P3 2014-1 + Resolução

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[UFES-CCE-DMAT-Prova 3-Ca´lculo I-28/07/14]
Leia a prova com atenc¸a˜o e justifique todas as respostas.
1. Esboce a regia˜o entre as curvas y = sen(x) e y = sen(2x) no intervalo [0, pi] e calcule sua a´rea.
Sol.:
A a´rea e´ dada por
∫ pi
3
0
(sen(2x)− sen(x))dx+
∫ pi
pi
3
(sen(x)− sen(2x))dx = 1
4
+
9
4
=
5
2
.
2. Considere a regia˜o R delimitada pelas curvas y = x e y = x2. Seja S o so´lido obtido pela
rotac¸a˜o de R em torno da reta x = 2.
(a) Escreva as integrais que expressam o volume de S: (i) pelo me´todo das cascas cil´ındricas;
(ii) pelo me´todo das fatias.
Sol.: (i)
∫ 1
0
2pi(2− x)(x− x2)dx; (ii)
∫ 1
0
pi((2− y)2 − (2−√y)2)dy.
(b) Usando (i) ou (ii) calcule o volume de S.
Sol.: Usando (i):
∫ 1
0
2pi(2− x)(x− x2)dx = pi
2
.
3. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
dx
(x2 + 2x+ 2)2
Sol.:
∫
dx
(x2 + 2x+ 2)2
=
x+ 1
2(x2 + 2 x+ 2)
+
arctg(x+1)
2
+ c
(b)
∫
3x3 + 2x− 2
x4 + 2x2
dx
Sol.:
3x3 + 2x− 2
x4 + 2x2
=
2 x+ 1
x2 + 2
+
1
x
− 1
x2
. Logo
∫
3x3 + 2x− 2
x4 + 2x2
dx =
1
2
√
2 arctg
(
x√
2
)
x+ ln (x2 + 2) x+ ln (x) x+ 1
x
+ c
(c)
∫
arcsen(x)dx
Sol.: Intergando por partes e depois fazendo uma substituic¸a˜o obtemos:∫
arcsen(x)dx = arcsen (x) x+
√
1− x2 + c.
1
4. (a) Se f ′ for cont´ınua em [a, b], mostre que 2
∫
f(x)f ′(x)dx = [f(b)]2 − [f(a)]2.
Sol.: pela regra da cadeia temos que
d
dx
[f(x)]2 = 2f(x)f ′(x). Logo, pelo T.F.C. temos
que
∫
2f(x)f ′(x)dx =
∫
d
dx
[f(x)]2dx = [f(x)]2
∣∣b
a = [f(b)]
2 − [f(a)]2.
(b) Se f for cont´ınua em [0, 1], mostre que
∫ 1
0
f(x)dx =
∫ 1
0
f(1− x)dx.
Sol.: Fazendo x = 1− u temos −du = dx e∫ 1
0
f(x)dx =
∫ 0
1
f(1− u)(−du) =
∫ 1
0
f(1− u)du.
2