Lista 1 - Revisão

Prévia do material em texto

1
Prof.: Etereldes
Lista 1 - Parte I - Ca´lculo I - 2011/2
Revisa˜o: inequac¸o˜es, raiz e mo´dulo
Func¸a˜o: domı´nio, imagem e paridade
Gra´ficos que envolvem retas e mo´dulo
Resolva as inequac¸o˜es dos exerc´ıcios 1. a 12.
1. −3x+ 1 < 2x+ 5
2. x2 − 5x+ 6 < 0
3. 2x2 − x− 10 > 0
4. 3x2 − 7x+ 6 < 0
5. (x− 1)(1 + x)(2− 3x) < 0
6.
2x− 1
1− x < 0
7.
x
2x− 3 ≤ 3
8. (2x− 1)2 < 16
9. x+
1
x
> 2
10.
x2 − 7x+ 10
−x2 + 9x− 18 ≤ 0
11.
x+ 1
2− x <
x
x+ 3
12. x2 + x < x3 + 1
Nos exerc´ıcios 13. a 20. resolva para x e represente a soluc¸a˜o na reta nume´rica.
13. |x− 2| = 4
14. |x+ 3| = |2x+ 1|
15. |2x+ 3| = 2x+ 3
16. |3 + 2x| ≤ 2
17. |2x+ 5| > 3
18. |3− 4x| > x+ 2
19.
∣∣∣∣ 1x− 2
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ 52x− 1
∣∣∣∣
20.
∣∣x2 − 5x∣∣ < |x|2 − |5x|
Nos exerc´ıcios 21. a 24. a func¸a˜o real de varia´vel real e´ definida por sua expressa˜o anal´ıtica. Determine
o seu domı´nio.
21. f(x) =
1√|x| − x
22. y =
1
3
√
x+ 1
23. f(x) =
√
1−√1− x2
24. g(x) =
x√|x| − 1
25. f(x) =
√
1− x2 +√x2 − 1
Estude a variac¸a˜o do sinal das func¸o˜es dos exerc´ıcios 26. a 29.
26. f(x) = (2x− 3)(x+ 1)(x− 2)
27. f(x) =
x(2x− 1)
x+ 1
28. g(t) =
2t− 3
|1− t|(1− 2t)
29. F (x) = 2− 1
x
− x
30. Sejam x, y e z os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, onde x e´ a hipotenusa. Se o triaˆngulo tem per´ımetro
igual a 6, indique a a´rea deste triaˆngulo em func¸a˜o da hipotenusa.
Nos exerc´ıcios 31. a 46. esboce o gra´fico da func¸a˜o, especificando o domı´nio, a imagem e, quando poss´ıvel,
a paridade (par ou ı´mpar).
31. f(x) = (2− x)|3− x|
32. f(x) =
3− x
|3− x|
33. f(x) = (x− 2)(x+ 1)
34. g(x) =
∣∣x2 − x− 2∣∣
35. f(x) = |3− x|+ |x− 1|
36. f(x) =
√
x(x− 2)
2
37. f(x) =
{
−√3− 2x se x < 32√
2x− 3 se x ≥ 32
38. y = | |x| − 2 |
39. f(x) =
√|x2 − 16|
40. g(x) =
{
4 +
√
25− x2 se −5 ≤ x ≤ 5
4 se x < −5 ou x > 5
41. f(x) =
√−x
42. f(x) = x
(√|x|)2
43. f(x) =
∣∣x2 − 4x+ 3∣∣
x− 1
44. y =
∣∣x3 − 5x2 + 2x+ 8∣∣
x− 2
45. 21. y =
{
1− x2 , −1 < x < 1
x2 − |x| , x ≤ −1 ou x ≥ 1
RESPOSTAS
1. x > − 4
5
2. 2 < x < 3
3. x < −2 ou x > 5
2
4. ∅
5. −1 < x < 2
3
ou x > 1
6. x < 1
2
ou x > 1
7. x < 3
2
ou x ≥ 9
5
8.
(− 3
2
, 5
2
)
9. (0, 1) ∪ (1,∞)
10. (−∞, 2] ∪ (3, 5] ∪ (6,∞)
11. (−∞,−3) ∪ (2,∞)
12. (−1, 1) ∪ (1,∞)
13. {6,−2}
14.
{
2,− 4
3
}
15.
[− 3
2
,∞)
16.
[− 5
2
,− 1
2
]
17. (−∞,−4) ∪ (−1,∞)
18.
(−∞, 1
5
) ∪ ( 5
3
,∞)
19.
(−∞, 1
2
) ∪ ( 1
2
, 11
7
] ∪ [3,∞)
20. ∅
21. x < 0
22. x 6= −1
23. −1 ≤ x ≤ 1
24. x < −1 ou x > 1
25. x = −1 ou x = 1
26. f(x)

< 0 se x < −1 ou 3
2
< x < 2
= 0 se x = −1 ou x = 3
2
ou x = 2
> 0 se −1 < x < 3
2
ou x > 2
27. f(x)

< 0 se x < −1 ou 0 < x < 1
2
= 0 se x = 0 ou x = 1
2
> 0 se −1 < x < 0 ou x > 1
2
28. g(t)

< 0 se t < 1
2
ou t > 3
2
= 0 se t = 3
2
> 0 se 1
2
< t < 1 ou 1 < t < 3
2
29. F (x)

< 0 se 0 < x < 1 ou x > 1
= 0 se x = 1
> 0 se x < 0
30. Seja S = S(x) a a´rea do triaˆngulo. Como y e z sa˜o os catetos, S = 1
2
yz, que denotamos por (eq. 1).
Foi dado o per´ımetro P = x + y + z = 6, logo y + z = 6 − x. Elevando ambos os lados dessa u´ltima equac¸a˜o ao
quadrado, obtemos a equac¸a˜o y2 + 2yz + z2 = 36− 12x+ x2 , que denotamos por (eq. 2).
Como x e´ a hipotenusa, sabemos que x2 = y2 + z2 , que denotamos por (eq. 3).
Na (eq. 2), substituindo-se o valor de x2 dado pela (eq. 3), obtemos y2 + 2yz + z2 = 36− 12x+ y2 + z2.
Simplificando essa equac¸a˜o, 2yz = 36− 12x, explicitando o produto yz = 12(3− x)
2
= 6(3− x).
Agora, substituindo-se o produto yz na (eq. 1), obtemos S = 1
2
· 6(3− x), logo S(x) = 3(3− x).
31. 32. 33. 34. 35.
y
x0
2
4
6
2 4 6
dom = R;
im = R
x
y
–2
–1
1
2
1 2 3 4
dom = R− {3};
im = {−1, 1}
y
x
–2
0
2
–2 –1 1 2
dom = R;
im =
[− 9
4
,∞)
y
x
–2
2
4
–2 –1 1 2 3
dom = R;
im = [0,∞)
y
x0
2
4
–1 1 2 3 4
dom = R;
im = [2,∞)
36. 37. 38. 39. 40.
y
x
2
4
–2 2 4
dom = (−∞, 0] ∪ [2,∞);
im = [0,∞)
y
x
–2
0
2
–2 2 4
dom = R;
im = R
y
x0
2
4
–4 –2 2 4
dom = R;
im = [0,∞)
e´ par
x
y
2
4
6
8
–6 –4 –2 2 4 6
dom = R;
im = [0,∞)
e´ par
y
x0
2
4
6
8
10
–8 –6 –4 2 4 6 8
dom = R;
im = [4, 9]
e´ par
3
41. 42. 43. 44. 45.
y
x
2
–3 –2 –1
dom = (−∞, 0];
im = [0,∞)
y
x
–4 –2 2 4
dom = R;
im = R
e´ ı´mpar
x
y
–4
–2
0
2
dom = R− {1};
im = (−∞,−2) ∪ [0,∞)
x
y
–6
–4
–2
2
4
6
–2 2 4 6 8
dom = R− {2};
im = R
x
y
2
4
–2 2
dom = R;
im = [0,∞)
e´ par
Lista 1 - Parte II - Ca´lculo I - 2011/2
Operac¸o˜es com func¸o˜es
Func¸a˜o composta
Transformac¸o˜es em gra´ficos
1. Se f(x) = 3x2 + 2 e g(x) =
1
3x+ 2
, determine:
(a) (f + g)(x)
(b) (f(x))−1
(c) (f · g)(x)
(d)
(
f
g
)
(x)
(e)
(
g
f
)
(x)
(f) (f ◦ g)(x)
2. Seja f(x) =
3− x
x
. Determine:
(a) f
(
x2
)− (f(x))2 (b) f ( 1
x
)
− 1
f(x)
(c) (f ◦ f)(x)
3. Dadas f(x) =
{ −x , x < 0
x2 , x ≥ 0 e g(x) =
{
1
x
, x < 0√
x , x ≥ 0
, determine:
(a) (f ◦ g)(x)
(b) (g ◦ f)(x)
Nos exerc´ıcios 4. a 11., a partir do gra´fico da func¸a˜o y = f(x) dado abaixo, esboce o gra´fico da func¸a˜o dada.
4. y = f (|x|)
5. y = |f(x)|
6. y = f(−x)
7. y = −f(x)
8. y = f(x+ 2)
9. y = f(x) + 3
10. y =
f(x) + |f(x)|
2
11. y =
f(x)− |f(x)|
2
x
y = f(x)
–4
–2
0
2
4
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
Esboce os gra´ficos das func¸o˜es dos exerc´ıcios 12. a 17.
12. f(x) = 8− 3√ x
2
− 1
13. f(x) =
√
2|x| − 6
14. f(x) = |x− 1|3
15. f(x) = 1 + 3
√
1− x
16. f(x) = (|x| − 1)3
17. f(x) =
∣∣x2 − 4|x|+ 3∣∣
Nos exerc´ıcios 18. a 21. determime o domı´nio, a imagem e esboce o gra´fico da func¸a˜o dada.
18. f(x) = 3 sen (2pix)
19. f(x) = tan
(x
2
) 20. f(x) =
∣∣∣∣ sen (x2)− 12
∣∣∣∣ , 0 ≤ x ≤ 4pi
21. f(x) =
1
2
sec
(
x− pi
3
)
4
RESPOSTAS
1. (a) y =
9x3 + 6x2 + 6x+ 5
3x+ 2
, x 6= −2
3
(b) y =
1
3x2 + 2
(c) y =
3x2 + 2
3x+ 2
, x 6= −2
3
(d) y = 9x3 + 6x2 + 6x+ 4, x 6= −2
3
(e) y =
1
9x3 + 6x2 + 6x+ 4
, x 6= −2
3
(f) y =
18x2 + 24x+ 11
9x2 + 12x+ 4
, x 6= −2
3
2. (a) y =
6x− 2x2 − 6
x2
(b) y =
9x− 3x2 − 3
3− x
(c) y =
4x− 3
3− x
3. (a) (f ◦ g)(x) =
{
− 1
x
, x < 0
x , x ≥ 0
(b) (g ◦ f)(x) =
{ √−x , x < 0
x , x ≥ 0
4.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
5.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
6.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
7.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
8.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
9.
y
x
–2
0
2
4
6
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
10.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
11.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
12.
y
x
–2
2
4
6
8
10 20
13.
y
x
0
2
4
6
8
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
14.
x
y
1
2
–2 2 4
15.
y
x
–2
0
2
–4 –2 2 4 6
16.
x
y
–1
1
2
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
17.
y
x
2
4
–6 –4 –2 2 4 6
18.
y
x
–2
0
2
–6 –4 –2 2 4 6
19.
y
x
–10
10
–10 10
20.
x0
1
2
3
5 10
21.
y
x
–10
–5
5
10
–15 –10 –5 5 10 15