AD1-MB_AP-2014-2-gabarito

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1ª Avaliação a Distância – 2014 / 2 - Gabarito 
Disciplinas: Matemática Básica para Administração Pública e Matemática 
Aplicada à Segurança Pública 
1ª Questão: (1,5) Seja A = {x

Z | -40 < x < 10} e seja B um subconjunto de Z tal que o 
maior inteiro que pertence a B é 5 e se x pertence a B então x – 1 também pertence a B. 
a) Determine B, A

B e A 

B. 
b) Justifique a afirmação: A

B. 
Solução: 
a) Temos: A = { -39, -38, ..., 7, 8, 9} e B = {..., 3, 4, 5}. 
Daí, A

B = {...,-1, 0, 1, ..., 7, 8, 9} e A  B = { -39, -38, ..., 4, 5} 
b) A

B pois o conjunto A possui elementos que não pertencem ao conjunto B. São 
eles: 6, 7, 8 e 9 
 
2ª Questão: (3,5) 
a) Sejam A e B dois conjuntos onde A

B possui 162 elementos e A 

B possui 
23 elementos. Se A possui 11 elementos a mais que B encontre o número de 
elementos de A. 
Solução: Chamando 
n (A) = número de elementos do conjunto A 
n (B) = número de elementos do conjunto B 
n (A

B) = número de elementos do conjunto A

B 
n (A

B ) = número de elementos do conjunto A B 
 temos: 
n (A

B) = 23, n (A

B) =162 e n (A) = n (B) + 11 
Como n(A

B) = n(A) + n(B) – n(A

B) temos: 
162 = n(B) + 11 + n(B) - 23. Logo 2n(B) = 162-11+23 
Ou seja: 2n(B) = 174. Assim n(B) = 174/2 = 87 
Portanto n(A) = 87 + 11 = 98 elementos. 
b) Um certo dia, em uma cidade gaúcha, foram registradas a temperatura máxima 
de 5ºC e a temperatura mínima de -8ºC. Determine a temperatura média 
ocorrida nesta cidade nesse dia. 
Solução: 
 𝑇𝑚 =
5+(−8)
2
=
−3
2
= −1,5ºC 
c) Um comerciante comprou 80 canetas a R$1,20 cada uma. Vendeu a metade por 
R$2,60 cada e o restante por R$3,00 cada. Qual foi o seu lucro? 
 
Solução: 
Temos 
1
2 
× 80 = 40. 
Daí 40 × R$2,60 = R$104,00 e 40 × R$3,00 = R$ 120,00. 
Somando estes valores obtemos o total da venda: R$104,00 + R$120,00 = R$224,00 
Como o total da compra é 80 × R$1,20 = R$96,00 temos que o lucro obtido nesta venda 
foi de R$224,00 – R$96,00 = R$128,00. 
 
3ª Questão: (1,5) Dados A = 
 5|  xRx
 e B = 
 1|  xRx
. 
a) Escreva A e B usando notação de intervalo e determine os conjuntos: A

B, B – A 
e (A

B)∩(B – A ). 
b) Responda: Quantos números inteiros o conjunto A

B possui? Quais são eles? 
Solução: 
a) O conjunto A = ]−∞, 5] e o conjunto B = ]1, +∞[ 
Portanto temos A

B = ]1,5], B - A = ]5, +∞ [ e (A

B)∩(B – A ) = { }= ∅ ( Conjunto 
vazio) 
A 5______________ 
 
 B 1 
 
A

B 1 _ 5 
 
 
B - A 5 
b) O conjunto A

B possui quatro números inteiros. São eles: 2, 3, 4 e 5. 
 
4ª Questão: (1,5) Considere os produtos notáveis: 
 
222
..2)( bbaaba 
 
 
222
.2)( bbaaba 
 
 
)).((
22
bababa 
 
 Use-os para responder as seguintes questões: 
a) Fatore 9𝑎2 − 4𝑏2. 
b) Encontre xy sabendo que 𝑥2 + 𝑦2 = 67 e (𝑥 + 𝑦)2 = 185. 
c) Desenvolva (𝑥 − 4)2. 
Solução: 
a) 9𝑎2 − 4𝑏2 = (3𝑎 − 2𝑏)(3𝑎 + 2𝑏) 
b) Como (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 então temos 185 = 67 + 2xy 
Logo 2xy = 185 – 67. Daí 2xy = 118 e portanto xy = 118/2 = 59 
c) (𝑥 − 4)2= 𝑥2 − 2 × 𝑥 × 4 + 42 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16 
5ª Questão: (2,0) Considere 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑄|𝑥 ≤
5
3
}, a = 1,555..., b = 1,7 e c = √3. 
a) Encontre a fração geratriz da dízima periódica dada por a. 
b) Responda justificando: 𝑎 ∈ 𝑆? 𝑏 ∈ 𝑆? 𝑐 ∈ 𝑆? 
c) Determine: 𝑁 ∩ 𝑆, 𝑍 ∩ 𝑆 𝑒 𝑅 ∩ 𝑆. 
Solução: 
a) 1,555...= 1 + 0,555... = 1 + 
5
9
=
9+5
9
=
14
9
 
b) Pelo item (a), a é um número racional. Como 
5
3
=
15
9
 e 
14
9
<
15 
9
 então 𝑎 <
5
3
. 
Logo concluímos que a pertence a S (𝑎 ∈ 𝑆). 
 
Temos b = 1,7 = 
17
10
. Logo b é um número racional. Como 
17
10
>
5
3
 pois 
17
10
=
51
30
 𝑒 
5
3
=
50
30
 temos que b não pertence a S(𝑏 ∉S). 
 
Temos que c = √3 = 1,7320508... Temos que c não é um número racional. 
Logo c não pertence a S(𝑐 ∉ 𝑆). 
 
c) Como 
5
3
= 1,666 … temos que 𝑁 ∩ 𝑆 = {0, 1} e 𝑍 ∩ 𝑆 = { … , −2, −1, 0, 1} 
𝑅 ∩ 𝑆 = 𝑆 pois 𝑆 ⊂ 𝑄 ⊂ 𝑅.