa
a
aa
��
��
��
��
 
 
 
a aa
φ
φρφ
ρ ρ
ρ
ρρ
 (08) 
 
 
P 
dL 
I 
espH 
 R 
 
 a 
y 
 z 
x 
 
 
– Página 7.17 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077
 
 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 
 Substituindo (08) em (07), temos: 
 )( zx
o
condzxocond
 8
I
 
 2
 
 24
I
aaB
aa
B ��
��
 
a
 
a
+⋅=⇒




 +
⋅=
pi
µ
pi
µ
 (09) 
 
 Substituindo (06) e (09) em (01), temos: 
 
 
( )zxoPxzoP
zx
o
z
o
condespP
 00490 03980
 
I
 
8
1
80
810
 
I
 8
I
 510
I
aaBaaB
aaaBBB
����
���
,,
)(
−⋅=⇒








+







−
⋅=
+⋅+
−
=+=
a
 
5
5
a
 
a
 
a
µ
pipi
piµ
pi
µµ
 
 
7.11) a) Demonstrar, utilizando a lei de Biot Savart, que a expressão para o cálculo de um 
campo magnético H em um ponto P qualquer devido a um elemento de corrente de 
tamanho finito é dada por: ( ) φαα
piρ
aH 
4
I
21 sensen += , onde ρ é a menor 
distância do ponto P ao elemento de corrente. 
 b) Encontre a indução magnética B no centro de um hexágono regular de lado a, 
conduzindo uma corrente I. 
 
Resolução: 
 
a) 
� Lei de Biot-Savart: ∫
×
= 2
R
R 4
 I
pi
adLH , 
 
 onde: 









=
I. de direcão a indica que 
ocompriment de ldiferencia elemento o é 
 de versor um é
R
P ponto ao dz corrente de 
 ldiferencia elemento do dirigido vetor o é 
R
dL
Ra
R
R
;
;
;
��
�
�
 (01) 
 
 









=
+
−
==
+=−=
.z
22
z
R
22
z
 dz 
;
 z
z 
R 
 
; zR ; z 
adL
aaR
a
aaR
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
���
���
 
 
 (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 φρ
ρpi
ρ
ρpi
ρ
aH
aaa
H 
z( 
dz
 
4
 I
z( 4
) z dz
 I
2
3222
322
zz
∫∫
+
=⇒
+
−×
=
))
(
��
 
 (03) 
 
 
– Página 7.18 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077
 
 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 
 Substituição de variáveis na integral: 




=
=
ααρ
αρ
d dz
tg z
 
2sec
 (04) 
 
 Substituindo (04) em (03), temos: 
 
 φ
αα
αα
φ
αα
αα
α
α
ρpiαρ
ααρ
pi
ρ
aHaH ∫∫
=
−=
=
−=
=⇒=
1
2
1
2
33
2
 
sec 
d 
 
 4
I
 
sec 
d sec 
 
4
 I
 
 
 
[ ] φ
φ
αα
αα
φ
αα
αα
αα
ρpi
α
ρpi
αα
ρpi
aH
aHaH
 
 4
I
 
 4
I
 d 
 4
I
21
1
2
1
2
sensen
sencos
+=






=⇒=
=
−=
=
−=
∫
 
 
 
b) 
 
Os lados AB, BC, CD, DE, EF e FA do hexágono 
correspondem a elementos de corrente de tamanho 
finito do item (a). Deste modo, o campo magnético 
total gerado no centro do hexágono será seis vezes 
maior que o campo magnético gerado por cada um dos 
lados individualmente. 
 Logo: AB0 6HH = (01) 
 
 
� Cálculo de ABH : 
 
 
[ ] φααρpi aH 4
I
21AB sensen += , onde 




 °==
hexágono. do lado o e 
centro o entre distânciamenor a é 
3021
AB
ρ
αα ;
 (02) 
� Cálculo de ρ: 
 
 
2
3
30tg22
30tg aaa =⇒
°⋅
=⇒=° ρρ
ρ
 (03) 
 
 Substituindo (03) em (02), temos: 
 
 
[ ] φφ
pipi
aHaH 
3 2
I 
 3030 
3 4
I 2
ABAB
aa
=⇒°+°= sensen (04) 
 
 
(05) 
 
 
– Página 7.19 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077
 
 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 
 Substituindo (04) em (01), temos: 
 
 φφ
pipi
aHaH 
 
I 3
 
3 
I 3
00
aa
=⇒= 
 
� Cálculo de 0B : 
 
 φ
pi
µµ aBHB 
 
3 I 
 
o00o0
a
=⇒=