Relatório Física II - Pêndulo de Torção

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Universidade Federal da Bahia
Instituto de Física
Departamento de Física Geral
FIS 122 – Física Geral e Experimental II-E / Laboratório
Turma Teórica/Prática: T05 / P09	Data: 17/09/2007
Alunos: Érico Santos, Simon Mazur, Tadeu Oliveira, Thiago José Luz
Pêndulo 
de
Torção
Índice
Introdução .................................................................................................................................. 3
O que foi feito no Laboratório .................................................................................................. 4
Folha de Dados .......................................................................................................................... 5
Tratamento de Dados ................................................................................................................ 6
Folha de Questões .................................................................................................................... 8
Conclusão ................................................................................................................................ 10
Anexos ...................................................................................................................................... 11
Introdução
	Um pêndulo de Torção é um sistema constituído por um fio de determinado material, preso numa das extremidades, sendo suspenso na outra um corpo com uma determinada massa.
Submetendo esse corpo à ação de um momento de torção com a direção do eixo e abandonando-o em seguida, o corpo fica sujeito a forças que o fio exerce sobre ele ficando a oscilar, em primeira aproximação, com um movimento oscilatório harmônico, para um e para outro lado da posição de equilíbrio.
O período deste movimento oscilatório é dado por:
Em que:
- L é o comprimento do fio;
- I é o momento de inércia do sistema fio-corpo oscilante;
- r é o raio do fio;
- μ é módulo de rigidez do fio.
	O objetivo neste experimento consiste na execução da freqüência do pêndulo de torção, relacionando-a com a geometria da distribuição de massa e do fio que o caracteriza.
O que foi feito no Laboratório?
	O material empregado na realização do experimento, o qual se encontrava no laboratório, foram:
Régua de alumínio com furos
Massas
Fio de Metal
Cronômetro ou relógio
Régua
Bases, garras e barras cilíndricas
O sistema utilizado no experimento com o qual foram realizadas as observações tem montagem semelhante ao esquema abaixo:
	Montou-se o pêndulo de torção com o auxílio de uma base, duas hastes e duas garras. Foi medido o comprimento C do fio, sendo registrado, em seguida, na tabela. Na primeira parte do experimento foram usadas as barras cilíndricas de metal. Cada uma delas foi pesada e medidas, sendo anotados seus respectivos valores da massa m e do comprimento L. Após este processo, há seu tempo, uma das barras era presa ao fio pelo seu centro de massa. Logo em seguida a barra foi incitada a oscilações. Foi medido o tempo para dez oscilações e calculado seu período. Tal procedimento foi repetido para todas as barras.
	Para a segunda parte do experimento, foi utilizada a régua de alumínio com furos e pesos com massas m, as quais foram dependuradas em orifícios da régua. Primeiramente, foi medida a massa M da haste (régua), seu comprimento L e as massas m dos pesos. Logo após, os pesos foram pendurados a uma distância d, simétrica, na haste. Em seguida, calculou-se o período de dez oscilações, calculando-se o período, anotando-os na tabela auxiliar. Manteve-se o mesmo comprimento C do fio. Repetiu-se este procedimento para mais quatro posições das massas na régua, usando-se furos mais próximos do centro de massa da régua. Todos os dados foram registrados.
	A terceira e última etapa da prática consistiu em fixar uma configuração entre os pesos e a régua, variando-se o comprimento C do fio. Além da medida do período para o comprimento C inicial, foi medido o período para mais cinco comprimentos distintos.
Folha de Dados
Pêndulo de Torção
Tabelas Auxiliares
	 
	
	9.90
	19.50
	30.00
	20.00
	40.10
	20.10
	
	38.70
	67.30
	102.70
	110.60
	139.50
	272.20
	
	316.08
	2132.57
	7702.50
	3686.67
	18693.12
	9164.29
	
	2.04
	0.85
	0.44
	0.66
	0.26
	0.33
	
	0.49
	1.17
	2.26
	1.51
	3.86
	3.04
	 
	
	4.00
	10.00
	18.00
	28.00
	40.00
	
	38611.80
	72211.80
	161811.80
	345811.80
	672211.80
	
	0.21
	0.19
	0.15
	0.12
	0.09
	
	4.66
	5.34
	6.46
	8.43
	11.42
	 
	
	10.00
	15.00
	20.00
	25.00
	30.00
	35.00
	
	0.14
	0.12
	0.11
	0.10
	0.09
	0.08
	
	6.98
	8.52
	9.34
	10.10
	11.42
	12.56
Tratamento de Dados
	Foi traçado, em papel milimetrado, o quadrado do período de oscilações das diferentes barras metálicas em função da grandeza mL². Utilizou-se o Método dos Mínimos Quadrados para fazer um ajuste da reta que melhor descreve os pontos. A partir da forma da equação do movimento para o pêndulo de torção foi determinado o valor de k.
	Logo após, traçou-se, em papel milimetrado, o quadrado do período de oscilações medido para a régua de alumínio com massas penduradas em função do quadrado da distância d. Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados fez-se um ajuste da melhor reta que descreve os pontos. Relacionou-se o coeficiente angular da reta com a massa M e o valor constante com o momento de inércia da haste. Foi comparado o valor de M com o obtido na balança, e o valor de I com o dado pela expressão acima.
	A partir dos dados da tabela foi composta a grandeza . Traçou-se em papel log-log este valor em função do comprimento C do fio. Pelo Método dos Mínimos Quadrados fez-se um ajuste da reta. Obteve-se a dependência entre k e C e a expressão para o período de oscilações em função em função de C e d.
Tabela T² x mL² (L em metros)
	X (mL²)
	0.31
	2.43
	9.24
	4.42
	22.32
	10.89
	Y (T²)
	0.24
	1.37
	2.28
	5.01
	9.24
	14.91
	X
	0.31
	2.43
	9.24
	4.42
	22.32
	10.89
	
	 
	49.61
	Y
	0.24
	1.37
	2.28
	5.01
	9.24
	14.91
	
	 
	33.05
	XY
	0.07
	3.33
	21.07
	22.14
	206.24
	162.37
	
	 
	415.22
	X²
	0.10
	5.90
	85.38
	40.84
	498.18
	118.59
	
	 
	748.99
Ajuste de dados:
	X
	0.31
	2.43
	9.24
	4.42
	22.32
	10.89
	Y
	2.17
	3.06
	5.92
	3.90
	11.41
	6.61
Cálculo de k:
 
Tabela T² x d²
	X (d²)
	16
	100
	324
	784
	1600
	Y (T²)
	21.72
	28.52
	41.73
	71.06
	130.42
	X
	16
	100
	324
	784
	1600
	
	 
	2824
	Y
	21.72
	28.52
	41.73
	71.06
	130.42
	
	 
	293.45
	XY
	347.52
	2852
	13520.52
	55711.04
	208672
	
	 
	281103.08
	X²
	256
	10000
	104976
	614656
	2560000
	
	 
	3289888
 
Ajuste de dados:
	X
	16
	100
	324
	784
	1600
	Y
	21.37
	27.25
	42.93
	75.13
	132.25
Calculando o valor de M:
 
Calculando o valor de I:
Tabela T²/4π²I x C
	X (C)
	10
	15
	20
	25
	30
	35
	Y (T²/4πI)
	
	
	
	
	
	
	X
	
	1.00
	1.18
	1.30
	1.40
	1.48
	1.54
	
	 
	7.90
	Y
	
	-4.74
	-4.56
	-4.48
	-4.41
	-4.31
	-4.23
	
	 
	-26.73
	XY
	
	-4.74
	-5.38
	-5.82
	-6.17
	-6.38
	-6.51
	
	 
	-35.00
	X²
	
	1.00
	1.39
	1.69
	1.96
	2.19
	2.37
	
	 
	10.60
Ajuste de dados:
	X
			1.00
	1.18
	1.30
	1.40
	1.48
	1.54
	Y
	-4.76
	-4.58
	-4.47
	-4.37
	-4.29
	-4.23
Dependência entre k e C:
Período em função de C e d:
 
Folha de Questões
Pêndulo de Torção
Resolução das questões as quais se encontram no verso da Folha de Dados:
	1 – Seria possível realizar este experimento em um trem com movimento retilíneo uniforme?
	R: A primeira lei de Newton nos diz que um corpoem repouso permanece em repouso a menos que sobre ele atue uma força externa resultante diferente de zero e que um corpo com movimento uniforme mantêm sua velocidade constante até que sobre ele atue uma força externa resultante diferente de zero, em que os sistemas de referência em relação aos quais essa condição ocorre são chamados de referenciais inerciais. Logo, a tendência do sistema montado, se está em equilíbrio é manter-se em equilíbrio com um referencial dentro do trem, mas em movimento retilíneo e uniforme de acordo com o referencial fora do mesmo. Assim, o torque aplicado no sistema, não é influenciado pelo movimento do trem.
	2 – Se o experimento fosse feito na Lua, o período do pêndulo seria diferente do medido aqui na Terra? Como você compara este resultado com o pêndulo simples realizado na Terra e na Lua?
R: Não, pois a gravidade não interfere no período do pêndulo de torção. O período no pêndulo simples varia quando altera-se a gravidade, pois a força restauradora no pêndulo simples é o peso e no pêndulo de torção é a força elástica gerada pela torção do fio.
	3 – E se este experimento fosse feito em uma nave espacial, em um local com gravidade nula, que resultado você esperaria para o período?
	R: Sob o ponto de vista de que o corpo é rotacionado em torno de seu eixo vertical e não deslocado da sua posição de equilíbrio, viu-se que esta rotação causa uma deformação no fio o qual o sustenta, tendendo a retorná-lo apenas sob a influência do torque restaurador exercido pelo fio (evidenciando que a força restauradora não é devido a gravidade, mas à eliminação destas deformações pelo torque restaurador).
	Assim, em gravidade nula é de se esperar que os períodos permaneçam os mesmos. Como no experimento têm-se duas situações a estudar, foi verificado a expressão para o período em cada uma:
	1 – Torção das barras de comprimento L e massa m por seu centro de massa:
	2 – Torção de uma régua de apoio de massa m e comprimento L com dois pesos de massa m eqüidistantes do centro de massa (d):
	Assim, verifica-se que ambos os sistemas dependem do módulo de torção k, que depende do comprimento, diâmetro e material do fio.
	No sistema (1) o período depende somente da massa m e do comprimento L das barras.
	No sistema (2), além da massa m e do comprimento L da régua, a distância d e a massa M dos pesos também influenciam.
	Deste modo, conclui-se que os sistemas dependem somente do momento de inércia e do módulo de torção, não dependendo da aceleração da gravidade.
	4 – Explique porque a dependência do período de oscilação com relação ao comprimento do fio lembra uma associação de molas em paralelo.
	R: O pêndulo de torção parece com um sistema massa-mola com associação em paralelo, pois quando o pêndulo sofre deformação, este tende a eliminar esta deformação voltando ao equilíbrio. O mesmo ocorre com o sistema massa-mola. k (módulo de torção) é uma característica física do fio. Quanto maior o k, maior será o torque restaurador e menor o período de oscilação. A força restauradora da mola depende de sua constante elástica. No pêndulo, a força restauradora depende do módulo k do fio.
	5 – Dado um certo pêndulo de torção, explique como deveremos acoplar a ele outro fio de iguais propriedades (material, comprimento, secção reta), de maneira que a dependência do período na nova disposição seja similar àquele observado na associação de molas em paralelo.
	R: Para simular o sistema massa-mola em paralelo em um sistema de torção, pode-se colocar outro fio ao longo da haste criando outro torque, aumentando-se a força sobre o sistema, assim como ocorreria num sistema massa-mola em paralelo.
	6 – Você já ouviu falar na experiência de Cavendish? Ela foi concebida para medir a constante G da lei da gravitação universal. Em quais aspectos ela está relacionada com um pêndulo de torção?
	R: A medida de Cavendish para o G foi repetida por muitos outros experimentos com diversos aperfeiçoamentos. Em uma das variações, a balança de torção é usada como um pêndulo de torção e o período de oscilações deste pêndulo, o qual depende das massas que estão em nas suas proximidades, é a grandeza medida.
	7 – Cite alguns aparelhos que utilizam o princípio do pêndulo de torção para o seu funcionamento.
	R: Instrumentos de laboratório os quais envolvem um certo grau de sensibilidade como o galvanômetro. O volante de um relógio é outro exemplo, sendo o torque restaurador neste como fornecido por uma espiral (“cabelo”). A balança de torção utilizada na experiência de Cavendish consiste em outro bom exemplo.
Conclusão
Esse experimento foi muito importante para solidificar os conhecimentos adquiridos no curso teórico e reforçar conceitos sobre pêndulo de torção. 
O pêndulo de torção é outro sistema físico que realiza oscilações harmônicas se deslocado ligeiramente de sua posição de equilíbrio. Este movimento harmônico angular simples é caracterizado pelo aparecimento de um torque restaurador que gera um movimento oscilatório em torno da posição de equilíbrio do objeto oscilante.
Neste experimento foi possível relacionar freqüências de oscilação de um pêndulo de torção com a geometria da distribuição de massa e do fio que o caracteriza.
Para a construção dos gráficos, foi determinada a barra de erros, de acordo com o cálculo seguinte:
Foram atingidos todos os objetivos com sucesso, uma vez que foram cumpridas as metas do experimento inicialmente proposto pelo roteiro de laboratório.
Anexos
	11