Fis1C_Aula_23_moodle

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Aula 023 1 
CAPÍTULO 14 
Rotação de 
corpos 
rígidos 
Aula 023 2 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Até agora tudo deslizava... Daqui pra frente, tudo vai girar... 
Limitaremos nosso estudo ao caso de corpos rígidos 
girando em torno de um eixo fixo 
Aula 023 3 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Não estudaremos... 
Corpos que não podem 
ser considerados rígidos, 
como o sol (uma “bola 
de gás”) 
Casos onde o eixo de rotação 
não é fixo (não está sempre 
na mesma posição) 
Aula 023 4 
Eixo de rotação  eixo em torno do qual todos os pontos do 
corpo descrevem uma trajetória circular (eixo em torno do qual o 
corpo gira). 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
14.1 – Variáveis rotacionais : 
Eixo de rotação 
Eixo de rotação 
Eixo de rotação 
Aula 023 5 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Nomenclatura  definiremos R (maiúsculo) e r (minúsculo) 
como duas coisas diferentes! 
 R = raio do objeto (distância do centro à borda) 
 r = distância de um ponto ao eixo de rotação 
Eixo de rotação 
R 
rA 
A 
rB 
B 
Eixo de rotação 
R 
A rA rB 
B 
Eixo de rotação 
A 
rA 
R = ??? 
B 
rB 
(não 
tem) 
Aula 023 6 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
14.1.1 – Posição angular: 
Ângulo formado entre o ponto em questão e uma direção fixa, 
definida como posição angular zero (em geral o semi-eixo x 
positivo) 
q = 0 (posição angular zero) 
Eixo de rotação 
A 
rA qA 
B 
rB 
Posição angular medida no sentido anti-horário é positiva! 
Posição angular medida no sentido horário é negativa! 
qB 
Todos os pontos ao longo da mesma linha 
perpendicular ao eixo de rotação terão a mesma 
posição angular 
Aula 023 7 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Não me venham com essa 
chorumela de ângulo em graus!!! 
A posição angular é sempre medida em radianos!!! 
𝟏 𝒓𝒐𝒕 = 𝟏 𝒓𝒆𝒗 = 𝟑𝟔𝟎° = 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅 
𝟏 𝒓𝒂𝒅 = 𝟓𝟕, 𝟑° = 𝟎, 𝟏𝟓𝟗𝟐 𝒓𝒆𝒗 
Aula 023 8 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
14.1.2 – Deslocamento angular: 
OBS: A posição angular deve ser medida continuamente 
para se ter idéia do número de voltas (q não volta a 0 rad 
cada vez que passa pela linha de referência!) 
Variação da posição angular entre um instante inicial e um 
instante final. 
∆𝜽 = 𝜽𝒇 − 𝜽𝒊 
q = 0 (posição angular zero) 
Eixo de rotação 
A 
qAi qAf 
DqA 
Unidade: [rad] 
Aula 023 9 
Todos os pontos do corpo descrevem o mesmo Dq no 
mesmo intervalo de tempo. 
A 
B 
A 
B 
DqB 
DqA 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Aula 023 10 
E a velocidade angular média em um intervalo de tempo é: 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
14.1.3 – Velocidade angular: 
Taxa de variação da posição angular em função do tempo 
(rapidez com que ocorre o deslocamento angular). 
𝝎 =
𝒅𝜽
𝒅𝒕
 Unidade: radiano / segundo = [rad/s] 
𝝎 =
∆𝜽
∆𝒕
=
𝜽𝒇 − 𝜽𝒊
𝒕𝒇 − 𝒕𝒊
 Unidade: [rad/s] 
w também pode aparecer em [rpm] : 𝟏 𝒓𝒑𝒎 = 
𝟏 𝒓𝒐𝒕
𝟏 𝒎𝒊𝒏
=
𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝟔𝟎 𝒔
 
Aula 023 11 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
A 
B 
Todos os pontos do corpo giram com a mesma velocidade 
angular no mesmo instante de tempo. 
A velocidade angular é 
positiva quando o corpo gira 
no sentido anti-horário! 
A velocidade angular é 
negativa quando o corpo gira 
no sentido horário! 
Aula 023 12 
E a aceleração angular média em um intervalo de tempo é: 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
14.1.4 – Aceleração angular: 
Taxa de variação da velocidade angular em função do tempo 
(rapidez com que a velocidade angular muda de valor). 
𝜶 =
𝒅𝝎
𝒅𝒕
 Unidade: (radiano/segundo)/segundo = [rad/s
2] 
𝜶 =
∆𝝎
∆𝒕
=
𝝎𝒇 −𝝎𝒊
𝒕𝒇 − 𝒕𝒊
 Unidade: [rad/s2] 
Aula 023 13 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Todos os pontos do corpo giram com a mesma aceleração 
angular no mesmo instante de tempo. 
A aceleração angular é positiva quando faz variar a 
velocidade angular no sentido anti-horário! (provoca giro 
anti-horário se o corpo está parado, aumenta velocidade de 
giro se este era anti-horário ou diminui velocidade do giro se 
este era horário) 
A aceleração angular é negativa quando faz variar a 
velocidade angular no sentido horário! (provoca giro horário 
se o corpo está parado, diminui velocidade de giro se este 
era anti-horário ou aumenta velocidade do giro se este era 
horário) 
Aula 023 14 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
14.1.5 – As grandezas angulares são vetoriais? 
A princípio não precisamos tratá-las como vetores, pois só há 
duas opções para o giro em torno do eixo: horário (sinal 
negativo) e anti-horário (positivo). Basta usar o sinal porque, 
como o eixo é fixo, o giro não passará de uma direção para 
outra. 
Mas podemos tratar a velocidade angular e a aceleração 
angular como vetores, pois elas obedecem todas as regras 
que um vetor deve obedecer. 
Os vetores velocidade angular e aceleração angular não 
são representados no sentido de giro, pois vetores são 
representados por setas retas e não curvas. 
Aula 023 15 
Os vetores velocidade angular e aceleração angular são 
representados sobre o eixo de rotação, apontando para 
onde a regra da mão direita determinar. 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Aula 023 16 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
O deslocamento angular não 
é uma quantidade vetorial 
porque não obedece à 
propriedade comutativa. 
Aula 023 17 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
14.2 – Casos especiais: 
Da mesma forma que no movimento de translação, podemos 
tratar mais facilmente os casos onde a aceleração angular é 
constante. 
14.2.1 – Movimento Circular Uniforme (MCU): 
𝜶 = 𝟎 
𝒅𝝎
𝒅𝒕
=
∆𝝎
∆𝒕
= 𝟎 
𝝎𝒇 −𝝎𝒊
𝒕𝒇 − 𝒕𝒊
= 𝟎 
𝝎𝒇 = 𝝎𝒊 = 𝒄𝒕𝒆. 
𝝎 =
𝜽𝒇 − 𝜽𝒊
𝒕𝒇 − 𝒕𝒊
 
𝜽𝒇 = 𝜽𝒊 +𝝎 ∙ 𝒕 
(Assumindo que ti = 0) 
Aula 023 18 
14.2.2 – Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV): 
𝜶 = 𝒄𝒕𝒆.≠ 𝟎 
𝜶 = 𝜶 
𝝎𝒇 −𝝎𝒊
𝒕𝒇 − 𝒕𝒊
= 𝜶 
𝝎𝒇 = 𝝎𝒊 + 𝜶 ∙ 𝒕 
𝝎 =
𝜽𝒇 − 𝜽𝒊
𝒕𝒇 − 𝒕𝒊
 
𝜽𝒇 = 𝜽𝒊 +𝝎𝒊 ∙ 𝒕 +
𝜶
𝟐
∙ 𝒕𝟐 
(Assumindo que ti = 0) 
𝝎𝒇 +𝝎𝒊
𝟐
=
𝜽𝒇 − 𝜽𝒊
𝒕𝒇 − 𝒕𝒊
 
a 
t 
w 
t 
(Se 𝛼 > 0, 𝜔𝑖 < 0) 
q 
t 
(Se 𝛼 > 0, 𝜔𝑖 < 0, 𝜃𝑖 > 0) 
(Se 𝛼 > 0) 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Aula 023 19 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
𝝎𝟐 = 𝝎𝒊
𝟐 + 𝟐 ∙ 𝜶 ∙ ∆𝜽 
Fórmulas adicionais do MCUV: 
𝜽 = 𝜽𝒊 +
𝟏
𝟐
∙ 𝝎𝒊 +𝝎 ∙ 𝒕 
𝜽 = 𝜽𝒊 +𝝎 ∙ 𝒕 −
𝟏
𝟐
∙ 𝜶 ∙ 𝒕𝟐 
Não são fornecidas 
no formulário 
Aula 023 20 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Exemplo 14.1 
Um toca-discos girando a 33,3 rpm é desligado e pára, com 
aceleração angular constante, após dois minutos. 
a) Calcule a aceleração angular. 
 
b) Qual a velocidade angular média nesse intervalo? 
 
c) Quantas voltas serão dadas antes de parar? 
Aula 023 21 
Respostas: 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
a) Como 𝝎 = 𝝎𝟎 + 𝜶 ∙ 𝒕, a = -0,00925.p = -0,029 rad/s2 
 
b) Por 𝝎 =
𝚫𝜽
𝚫𝒕
, Dq = 66,6.p = 209,23 rad e 𝝎 = 0,555. 𝜋 rad/s 
 
c) Sendo 𝑵° de voltas = 
∆𝜽
𝟐.𝝅
 , N° de voltas = 33,3 voltas.